1
Vir dignisime
Quanta cum voluptate legi Epistolas rissimorūum Clarissimorūum virorūum D. Leibni
tij & D. Tschurnhausij vix dixerim. Perelegans Sane est Leibnitij methodus perveni
endi ad series convergentes, & satis ostendisset ingeniūum Authoris etsi nihil aliud scripsisset.
Sed quæ alibi per Epistolam sparguntur suo nomine dignissima, efficiunt etiam ut ab eo
speremus maxima. Diversitas modorūum quibus eodem tenditur, eò magis
mihi tres methodi perveniendi ad ejusmodi series innotuere, et tamen illa Leibnitij ante lectas
literas ejus penitus me latuit adeò ut novam nobis communicandam vix expectarem. Unam e meis priùs descripsi, jāam addo aliam. illāam sc:scilicet quâ primùm incidi
in has series: nam incidi in eas antequam scirem divisiones et extractiones radicūum qui
utor. et hujus explicatione pendendum est fundamentūum Theorematis sub initio Epistolæ
prioris positi quod D. Leibnitius a me desiderat.
Sub initio studiorūum meorūum Mathematicorūum ubi incideram in opera Celeberrimi
Wallisij nostri, considerando series quarum intercalatione ipse exhibet aream circuli, et
Hyperbolæ, utpote quod in serie curvarūum quarūum basis sive axis communis sit , et ordinatim applicatæ, . si areæ alternarūum quæ sunt interpolari possent, haberemus areas intermediarūum quarūum prima est circulus: ad has interpolandas notabam, quod in omnibus primus terminus esset , quodqꝫue secundi termini essent in Arithmeticâ progressione, & proinde quod duio primi termini serierūum intercalandarūum deberent esse . Ad reliquas intercalandas considerabam quod denominatores erant in arithmeticâ progressione, et proinde quod primi adeoqꝫue solæ numeratorūum coefficientes numerales restabant investigandæ. Hæ autem in alternis datis areis erant figuræ potestatūum numeri nempe harum . hoc est primò . dein . tertiò . quarto . quinto . Quærebam itaqꝫue quomodo in his seriebus ex datis duabꝫus primis figuris reliquæ derivari possent, et inveni quod positâ secundâ figura , reliquæ producerentur per continuam multiplicationēem terminorūum hujus seriei . E. gr.Exempli gratia sit , et erit
hoc est tertius terminus, & hoc est quartus, et hoc est quintus, & . hoc est sextus, quo series in hoc casu terminatur. Hanc regulam itaqꝫue applicui ad series interserendas et cùm pro circulo secundus terminus esset , posui , et prodierunt termini sive , sive , sive & sic in infinitūum. Unde cognovi desideratāam aream segmenti circularis esse . Et eadem ratione prodierunt etiam interserendæ areæ reliquarum curvarūum, ut et area Hyperbolæ et cæterarūum alternarūum in hac serie . Et eadem est ratio intercalandi alias series idqꝫue per intervalla duorūum pluriumve terminorūum simul deficientium. Hic fuit primus meus ingressus in has meditationes: qui memoriâ sane exciderat nisi oculos in adversaria quædam ante paucas septimanas retulissem.
Ubi verò hæc didiceram mox considerabam terminos hoc est eodem modo interpolari posse ac areas ab ipsis generatas: et ad hoc nihil aliud requiri quam omissionem denominatorūum denominatorūum in terminis exprimentibus areas; hoc est coefficientes terminorūum quantitatis intercalandæ , vel vel generaliter , prodire per continuam multiplicationēem terminorūum hujus seriei Adeo ut e.g. valeret et valeret et valeret . Sic itaqꝫue innotuit mihi generalis reductio radicalium in infinitas series per regulam illam quam posui initio Epistolæ prioris antequam scirem extractionem radicūum. Sed hac cognita non potuit altera me diu latere: nam ut probarem has operationes multiplicavi in se, et factūum est terminis reliquis in infinitūum evanescentibus per continuationem seriei. Atqꝫue ita bis in se ductum produxit etiam . Quod ut certa fuit harum conclusionūum demonstratio, sic me manu duxit ad tentandūum e converso, num hæ series quas sic constitit esse radices quantitatis non possent inde extrahi more Arithmetico. et res bene successit. Operationis forma in quadraticis radicibus hæc erat. His perspectis neglexi penitus interpolationem serierūum et has operationes tanquam fundamenta magis genuina solummodo adhibui. Nec latuit reductio per divisionem, res utiqꝫue facilior. Sed et resolutionem affectarum ǽquationūum mox aggressus sūum eamque obtinui. Unde simul ordinatim applicatæ, segmenta axium aliæqꝫue quælibet rectæ ex areis curvarum vel arcubus datis innotuere. Nam regressio ad hæc nihil indigebat præter resolutionem æquationūum quibus areæ vel arcus ex datis rectis dabantur.
Eo tempore pestis ingruens coegit me hinc fugere et alia cogitare. Addidi tamen subinde condituram quandam Logarithmorūum ex area hyperbolæ, quam hic subjungo. Sit Hyperbola cujus centrūum , vertex , & quadratum interjectūum . In cape , hinc inde sive , & erectis perpendiculis , ad Hyperbolāam terminatis, erit Semisumma Spatiorūum et et semidifferentia . Quaæ reductæ sic se habent, Add.3977.42
Horum summa est et differentia est et eadem ratione positis , hinc inde , obtinebitur , et . Habitis sic Logarithmis Hyperbolicis numerorum quatuor decimaliūum , , , & . cùm sit , et et sint minores unitate, adde Logarithmos illorūum ad duplum Logarithmi , et habebis Logarithmūum hyperbolicūum numeri . cujus triplo adde Log.Logarithmum , siquidem sit , et habebis Logarithmūum numeri , indeqꝫue per additionem simul prodeunt Logarithmi numerorūum et ; adeoqꝫue omniūum primorūum horum Logarithmi in promptu sunt. Insuper ex sola depressione numerorūum superioris computi per loca decimalia, et additione obtinentur Logarithmi decimalium , , , , ut et horum , , , , & inde per additionēem et substractionem prodeunt Logarithmi primorum . Qui una cum superioribus per Logarithmum numeri divisi evadunt veri Logarithmi in Tabulam inserendi. Sed hos postea propius obtinui.
Pudet dicere ad quot figurarūum loca has computationes otiosus eo tempore perduxi. Nam tunc sanè nimis delectabar inventis hisce. Sed ubi prodijt ingeniosa illa N. Mercatoris Logarithmotechnia (quem suppono sua primum invenisse) cœpi ea minùs curare, suspicatus vel eum nosse extractionēem radicūum æquò ac divisionem fractionūum, vel alios saltem, divisione patefacta, inventuros reliqua priusquam ego ætatis essem maturæ ad scribendūum. Eo ipso tamen tempore quo liber iste prodijt communicatum est a D. Barrow tunc Matheseos per amicum Professore ad cum D. Collinsio , compendium quoddam methodi harum serierūum in quo significaveram areas, et longitudines curvarum omnium et solidorūum superficies et segmenta quævis contenta ex datis rectis vice versa ex his datis rectas determinari posse, et methodūum ibi indicatam illustraveram diversis seriebus. Suborta deinceps inter nos epistolari consuetudine, D. Collinsius vir in rem mathematicāam promovendam natus, non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem: et ante annos quinqꝫue cum suadentibus amicis concilium cœperam edendi tractatūummtractatūum de refractione Lucis, et coloribus quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare, et tractatum de ijs iterum etiam conscripsi, ut utrumqꝫue simul ederem. Sed ex occasione Telescopij Catadioptrici epistola ad te missâ. quâ breviter explicui conceptus meos de natura lucis, inopinatūum quiddam effecit ut mei interesse sentirem ad te festinanter scribere de impressione istius Epistolæ. Et subortæ statim per diversorūum epistolas Objectionibus aliisqꝫue refertas crebræ interpellationes me prorsus a consilio deterruerunt, et efficerunt ut me arguerem imprudentiæ quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam rem prorsus substantialem.
Sub id tempus Gregorius ex unica tantùm serie quadam e meis quam D. Collinsius ad eum transmiserat, post multam considerationem ut ad Collinsiūum rescripsit pervenit ad eandem methodum & tractatūum de ea reliquit quem spectamus speramus ab amicis ejus editum iri, siquidem pro ingenio ingenio quo pollebat non potuit non adjicere de suo multa quæ rei mathematicæ interest ut non pereant ipse autem tractatum meum non penitus absolveram ubi destiti a proposito, neque in hunc usque diem mens rediit ad reliqua adjicienda. Deerat quippe pars illa qua decreveram explicare modum solvendi Problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt licet aliquid de fundamento ejus posuissem.
Cæterum in tractatu ipso isto series infinitæ non magnam partem obtinebant Alia haud pauca congessi, inter quæ erat methodus ducendi tangentes quam Solertissimus Slusius ante annos duos tresve tibi communicavit, de quâ tu, suggerente Collinsio, rescripsisti eandem mihi ibi inno etiam innotuisse. Diversa ratione in eam incidimus. Nam res non eget demonstratione prout ego operor. Habito meo fundamento nemo potuit tangentes aliter ducere, nisi volens de recta viâ deviaret. Quinetiâ non hic hæretur ad æquationes radicalibus unam vel utramqꝫue indefinitāam quantitatem involventibus utcunqꝫue affectas, Sed absqꝫue aliquâ talium æquationūum reductione (quæ opus plerumqꝫue redderet immensūum) tangens confestim ducitur. et eodem modo se res habet in quæstionibus de Maximis et Minimis, alijsqꝫue quibusdam de quibus jam non loquor. Fundamentum harūum operationūum Fundamentum harūum operationum satis obvium quidem, quoniam jam non possuntm explicationem ejus prosequi sic potius celavi. 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8f12vx. Hoc fundamento conatus sum etiam reddere speculationes de Quadratura curvarum simpliciores, perveniqꝫue ad Theoremata quædam generalia. et ut candide agam ecce primum Theorema.
Ad cCurvāam aliquam sit ordinatim applicata termino diametri seu basis normaliter insistens: ubi literæ , , denotant quaslibet quantitates datas, & , , indices potestatūum sive dignitatum quantitatūum quibus affixæ sunt. Fac . . . & , & area Curvæ erit literis deino denotantibus terminos proximè antecedentes, nempe terminum , terminum &c. Hæc series ubi fractio est vel numerus negativus continuatur in infinitum: ubi vero integer est et affirmativus continuatur ad tot terminos tantùm quot sunt unitates in eodem , et sic exhibet geometricam quadraturam cCurvæ. Rem exemplis illustro.
Ex. 1. Proponatur Parabola cujus ordinatim applicata sit . Hæc in formam regulæ reducta fit . Quare est . . . . . Adeoqꝫue . . . . et area quæsita , hoc est, . Et sic in genere si ponatur ordinatim applicata, prodibit area .
Ex 2. Sit ordinatim applicata hæc per reductionem fit , vel etiam . In priori casu est . . . . . . Adeoqꝫue . . hoc est . . Et area curvæ id est . In secundo autem casu est . . . . . . . id est . . Et Area hoc est . Area his casibꝫus diversimodè exhibetur3 exhibetur computatur a diversis finibus quorum assignatio per hos inventos valores arearum facilis est.
Exemplum 3. Sit ordinatim applicata , hoc est per reductionem ad debitam formam vel vel . Et erit in priori casu . . . . . adeoqꝫue &c. Quare cum non sit numerus affirmativus, procedo ad alterūum casūum. Hic est . . . . . . adeoqꝫue . . , seu , . Et area hoc est .
Exempl. 4 Sit deniqꝫue ordinatim applicata Hæc ad formam Regulæ reducta fit . Indeqꝫue est . . . . . . . . . Quod si res non successisset in hoc casu . Et area , id est . Quod si res non successisset in hoc casu, existente vel fractione vel numero negavitivonegativo, tunc tentassem alterum casum purgando terminūum in ordinatim applicata a coefficiente , hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam . et si in neutro casu fuisset numerus integer et affirmativus conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt Geometricè quadrari. Nam quantūum animadverto, hæc Regula exhibet in finitis æquationibus areas omniūum Geometricam quadraturaam admittentiūum Curvarūum, quarūum ordinatim applicatæ constant ex potestatibꝫus, radicibus, vel quibuslibet dignitatibus binomij cujuscunqꝫue.
At quando hujusmodi Curva aliqua non potest Geometricè quadrari sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus cum Conicis Sectionibus vel saltem cūum alijs figuris simplicissimis quibuscūum potest comparari ad quod sufficit etiam hoc ipsūum unicūum jam descriptum Theorema. Sic et pro trinomijs etiam et alijs quibusdam Regulas quasdem continuavi. Sed in simplicioribus vulgoqꝫue celebratis figuris vix aliquid relatu dignūum reperi quod evasit aliorūum conatus, nisi fortè longitudo Cissoidis ejusmodi censeatur. Ea sic construitur.
Sit Cissois, diameter circuli ad quem aptatur, vertex, Asymptotons ejus, ac perpendiculare quodvis ad demissūum. Cum semiaxe , et semiparametro describatur Hyperbola , et inter et sumpta media proportionali, erigantur ad et perpendicula et Hyperbolæ occurrentia in et et agantur rectæ et tangentes Hyperbolam in eisdem et et occurrentes , in ac , et ad constituatur constituatur rectangulum æquale spatio , ; et Cissoidis longitudo erit sextupla altitudinis demonstratio perbrevis est, sed ad infinitas series redeo.
Quamvis multa restent investiganda circa modos approximandi, et diversa serierum genera quæ possunt ad id conducere, tamen vix cum D. Tschurnhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis generalia fundamenta reducendi quantitates ad hoc genus serierūum de quo agimus quam sunt divisiones, et extractiones radicūum quibus Leibnitius et ego utimur: saltem non generaliora quia pro dquadraturâ et Euthunsi Curvarum ac similibus, nullæ possunt dari series ex hisce simplicibus terminis Algebraicis, unicam tanta indefinita quantitatem involventibus constantes quas non licet hac methodo colligere nāam non possunt esse plures hujusmodi convergentes series ad idem determinandūum quàm sunt indefinitæ quantitates ex quarūum potestatibus series conflentur, et ego quidem ex adhibita quacunqꝫue indefinita quantitate seriem novi colligere et idem credo Leibnitio in potestate esse. nam quamvis mea methodo liberūum sit eligere pro conflanda serie quantitatem quamlibet indefinitāam a qua quæsitūum dependeat, et methodus quam ipse nobis communicavit determinata videatur ad electionem talium indefinitarum quantitatūum quibus opus commodè deduci potest ad fractiones quæ per solam divisionem evadant series infinitæ: tamen aliæ quæcunqꝫue indefinitæ quantitates pro seriebus conflandis adhiberi possunt per methodum istam quâ affectæ æquationes resolvuntur, dummodo resolvantur in proprijs terminis hoc est conficiendo seriem ex solis terminis quos æquatio involvit. Præterea non video cur dicatur his divisionibus et extractionibus Problemata resolvi per accidens siquidem hæ operationes eodem modo se habeant ad hoc genus Algebræ ac vulgares operationes Arithmeticæ ad Algebram vulgo notam. Quod autem ad simplicitatem methodi attinet, nolim fractiones et radicales absqꝫue præviâ reductione semper resolvi in series infinitas. Sed ubi perplexæ quantitates occurrunt tentandæ sunt omnimodæ reductiones, sive id fiat augendo, minuendo, multiplicando, vel dividendo quantitates indefinitas, sive per methodūum transmutatoriam Leibnitij aut alio quocunqꝫue modo qui occurrat. Et tunc resolutio in series per divisionēem et extractionem optimè adhibebitur. Hic autem præcipuè intendum est ut Denominatores fractionūum et quantitates in vinculo radicūum reducantur ad quam paucissimas et minimè compositas, & et ad tales etiam quæ in seriem abeant citissimè convergentēem, etsi radices neqꝫue convertantur in fractiones, neqꝫue deprimantur. Nam per regulāam initio alterius Epistolæ, extractio altissimarūum radicum æque simplex et facilis est ac extractio radicis quadraticæ vel divisio. et series quæ per divisionēem eliciuntur solent minimè omniūum convergere. Hactenus de seriebus, unicāam indefinitam quantitatem involventibus locutus sūum. Sed possunt etiam perspecta methodo series ex duabus vel pluribus assignatis definitis quantitatibus pro arbitrio confici. Quinetiam beneficio ejusdem methodi possunt series ad omnes figuras conduci efformari Gregorianis ad Circulum et Hyperbolāam editis persimiles affines, hoc est quarūum ultimus terminus exhibebit quæsitāam aream. Sed calculūum
Folios 4-5 are a revision, in Newton's hand, of a passage beginning with the last two lines of f. 2v, and running through ff. 3r, 3v, 6r, 6v and 7r of the document as currently paginated. The revised passage appears to have been inserted between two of the pages (ff. 3v and 6r) of the text it is intended to replace. It ends 'morem meum universaliter usurpandi li' and dovetails into the same text string in the fourth paragraph of f. 7r.
. Et Area hoc est . Area his casibus diversimode exhibetur computatur a diversis finibus, quorum assignatio per hos inventos valores arearum facilis est.
Ex. 3. Sit ordinatim applicata hoc est per reductionem ad debitam formam vel , vel . Et erit in priori casu . . . . . . adeoqꝫue &c. Quare cùm non sit numerus affirmativus, procedo ad alterum casum. Hic est . . . . . . adeoqꝫue . . , seu , . Et area hoc est .
Ex. 4. Sit deniqꝫue ordinatim applicata . Hæc ad formam Regulæ redacta fit . Indeqꝫue est . . . . . . . . , . Et area , id est . Quod si res non successisset in hoc casu, existente vel fractione vel numero negativo, tunc tentassem alterum casum purgando terminum in ordinatim applicata a coefficiente , hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam . Et si in neutro casu fuisset numerus integer & affirmativus, conclusissem curvam ex earum numero esse quæ non possunt geometricè quadrari. Nam quantum animadverto, hæc Regula exhibet in finitis æquationibus areas omnium geometricam quadraturam admittentium Curvarum, quarum ordinatim applicatæ constant ex potestatibus, radicibus, vel quibuslibet dignitatibus binomij cujuscunque.
At quando hujusmodi Curva aliqua non potest Geometricè quadrari, sunt ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus cum Conicis Sectionibus, vel saltem cum alijs figuris simplicissimis quibuscum potest comparari. Sic et pro trinomijs & alijs quibusdam Regulas quasdem concinnavi. Sed in simplicioribus vulgoqꝫue celebratis figuris vix quo aliquid relatu dignum reperi quod evasit conatus aliorum, nisi fortè longitudo Cissoidis ejusmodi censeatur. Ea verò sic construitur.
Sit Cissois, diameter circuli ad quem aptatur, vertex, Asymptoton ejus, ac perpendiculare quodvis ad demissum. Cum semiaxe , et semiparametro , describatur Hyperbola , et inter et sumpta media proportionali, erigantur ad et perpendicula et Hyperbolæ occurrentia in et et agantur rectæ et tangentes Hyperbolam in ijsdem et et occurrentes in ac , et ad constituatur rectangulum æquale spatio ; et Cissoidis longitudo erit sextupla altitudinis . Demonstratio perbrevis est. Sed ad infinitas series redeo.
Vix cum D. Tschunhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis generalia fundamenta reducendi quantitates ad has serieres quam sunt divisiones et extractiones radicum quibus Leibnitius & ego utimur utimur: saltem non generaliora quia pro quadratura et eutheunsi curvarum ac similibus, nullæ possunt dari series ex hisce simplicibus terminis Algebraicis, unicam tanta indefinita quantitatem involventibus constantes quas non licet hac methodo colligere. Nam non possunt esse plures hujusmodi convergentes series pro eodem quæsito determinando quantitates ex quarum potestatibus series conflentur, et ego quidem ex adhibita quacunque indefinita quantitate (lineam rectam intelligo quon cujus longitudine area determinatur seriem novi colligere et idem credo Leibnitio in potestate esse. Nam quamvis mea methodo liberum sit eligere pro conflanda serie quantitatem quamlibet indefinitam a cujus assumptione quantitas quæsita redditur determinata redditur a qua quæsitum dependeat, et methodus quam ipse nobis communicavit determinata videatur ad electionem talium indefinitarum quantitatūum quibus opus commodè deducitur ad fractiones quæ per solam divisionem evadunt series infinitæ: tamen aliæ quæcunqꝫue indefinitæ quantitates pro seriebus conflandis adhiberi possunt per methodum istam qua affectæ æquationes resolvuntur, dummodo methodus illa semper resolvāantur æquationes in proprijs terminis, hoc est conficiendo seriem ex solis terminis quos æquatio involvit. Præterea non video cur dicatur his divisionibus et extractionibus Problemata resolvi per accidens, siquidem hæ operationes eodem modo se habeant ad hoc genus Algebræ, ac vulgares operationes Arithmeticæ ad Algebram vulgo notam. Quod verò ad simplicitatem methodi attinet nolim fractiones et radicales absqꝫue prævia reductione semper resolvi in series infinitas. Regulæ non solent sic adhiberi. Sed ubi perplexæ quantitates occurrunt tentandæ sunt omnimodæ reductiones, sive id fiat augendo, minuendo, multiplicando, vel dividendo quantitates indefinitas, sive per methodum transmutatoriam Leibnitij aut alio quocunqꝫue modo qui occurrat: et tunc vix speranda erit reductio resolutio in series per divisionem et extractionem optimè succedunt adhibetur. Dum verò locutus sum de prævijs reductionibus, non intendo ut radices semper deprimantur, ad humiliores vel reducantur ad fractiones, (Nam per Regulam initio alterius Epistolæ positam, extractio altissimarum radicum æque simplex et facilis est ac extractio radicis quadraticæ vel divisio, et series quæ per divisionem eliciuntur solent minimè omnium minùs convergere:) Et proinde sufficit hoc tantum requiro tantum ut denominatores fractionum et quantitates in vinculo radicum reducantur ad quam paucissimas et minimè compositas, et ad tales etiam quæ in seriem abeant citissimè convergentem. Hactenus locutus de seriebus unicam indefinitam quantitatem involventibus locutus sum: sed possunt etiam perspectâ methodo series ex duabus vel pluribus assignatis definitis quantitatibus pro arbitrio confici. Quinetiam beneficio ejusdem methodi possunt series ad omnes figuras efformari Gregorianis ad cCirculum et Hyperbolam editis persimiles; hoc est quarum ultimus terminus exhibebit quæsitam aream. Sed calculum hic onerosiorem nolim lubens subire. Præsertim cum In hacce etiam rerum varietate hoc etiam nobis desit, ut ante calculum semper sciamus eligere meliora, et in series citissimè omnium convergentes incidere.
Ex eo quod D. Tschurnhausius desiderat in nostris seriem pro determinando arcu ex data Tangente, credo eum vix animadvertisse solutionem Problematis istius neutiquam per meam methodum neutiquam difficiliorem esse quam determinationes arcuum ex sinu recto et verso quas posui5 posui: descriptionem omnium particularium sed sed in am et alteram in diversis rerum generibus conducere ad ostendandam universalitatem computi ad contenta et superficies solidorum (qu ferè generis ac difficultatis) satis putab posui tantùm con segmenti cujusdam Elliptici: ad cujus computi methodum Gregorius etiam de suo pervenit, & seriem ad me transmitti curavit. Similiter ad curvas Mechanicas instantia in Quadratrice sufficere videbatur: & ad areas Geometricarum curvarum deliegi delegi astronomicum Problema Kepleri, missis facilioribus et elegantioribus seriebus quibus segmenta conicarum Sectionum exhibentur: Et hoc Problema non nisi in unico casu solvi; cùm tamen diversæ ejusmodi series ad diversas partes Ellipseos aptari deberent siquis inde vellet computare Tabulas Astronomicas. Sed et ad sectionem angulorum in data ratione (quod est Problema cæteris nobilius) dedi tantum instantiam in sectione per chordas, propterea quod series pro sectione per sinus versos & tangentes et secantes vel per sinus rectas et versos mixtummixtis eruuntur. Et proinde non est quod heæreatis ad omissionem præfatæ seriei: cujus computum utiqꝫue ex facillimis est, & quæ (meo saltem judicio) utilitate cedit istis quas posuit. Illud enim revera simplicius est quod Problema minore labore solvit. Sic quamvis hæc æquatio appareat simplicior hacce , tamen in confesso est posteriorem revera simpliciorem esse propterea quod radicem ejus Geometra facilius eruit. Et eadem rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendo sectore per sinum rectum versumve simpliciores haberi debent quam series pro obtinendo eodem sectore per Tangentem. Nam si e.g. posito radio velis arcum ex tangente eruere ad usqꝫue 15 loca figurarum, opus esset terminis circiter, huius seriei si integros terminos ejus semper adjeceris, vel dimidio numero seriei quorum computo milleni anni requirerentur. At si eundem arcum ex sinu recto ad eundem locorum numerum velis computare, quadraginta termini seriei huius sufficerent: quorum computatio vix ultra duos tresve dies ut conjicio requireret. Et tamen hic non est optimus modus computandi totam peripheriam. Nam series ex sinu recto triginta graduum vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multò citiùs dabit arcum suum, cujus sextuplum vel duodecuplum; est tota perifpheria. Idem fit per cosecantem arcus ope hujus seriei , ubi denotat radium, et cosecantem arcûs per seriem expressi. Neqꝫue minori labore eruitur area totius Circuli ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri. Ejus computi specimen siquidem ad manus est, visum fuit apponere; & una adjungere aream Hyperbolæ siquidem quæ eodem calculo proderit.
Posito axe transverso et sinu verso seu segmenti sagitta . Erit segmentum . Hæc autem series sic in infinitum producitur. Sit . . . . . . &c. Et erit segm.segmentum , eorumqꝫue semisummama &c et semidifferentia . His ita præparatis suppono esse quadrantem nempe axis et prodit . . . . Et sic procedo usqꝫue dum venero ad terminum depressimum qui potest ingredi opus. Deinde hos terminos per divisos dispono in duas tabulas, affirmativos ambiguos in unam et negativos ambiguos negativos in aliāam et addo ut hic vides. Dein a priori summa aufero posteriorem et restat area semi-segmenti Hyperbolici Addo etiam easdem summas & aggregatum aufero a primo termino duplicato et restat area semi-segmenti circularis. Huic addo triangulum istud quo completur in sectorem, hoc est triangulum seu , Et habeo sectorem graduum , cujus sextuplum , est area totius circuli, quæ divisa per quadrantem diametri dat totam peripheriam . Si alias artes adhibuissem potui per eundem numerum terminorum seriei pervenisse ad multa plura loca figurarum puta viginti quinqꝫue aut amplius; sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computum præstari posset: quod sanè haud difficile est cùm in omni opere multiplicatores ac divisores magna ex parte non majores quam & nunquam majores quam adhibere opus sit.
Per seriem Leibnitij etiam, si ultimo loco dimidium termini adijciatur & alia quædam similia artificia adhibeantur, potest computum produci ad multas figuras. Sed optimus ejus usus est quando vel conjungitur cum duabus alijs persimilibus et citissime convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandum arcum posita tangente . Tunc enim series illa evadit , quæ citò convergit. Vel si conjunges cum alijs seriebus, pone circuli diametrum & , et area totius circuli erit .
Hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandum totum circulum. Sed quando computandæ sunt partes ejus, tunc quælibet series habet proprium usum et in suo genere optimus est. Si datur Tangens haud recurrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neqꝫue vice versa dato sinu quærenda erit Tangens. Sed Series dato congruens adhibenda erit, tanquam est æquatio pro solvendo proprio problemata.
Credo Cl. Leibnitium vix animum advertisse seriei meæ pro determinatione sinus versi ex dum posuit seriem pro determinatione cosinus ex arcu dato, vix animum advertisse seriei meam pro determinatione sinus versi ex eodem area, siquidem hæc idem sunt. Neqꝫue observasse videtur morem meum generaliter usurpandi literas
6
Here Newton's intervention ends and the original text resumes, following on directly from the end of f. 3v.
calculūum hic onerosiorem nolim lubens subire. Possunt deniqꝫue series ex terminis compositis eadem methodo constitui Quemadmodūum si sit ordinatim applicata curvæ alicujus pone et ex binomio extractâ radice prodibit &c. cujus seriei omnes termini quadrari possunt per Theorema jam ante descriptūum. Sed hæc minoris facio quod ubi series simplices non sunt satis tractabiles, aliam nondum communicatam methodum habeo qua pro lubitu acceditur ad quæsitūum. Ejus fundamentum est commoda expedita et generalis solutio hujus Problematis Curvam Geometricam describere quæ per data quodcunqꝫue puncta transibit. Docuit Euclides descriptionem cCirculi per tria data puncta. Potest etiam Conica sectio describi per quinque data puncta & Curva trium dimensionūum per octo data puncta, adeo ut in potestate habeam descriptionem omniūum curvarūum istius ordinis quæ per octo tantùm puncta determinantur. Hæc statim Geometricè fiunt nullo calculo interposito: Sed superius Problema est alterius generis. et quamvis prima fronte intractabile videatur; tamen res aliter se habet. est enim fere ex pulcherrimis quæ solvere desiderem.
Seriei a D. Leibnitio pro quadratura Conicarūum Sectionūum propositæ affinia sunt Theoremata quædam quæ pro comparatione Curvarūum cum Conicis sectionibus in Catalogūum dudūum retuli. Possum utiqꝫue cūum Conicis sectionibus geometricè comparare curvas omnes numero infinitas quarūum ordinatim applicatæ sunt vel &c. Aut vel &c. Aut vel &c. Aut vel &c. Aut . vel &c Aut , vel &c. Aut vel &c Hic , , , significant quasvis datas quantitates cum suis signis et affectas, axem vel basem Curvæ, et , , , , , indices potestatum vel dignitatūum sive sint affirmativi, vel negativi, sive integri vel fracti; et singula bina Theoremata sunt duo primi termini seriei in infinitūum progredientis. In tertio et quarto debet esse non magis majus quam nisi et sint contrarij signi in cæteris nulla est limitatio. Horum aliqua (nempe secundūum, tertium, quartum, quintūum et decimum tertium) ex areis duarūum Conicarūum Sectionum conjunctis constant. Alia quædam ut nonum decimūum et duodecimum, sunt aliter satis composita: et omnia quidem in continuatione & progressionūum citò evadunt compositissima: adeò ut vix per transmutationes figurarūum quibus Gregorius et alij usi sunt absqꝫue ulteriori fundamento inveniri posse putem. Ego equidem haud quicquam generale in has his obtinere potui antequam abstraherem a contemplatione figurarūum et rem totāam ad simplicem considerationem solarūum ordinatim applicatarūum reducerem sed cūum hæc et his longè generaliora sint in potestate, non dubitabitur credo de binomialibus longe facilioribus quæ in his continentur & prodeunt ponendo tantūum literam aliquāam vel , et vel : etsi series in quas ista resolvuntur non posuerim in in epistola priori, intentus non in omnia particularia enumeranda, sed in illustrandam methodūum per unam et alteram in singulis rerum generibus instantiam quæ ad ostendendam ejus generalitatem sufficere videbatur.
Cæterūum hæc Theoremata dant series plusquam uno modo nam primum si ponatur et evadit : unde prodit series nobis communicata, sed si ponatur et , inde tandem obtinemus hanc seriem pro longitudine quadrantalis arcus cujus chorda est unitas, vel quod perinde est hanc pro longitudine dimidii ejus. et has fortè quia æque simplices sunt ac alteræ, et magis convergunt, non repudiabitis. Sed ego rem aliter æstimo . Illud enim melius quod utilius est et problema minori labore solvit. Sic quamvis hæc æquatio appareat simplicior hacce tamen in confesso est posteriorem esse revera simpliciorēem propterea quod radicem ejus Geometra facilius eruit. et ob hanc rationem series pro obtinendis arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis sectoribus conicarūum Sectionum, pro optimis habeo quæ componuntur ex potestatibus sinuum. Nam siquis vellet per simplex computum hujus seriei colligere longitudinem quadrantis ad viginti figurarum loca decimalia, opus esset terminis seriei circiter, ad quorūum calculūum milleni anni requirerentur: & res tardius obtineretur ꝑper tangentem grad. juxta seriem Leibnitij nobis communicatam Sed adhibito sinu recto grad quinquaginta quinqꝫue vel sexaginta termini hujus seriei sufficerent, quorūum computatio tribus ut opinor vel quatuor diebus absolvi posset. Et tamen hic non est optimus modus computandi totam Peripheriam nam series ex sinu recto triginta graduum vel ex sinu verso sexaginta graduum conflata, multò citiùs dabit arcūum suum cujus sextuplum vel duodecuplūum est tota peripheria. Neqꝫue minori labore eruitur area totius cCirculi ex segmento cujus sagitta est quadrans diametri. Ejus computi specimen, siquidem ad manus est, visūum fuit apponere & unâ adjungere aream Hyperbolæ quæ eodem calculo prodit.
Posito axe transverso , et sinu verso seu segmenti sagitta erit semisegmentūum . Hæc autem series sic in infinitūum producitur. Sit . . . . . &c et erit semisegm. eorumqꝫue semisumma &c et semidifferentia . His ita præparatis suppono esse quadrantem nempe axis et prodit . . . . Et sic procedo usqꝫue dum venero ad terminūum depressimum qui potest ingredi opus. Deinde hos terminos per respectivè divisos dispono in duas tabulas, ambiguos cūum primo in unam et negativos in aliam et addo ut hic vides 7 Tunc a priori summma aufero posteriorem et restat area semisegmenti Hyperbolici. Addo etiam easdem summas & aggregatum aufero a primo termino duplicato , et restat area semisegmenti circularis &c huic addo triangulūum istud quo completur in sectorem, h. e.hoc est triangulūum , seu , & habeo sectorem sexaginta graduūum , cujus sextuplum est area totius circuli, quæ divisa per quadrantem diametri dat totāam peripheriam . Si alias artes adhibuissem potui per eundem numerūum terminorūum seriei potuisse pervenisse ad multa plura loca figurarūum, puta viginti quinqꝫue aut amplius; sed animus fuit hic ostendere quid per simplex seriei computūum præstari posset: Quod sanè haud difficile est cùm in omni opere multiplicatores ac divisores magnâ ex parte non majores quàm & nunquam majores quàm adhibere opus sit.
Per seriem Leibnitij etiam si ultimo log co dimidiūum termini adijciatur, et alia quædam similia artificia adhibeantur, potest computum produci ad multas figuras. ut et ponendo summam terminorum esse ad totam seriem , ut ad Sed optimus ejus usus videtur esse quando vel conjungitur cūum duabus alijs persimilibus et citissimè convergentibus seriebus, vel sola adhibetur ad computandūum arcum grad. posita tangente . Tunc enim series illa evadit , quæ citò convergit vel si conjunges cum alijs seriebus, pone circuli diametrum & & area totius circuli erit .
Hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandūum totūum circulum. Sed quando computandæ sunt partes ejus, tunc quælibet series habet proprium usum & in suo genere optima est. Si datur Tangens satis parva, vel satis magna, non recurrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur arcus, neqꝫue vice versâ. Series dato congruens est æquatio pro solvendo proprio problemate.
Credo Cl. Leibnitiūum, dum posuit seriem pro determinatione cosinus ex arcu dato, vix animūum advertisse ad seriem meam pro determinatione sinus versi ex eodem arcu siquidem hæc idem sunt. Neqꝫue observasse videtur morem meum generaliter usurpandi literasAt this point, Newton's revised text on ff. 4-5 rejoins the main text. pro quantitatibus cum signis suis et affectis, dum dividit hanc seriem . Nam cum area Hyperbolicâ hic significata per sit affirmativa vel negativa prout jaceat ex una vel altera parte ordinatim applicatæ ; si area illa in numeris data sit , & substituatur in serie pro , orietur vel vel &c prout sit affirmativa vel negativa. Hoc est posito et logarithmo Hyperbolico: numerus ei correspondens erit si sit affirmativus, et si sit affirmativus negativus. Hoc modo fugio multiplicationem Theorematum quæ alias in nimiam molem crescerent. Nam v.g. illud unicum Theorema quod supra posui pro quadratura Curvarūum resolvendūum esset in triginta duo Theoremata si pro signorūum varietate multiplicaretur.
Præterea quæ habentur de inventione numeri unitate majoris per datūum Logarithmum Hyperbolicum ope seriei potius quam ope seriei mihi quidem haud ita eam sunt. Nam si unus terminus adjiciatur amplius ad seriem posteriorem quam ad priorem posterior magis appropinquabit. Et certè minor est labor computare unam vel duas primas figuras adjecti hujus termini quāam dividere unitatem per prodeuntem logarithmūum Hyperbolicūum ad multa figurarūum loca extensum, ut inde obtineatur Logarithmus Hyperbolicus quæsitus. quæsitus Utraqꝫue igitur series (si duas dicere fas est sit) officio suo fungatur Potest tamen series ex dimidiá parte terminorūum constans optimè adhiberi siquidem hæc dabit semidifferentiam duorum numerorūum ex qua et rectangulo dato uterqꝫue datur. Sic & ex serie &c datur semisumma numerorum indeqꝫue etiam numeri. Unde prodit relatio serierūum inter se quâ ex unâ datâ dabitur altera.
Theorema de inventione arcûs ex dato cosinu, ponendo radium , cosinum , & arcum , minus appropinquat quàm prima fronte videtur. Posito quidem sinu verso , error erit . Potest fieri ut ad ita chorda ad arcum, et error erit tantūum circiter qui semper minor est quam minuta secunda, dum arcus non sit major quàm & singulis etiam bisectionibus diminuitur vicibus
Series applicari posset ad computationem Tabulæ segmentorūum ut observat vir cClarissimus, sed res optimè absolvitur per Canonem sinuum. Utpote cognitâ quadrantis areâ, per continuas additionēem nonæ partis ejus habebis sectores ad singulos decem gradus in semicirculo, dein per continuam additionem decimæ partis partis hujus habebis sectores ad gradus: et sic ad decimas partes graduum et ultra procedi procedi potest. Eodem modo Leibnitius collegit seriem . Tunc, radio existente , ab uno quoqꝫue sectore et ejus complemento ad aufer dimidium communis sinus recti & relinquentur segmenta in Tabulam referenda. Cæterum quamvis series hic non prosint, in alijs tamen locum obtinent; et quoniam hoc ad earūum usum spectat, non gravabor in aliquibus attingere.
Constructionem Logarithmorum non aliunde peti debere, credetis fortè ex hoc simplici processu qui ab istis pendet. Per methodum supra traditam quærantur Logarithmi Hyperbolici numerorum , , , , : id quod fit spatio unius et alterius horæ. dein divisis Logarithmis quatuor posteriorum per Logarithmum numeri , & addito indice , prodibunt veri Logarithmi numerorūum , , , , , in Tabulam inserendi. Hi per dena intervalla interpolandi sunt, et exibunt Logarithmi omnium numerorum inter . & & omnibus inter et iterum per dena intervalla interpolatis habebitur Tabula eatinus constructa. Tunc ex his colligendi erunt Logarithmi omnium primorum numerorūum et eorūum multiplicium minorum quàm : ad quod nihil requiritur præter additionem et substractionēem siquidem sit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et habitis sic Logarithmis omnium numerorum minorum quàm , restat tantùm hos etiam semel atqꝫue iterum per dena intervalla interpolare.
Constructionis Tabulæ sinuum a qua pendet tota res Trigonometrica fundamentum optimūum est continua additio dati anguli ad seipsum vel ad alium datum. Utpote in angulo addendo inscribantur , , , , , , , &c8 &c æquales radio : et ad opposita latera demittantur perpendicula , , , , , , , , &c. et angulorum , , , &c differentiæ erunt angulus , sinus , , &c. et cosinus , , , &c. detur jam aliquis eorum . et cæteri sic eruentur. Ad , et demitte perpendicula & , et propter sim. tri.similia triangula , , , , &c erit . Et . Unde dantur sinus et cosinus , , , , et simul patet ratio continuandi progressiones. Nempe &c &c. Vel
&c et retro &c. + Pone ergo , et fac , . . , &c. Sed nodus est inventio sinus et cosinus anguli . Et hic subveniunt series nostræ. Utpote cognito ex superioribus Quadrantalis arcus longitudine &c et simul quadrato ejus &c; divide quadratūum hoc per quadratum numeri exprimentis rationem ad ang.angulum : et quoto dicto , tres vel quatuor primi termini huius seriei dabunt cosinūum istius anguli . Sic primo quæri potest angulus et inde Tabula computari ad quinos gradus, ac deinde interpolari ad gradus vel dimidios gradus per eandem methodum: nam non convenit progredi per nimios saltus. Duæ tertiæ partes Tabulæ sic computatæ dant reliquam tertiam partem per additionem vel substractionem more noto, siquidem posito cosinu sit et . Tunc ad decimas et centesimas partes graduūum pergendum est per aliam methodum, substitutis tamen prius Logarithmis sinuum inventorūum si ejus generis Tabula desideretur.
Ad computum Tabularum Astronomicarūum Kepleri posui fundamentūum quoddam in alterâ Epistola. Ejus seriei tres primi termini et aliquando duo sufficiunt. Sed ad diversas partes Ellipseos diversæ ejusmodi series aptari debent. Vel potiùs tales series computandæ sunt quæ ex data area sectoris Ellipticæ , immediatè exhibeant aream sectoris circuli cujus angulus est , radius . Et habitis hisce, computūum earum ad duos tres vel fortè quatuor terminos beneficio Logarithmorūum haud gravius erit quam solita resolutio tot triangulorūum in alijs Hypothesibus: imo forte minùs grave si series prius debitè concinnentur. siquidem unus Logarithmus e Tabula petitus determinet omnes istos terminos addendo ipsum et ejus multiplices ad Logarithmos datorūum coefficientiūum in promptu habitos. Quæ de hoc genere Tabularūum dicuntur, ad alias transferri possunt ubi ratiocinia Geometrica locum non obtinent. sufficit autem per has series computare triginta, vel viginti vel aut fortè pauciores terminos Tabulæ in debitis distantijs, siquidem termini intermedij facilè interseruntur per Methodūum quandam quam in usu cCalculatorum ferè hic descripsissem. Sed pergo ad alia.
Quæ Cl. Leibnitius a me desiderat explicanda, ex parte supra descripsi. Quod verò attinet ad inventionem terminorūum , , , in extractione radicis affectæ, primum sic eruo. Descripto angulo recto , latera ejus ejus, divido in partes æquales et inde normales erigo distribuentes angulare spatium in æqualia parallelogramma vel quadrata, quæ concipio denominata esse a dimensionibus duarum indefinitarūum specierum, puta et , regulariter ascendentium a termino prout vides in fig. 1 inscriptas: ubi denotat radicem extrahendāam et alteram indefinitam quantitatem ex cujus potestatibus series constituenda est. Deinde cùm æquatio aliqua proponitur, parallelogramma singulis ejus terminis correspondentia insignio nota aliquâ: et Regulâ ad duo vel fortè plura ex insignitis parallelogrammis applicatâ quorūum unum sit humillimūum in columna sinistrâ juxta : et alia ad regulam dextrorsūum sita, cæteraqꝫue omnia non contingentia Regulam supra eam jaceant: seligo terminos æquationis per parallelogramma contingentia Regulam designatos et inde quæro quantitatem Quotienti addendam.
Sic ad extrahendam radicem ex ; parallelogramma hujus terminis respondentia signo notâ aliqua ut vides in fig. 2. Dein applico Regulam ad inferiorem e locis signatis in sinistrâ columna, eamqꝫue adb inferioribus ad superiora dextrorsūum gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura e reliquis signatis locis coeperit attingere, videoqꝫue loca sic attacta esse , et . E terminis itaqꝫue tanquam nihilo æqualibus (et insuper si placet reductis ad ponendo ) quæro valorem et invenio quadruplicem , , , ā , quorūum quemlibet pro primo termino Quotientis accipere licet prout e radicibus quampiam extrahere decretūum est. Sic æquatio , quam resolvebam in priori epistola dat et inde proximè. Cum itaqꝫue a sit primus terminus valoris , pono pro cæteris omnibus in infinitūum, et substituo pro . Obvenient hic aliquando difficultates nonnullæ, sed ex ijs credo D. Leibnitius se proprio Marte extricabit. Subsequentes vero termini , &c eodem modo ex æquationibus secundis, tertiis cæterisqꝫue eruuntur quo primus e prima; sed cura leviori, quia cæteri termini valoris solent prodire dividendo terminūum involvente infimam potestatem indefinitæ quantitatis per coefficientem radicis , aut .
Intellexti credo ex superioribus regressionem ab areis curvarūum ad lineas rectas fieri per hanc extractionem radicis affectæ. Sed duo alij sunt modi quibus idem perficio eorum unus affinis est computationibus quibus colligebam approximationes sub finem alterius Epistolæ, et intelligi potest per hoc exemplum. PropenaturProponatur æquatio ad aream Hyperbolæ et partibꝫus ejus multiplicatis in se emerget . . . . Iam de aufer et restat . Huic addo et fit Aufero et restat &c. Addo et fit quam9 quam proxime. Sive .
Eodem modo series de una indefinita quantitate in aliam transferri possunt. Quemadmodum si posito radio circuli, sinu recto arcus , et longitudine arcus istius atque hanc seriem e sinu recto ad tangentem vellem transferre: quæro longitudinem tangentis et reduco in infinitam seriem : Qua dicta colligo potestates ejus . . Aufero jam de , et restat . Addo , et fit . Aufero , et restat quamproxime. Quare est . Sed siquis in usus Trigonometricos me jussisset exhibere expressionem arcus per Tangentem, eam non hoc circuitu sed directa methodo quæsivissem.
Per hoc genus computi colliguntur etiam Series ex duabus vel pluribus indefinitis quantitatibus constantes: et radices affectarum æquationūum magna ex parte extrahuntur, sed ad hunc posteriorem usum adhibeo potius methodūum in alterâ epistola descriptam tanquam generaliorem, &, (Regulis pro elisione superfluorūum terminorum habitis,) paulo magis expeditam. Pro regressione vero ab areis ad lineas rectas et similibus, possunt hujusmodi Theoremata adhiberi.
Theorem. 1. Sit et vicissim erit . ex. gr.exempli gratia. Proponatur æquatio ad aream Hyperbolæ et substitutis in Regula pro , pro , pro , pro , et pro , vicissim exurget .
Theorem. 2. Sit , et vicissim erit . ex. gr.exempli gratia Proponatur æquatio ad arcum circuli et substitutis in Regula pro , pro , pro , pro &c pro , pro , &c; orietur . Alterūum modum regrediendi ab areis ad lineas rectas celare statui.
Ubi dixi omnia pene Problemata solubilia existere, volui de ijs præsertim intelligi circa quæ Mathematici se hactenus occuparunt vel saltem in quibus ratiocinia mathematica locum aliquem obtinerent obtinere possunt. Nam alia sanè adeo perplexis conditionibus implicata excogitare liceat ut non satis comprehendere valeamus, et multò minus tantarum computationūum onus sustinere quod ista requirerent. Attamen ne nimium dixisse videor, inversa de Tangentibus Problemata sunt in potestate aliaqꝫue illis difficiliora ad quæ solvenda usus sum duplici methodo, unâ concinniori alterâ generaliori: utramqꝫue visum est impresentia literis transpositis consignare. ne propter alios idem obtinentes, institutum in aliquibus mutare cogerer. 5accd et 10effh11i4l3m9n6oqqr8s11t9v3x: 11ab3cdd10e et g10ill4m7n6o3p3q6rss11t8vx, 3ac et 4egh5i4l4m5n8oq4r35614vaadd et eeeeeiijmmnnooprrrsssssttuu.
Inversum hoc Problema de tangentibus quando tangens inter punctūum contactus est et axem figuræ est datæ longitudinis, non indiget his methodis. Est tamen curva illa mechanica, cujus determinatio pendet ab area Hyperbola. Ejusdem generis est etiam Problema quando pars axis inter tangentem et dordinatim applicatam datur longitudine. Sed hos casus vix numeraverim inter9 inter ludos naturæ. Nam si in triangulo rectangulo quod ab illa axis parte, et tangente ordinatim applicata constituitur, relatio duorūum quorumlibet laterum per æquationem quamlibet definitur, Problema solvi potest absqꝫue mea methodo generali sed ubi pars axis ad punctūum aliquod positione datūum terminata ingreditur vinculūum tunc res aliter se habere solet.
Communicatio Resolutionis affectarūum æquationum per methodum Leibnitij pergrata erit, juxta et explicatio quomodo se gerat ubi indices potestatum sunt fractiones ut in hac æquatione , aut surdæ quantitates ut in hac , ubi et non designant coefficientes ipsius sed indices potestatūum seu dignitatum ejus et indicem dignitatis binomij . Res credo mea methodo patet, aliter descripsissem. Sed meta tandem prolixæ huic Epistolæ ponenda est. Literæ sanè excellentissimi Leibnitij valde dignæ erant quibus fusius hocce responsūum darem. Et volui hac vice copiosior esse quia credidi amœniora tua negotia severiori hocce scribendi genere non debere a me crebro interpellari. D. Leibnitio et D. TschurhausioTschurnhausio me commendatūum habe.