Letter from Isaac Newton to Henry Oldenburg, dated 24 October 1676 Isaac Newton c. 5,793 words The Newton Project Falmer 2012 Newton Project, University of Sussex

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 24 October 1676 (c. 1700 scribal copy), in Latin with two Greek words, c. 5,857 words, 19 pp. on 10 ff. 19 pp. on 10 ff.

in Latin with two Greek words

 Draft letter from Newton to John Wallis concerning the publication of his 'Epistola posterior' [MS Add. 3977.7]Copy of a Letter from Newton to Henry Oldenburg, dated 24 October 1676 [MS Add. 3977.4] MS Add. 3977.1, ff. 1r-10r, Cambridge University Library, Cambridge, UK UKCambridgeCambridge University Library Portsmouth Collection MS Add. 3977.1, ff. 1r-10r </msItem> </msContents> </msDesc> </sourceDesc> </fileDesc> <profileDesc> <creation> <origDate when="1676-10-24">24 October 1676 (<hi rend="italic">c.</hi> 1700 scribal copy)</origDate> <origPlace>England</origPlace> </creation> <langUsage> <language ident="lat">Latin</language> <language ident="gre">with two Greek words</language> </langUsage> <handNotes> <handNote xml:id="unknown1">Unknown Hand</handNote> <handNote sameAs="#in">Holograph</handNote> <handNote xml:id="unknownCataloguer1">Unknown Cataloguer</handNote> </handNotes> </profileDesc> <encodingDesc> <classDecl><taxonomy><category><catDesc n="Mathematics">Mathematics</catDesc><category><catDesc n="Correspondence">Correspondence</catDesc></category></category></taxonomy></classDecl> </encodingDesc> <revisionDesc> <change when="2012-05-05"><name>Daniele Cassisa</name> started tagged transcription</change> <change when="2012-07-13" type="metadata">Catalogue information compiled from CUL Janus Catalogue by <name xml:id="mjh">Michael Hawkins</name></change> <change when="2012-09-14">Proofed by <name>Robert Iliffe</name></change> <change when="2012-09-18" status="released">Preliminary audit of XML by <name>Michael Hawkins</name></change> </revisionDesc> </teiHeader> <facsimile xml:base="http://cudl.lib.cam.ac.uk/newton/images/"> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00001.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00001.jpg" n="cover"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00002.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00002.jpg" n="cover-v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00003.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00003.jpg" n="1r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00004.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00004.jpg" n="1v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00005.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00005.jpg" n="2r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00006.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00006.jpg" n="2v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00007.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00007.jpg" n="3r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00008.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00008.jpg" n="3v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00009.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00009.jpg" n="4r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00010.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00010.jpg" n="4v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00011.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00011.jpg" n="5r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00012.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00012.jpg" n="5v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00013.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00013.jpg" n="6r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00014.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00014.jpg" n="6v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00015.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00015.jpg" n="7r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00016.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00016.jpg" n="7v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00017.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00017.jpg" n="8r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00018.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00018.jpg" n="8v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00019.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00019.jpg" n="9r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00020.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00020.jpg" n="9v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00021.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00021.jpg" n="10r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00022.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00022.jpg" n="10v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00023.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00023.jpg" n="ii-r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-001-00024.jpg" url="MS-ADD-03977-001-00024.jpg" n="ii-v"/> </facsimile> <text> <body> <div xml:lang="lat" type="letter"> <pb xml:id="p001r" n="1r" facs="#MS-ADD-03977-001-00003.jpg"/><fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">1</fw> <p xml:id="par1"><hi rend="large">vir Dignissime</hi></p> <p rend="indent0" xml:id="par2"><hi rend="large">Quanta</hi> cum voluptate legi Epistolas Clarissimor<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> viror<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> D. <lb xml:id="l1"/>Leibnitij & D. Tschurnhausij vix dixerim. Perelegans sane est Leibnitij methodus <lb xml:id="l2"/>perveniendi ad series convergentes, & satis ostendisset <add indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><unclear reason="hand" cert="medium">sola satis ostendit</unclear></add> ingenium authoris <lb xml:id="l3"/><add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</add>etsi nihil aliud scripsisset <add indicator="no" place="inline" hand="#in">]</add> sed <add indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><unclear reason="hand" cert="low">et</unclear></add>quæ alibi <choice><orig>ꝑ</orig><reg>per</reg></choice> Epistolam sparguntur suo nomine <lb xml:id="l4"/>dignissima, efficiunt etiam ut ab eo speremus maxima. Diversitas modor<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> quib<choice><orig>ꝫ</orig><reg>us</reg></choice> e<del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></del><add indicator="no" place="over">od</add>em tenditur, eò magis placuit quòd mihi <add indicator="no" place="supralinear" hand="#in">cum</add> tres methodi <choice><orig>ꝑ</orig><reg>per</reg></choice>veniendi <lb xml:id="l5"/>ad ejusmodi series <add indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><unclear reason="hand" cert="low">nobis</unclear></add> innotuerant, <add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</add> adeo ut novam nobis communicandam vix expectarem <add indicator="no" place="inline" hand="#in">]</add> <add indicator="no" place="interlinear" hand="#in"><del type="strikethrough"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/> illa</del> Leibnitiano illa ab <del type="cancelled"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></del> <unclear reason="hand" cert="low">isti<gap reason="hand" unit="chars" extent="2"/></unclear> omnibus <unclear reason="hand" cert="low">plane</unclear> diversa est</add> unam e me<del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del><add indicator="no" place="over">i</add>s prius descripsi jam addo aliam, illam scilicet <lb xml:id="l6"/>quâ prim<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> incidi in has series: nam incidi in eas antequam scirem <lb xml:id="l7"/>divisiones et extractiones radic<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> quib<choice><orig>ꝫ</orig><reg>us</reg></choice> jam utor et hujus <choice><sic>explicatone</sic><corr>explicatione</corr></choice> p<del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del><add indicator="no" place="over">e</add>ndendum est fundamentum Theorematis sub initio Epistolæ prioris <lb xml:id="l8"/>positi quod D. Leibnitius a me desiderat. <add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</add> sub initio studiorum meorum Mathematicorum ubi incideram in opera Celeberrimi Wallisij nostri, <lb xml:id="l9"/>considerando series quarum intercalatione ipse exhibet aream <lb xml:id="l10"/>Circuli et Hyperbolæ, utpote quod in serie curvar<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> quar<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> basis sive axis co<choice><orig><hi rend="overline">m</hi></orig><reg>mm</reg></choice>unis <lb xml:id="l11"/>sit <formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></formula>, et ordinatim applicatæ, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>0</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>2</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></math></tei:formula> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>4</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l12"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mspace width="1em"/><mtext>&c</mtext></math></tei:formula> . Si areæ alternar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quæ sunt <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="intentional" xml:id="l13"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l14"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mo lspace="0.5em" 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xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l15"/>quar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> prima <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> est circulus: ad has interpolandas notabam, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l16"/>quod in omnib<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> primus terminus esset <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula>, quodq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> secundi termini <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l17"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>0</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mspace width="1em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> essent in Arithmeticâ progressione, et proinde <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l18"/>quod duo primi termini serier<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> intercalandar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> deberent esse <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></math></tei:formula></tei:del> <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="marginRight"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula></tei:add> <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="marginRight"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula></tei:add> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l19"/><tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula></tei:del> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow><mspace width="1em"/><mtext>&c</mtext></math></tei:formula> ad reliquas intercalandas considerabam <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l20"/>quod denominatores <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>3</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>5</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>7</mn><mspace width="1em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> erant in Arithmeticâ progressione, adeoq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> solæ numerator<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> coefficientes numerales restabant investigandæ <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l21"/>hæ autem in <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled">alterius</tei:del> <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="yes" place="supralinear">alternis</tei:add> datis areis erant figuræ potestatum numeri <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>11</mn></math></tei:formula> <tei:hi xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="superscript">H</tei:hi><tei:anchor xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="n001r-01"/><tei:note xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" place="marginLeft" target="#n001r-01"><tei:hi rend="superscript">H</tei:hi> Intellige <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:unclear reason="hand" cert="medium">sic</tei:unclear> in <tei:unclear reason="hand" cert="medium">sequent</tei:unclear></tei:note>; <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l22"/>nempe harum <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>11</mn><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>0</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>11</mn><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>1</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>11</mn><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>2</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>11</mn><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>3</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>11</mn><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>4</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></math></tei:formula> hoc est primo <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" place="supralinear" indicator="yes"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula></tei:add>, deinde <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> terti<tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="over">o</tei:add> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l23"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>2</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. quarto <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>3</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>3</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. quinto <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>4</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>6</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>4</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. quærebam itaq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> quomodo <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l24"/>in his serieb<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice>, ex datis duab<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> primis figuris reliquæ derivari possent, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l25"/>et inveni quod posita secunda figura, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>m</mn></math></tei:formula>, reliquæ producerentur per <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l26"/>continuam multiplicationem terminorum hujus seriei <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>0</mn></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l27"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Exempli gratiâ sit <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow></math></tei:formula> et erit <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="catch" place="inline">hoc</tei:fw><tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p001v" n="1v" facs="#MS-ADD-03977-001-00004.jpg"/> hoc est <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn></math></tei:formula> tertius terminus, et <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l28"/>quartus, et <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>, hoc est, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula>, quintus <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> et, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow><mn>5</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>, hoc est, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math></tei:formula>, sextus, quo series in hoc casu terminatur. hanc regulam itaq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> applicui ad series interserendas et cùm pro circulo secundus <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l29"/>terminus esset <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></math></tei:formula>, posui <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>, et prodierunt <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l30"/>termini <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> sive <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="supralinear" hand="#in">id est</tei:add> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></mrow><mo>×</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> sive <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="supralinear" hand="#in">id est</tei:add> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac></mrow><mo>×</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> sive <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="supralinear" hand="#in">id est</tei:add> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>128</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l31"/>& sic in infinitum. unde cognovi desideratam aream segmenti circularis <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l32"/>esse <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mn>7</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow><mn>9</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. et eadem ratione <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l33"/>prodierunt etiam interserendæ areæ reliquar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> curvar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, ut et area <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l34"/>Hyperbolæ et cæterar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> alternar<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> in hac serie <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>0</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l35"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>2</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="yes" place="supralinear" hand="#in">&c</tei:add> et eadem est ratio intercalandi alias series idq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l36"/><tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> intervalla duorum pluriumve terminor<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> simul deficienti<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>. hic <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l37"/>fuit primus meus ingressus in has meditationes: qui memoria sanè <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l38"/>exciderat nisi oculos in adversaria quædam ante paucas septimanas <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l39"/>retulissem. <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="over">U</tei:add>bi vero hæc didiceram mox considerabam terminos <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l40"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>0</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>2</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>4</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>6</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></math></tei:formula>. hoc est, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l41"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>: <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="yes" place="supralinear" hand="#in"><tei:del type="cancelled">hoc est <tei:unclear reason="del" cert="low"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c.</mtext></mrow></math></tei:formula></tei:unclear></tei:del></tei:add> eodem modo interpolari posse ac areas ab ipsis gene<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l42"/>ratas: et ad hoc nihil aliud requiri quam omissionem denominator<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l43"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>3</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>5</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>7</mn><mspace width="0.5em"/><mtext>&c.</mtext></mrow></math></tei:formula> in terminis exprimentib<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> areas; hoc est coefficie<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l44"/>ntes terminorum quantitatis intercalandæ <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula>, vel <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l45"/> vel generaliter <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>m</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, prodire per continuam multiplica<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig><tei:hi rend="overline">co</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tio</tei:reg></tei:choice>nem terminor<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> hujus seriei <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l46"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, Adeoq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> e.g. <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> valeret <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>2</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>. &c</mtext></mrow></math></tei:formula> Et <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l47"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> valeret <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> Et <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> valeret <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l48"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>81</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, Sic itaq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> innotuit mihi generalis reductio radicalium in <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l49"/>infinitas series per regulam illam quam posui initio epistolæ prioris, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l50"/>antequam scirem extractionem radic<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>. sed hâc cognitâ non potuit <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l51"/>altera me, dia latere nam ut probarem has operationes multi<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l52"/>plicavi <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>2</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> in se, & fact<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> est <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l53"/>terminis reliquis in infinitum evanescentib<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> per continuationem seriei. Atq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ita <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>81</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> bis in se ductum produxit <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l54"/>etiam <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. Quod ut certa fuit harum conclusionum demonstratio <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l55"/>sic me manu duxit ad tentandum è converso, nam <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><tei:unclear reason="hand" cert="low">utnam</tei:unclear></tei:add> hæ series quas sic <tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p002r" n="2r" facs="#MS-ADD-03977-001-00005.jpg"/><tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">2</tei:fw> constitit esse radices quantitatis <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> non possent inde <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l56"/>extrahi more Arithmetico, et res benè successit. Operationis <tei:supplied xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" reason="blot" cert="high">for</tei:supplied>ma <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l57"/>in quadraticis radicibus hæc erat <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled">his perspectis neglexi penitus</tei:del> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnalign="left" columnspacing="0"> <mtr><mtd><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mspace width="1em"/><mo>(</mo><mphantom><mfrac><mn>1</mn><mn>1</mn></mfrac></mphantom></mtd><mtd><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"> <mtr><mtd><munder><mrow><mn>1</mn><mphantom><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mphantom></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></munder></mtd><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>0</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd><mtd/></mtr> <mtr><mtd><munder><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></munder></mtd><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mphantom><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mtd><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mphantom><munder><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></munder></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>.</mtext></mtd><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mphantom><mrow><mphantom><mo>−</mo></mphantom><mrow><mphantom><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mphantom><mo>⁢</mo><msup><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mphantom><mn>4</mn></mphantom></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>8</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>,</mtext></mrow></mrow></mtd><mtd/></mtr> </mtable> </mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula></p> <tei:addSpan xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" spanTo="#addend002r-01" place="marginLeft" startDescription="the left margin" endDescription="f 2r" hand="#in" resp="#mjh"/><tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par3">Unde et simul patefactus est ad resolutionem affectarum æquationum. Nam <tei:unclear reason="hand" cert="low">faceo</tei:unclear> Divisiones quarum <tei:add indicator="yes" place="supralinear">utiq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice></tei:add> specimen <tei:unclear reason="hand" cert="medium">præclarum</tei:unclear> N. Mercator sub idem tempus excogitavit & mox <tei:add indicator="yes" place="supralinear">cum laude omnium</tei:add> ædidit.</tei:p><tei:anchor xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="addend002r-01"/> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par4"><tei:add indicator="yes" place="supralinear">His perspectis neglexi penitus</tei:add> interpolationem serier<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l58"/>et has operationes tanqu<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">a</tei:hi></tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l59"/>fundamenta magis genuina <tei:lb xml:id="l60"/>solummodo adhibui nec latuit <tei:lb xml:id="l61"/>reductio per divisionem res <tei:lb xml:id="l62"/>utiq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> facilior Sed et resolutionem affectarum ǽquation<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> mox <tei:lb xml:id="l63"/>aggressus sum <tei:del type="strikethrough">eamque obtinui. Unde</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in">qua <tei:del type="strikethrough">simul</tei:del></tei:add> simul ordinatim applicatæ <tei:add indicator="yes" place="supralinear" hand="#in">vicissi<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">m</tei:add></tei:add> <tei:del type="strikethrough">segmenta</tei:del> <tei:lb xml:id="l64"/><tei:del type="strikethrough">axium aliæq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> quælibet rectæ</tei:del> ex areis curvarum vel arcub<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> datis innotuere. nam regressio ad hæc nihil indigeat præter resolu<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">co</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tio</tei:reg></tei:choice>nem <tei:lb xml:id="l65"/>æquation<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> areæ vel arcus ex datis rectis da<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">b</tei:add>antur: eo tempore <tei:lb xml:id="l66"/>pestis ingruens coegit me <tei:del type="cancelled">h<tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">hinc</tei:add> fugere et alia cogitare, addidi tamen <tei:lb xml:id="l67"/>subinde condituram quandam Logarithmorum ex areâ hyperbolæ, <tei:lb xml:id="l68"/>quam hic subjungo Sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>dFD</mn></math></tei:formula> Hyperbola cujus centrum <tei:lb xml:id="l69"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula>, vertex <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>F</mn></math></tei:formula>, & quadrat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00196-01.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l70"/>interjectum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CAFE</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> cape <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ab</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l71"/>hinc inde <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> sive <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,1</mn></math></tei:formula>, et <tei:lb xml:id="l72"/>erectis perpendiculis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BD</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>bd</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l73"/>ad Hyperbolam terminatis, erit semi<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l74"/>su<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a spatiorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Ad</mn><mo>=</mo><mrow><mn>0,1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>0.001</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>0.00001</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>0.0000001</mn><mn>7</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> et semidifferentia <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>0,01</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>0.0001</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>0.000001</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>0.00000001</mn><mn>8</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l75"/> quaæ reductæ <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over"/>ic se habent <tei:lb type="intentional" xml:id="l76"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable> <mtr><mtd> <mtable rowlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0.100000000000</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.100</mn></mphantom><mn>333333333</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.10000</mn></mphantom><mn>2000000</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.100000</mn></mphantom><mn>142857</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.10000000</mn></mphantom><mn>1111</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.10000000000</mn></mphantom><mn>9</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0.100335477310</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mphantom><mn>00000</mn></mphantom></mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0.0050000000000</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.1000</mn></mphantom><mn>250000000</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.100000</mn></mphantom><mn>1666666</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.10000000</mn></mphantom><mn>12500</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.1000000000</mn></mphantom><mn>100</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0.100000000000</mn></mphantom><mn>1</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0.0050251679267</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> </mtable> </mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l77"/>hor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> su<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.1053605156577</mn></math></tei:formula> est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ad</mn></math></tei:formula> — et differentia <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.0953101798043</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l78"/>est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula>. et eadem ratione positis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ab</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l79"/>hinc inde <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>0,2</mn></mrow></math></tei:formula>, obtinebitur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Ad</mn><mo>=</mo><mn>0.2231435513142</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AD</mn><mo>=</mo></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l80"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mn>0.1823215567939</mn></mrow></math></tei:formula> habitis sic Logarithmis Hyperbolicis numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l81"/>quatuor decimali<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.8</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,9</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1,1</mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1,2</mn></math></tei:formula>. cum sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>1.2</mn><mn>0.8</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mn>1,2</mn><mn>0,9</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,8</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.9</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l82"/>sint minores unitate, adde Logarithmos illorum ad duplum Logarithmi <tei:pb xml:id="p002v" n="2v" facs="#MS-ADD-03977-001-00006.jpg"/> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1,</mn><munder accentunder="true"><mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo><mspace width="0.2em"/><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></munder></math></tei:formula>, et habebis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,6931471805597</mn></math></tei:formula> Logarithm<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Hyperbolic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> numeri <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></tei:formula>. cujus triplo adde log <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,</mn><munder accentunder="true"><mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo><mspace width="0.2em"/><mn>8</mn></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></munder></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l83"/>(siquidem sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></mrow><mn>0,8</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>10</mn></mrow></math></tei:formula>) et habebis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2,3025850929933</mn></math></tei:formula> logarithm<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> numeri <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn></math></tei:formula>. indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> per additionem simul <tei:lb xml:id="l84"/>prodeunt Logarithmi numerorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>9</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>11</mn></math></tei:formula>; adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> omni<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> primor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l85"/>horum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>5</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>5</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>11</mn></mrow></math></tei:formula> Logarithmi in promptu sunt. Insuper ex solâ <tei:lb xml:id="l86"/>depressione numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> superioris computi <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> loca decimalia et additione <tei:lb xml:id="l87"/>obtinentur Logarithmi decimalium <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.98</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0 99</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.01</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.02</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l88"/>ut et hor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.998</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.999</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.001</mn></math></tei:formula> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.002</mn></math></tei:formula>, et inde <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> additio<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l89"/>nem et substractionem prodeunt Logarithmi primorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>13</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>17</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>37</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l90"/><tei:unclear reason="hand" cert="low"><tei:choice><tei:sic>xc</tei:sic><tei:corr>&c</tei:corr></tei:choice></tei:unclear> qui una c<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> superiorib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> per Log. numeri <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn></math></tei:formula> divisi evadunt veri <tei:lb xml:id="l91"/>Logarithmi in Tabulam inserendi sed hoc postea propiùs obtinui, <tei:lb xml:id="l92"/>pudet dicere ad quot figurar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> loca hæ computationes otiosus <tei:lb xml:id="l93"/>eo tempore perduxi, nam tunc sanè nimis delectabar inventis <tei:lb xml:id="l94"/>hisce, sed ubi prodiit ingeniosa illa Nicolai Mercatoris <tei:choice><tei:sic>Logarithmoteh<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del><tei:lb type="hyphenated" xml:id="l95"/>cnia</tei:sic><tei:corr>Logarithmote<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l96"/>chnia</tei:corr></tei:choice> (quem suppono sua primum invenisse) cœpi ea minus curare <tei:lb xml:id="l97"/>suspicatus, vel eum nosse extractionem radicum æquam ac division<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">e</tei:hi></tei:orig><tei:reg>em</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l98"/>fraction<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, vel alios saltem divisione patefacta inventuros <tei:lb xml:id="l99"/>reliqua, priusquam ego ætatis essem maturæ ad scribendum, eo ipso tamen tempore quo liber iste prodiit co<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>unicatum est per <tei:lb xml:id="l100"/>amicum (D. Barrow tunc matheseos Professore) ad D. Collinsio <tei:lb xml:id="l101"/>compendi<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quoddam methodi harum serierum in quo significaveram <tei:lb xml:id="l102"/>areas et Longitudines curvarum omnium et solidorum superficies <tei:lb xml:id="l103"/>et contenta, ex datis rectis vice versâ ex his datis rectas determinari <tei:lb xml:id="l104"/>posse et methodum ibi <tei:hi rend="underline">judicatâ</tei:hi> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">indicatâ</tei:add> illustraveram diversis seriebus <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> Suborta deinde inter nos epistolari consuetudine D. Collinsius <tei:lb xml:id="l105"/>vir in rem mathematicam promovendam natus non destitit <tei:lb xml:id="l106"/>suggerere ut hæc publici juris facerem & ante annos quinq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> cum <tei:lb xml:id="l107"/>suadentib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> amicis, consilium ceperam edendi Tractat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> de refractione Lucis et coloribus quem tunc in promptu habe<tei:del type="over">d</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">b</tei:add>am; cœpi de his serieb<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l108"/>iter<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> cogitare & tractat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> de iis etiam conscripsi ut utrumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> simul <tei:lb xml:id="l109"/>ederem, sed ex occasione <tei:choice><tei:sic>Telescoptii</tei:sic><tei:corr>Telescopii</tei:corr></tei:choice> catadioptrici epistolâ ad te missâ <tei:lb xml:id="l110"/>quâ breviter explicui conceptus meos de naturâ lucis inopinat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:fw type="catch" place="bottomRight">quiddam</tei:fw><tei:pb xml:id="p003r" n="3r" facs="#MS-ADD-03977-001-00007.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">3</tei:fw> quiddam effecit ut mei interesse sentirem ad te festinanter scribere de impressione <tei:lb xml:id="l111"/>istius Epistolæ et subortæ statim <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> diversor<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">um</tei:add> <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">ep</tei:add>istolas objectionibus aliisq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l112"/>refertas, crebræ interpellationes me prorsus a consilio deterruerunt et <tei:lb xml:id="l113"/>effecerunt ut me arguerem imprudentiæ quod umbram captando ea<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l114"/>tenus <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>dideram quietem meam, rem prorsus substantialem. <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> Sub id tempus Gregorius ex unicâ tantâ serie quadam è meis quam <tei:lb xml:id="l115"/>D. Collinsius ad e<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> transmiserat, post multam considera<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">co</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tio</tei:reg></tei:choice>nem (ut <tei:lb xml:id="l116"/>ad Collinsium rescripsit) <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>venit ad eandem methodum, & tractat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l117"/>de eâ reliquit quem speramus ab amicis ejus edit<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> iri. <tei:choice><tei:sic>Siquid<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice></tei:sic><tei:corr>Siquidem</tei:corr></tei:choice> <tei:lb xml:id="l118"/>pro ingenio quo pollebat non potuit non <tei:del type="strikethrough">adjiciere</tei:del> adjicere de suo <tei:lb xml:id="l119"/>multa nova quæ rei mathematicæ interest ut non pereant. ipse <tei:lb xml:id="l120"/>autem tractatum meum non penitus absolveram ubi destiti à <tei:lb xml:id="l121"/>proposito, n<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>q<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> in hunc usq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> diem mens rediit ad reliqua adjicienda <tei:lb xml:id="l122"/>Deerat quippe pars ea qua decreveram explicare modum solvendi <tei:lb xml:id="l123"/>Problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt licet aliquid de <tei:lb xml:id="l124"/>fundamento ejus posuissem.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent15" xml:id="par5">Cæterum in tractatu isto series infinitæ non magnam <tei:lb xml:id="l125"/>partem obtinebant alia haud pauca <tei:del type="cancelled">congressi</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">congessi</tei:add> int<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice> quæ erat methodus <tei:lb xml:id="l126"/>ducendi tangentes quam Solertissimus Slusius ante annos duos tresve <tei:lb xml:id="l127"/>tibi communicavit de quâ tu (suggerente Collinsio) rescripsisti eandem <tei:lb xml:id="l128"/>mihi etiam innotuisse diversâ ratione in e<tei:choice><tei:orig>ā</tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice> incidimus. nam res <tei:lb xml:id="l129"/>non eget demonstratione prout ego operor. habito meo fundamento <tei:lb xml:id="l130"/>nemo potuit tangentes aliter ducere nisi volens de recta viâ deviaret. Quinetiam non hic hæretur ad æquationes radicalib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l131"/>unam vel utramq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> indefinitam quantitatem involventib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l132"/>utcunque affectas, sed absq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> aliquâ tali<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> æquation<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> reductione (<tei:lb xml:id="l133"/>quæ opus plerumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> redderet immens<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>) tangens confestim ducitur: <tei:lb xml:id="l134"/>et eodem modo se res habet in quæstionib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> de maximis et minimis <tei:lb xml:id="l135"/>alijsq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> quibusdam de quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> jam non loquor fundamentum har<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l136"/>o<tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>ationum satis obvium quidam: quoniam jam non <tei:del type="strikethrough">optimum</tei:del> possum <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">ex</tei:add>plicationem <tei:lb xml:id="l137"/>ejus prosequi sic potius celavi 6accd et 13eff.713l9n4o4orr4s8t1<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del>12<tei:lb xml:id="l138"/>vx hoc fundamento conatus Sum etiam reddere speculationes de <tei:lb xml:id="l139"/>Quadraturâ curvar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> simpliciores <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>erveniq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ad Theoremata quædam <tei:lb xml:id="l140"/>generalia. et ut candide agam ecce prim<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Theorema. <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> Ad curv<tei:choice><tei:orig>ā</tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l141"/>aliquam sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>θ</mn></msup></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mn>λ</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> ordinatim applicata termino diametri <tei:pb xml:id="p003v" n="3v" facs="#MS-ADD-03977-001-00008.jpg"/> Seu basis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula> normaliter insistens ubi litteræ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>f</mn></math></tei:formula> denotant quaslibet quantitat<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>es</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l142"/>datas, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>θ</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>η</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>λ</mn></math></tei:formula> indices potestatum sive dignitat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quantitat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> affixæ sunt. <tei:lb xml:id="l143"/>fac <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>θ</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>η</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>λ</mn><mo>+</mo><mn>r</mn></mrow><mo>=</mo><mn>s</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>d</mn><mrow><mn>η</mn><mo>⁢</mo><mn>f</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mn>λ</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>Q</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>η</mn></mrow><mo>=</mo><mn>π</mn></mrow></math></tei:formula>, et area curvæ <tei:lb xml:id="l144"/>erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mrow><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>π</mn></msup><mn>s</mn></mfrac><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>r</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>s</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>r</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>s</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>r</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>s</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>r</mn><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>s</mn><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>D</mn></mrow><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l145"/>literis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>A</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>B</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>C</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>d</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> denotantib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> terminos proxime antecedentes nempe <tei:lb xml:id="l146"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> termin<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>π</mn></msup><mn>s</mn></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula> termin<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>r</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>s</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> &c hæc series ubi <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> fractio <tei:lb xml:id="l147"/>est vel numerus negativus continuatur in infinitum ubi vero <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l148"/>integer est et affirmativus continuatur ad tot terminos tant<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quot <tei:lb xml:id="l149"/>sunt unitates in eodem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> et sic exhibet Geometricam Quadraturam <tei:lb xml:id="l150"/>curvæ rem exemplis illustro.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par6">Exemp. 1. proponatur Parabola cujus ordinatim applicata sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt/><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. hæc in formam regulæ reducta fit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>z</mn><mn>0</mn></msup></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>0</mn><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>1</mn></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="90%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>. Quare est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l151"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>θ</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>λ</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula></tei:add> adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>s</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>a</mn></mfrac></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>π</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula> et area <tei:lb xml:id="l152"/>quæsita <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>a</mn></mfrac></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>, hoc est, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:add>. et sic in genere si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></math></tei:formula> ponatur <tei:lb xml:id="l153"/>ordinatim applicata, prodibit area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>c</mn><mrow><mn>η</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>η</mn><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par7">Exemplum Secundum Sit ordinatim applicata <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l154"/>hæc <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> reductionem fit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, vel etiam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="90%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l155"/>in priori casu est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>=</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>θ</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>λ</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. Adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l156"/><tei:add indicator="no" place="marginLeft"><tei:unclear reason="hand" cert="low">potius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mo>.</mo><mo>±</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula></tei:unclear> Erratum <tei:unclear reason="hand" cert="low">propter simplum</tei:unclear> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> cum sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula></tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>s</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> . <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>π</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. et area curvæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l157"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>Q</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>0</mn></msup><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula> id est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>. I<tei:add indicator="yes" place="supralinear">n</tei:add> secundo autem casu est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>=</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>θ</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l158"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>λ</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>s</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> id est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="90%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:add indicator="no" place="marginRight"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:add> <tei:lb xml:id="l159"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>π</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. et Area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>Q</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>0</mn></msup><mn>1</mn></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> area <tei:lb xml:id="l160"/>his casib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> diversimodè exhibetur Quatenus computatur a diversis <tei:lb xml:id="l161"/>finib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice>, Quorum assignatio <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> hos inventos valores arearum facilis est.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par8">Exemp: 3. Sit ordinatim applicata <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mfrac><mo>⁢</mo><msqrt><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></msqrt><mo>+</mo><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l162"/>hoc est <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> reductionem ad debitam formam vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>9</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>b</mn><mo>+</mo><mn>z</mn><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:add indicator="no" place="inline marginRight">vel</tei:add> <tei:lb xml:id="l163"/><tei:add indicator="no" place="inline marginLeft"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="70%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:add> et erit in priori casu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>=</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>θ</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>9</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mn>b</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>λ</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. 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Sit deniq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> Ordinatim applicata <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><msqrt><mo>⑤</mo><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>3</mn> <mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l169"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> hæc ad formam regulæ reducta fit <tei:formula><math 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>π</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> et Area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>Q</mn><mo>×</mo><mover><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mn>7</mn></mfrac><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mrow></mrow></math></tei:formula>, id est <tei:lb xml:id="l172"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mrow><mn>30</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>75</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow><mrow><mn>28</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>c</mn><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p004r" n="4r" facs="#MS-ADD-03977-001-00009.jpg"/><tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">4</tei:fw> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par10"><tei:del type="blockStrikethrough"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mrow><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow> </mfrac><mo>⁢</mo><msqrt><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>π</mn><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l173"/>Et area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>Q</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mrow><mrow><mfrac><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mn>3</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mrow><mn>2</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac><mo>×</mo><mrow><mfrac><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mrow><mn>3</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mspace width="0.3em"/><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfrac><mo>×</mo><mrow><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>0</mn></msup><mrow><mrow><mn>3</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mspace width="0.3em"/><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mspace width="0.3em"/><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l174"/>hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>30</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>16</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow><mrow><mn>105</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mrow><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msqrt><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l175"/>. <tei:lb xml:id="l176"/>Exemp: 4. Sit deniq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> Ordinatim applicata <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mo>⑤</mo><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l177"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> hæc ad formam regulæ reducta sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>c</mn><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l178"/>indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>=</mo><mn>b</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>θ</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>a</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>λ</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula><tei:hi rend="superscript">...</tei:hi><tei:anchor xml:id="n004r-01"/><tei:note place="marginLeft" target="#n004r-01"><tei:hi rend="superscript">...</tei:hi><tei:unclear reason="hand" cert="low">in</tei:unclear> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></math></tei:formula>?</tei:note>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>s</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>7</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l179"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>c</mn><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>π</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l180"/>et area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>×</mo><mover><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mn>7</mn></mfrac><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mrow></math></tei:formula>, id est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mrow><mn>30</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>75</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow><mrow><mn>28</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l181"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow><mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mn>c</mn><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula></tei:del></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par11">Quod si res non successisset in hoc casu existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> vel fractione <tei:lb xml:id="l182"/>vel numero negativo, tunc tentassem alterum casum purgando <tei:lb xml:id="l183"/>terminum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> in ordinatim applicatâ a coefficiente <tei:lb xml:id="l184"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>z</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></math></tei:formula> hoc est reducendo ordinatim applicatam ad hanc formam <tei:lb xml:id="l185"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>15</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><mo>×</mo><mrow><msup><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mo>−</mo><mn>a</mn><mo>+</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow><mo lspace="0.3em">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true">‾</mo></mover></mfenced><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> et si <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> in neutro casu <tei:lb xml:id="l186"/>fuisset numerus integer et affirmativus conclusiss<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">em</tei:add> curvam <tei:lb xml:id="l187"/>ex earum numero esse quæ non possunt Geometricè quadrari nam <tei:lb xml:id="l188"/>quantum animadverto, hæc regula <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>xhibet in <tei:del type="strikethrough">infinitis</tei:del> <tei:add indicator="no" place="marginRight" hand="#in">finitis</tei:add> æquationibus <tei:lb xml:id="l189"/>areas omni<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Geometric<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">a</tei:hi></tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice> quadratur<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">a</tei:hi></tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice> admittentium Curvarum <tei:lb xml:id="l190"/>quarum ordinatim applicatæ constant ex potestatib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> radicibus vel <tei:lb xml:id="l191"/>quibuslibet <tei:del type="strikethrough">qu<tei:del type="over">anti</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">digni</tei:add>tatibus</tei:del> dignitatibus binomij cujuscunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> licèt non <tei:lb xml:id="l192"/>directe ubi index dignitatis est numerus integer: <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> At quando hujusmodi <tei:lb xml:id="l193"/>curva aliqua non potest Geometricè quadrari sunt ad manus alia <tei:lb xml:id="l194"/>Theoremata pro comparatione ejus cum conicis sectionibus vel <tei:lb xml:id="l195"/>saltem cum aliis figuris simplicissimis quibusc<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> potest comparari ad quo<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">d</tei:add> <tei:lb xml:id="l196"/>sufficit <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">etiam</tei:add> hoc ips<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">u</tei:add>nic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> jam descriptum Theorema si debite <tei:lb xml:id="l197"/>continuatur. pro Trjnomijs etiam et alijs quibusdam, regulas <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><tei:unclear reason="hand" cert="low">nonullas</tei:unclear></tei:add> quasdem continuari sed in simpliciorib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> vulgoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> celebratis figuris vix aliquid <tei:lb xml:id="l198"/>relatu dign<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> reperi quod evasit aliorum conatus nisi forte longitudo <tei:lb xml:id="l199"/>Cissoidis ejusmodi censeatur. E<tei:del type="over">a</tei:del><tei:add indicator="no" place="over"><tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="superscript">a</tei:hi></tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice></tei:add> sic construitur <tei:add indicator="no" place="supralinear">determin<tei:del type="over">a</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">o</tei:add><tei:del type="cancelled">tur</tei:del></tei:add>. Sit <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VD</mn></math></tei:formula>, Cissois, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l200"/>diameter circuli ad quem aptatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>V</mn></math></tei:formula>, vertex, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AF</mn></math></tei:formula> Asymptoton ejus, ac <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DB</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l201"/>perpendiculare quodvis ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula> demissum cum semiaxe <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AF</mn><mo>=</mo><mn>AV</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l202"/>et semiparametro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AG</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AV</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> describatur Hy<tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>bola <tei:lb xml:id="l203"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>FkK</mn></math></tei:formula>, et inter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula> sumpta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AC</mn></math></tei:formula>: media <tei:lb xml:id="l204"/>proportionali erigantur ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>V</mn></math></tei:formula> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>pendicula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ck</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VK</mn></math></tei:formula> <tei:pb xml:id="p004v" n="4v" facs="#MS-ADD-03977-001-00010.jpg"/> hyperbolæ occurrentia in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>k</mn></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>K</mn></math></tei:formula> et <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00196-02.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l205"/>agantur rectæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KT</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>kt</mn></math></tei:formula> tangentes <tei:lb xml:id="l206"/>hyperbolam in eisdem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>K</mn></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>k</mn></math></tei:formula> et <tei:lb xml:id="l207"/>occurrentes <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula>, in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>T</mn></math></tei:formula>, ac, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>t</mn></math></tei:formula>, et ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l208"/>constituatur rectangulum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AVnm</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l209"/>æquale spatio <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>TK</mn></math></tei:formula>,<tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>kt</mn></math></tei:formula> et cissoidis <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VD</mn></math></tei:formula></tei:add> <tei:lb xml:id="l210"/>longitudo erit sextupla altitudinis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Vn</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l211"/>demonstratio perbrevis est <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> sed ad infinitas series <tei:del type="cancelled">reddeo</tei:del> redeo.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par12">Quamvis multa restent investiganda circa modos approximandi, <tei:lb xml:id="l212"/>& diversa serier<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> genera quæ possunt ad id conducere, tamen vix cum D. <tei:lb xml:id="l213"/>Tschurnhausio speraverim dari posse aut simpliciora aut magis <tei:lb xml:id="l214"/>generalia fundamenta reducendi quantitates ad hoc genus serier<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l215"/>de quo agimus quam sunt divisiones et extractiones radic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quibus <tei:lb xml:id="l216"/>Leibnitius et ego utimur saltem <tei:del type="cancelled">ut</tei:del> non generaliora quia pro Quadraturâ <tei:lb xml:id="l217"/>et <tei:foreign xml:lang="gre">ενθυνεσ</tei:foreign> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:foreign xml:lang="gre">ὲνθυνσ</tei:foreign></tei:add> curvarum ac similib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> nullæ possunt dari series ex hisce <tei:lb xml:id="l218"/>simplicibus terminis Algebraicis (unicam tant<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> indefinitam quantitat<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>em</tei:reg></tei:choice> involventib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice>) constantes quas non licet hac methodo colligere nam <tei:lb xml:id="l219"/>non possunt esse plures hujusmodi convergentes series ad idem deter<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l220"/>minand<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quam sunt indefinitæ quantitates ex quarum potestatibus <tei:lb xml:id="l221"/>series conflentur et ego quidem ex adhibitâ quacunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> indefinitâ <tei:choice><tei:sic>quanti<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l222"/>itate</tei:sic><tei:corr>quanti<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l223"/>tate</tei:corr></tei:choice> seriem novi colligere et idem credo Leibnitio in potestate esse, nam <tei:lb xml:id="l224"/>quamvis meâ methodo liberum sit eligere pro conflandâ serie quantitat<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>em</tei:reg></tei:choice> <tei:hi rend="doubleUnderline">quandam</tei:hi> <tei:add indicator="no" place="marginRight">quamlibet</tei:add> indefinitam a quâ quæsit<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> dependeat, et method<tei:hi rend="underline">um</tei:hi> <tei:add indicator="no" place="marginRight">us</tei:add> quam <tei:lb xml:id="l225"/>ipse nobis communicavit determinata videatur ad electionem tali<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l226"/>indefinitar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quantitat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> opus comodè deduci potest ad fractiones <tei:lb xml:id="l227"/>quæ <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> solam divisionem evadant series infinitæ, tamen aliæ quæcunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l228"/>indefinitæ quantitates pro seriebus conflandis adhiberi possunt per <tei:lb xml:id="l229"/>methodum istam quâ affectæ æquationes resolvuntur in proprijs terminis, <tei:lb xml:id="l230"/>hoc est conficiendo seriem ex solis terminis quæ æquatio involvit, præterea <tei:lb xml:id="l231"/>non video cur dicitur his divisionib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> et extractionibus problemata resolvi <tei:lb xml:id="l232"/>per accidens siquidem hæ operationes eodem modo se habeant ad hoc <tei:lb xml:id="l233"/>genus Algebræ, ac vulgares operationes Arithmeticæ ad Algebra<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">m</tei:add> <tei:lb xml:id="l234"/>vulgo notam <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> quod autem ad simplicitatem methodi attinet nolim fractiones <tei:pb xml:id="p005r" n="5r" facs="#MS-ADD-03977-001-00011.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">5</tei:fw> et radicales absq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> præviâ reductione semper resolvi in series infinitas. <tei:lb xml:id="l235"/>Sed ubi perplexæ quantitates occurrunt tentandæ sunt omnimodæ <tei:lb xml:id="l236"/>reductiones, sive id fiat, augendo, minuendo, multiplicando, vel dividendo <tei:lb xml:id="l237"/>quantitates indefinitas sive per methodum transmutatoriam Leibnitii <tei:lb xml:id="l238"/>aut alio quocunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> modo qui occurrat, et tunc resolutio in series <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> divisionem <tei:lb xml:id="l239"/>et extractionem opportune adhibebitur <tei:add indicator="yes" place="supralinear">hic</tei:add> <tei:del type="cancelled">hic</tei:del> autem præcipuè intendum est, <tei:lb xml:id="l240"/>ut denominatores fraction<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> & quantitates in vinculo radic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> reducantur <tei:lb xml:id="l241"/>ad quam paucissimas & minime compositas, et ad tales etiam quæ in seri<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">e</tei:hi></tei:orig><tei:reg>em</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l242"/>abeant citissimè convergentem, et si radices neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> convertantur in fraction<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del>es <tei:lb xml:id="l243"/>neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> deprimantur nam <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> regulam initio alterius epist<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">o</tei:add>læ, extractio altis<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l244"/>simar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> radic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> æque simplex et facilis est ac extractio radicis Quadraticæ <tei:lb xml:id="l245"/>vel divisio, et series quæ <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> divisionem eliciuntur solent minimè omni<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l246"/>convergere, <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> hactenus de serieb<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> unicam indefinitam quantitatem <tei:lb xml:id="l247"/>involventib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> locutus sum sed possunt etiam perspecta methodo series <tei:lb xml:id="l248"/>ex duabus vel pluribus assignatis indefinitis quantitatibus pro arbitrio <tei:lb xml:id="l249"/>confici <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> Quinetiam beneficio ejusmodi methodi possunt series ad omnes <tei:lb xml:id="l250"/>figuras efformari Gregorianis ad circul<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> et hyperbolam editis affines <tei:lb xml:id="l251"/>hoc est quar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> ultim<tei:del type="over">o</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">u</tei:add>s termin<tei:del type="over">o</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">u</tei:add>s exhibebit quæsitam aream <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> sed calcul<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over"><tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice></tei:add> <tei:lb xml:id="l252"/>hic onerosiorem nolim lubens subire. <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> possunt deniq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> series ex terminis <tei:lb xml:id="l253"/>compositis eadem methodo constitui Quemadmodum si sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mn>a</mn></mfrac></mrow></msqrt></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l254"/>ordinatim applicata curvæ alicujus pone <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l255"/>et ex binomio <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mn>a</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> extractâ radice prodibit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>z</mn><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> &c. <tei:lb xml:id="l256"/>cujus seriei omnes termini quadrari possunt per Theorema jam ante <tei:lb xml:id="l257"/>descript<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, sed hæc minoris facio quod ubi series simplices non sunt <tei:lb xml:id="l258"/>satis tractabiles aliam nondum co<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>unicatam methodum habeo qua <tei:lb xml:id="l259"/>pro lubitu acceditur ad quæsit<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>. <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">E</tei:add> jus fundamentum est co<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>oda <tei:lb xml:id="l260"/>expedita et general<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">i</tei:add>s solutio hujus problematis <tei:hi rend="underline"><tei:del type="over">c</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">C</tei:add>urvam Geometric<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">a</tei:hi></tei:orig><tei:reg>m</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l261"/>describere quæ per data quotcunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> puncta transibit</tei:hi>. docuit Euclides <tei:lb xml:id="l262"/>descriptionem Circuli per tria data puncta potest etiam <tei:choice><tei:sic>conn<tei:add indicator="yes" place="supralinear">i</tei:add>ca</tei:sic><tei:corr>con<tei:add indicator="yes" place="supralinear">i</tei:add>ca</tei:corr></tei:choice> <tei:lb xml:id="l263"/>Sectio describi per quinque data puncta. et curva tri<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> dimension<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> per octo <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in">septem</tei:add> data puncta hæc statim<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> Geometricè fiunt nullo calculo int<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>posito, <tei:lb xml:id="l264"/>sed superius problema est alterius generis, et quamvis primâ <tei:lb xml:id="l265"/>fronte intractabile videatur tamen res aliter se habet est <tei:lb xml:id="l266"/>enim ferè ex pulcherrimis quæ solvere desiderem <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> Seriei à D. <tei:lb xml:id="l267"/>Leibnitio pro quadraturâ Curvar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Section<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> proposita affinia <tei:lb xml:id="l268"/>sunt Theoremata quædam quæ pro comparatione curvar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> cum <tei:lb xml:id="l269"/>Conicis sectionib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> in catalogum dudum retuli poss<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> utiq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> cum conicis <tei:lb xml:id="l270"/>sectionib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> Geometricè comparare curvas omnes quar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> ordinatim <tei:pb xml:id="p005v" n="5v" facs="#MS-ADD-03977-001-00012.jpg"/> <tei:choice><tei:sic>applicatatæ</tei:sic><tei:corr>applicatæ</tei:corr></tei:choice> sunt <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>η</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula> vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula> &c aut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l271"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula> vel <tei:formula><math 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xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>η</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><msqrt><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mfrac></math></tei:formula> vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><msqrt><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mfrac></math></tei:formula> &c aut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>η</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo>×</mo><msqrt><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>g</mn><mo>+</mo><mrow><mn>h</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula> aut <tei:lb xml:id="l273"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo>×</mo><msqrt><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>g</mn><mo>+</mo><mrow><mn>h</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula> &c vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>η</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mover><mrow><mn>g</mn><mo>+</mo><mrow><mn>h</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mo>×</mo><msqrt><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></math></tei:formula> vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mover><mrow><mn>g</mn><mo>+</mo><mrow><mn>h</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mo>×</mo><msqrt><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l274"/><tei:add indicator="no" place="marginRight">aut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>d</mn><mn>z</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mfrac linethickness="0"><msqrt><mphantom><mo stretchy="false">|</mo></mphantom></msqrt><mphantom><mo stretchy="false">|</mo></mphantom></mfrac><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow><mrow><mn>g</mn><mo>+</mo><mrow><mn>h</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mrow><mn>η</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mo>×</mo><mrow><mfrac linethickness="0"><msqrt><mphantom><mo stretchy="false">|</mo></mphantom></msqrt><mphantom><mo stretchy="false">|</mo></mphantom></mfrac><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow><mrow><mn>g</mn><mo>+</mo><mrow><mn>h</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>η</mn></msup></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula> &c.</tei:add> <tei:lb type="intentional" xml:id="l275"/><tei:add indicator="no" place="inline">Hic <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>f</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>g</mn></math></tei:formula></tei:add> significant quasvis datas quantitates cum suis signis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo></math></tei:formula> & <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo></math></tei:formula></tei:add><tei:del type="cancelled">et</tei:del> affectas, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l276"/>axem vel basem curvæ, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>η</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>η</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> indices <tei:lb xml:id="l277"/>potestatum vel dignitatum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, sive sint affirmativi vel negativi <tei:lb xml:id="l278"/>sive integri vel fracti, et singula bina Theoremata sunt duo primi <tei:lb xml:id="l279"/>termini seriei in infinit<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> progredientis in tertio et quarto <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo>.</mo><mn>e</mn><mo>.</mo><mn>g</mn></mrow></math></tei:formula></tei:add> <tei:del type="cancelled">exem gratia</tei:del> <tei:lb xml:id="l280"/>debet esse non majus quam <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><mn>f</mn></mrow></math></tei:formula></tei:add> nisi <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula></tei:add> et <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>g</mn></math></tei:formula></tei:add> sint contrarii signi in <tei:lb xml:id="l281"/>cæteris nulla est limitatio. (har<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> aliqua nempe secundum, tertium, <tei:lb xml:id="l282"/>quartum, quintum & decimum tertium) ex areis duarum conicar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l283"/>Sectionum co<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">n</tei:add>junctis constant; aliæ quædam (ut nonum decimum <tei:lb xml:id="l284"/>et duodecimum) sunt aliter satis compositæ, et omnia quidem in <tei:lb xml:id="l285"/>continuatione progressionum cito evadunt compositissima; adeo <tei:lb xml:id="l286"/>ut vix <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> transmutationes figurar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quibus Gregorius et alii usi <tei:lb xml:id="l287"/>sunt absq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ulteriori fundamento inveniri posse putem. ego quidem <tei:lb xml:id="l288"/>haud quicquam generale in his obtinere potui antequam abstraherem <tei:lb xml:id="l289"/>a contemplatione figurarum, et rem totam ad simplicem considera<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">co</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tio</tei:reg></tei:choice>nem <tei:lb xml:id="l290"/>solarum ordinatim applicatarum reducerem; sed cum hæc et his <tei:lb xml:id="l291"/>generaliora sint in potestate, non dubitabitur credo de binomialibus <tei:lb xml:id="l292"/>longè facilioribus quæ in his continentur, et prodeunt ponendo <tei:lb xml:id="l293"/>tantum literam aliquam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula>, vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>f</mn></math></tei:formula> vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>g</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l294"/>et si serie<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">s</tei:add> in quas ista resolvuntur non posuerim in Epistolâ priori, <tei:lb xml:id="l295"/>intentus non in omnia particularia enumeranda, sed in illustrand<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">a</tei:hi></tei:orig><tei:reg>am</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l296"/>methodum per unam et alteram in singulis rerum generibus instantiam, <tei:lb xml:id="l297"/>quæ ad ostendendam ejus generalitatem sufficere videbatur <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> cæter<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> hæc Theoremata dant series plusquam uno modo nam primum <tei:lb xml:id="l298"/>si ponatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>f</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>d</mn><mrow><mn>e</mn><mo>+</mo><mrow><mn>g</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow></mfrac></math></tei:formula>: unde <tei:lb xml:id="l299"/>prodit series nobis communicata, sed si ponatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>g</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>f</mn><mo>⁢</mo><mn>f</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>η</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> inde <tei:lb xml:id="l300"/>tandem obtinemus hanc seriem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>11</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>13</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>15</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> pro <tei:lb xml:id="l301"/>longitudine quadrantalis arcus cujus chorda est unitas vel quod perinde <tei:lb xml:id="l302"/>est hanc <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>15</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>63</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>143</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></math></tei:formula> pro longitudine dimidii ejus, <tei:lb xml:id="l303"/>et has forte quia æque simplices sunt ac alteræ, et magis convergunt <tei:pb xml:id="p006r" n="6r" facs="#MS-ADD-03977-001-00013.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">6</tei:fw> non repudiabitis. sed ego rem aliter æstimo illud enim melius quod utilius est, <tei:lb xml:id="l304"/>et problema minori labore solvit, sic quamvis hæc æquatio <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mn>x</mn></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l305"/>appareat simplicior hacce <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn><mo>⁢</mo><msqrt><mrow><mfrac><mn>81</mn><mn>25</mn></mfrac><mo>−</mo><mrow><msqrt/><mn>20</mn></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt/><mn>20</mn></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> tamen in <tei:lb xml:id="l306"/>confesso est posteriorem revera simpliciorem esse, propterea quod radicem <tei:lb xml:id="l307"/>ejus Geometra facilius eruit; et ob hanc rationem series pro obtinendis <tei:lb xml:id="l308"/>arcubus circuli, vel (quod eodem recidit) pro obtinendis sectorib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> conicar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l309"/>Section<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, pro optimis habeo quæ componuntur ex potestatib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> sinuum. <tei:lb xml:id="l310"/>nam siquis vellet <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> simplex comput<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> hujus seriei <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l311"/>colligere longitudinem Quadrantis ad viginti figurarum loca decimalia, <tei:lb xml:id="l312"/>opus esset <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5000000000</mn></math></tei:formula> terminis seriei circiter, ad quorum calcul<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l313"/>milleni anni requirerentur et res tardius obtineretur <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> tangentem <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>45</mn></math></tei:formula></tei:add> gradi<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>. sed adhibito sinu recto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>45</mn></mrow></math></tei:formula> grad. quinquaginta quinque vel sexaginta <tei:lb xml:id="l314"/>termini hujus seriei <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt/><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>∗</mo><mover><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>12</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>160</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>896</mn></mfrac></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, sufficerent, quorum computatio <tei:lb xml:id="l315"/>tribus ut opinor vel quatuor diebus absolvi posset; et tamen hic non est <tei:lb xml:id="l316"/>optimus modus computandi totam peripheriam; nam series ex sinu recto <tei:lb xml:id="l317"/>triginta grad. vel ex sinu verso <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>60</mn></mrow></math></tei:formula> graduum conflata multo citius dabit <tei:lb xml:id="l318"/>arcum suum, cujus sextuplum vel duodecuplum est tota peripheria: neque <tei:lb xml:id="l319"/>majori labore eruitur area totius circuli ex segmento cujus sagitta est <tei:lb xml:id="l320"/>quadrans diametri ejus computi<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> specimen, siquidem ad manus est, vis<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l321"/>fuit apponere, et una adjungere aream hyperbolæ quæ eodem calculo prodit. posito axe transverso <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, & sinu verso seu segmenti sagitta <tei:lb xml:id="l322"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula> erit semisegmentum <tei:lb type="intentional" xml:id="l323"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>Hyperbolæ</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>Circuli</mtext></mtd></mtr></mtable><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">}</mo> </mrow><mo>=</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>±</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mn>28</mn></mfrac><mo>±</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mn>72</mn></mfrac></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">&c</tei:add> hæc autem series sic in <tei:lb xml:id="l324"/>infinitum producitur sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>2</mn><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>b</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula></tei:add><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>8</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l325"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>10</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>f</mn></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c.</mtext></math></tei:formula> et erit semisegmentum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>hyperbolæ</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>circuli</mtext></mtd></mtr></mtable><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">}</mo> </mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>a</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>±</mo><mfrac><mn>b</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>c</mn><mn>7</mn></mfrac><mo>±</mo><mfrac><mn>d</mn><mn>9</mn></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l326"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>11</mn></mfrac><mo>±</mo><mfrac><mn>f</mn><mn>13</mn></mfrac></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> eorumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> semisu<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="superscript">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>a</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>c</mn><mn>7</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>11</mn></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></math></tei:formula> et semidiffere<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l327"/>ntia <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>b</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>d</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>f</mn><mn>13</mn></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></math></tei:formula> his ita præparatis <tei:del type="cancelled">suppono</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">assumo</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:del type="strikethrough"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></math></tei:formula></tei:del> <tei:lb xml:id="l328"/>quadrantem nempe axis, et prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mfenced><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mfenced></mrow><mo>=</mo><mn>0.25</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>b</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>0.25</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>8</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l329"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>=</mo><mn>0.03125</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>c</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>0.03125</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>8</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mn>0.001953125</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mfenced open="(" close=""><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo>=</mo></mrow></mfenced></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l330"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>0.001953125</mn><mn>8</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>0.000244140625</mn></mrow></math></tei:formula> et sic procedo usq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> dum venero ad t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>min<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l331"/>depressissimum qui potest ingredi opus, deinde hos terminos per <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>5</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo><mn>7</mn><mspace width="1em"/><mn>9</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l332"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>11</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">,</mo></mrow></math></tei:formula> respectivè divisos, dispono in duas tabulas, ambiguos cum primo <tei:lb xml:id="l333"/>in unam et neg<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">a</tei:add>tivos in aliam, et addo ut hic vides <tei:pb xml:id="p006v" n="6v" facs="#MS-ADD-03977-001-00014.jpg"/> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable rowalign="top"> <mtr><mtd> <mtable rowlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0,0833333333333333</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,00</mn></mphantom><mn>62500000000000</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,0000</mn></mphantom><mn>271267361111</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,000000</mn></mphantom><mn>5135169396</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,0000000</mn></mphantom><mn>144628917</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,000000000</mn></mphantom><mn>4954581</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,0000000000</mn></mphantom><mn>190948</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,000000000000</mn></mphantom><mn>7963</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,0000000000000</mn></mphantom><mn>352</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,00000000000000</mn></mphantom><mn>16</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,000000000000000</mn></mphantom><mn>1</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0,0896109885646618</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mphantom><mn>00000000</mn></mphantom></mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0,0002790178571429</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,00000</mn></mphantom><mn>34679066051</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,0000000</mn></mphantom><mn>834465027</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,00000000</mn></mphantom><mn>26285354</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,0000000000</mn></mphantom><mn>961296</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,00000000000</mn></mphantom><mn>38676</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,000000000000</mn></mphantom><mn>1663</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,00000000000000</mn></mphantom><mn>75</mn></mtd></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mn>0,000000000000000</mn></mphantom><mn>4</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> <mtr><mtd><mtable columnalign="right"> <mtr><mtd><mn>0,0002825719389575</mn></mtd></mtr> </mtable></mtd></mtr> </mtable> </mtd></mtr> </mtable></math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l334"/>tunc a priori su<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a aufero posteriorem et restat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,0893284166257043</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l335"/>area semisegmenti hyperbolici. Addo etiam ejusdem su<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>as & aggregat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l336"/>aufero à primo termino duplicato <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,1666666666666666</mn></math></tei:formula>, et restat <tei:lb xml:id="l337"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.0767731061630478</mn></math></tei:formula> <tei:add indicator="no" place="marginLeft"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn></math></tei:formula></tei:add> <tei:unclear reason="hand" cert="low">&</tei:unclear> area semisegmenti circularis huic addo triangul<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l338"/>istud quo completur in sectorem hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>32</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mn>3</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, seu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,05412658773</mn></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l339"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>65274</mn></math></tei:formula> et habeo sectorem sexaginta graduum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,130899693899</mn></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l340"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5747</mn></math></tei:formula> cujus sextuplum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,7853981633974482</mn></math></tei:formula> est area <tei:lb xml:id="l341"/>totius circuli, quæ divisa <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math></tei:formula> quadrantem diametri dat totam <tei:lb xml:id="l342"/>peripheriam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3,1415926535897928</mn></math></tei:formula> <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> Si artes alias adhibuissem <tei:lb xml:id="l343"/>potui per eundem numerum terminorum seriei pervenisse ad multa <tei:lb xml:id="l344"/>plura loca figurar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> puta viginti quinq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ut amplius sed animus fuit <tei:lb xml:id="l345"/>hic ostendere quid per simplex seriei comput<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> præstari posset Quod <tei:lb xml:id="l346"/>sane haud difficile est cum in omni opere multiplicatores ac divisores <tei:lb xml:id="l347"/>magnâ ex parte non majores quam <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>11</mn></math></tei:formula></tei:add> & nunquam majores quam <tei:lb xml:id="l348"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>41</mn></math></tei:formula> adhibere opus sit. per seriem Leibnitii etiam si ultimo loco dimidi<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l349"/>t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>mini adjiciatur et alia quædam similia artificia adhibeantur potest <tei:lb xml:id="l350"/>computum produci ad multas figuras; ut et ponendo su<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="superscript">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>am terminor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>15</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>17</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>23</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>25</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>31</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>33</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> esse a<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">d</tei:add> <tei:lb xml:id="l351"/>totam seriem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>9</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>11</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, ut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><msqrt/><mn>2</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l352"/>Sed optimus ejus usus videtur esse quando vel conjungitur c<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> duab<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> alijs <tei:lb xml:id="l353"/>persimilibus et citissime convergentibus seriebus, vel sola adhibetur <tei:lb xml:id="l354"/>ad computandum arcum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>30</mn></math></tei:formula> grad. posita tangente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt/><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> tunc enim series <tei:lb xml:id="l355"/>illa evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>27</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>81</mn></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> quæ cito convergit <tei:lb xml:id="l356"/>vel si conjunges cum alijs serieb<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice>, pone circuli diametrum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>a</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l357"/>et area totius circuli erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>a</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>7</mn></msup><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mn>1</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>−</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l358"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>8</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>11</mn></msup><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>14</mn></msup><mn>9</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>17</mn></msup><mn>11</mn></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mn>1</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>10</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>16</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>22</mn></msup><mn>7</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>28</mn></msup><mn>9</mn></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l359"/>hic consideravimus series quatenus adhibentur ad computandum totum <tei:lb xml:id="l360"/>circulum, sed quando computandæ sunt partes ejus tunc quælibet series <tei:pb xml:id="p007r" n="7r" facs="#MS-ADD-03977-001-00015.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">7</tei:fw> habet proprium usum et in suo genere optima est si datur tangens satis parva, <tei:lb xml:id="l361"/>vel satis magna, non recurrendum erit ad sinum aliquem ut inde computetur <tei:lb xml:id="l362"/>arcus, neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> vice versa series dato congruens est æquatio pro solvendo <tei:lb xml:id="l363"/>proprio problemate credo Cl. Leibnitium dum posuit seriem pro determina<tei:choice><tei:orig>c<tei:hi rend="overline">o</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tio</tei:reg></tei:choice>ne <tei:lb xml:id="l364"/><tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">co</tei:add>sinus <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:unclear reason="hand" cert="low">complementi</tei:unclear></tei:add> ex arcu dato, vix animo <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice></tei:add> advertisse <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in">ad</tei:add> seriem meam pro determina<tei:choice><tei:orig>c<tei:hi rend="overline">o</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tio</tei:reg></tei:choice>ne <tei:lb xml:id="l365"/>sinus versi ex eodem arcu siquidem hæc idem sunt, <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in"><tei:unclear reason="hand" cert="medium">hæ eædem</tei:unclear> sunt.</tei:add> neque observasse <tei:lb xml:id="l366"/>videtur morem meum generaliter usurpandi literas pro quantitatibus <tei:lb xml:id="l367"/>cum signis suis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>+</mo></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo></math></tei:formula> affectis dum dividit hanc seriem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>b</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l368"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> nam cum area hyperbolicâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BE</mn></math></tei:formula> hic significata per <tei:lb xml:id="l369"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula> sit affirmativa vel negativa prout jaceat ex unâ vel alterâ <tei:lb xml:id="l370"/>parte ordinatim applicatæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BC</mn></math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l371"/><tei:figure rend="floatLeft"><tei:graphic url="NATP00196-03.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> Si area illa in numeris data sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>l</mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>l</mn></math></tei:formula> substituatur <tei:lb xml:id="l372"/>in serie pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula> orietur vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>l</mn><mn>b</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l373"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>l</mn><mn>b</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l374"/>prout sit affirmativa vel negativa <tei:lb xml:id="l375"/>hoc est posito <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>a</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>b</mn></mrow></math></tei:formula>. Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>l</mn></math></tei:formula> Logarithmo hyperbolico <tei:lb xml:id="l376"/>numerus ei correspondens erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>l</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>l</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l377"/>sit affirmativus et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>l</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mn>24</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>l</mn></math></tei:formula> sit <tei:lb xml:id="l378"/>negativus hoc modo fugio multiplicationem Theoremat<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quæ alias <tei:lb xml:id="l379"/>in nimiam molem crescerent, nam v.g. illud unic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Theorema quod supra <tei:lb xml:id="l380"/>posui pro quadratura curvar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> resolvend<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> esset in 32 Theoremata <tei:lb xml:id="l381"/>si pro signorum varietate multiplicaretur. pr<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">æ</tei:add>terea quæ habentur <tei:lb xml:id="l382"/>de inventione numeri unitate majoris per datum Logarithm<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> hyperbolic<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l383"/>ope seriei <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>l</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> potius quam <tei:lb xml:id="l384"/>ope seriei <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>l</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. nondum <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#in">satis</tei:add> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>cipio. <tei:lb xml:id="l385"/>nam si unus terminus adjiciatur amplius ad seriem posteriorem quam <tei:lb xml:id="l386"/>ad priorem posterior magis appropinquabit et minor est labor computare <tei:lb xml:id="l387"/>unam vel duas primas figuras adjecti h<tei:del type="over">j</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">u</tei:add>jus termini, quam dividere unitatem <tei:lb xml:id="l388"/>per prodeuntem Logarithmum hyperbolicum ad multa figurar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> loca extens<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l389"/>ut inde habeatur Logarithm<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del>us hyperbolicus Quæsitus, utraq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> igitur series <tei:lb xml:id="l390"/>(si duas di<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del>cere fas <tei:del type="cancelled">est</tei:del> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">sit</tei:add>) officio suo fungatur, potest tamen <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>l</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l391"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> series ex dimidiá parte t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>minor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> constans optimè adhibe<tei:del type="strikethrough">tur</tei:del><tei:add indicator="yes" place="supralinear">ri</tei:add> siquidem hæc dabit semidifferentiam duorum numerorum, <tei:lb xml:id="l392"/>ex quâ et rectangulo dato, uterq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> datur, sic et ex serie <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>l</mn><mn>1</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>l</mn><mo>⁢</mo><mn>l</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>l</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l393"/>&c datur semisu<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">m</tei:hi></tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> etiam numeri. unde prodit <tei:lb xml:id="l394"/>relatio serier<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> inter se, quâ ex unâ datâ dabitur altera Theorema de <tei:pb xml:id="p007v" n="7v" facs="#MS-ADD-03977-001-00016.jpg"/> inventione arcus ex dato cosin<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del>o ponendo radi<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula>, cosin<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula>, et arcum <tei:lb xml:id="l395"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mrow><mn>6</mn><mo>−</mo><msqrt><mrow><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mn>12</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt></math></tei:formula> minus appropinquat quam primâ fronte videtur <tei:lb xml:id="l396"/>posito quidem sinu verso <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>v</mn></math></tei:formula>, error erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>v</mn><mn>3</mn></msup><mn>90</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>v</mn><mn>4</mn></msup><mn>194</mn></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> potest <tei:lb xml:id="l397"/>fieri ut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>120</mn><mo>−</mo><mrow><mn>27</mn><mo>⁢</mo><mn>v</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>120</mn><mo>−</mo><mrow><mn>17</mn><mo>⁢</mo><mn>v</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. Ita chorda <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><msqrt/><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>v</mn></mrow></mrow></mfenced></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l398"/>ad arcum, et error erit tantum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>61</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>v</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>20</mn></mrow></mrow></mrow><mn>44800</mn></mfrac></math></tei:formula> circiter qui semper <tei:lb xml:id="l399"/>minor est, quam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> minuta secunda, dum arcus non sit major quam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>45</mn><mspace width="0.5em"/><mn>gr</mn></mrow></math></tei:formula>, et singulis etiam bisectionib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> diminuitur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>128</mn></math></tei:formula> vicibus</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par13">Series <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>a</mn><mn>7</mn></msup><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> applicari posset <tei:lb xml:id="l400"/>ad computationem tabulæ segmentor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> ut observat vir clarissimus; sed <tei:lb xml:id="l401"/>res optimè absolvitur <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> canonem sinu<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> utpote cognitâ quadrantis areâ <tei:lb xml:id="l402"/><tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> continuas additiones nonæ partis ejus, habebis sectores ad singulos decem <tei:lb xml:id="l403"/>gradus in semicirculo, deinde <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> continuam additionem decimæ partis hujus <tei:lb xml:id="l404"/>habebis sectores ad gradus, et sic ad decimas partes graduum et ultra <tei:lb xml:id="l405"/>procedi potest, tunc radio existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula> ab uno quoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> sectore et ejus <tei:lb xml:id="l406"/>complemento ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>180</mn></math></tei:formula> grad. aufer dimidium communis <tei:del type="over">hujus</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">sinûs</tei:add> recti & relin<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l407"/>quentur segmenta in tabulam referenda cæter<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quamvis series hic <tei:lb xml:id="l408"/>non prosint in aljis tamen locum obtinent, et quoniam hoc ad earum <tei:lb xml:id="l409"/>us<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> spectat, non gravabor in aliquib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> attingere: <tei:add indicator="no" place="inline" hand="#in">[</tei:add> constructionem Logarithmor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l410"/>non aliunde peti debere credetis forte, ex hoc simplici processu qui ab <tei:lb xml:id="l411"/>istis pendet, <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> methodum supra traditam quærantur Logarithmi hyperbolici <tei:lb xml:id="l412"/>numerorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.98</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0.99</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.01</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.02</mn></math></tei:formula>. id quod fit spatio unius et alterius <tei:lb xml:id="l413"/>horæ, deinde divisis Logarithmis quatuor posteriorum <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> Logarithm<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> numeri <tei:lb xml:id="l414"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn></math></tei:formula>, et addito indice <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></tei:formula> prodibunt veri Logarithmi numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>98</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>99</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>100</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>101</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l415"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>102</mn></math></tei:formula> in tabulam inserendi, hi <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> dena int<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>valla interpolandi sunt, et exibunt <tei:lb xml:id="l416"/>Logarithmi omnium numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> int<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>980</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1020</mn></math></tei:formula> et omnibus int<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>980</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1000</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l417"/>iter<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> dena int<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>valla interpolatis <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">h</tei:add>abebitur tabula eatenus constructa, tunc <tei:lb xml:id="l418"/>ex his colligendi erunt Logarithmi omni<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> primor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, et eorum <tei:lb xml:id="l419"/>multiplici<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> minor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>100</mn></math></tei:formula> ad quod nihil requiritur <tei:lb xml:id="l420"/>præter additionem et substractionem siquidem sit. <tei:lb type="intentional" xml:id="l421"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑩</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mrow><mfrac><mrow><mn>9984</mn><mo>×</mo><mn>1020</mn></mrow><mn>9945</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>④</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mrow><mfrac><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9963</mn></mrow><mn>984</mn></mfrac></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>10</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>5</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msqrt/><mn>98</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>7</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>99</mn><mn>9</mn></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l422"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>11</mn></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1001</mn><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>11</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>13</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>102</mn><mn>6</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>17</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>988</mn><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>13</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>19</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9936</mn><mrow><mn>16</mn><mo>×</mo><mn>27</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>23</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>986</mn><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>17</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>29</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l423"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>992</mn><mn>32</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>31</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>999</mn><mn>27</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>37</mn></mrow></math></tei:formula></tei:add>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>984</mn><mn>24</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>41</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:del type="strikethrough"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>989</mn><mn>27</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>47</mn></mrow></math></tei:formula></tei:del>. <tei:add indicator="no" place="marginLeft"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>987</mn><mn>21</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>47</mn></mrow></math></tei:formula></tei:add>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9911</mn><mrow><mn>11</mn><mo>×</mo><mn>17</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>53</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>9971</mn><mrow><mn>13</mn><mo>×</mo><mn>13</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l424"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>59</mn></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9882</mn><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>81</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>61</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9849</mn><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>49</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>67</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>994</mn><mn>14</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>71</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9928</mn><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>17</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>73</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>9954</mn><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>18</mn></mrow></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l425"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>79</mn></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mn>996</mn><mn>12</mn></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>83</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9968</mn><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>16</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>89</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>9894</mn><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>17</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>97</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:pb xml:id="p008r" n="8r" facs="#MS-ADD-03977-001-00017.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">8</tei:fw> et habitis sic Logarithmis omni<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> numeror<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> minor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>100</mn></math></tei:formula> restat tant<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l426"/>hos etiam semel atq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> iterum <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> dena intervalla interpolare <tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> constructionis tabulæ <tei:lb xml:id="l427"/>sinu<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> à quâ pendet tota <tei:del type="cancelled">t</tei:del>res trigonometrica fundament<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> optim<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> est continua <tei:lb xml:id="l428"/>additio dati anguli ad seipsum vel ad alium datum utpote in angulo addendo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>bAE</mn></math></tei:formula> inscribantur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>HI</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>IK</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KL</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>LM</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>MN</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>NO</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>OP</mn></math></tei:formula>, &c. <tei:lb type="intentional" xml:id="l429"/><tei:figure rend="blockCentered"><tei:graphic url="NATP00196-04.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb type="intentional" xml:id="l430"/>æquales radio <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>: et ad opposita latera demittantur <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>pendicula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BE</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>HQ</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l431"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>IR</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KS</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>LT</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>MV</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>NX</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>OY</mn></math></tei:formula>, &c. et angulor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>HIQ</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>IKH</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KLI</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l432"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>LMK</mn></math></tei:formula> &c. differentiæ erunt angulus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, sinus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>HQ</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l433"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>IR</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KS</mn></math></tei:formula> &c. et cosinus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>IQ</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KR</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>LS</mn></math></tei:formula>, &c. detur <tei:lb xml:id="l434"/>jam aliquis eorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>LMK</mn></math></tei:formula>, et cæteri sic eruentur, Ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>SV</mn></math></tei:formula> et <tei:lb xml:id="l435"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>MV</mn></math></tei:formula>: demitte perpendicula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ta</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Kb</mn></math></tei:formula>, et (propter <tei:lb xml:id="l436"/>similia triangula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>ABE</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>TLa</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KMb</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>ALT</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AMV</mn></math></tei:formula> &c) erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AB</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l437"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BE</mn><mo>∷</mo><mrow><mn>TL</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>La</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>SL</mn><mo>−</mo><mn>LV</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mrow><mn>KT</mn><mfenced><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>KM</mn></mrow></mfenced></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>Mb</mn></mrow><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>MV</mn><mo>−</mo><mn>KS</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>. Et <tei:lb xml:id="l438"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>AB</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>AE</mn></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>KT</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>Sa</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>SL</mn><mo>+</mo><mn>LV</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>TL</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>Ta</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>KS</mn><mo>+</mo><mn>MV</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> unde dantur sinus et cosinus <tei:lb xml:id="l439"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KS</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>MV</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>SL</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>LV</mn></math></tei:formula>, et simul patet ratio continuandi <tei:lb xml:id="l440"/>progressiones, nempè <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>AB</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>AE</mn></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>LV</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>TM</mn><mo>+</mo><mn>MX</mn></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>MX</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>VN</mn><mo>+</mo><mn>NY</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l441"/><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> &c <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>MV</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>TL</mn><mo>+</mo><mn>XN</mn></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>XN</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>VN</mn><mo>−</mo><mn>NY</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> &c. Et retrò <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>AB</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>AE</mn></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>LS</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l442"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>KT</mn><mo>+</mo><mn>RK</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> &c. ponè ergo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AB</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, et fac <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>BE</mn><mo>×</mo><mn>TL</mn></mrow><mo>=</mo><mn>La</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>AE</mn><mo>×</mo><mn>KT</mn></mrow><mo>=</mo><mn>Sa</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l443"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>Sa</mn><mo>−</mo><mn>La</mn></mrow><mo>=</mo><mn>LV</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>AE</mn></mrow><mo>+</mo><mn>LV</mn><mo>−</mo><mn>TM</mn></mrow><mo>=</mo><mn>MX</mn></mrow></math></tei:formula>, &c. <tei:lb xml:id="l444"/>Sed nodus est inventio sinus et cosinus anguli <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, et <tei:lb xml:id="l445"/>hic subveniunt series nostræ, utpote cognito <tei:add indicator="yes" place="supralinear">ex</tei:add> superiorib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> Quadrantalis <tei:lb xml:id="l446"/>arcus longitudine <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1.57079</mn></math></tei:formula>, &c et simul quadrato ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2.4694</mn></math></tei:formula> &c <tei:lb xml:id="l447"/>divide quadratum hoc per quadratum numeri exprimentis rationem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>90</mn></math></tei:formula> grad. ad angulum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> et quoto dicto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, tres vel quatuor primi termini huius <tei:lb xml:id="l448"/>seriei <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>z</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mn>24</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mn>720</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mn>40320</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> &c dabunt cosinum istius <tei:lb xml:id="l449"/>anguli <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, sic primo quæri potest angulus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn></math></tei:formula> grad et inde tabulam <tei:lb xml:id="l450"/>computari ad quinos gradus <tei:add indicator="yes" place="supralinear">ac deinde interpolari ad gradus</tei:add> vel dimidios gradus <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> eandem methodum, <tei:lb xml:id="l451"/>nam non convenit progredi <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> nimios saltus, duæ tertiæ partes tabulæ <tei:lb xml:id="l452"/>sic computatæ dant reliquam t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>tiam partem <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> additionem vel substraction<tei:choice><tei:orig>ē</tei:orig><tei:reg>em</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l453"/>more noto, <tei:lb xml:id="l454"/>siquidem posito <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KT</mn></math></tei:formula> cosinu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>60</mn></math></tei:formula> grad. sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AE</mn><mo>=</mo><mn>SV</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BE</mn><mo>=</mo><mn>Mb</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l455"/>tunc ad decimas, et centesimas partes gradu<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> pergend<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> est per aliam <tei:lb xml:id="l456"/>methodum substitutis tamen prius Logarithmis sin<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> inventor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>, si ejus <tei:lb xml:id="l457"/>generis tabula desideretur ad computum tabular<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> Astronomicar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:choice><tei:sic>repleri</tei:sic><tei:corr>Kepleri</tei:corr></tei:choice> <tei:lb xml:id="l458"/>pos<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">u</tei:add>i fundamentum quoddam in alterâ Epistolâ ejus seriei tres primi termini <tei:pb xml:id="p008v" n="8v" facs="#MS-ADD-03977-001-00018.jpg"/> et aliquando duo sufficiunt, sed ad diversas partes Ellipseos diversæ ejusm<tei:lb type="intentional" xml:id="l459"/>odi series aptari debent, vel potius tales series computandæ sunt quæ ex <tei:lb xml:id="l460"/>datâ areâ Sectoris Elliptici <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BGE</mn></math></tei:formula>, immediatè exhibeant aream sectoris <tei:lb xml:id="l461"/>circuli cujus angulus est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BEG</mn></math></tei:formula>, radius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CB</mn></math></tei:formula>, et habitis hisce, comput<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l462"/>earum ad duos tres vel fortè quatuor terminos beneficio Logarithmor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l463"/>haud gravius erit quam solita resolutio tot tria<tei:del type="over">g</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">n</tei:add>gulorum in aliis <tei:lb xml:id="l464"/>hypothesibus imo forte minus grave si series prius debitæ concinn<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>ntur <tei:lb xml:id="l465"/>siquidem unus Logarithmus è tabulâ petitus determinet omnes istos <tei:lb xml:id="l466"/>terminos, addendo ipsum et ejus multiplices ad Logarithmos dator<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l467"/>coefficienti<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> in promptu habitos, quæ de hoc genere tabular<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> dicuntur <tei:lb xml:id="l468"/>ad alias transferri possunt ubi <tei:del type="cancelled">la</tei:del> ratiocinia Geometri<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">c</tei:add>a locum non <tei:lb xml:id="l469"/>obtin<tei:choice><tei:orig><tei:hi rend="overline">e</tei:hi></tei:orig><tei:reg>en</tei:reg></tei:choice>t sufficit autem per has series computare triginta vel viginti <tei:lb xml:id="l470"/>aut fortè pauciores t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>minos tabulæ in debitis distantijs, t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>mini intermedii <tei:lb xml:id="l471"/>facilè interseruntur <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> methodum quandam quam in usum calculator<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l472"/>ferè hic descripsissem, sed pergo ad alia <tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> quæ Cl. Leibnitius à me desiderat <tei:lb xml:id="l473"/>explicanda ex parte supra descripsi Quod vero attinet ad inven<tei:choice><tei:orig>co<tei:hi rend="overline">n</tei:hi></tei:orig><tei:reg>tion</tei:reg></tei:choice>em <tei:lb xml:id="l474"/>terminor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>q</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula>, in extractione radicis affectæ primum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l475"/>sic eruo, descripto <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:choice><tei:sic>angul</tei:sic><tei:corr>angulo</tei:corr></tei:choice></tei:add> recto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BAC</mn></math></tei:formula>, latera ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BA</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AC</mn></math></tei:formula>. divido in <tei:lb xml:id="l476"/><tei:figure rend="floatLeft"><tei:graphic url="NATP00196-05.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> partes æquales <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:unclear reason="hand" cert="low">quo<tei:gap reason="hand" unit="chars" extent="5"/></tei:unclear></tei:add> et inde normales erigo <tei:lb xml:id="l477"/>distribuentes angulare spati<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> in æqu<tei:add indicator="yes" place="supralinear">a</tei:add>lia parallelogra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a <tei:del type="strikethrough">vel quadrata</tei:del> quæ concipio <tei:lb xml:id="l478"/>denominata esse à dimensionibus <tei:lb xml:id="l479"/>duarum indefinitarum specierum <tei:lb xml:id="l480"/>puta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula>, regulariter ascendenti<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l481"/>a t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>mino <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> prout vides <tei:del type="strikethrough">in fig. 1</tei:del> <tei:lb xml:id="l482"/>inscriptas <tei:add indicator="yes" place="supralinear">eas in fig. 1</tei:add> <tei:del type="cancelled">ubi</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">ubi</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula> denotat radicem <tei:lb xml:id="l483"/><tei:figure rend="floatLeft"><tei:graphic url="NATP00196-06.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> extrahendam et <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula></tei:add> alterum indefinitam <tei:lb xml:id="l484"/>quantitatem ex cujus potestatib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> series <tei:lb xml:id="l485"/>constituenda est. Deinde cum æquatio <tei:lb xml:id="l486"/>aliqua proponitur, parallelogra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a <tei:lb xml:id="l487"/>singulis ejus terminis <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del>respondentia <tei:lb xml:id="l488"/>insigni<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">o</tei:add> notâ aliquâ, et regulâ ad duo vel forte plura ex insignitis <tei:lb xml:id="l489"/>parallelogra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>is applicata, quor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> un<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> sit <tei:del type="strikethrough">humillim<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">infimum</tei:add> in columnâ <tei:lb xml:id="l490"/>sinistra <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:unclear reason="hand" cert="low">seu</tei:unclear></tei:add> juxta <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:unclear reason="hand" cert="medium">lat<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice></tei:unclear></tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, et aliud <tei:del type="strikethrough">ad regulam dextrors<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> sit<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:del type="strikethrough"><tei:unclear reason="hand" cert="low">alter<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> sit infimum</tei:unclear></tei:del> in columna quavis <tei:unclear reason="hand" cert="low">alia</tei:unclear> dextrorsum reperiatur,</tei:add> cæteraq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l491"/>omnia <tei:del type="strikethrough">non contingentia regulam</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">ad quaæ regula non applicatur</tei:add> supra eam jaceant seligo t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>minos <tei:pb xml:id="p009r" n="9r" facs="#MS-ADD-03977-001-00019.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">9</tei:fw> æquationis <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> parallelogra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a contingentia regulam designatos et <tei:del type="cancelled">inde</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">ex <tei:unclear reason="hand" cert="medium">his tanquam</tei:unclear> nihilo æqualibus</tei:add> <tei:lb xml:id="l492"/>quæro quantitatem <tei:del type="strikethrough">quotienti</tei:del> addendam <tei:add indicator="no" place="inline">Quotienti.</tei:add></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par14">Sic ad extrahendam radicem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula> ex <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>y</mn><mn>6</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mn>a</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>2</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>2</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>2</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l493"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula> parallelogra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>a hujus t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>minis respondentia signo notâ aliquâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∗</mo></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l494"/>ut vides in fig 2. Dein applico regulam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DE</mn></math></tei:formula> ad inferiorem è locis <tei:lb xml:id="l495"/>signatis in sinistrâ columnâ, eamq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ab inferiorib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> ad superiora dextrors<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l496"/>gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura è reliquis signatis <tei:lb xml:id="l497"/>locis coeperit attingere videoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> loca sic attacta esse <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>y</mn><mn>6</mn></msup></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l498"/>è terminis itaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>y</mn><mn>6</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> tanquam nihilo æqualib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l499"/>(et insuper si placet reductis ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>v</mn><mn>6</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>v</mn><mo>⁢</mo><mn>v</mn></mrow><mo>+</mo><mn>6</mn></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>: ponendo <tei:lb xml:id="l500"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>y</mn><mo>=</mo><mrow><mn>v</mn><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>), quæro valorem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula> et invenio quadruplicem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>−</mo></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l501"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt/><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>+</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>: <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>. Horum valorem</tei:add> <tei:del type="strikethrough"><tei:unclear reason="hand" cert="medium">quorum</tei:unclear></tei:del> quemlibet pro primo termino Quotientis <tei:lb xml:id="l502"/>accipere licet prout è radicib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> quampiam extrahere decret<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> est. sic <tei:lb xml:id="l503"/>æquatio <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula> quam resolvebam in priori <tei:lb xml:id="l504"/>epistolâ dat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. et inde <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>y</mn><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>: proximè cum <tei:lb xml:id="l505"/>itaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> a sit primus t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>minus valoris <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula> pono <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula> pro cæteris omnib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l506"/>in infinit<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> et substituo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>+</mo><mn>p</mn></mrow><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></math></tei:formula> obvenient hic aliquando <tei:choice><tei:sic>dificultates</tei:sic><tei:corr>difficultates</tei:corr></tei:choice> <tei:lb xml:id="l507"/>nonnullæ, sed ex ijs credo D. Leibnitius se proprio marte extricabit sub<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l508"/>sequentes vero termini <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula></tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>q</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>r</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>s</mn></math></tei:formula>, &c. eodem modo ex æquationibus <tei:lb xml:id="l509"/>secundis tertiis cæterisq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> eruuntur quo primus <tei:del type="cancelled"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula></tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>s</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></math></tei:formula> prima, sed cura leviori <tei:lb xml:id="l510"/>quia cæteri t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>mini valoris <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula> solent prodire dividendo t<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>min<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l511"/>involventem infimam potestatem indefinitæ quantitatis <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula></tei:add> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> coefficientem <tei:lb xml:id="l512"/><tei:del type="strikethrough">radicis</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">lateris</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>q</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>r</mn></math></tei:formula> aut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>s</mn></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par15">Intellex<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del>ti credo ex superiorib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> regressionem ab areis curvar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> ad lineas <tei:lb xml:id="l513"/>rectas fieri <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> hanc extractionem radicis affectæ sed duo alii sunt <tei:lb xml:id="l514"/>modi quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> idem <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice>ficio, eor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> unus affinis est computationib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> quibus <tei:lb xml:id="l515"/>colligebam approximationes sub finem alterius Epistolæ et intelligi <tei:lb xml:id="l516"/>potest <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> hoc exemplum, proponatur æquatio ad aream hyperbolæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>z</mn><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l517"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>, et partib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> ejus multiplicatis in se emerget <tei:lb xml:id="l518"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>11</mn><mn>12</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mo>=</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l519"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Iam de <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula> aufero <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> et restat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l520"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>24</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>16</mn><mn>60</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> huic addo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math></tei:formula> et fit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l521"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow> <mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>40</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. <tei:add indicator="yes" place="supralinear">#</tei:add><tei:anchor xml:id="n009r-01"/><tei:note place="marginLeft" target="#n009r-01"># Aufero <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, et restat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>120</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> addo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>120</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula> <tei:fw type="catch" place="inline">et fit</tei:fw></tei:note> et fit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>120</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula> quamproxime. <tei:add indicator="no" place="marginRight"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>13</mn><mn>60</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></math></tei:formula></tei:add> <tei:lb xml:id="l522"/>Sive <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>120</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par16"><tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> eodem modo series de una indefinita quantitate in aliam transferri <tei:pb xml:id="p009v" n="9v" facs="#MS-ADD-03977-001-00020.jpg"/> possunt quemadmodum si posito <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> radio circuli, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> sinu recto arcus <tei:lb xml:id="l523"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> longitudine arcus istius, atq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> hanc <tei:lb xml:id="l524"/>seriem è sinu recto ad tangentem vellem transferre, quæro longitudin<tei:choice><tei:orig>ē</tei:orig><tei:reg>em</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l525"/>tangentis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><msqrt><mrow><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></msqrt></mfrac></math></tei:formula> et reduco in infinitam seriem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l526"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> quâ dictâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>t</mn></math></tei:formula>, colligo potestat<tei:del type="over">i</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>s ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>t</mn><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>t</mn><mn>5</mn></msup><mo>=</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l527"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. aufero autem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>t</mn></math></tei:formula> de <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, et restat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mn>t</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mn>10</mn></mfrac><mo>−</mo><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Addo <tei:lb xml:id="l528"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, et fit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mn>t</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. aufero <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, et restat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mn>t</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l529"/>quamproximè quare est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula><tei:choice><tei:sic><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mo>=</mo></math></tei:formula></tei:sic><tei:corr><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo></math></tei:formula></tei:corr></tei:choice><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>t</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow><mo>−</mo><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l530"/>Sed siquis in usus trigonometricos me jussisset exhibere expressionem arcus <tei:lb xml:id="l531"/><tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> tangentem, eam non hoc circuitu sed directâ methodo quæsivissem <tei:lb xml:id="l532"/>per hoc genus computi colliguntur etiam series ex duab<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> vel pluribus <tei:lb xml:id="l533"/>indefinitis quantitatib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> constantes, et radices affectar<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> æquation<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> magnâ <tei:lb xml:id="l534"/>ex parte extrahuntur, sed ad hunc posteriorem usum adhibeo potius <tei:lb xml:id="l535"/>methodum in alterâ Epistolâ descriptam tanquam generalior<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>m, et (regulis <tei:lb xml:id="l536"/>pro Elisione superfluor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> terminor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> habitis) paulo magis expeditam, <tei:lb xml:id="l537"/>pro regressione vero ab areis ad lineas rectas & similib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice>, possunt <tei:lb xml:id="l538"/>hujusmodi Theoremata adhiberi.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par17">Theorema 1 sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>z</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mspace width="1em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> et vicissim <tei:lb xml:id="l539"/>erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>y</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>a</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow><msup><mn>a</mn><mn>7</mn></msup></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>2</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>2</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn> <mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mrow><msup><mn>a</mn><mn>9</mn></msup></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l540"/>ex gratia proponatur æquatio ad aream hyperbolæ <tei:lb xml:id="l541"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>z</mn><mo>=</mo><mrow><mn>y</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>y</mn><mn>3 </mn></msup><mn>3</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mfrac><msup><mn>y</mn><mn>4</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup><mn>5</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>etc</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> et substitutis in regulâ <tei:lb xml:id="l542"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>a</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>b</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula>, vicissim exurget <tei:lb xml:id="l543"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>y</mn><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>24</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:add indicator="yes" place="supralinear">&c</tei:add> Theorema 2 sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>z</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l544"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>9</mn></msup></mrow><mspace width="1em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. et vicissim erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>y</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>a</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow><msup><mn>a</mn><mn>7</mn></msup></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><msup><mn>a</mn><mn>10</mn></msup></mfrac></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l545"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>55</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>55</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mrow><msup><mn>a</mn><mn>13</mn></msup></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>9</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:choice><tei:abbr>ex gra</tei:abbr><tei:expan>exempli gratia</tei:expan></tei:choice> <tei:add indicator="yes" place="infralinear">proponatur æquatio</tei:add> <tei:lb xml:id="l546"/>ad arcum circuli <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>z</mn><mo>=</mo><mrow><mn>y</mn><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> et <tei:lb xml:id="l547"/>substitutis in regulâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>a</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>b</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>5</mn><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula> &c <tei:lb xml:id="l548"/>orietur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>y</mn><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z </mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> alterum modum <tei:lb xml:id="l549"/>regrediendi ab areis ad lineas rectas celare statui <tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> ubi dixi omnia <tei:lb xml:id="l550"/>pene Problemata solubilia existere, volui de ijs præsertim intelligi <tei:lb xml:id="l551"/>circa quæ mathematici se hactenus occuparunt vel saltem in quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:pb xml:id="p0010r" n="10r" facs="#MS-ADD-03977-001-00021.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknownCataloguer1">10</tei:fw> ratiocinia mathematica locum aliquem obtinere possunt nam alia sane adeo <tei:lb xml:id="l552"/>perplexis co<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">n</tei:add>ditionib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> implicata excogitare liceat ut non satis comprehendere <tei:lb xml:id="l553"/>valeamus et multo minus tantarum computation<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> onus sustinere quod <tei:lb xml:id="l554"/>ista requirerent attamen ne nimi<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> dixisse videor inversa de tangentib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l555"/>problemata sunt in potestate aliaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> illis difficiliora ad quæ solvenda <tei:lb xml:id="l556"/>usus sum duplici methodo una concinniori altera generaliori utramq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l557"/>visum est impræsentia literis transpositis consignare ne<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> propter <tei:lb xml:id="l558"/>alios idem obtinentes institutum in aliquib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> mutare cogerer 5accd et <tei:lb xml:id="l559"/>10effh1114t3m9x6oqqr8snt<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">9</tei:add>v3x: 11ab3cdd10e et g10i<tei:lb xml:id="l560"/>ll4m7n6o3p<tei:add indicator="yes" place="supralinear">3q</tei:add>6rsSnt8vx.3ac et 4egh5i4tmsn8oq4r<tei:lb xml:id="l561"/>386t4vaadd et eeeeeiiimmnnoopr<tei:add indicator="yes" place="supralinear">rrsssssttuu</tei:add> Inversum hoc problema de tangentib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l562"/>quando tangens inter punctum contactus et axem figuræ est datæ <tei:lb xml:id="l563"/>longitudinis, non indiget his methodis, est tamen curva illa mechanica <tei:lb xml:id="l564"/>cujus determinatio pendet ab ar<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>a <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:unclear reason="hand" cert="low">et p<tei:choice><tei:orig>ꝰ</tei:orig><tei:reg>er</tei:reg></tei:choice>iferia</tei:unclear></tei:add> hyperbolæ. ejusdem generis, est <tei:lb xml:id="l565"/>etiam problema quando pars axis inter tangentem et ordinatim appli<tei:lb type="intentional" xml:id="l566"/>catam datur longitudine, sed hos casus vix numeraverim inter ludos <tei:lb xml:id="l567"/>natur<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">æ</tei:add> <tei:del type="strikethrough">nam quando</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">Q<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/> et</tei:del> nam si</tei:add> in triangulo rectangulo quod ab illa axis parte, <tei:lb xml:id="l568"/><tei:del type="cancelled">et</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">ac</tei:add> tangente <tei:del type="over">ac</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">&</tei:add> ordinatim applicata constituitur, relatio duor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> quor<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice><tei:lb xml:id="l569"/>libet laterum per æquationem quamlibet defini<tei:add indicator="yes" place="supralinear">a</tei:add>tur, problema solvi <tei:lb xml:id="l570"/>pote<tei:del type="cancelled">st</tei:del><tei:add indicator="yes" place="supralinear">rit</tei:add> absq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> meâ methodo generali sed ubi pars axis ad punct<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> aliquod <tei:lb xml:id="l571"/>positione datum terminata ingreditur vincul<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> tunc res <tei:del type="strikethrough">aliqua</tei:del> aliter <tei:lb xml:id="l572"/>se habere solet.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par18">Communicatio Resolutionis affectarum æquationum <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> method<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l573"/>Leibnitii pergrata erit juxta et explicatio quomodo <tei:add place="supralinear" indicator="yes">hæc</tei:add> se gerat ubi indices <tei:lb xml:id="l574"/>potestatis sunt fractiones ut in hac æquatione <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>20</mn><mo>+</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>7</mn></mfrac></msup><mo>−</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>6</mn><mn>5</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l575"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mo>−</mo><msup><mn>y</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>11</mn></mfrac></msup></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>, aut surdæ quantitates ut in hac <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close=""><mover><mrow><mrow><msup><mn mathsize="140%">x</mn><mrow><msqrt/><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mn mathsize="140%">x</mn><mrow><msqrt/><mn>7</mn></mrow></msup></mrow><mo lspace="0.3em" mathsize="120%">|</mo></mrow><mo stretchy="true" accent="true" mathsize="120%">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>③</mo></mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l576"/>ubi <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt/><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt/><mn>7</mn></mrow></math></tei:formula> non designant coefficientes ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula>, sed indices <tei:lb xml:id="l577"/>potestatis seu dignitatis ejus; et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt/><mo>③</mo></mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> indicem dignitatis binomii <tei:lb xml:id="l578"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn mathsize="140%">x</mn><mrow><msqrt/><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mn mathsize="140%">x</mn><mrow><msqrt/><mn>7</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>. res credo mea<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> methodo patet aliter descri<tei:lb xml:id="l579"/>psissem sed meta tandem prolixæ huic epistolæ ponenda est, literæ <tei:lb xml:id="l580"/>sane excellentissimi Leibnitii valdè dignæ erant quib<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>us</tei:reg></tei:choice> fusius hoc respons<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l581"/>darem et volui hac vice copiosior esse, quia credidi amœniora tua negotia <tei:lb xml:id="l582"/>severiori hocce scribendi genere non debere a me cre<tei:del type="over">d</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">b</tei:add><tei:add indicator="yes" place="supralinear">r</tei:add>o interpellari.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent40" xml:id="par19">Tui Studiosissimus <tei:lb type="intentional" xml:id="l583"/>Is. Newton</tei:p> </div> </body> </text> </TEI>