Copy of letter from Newton to Henry Oldenburg, dated 13 June 1676 Isaac Newton c. 2,239 words The Newton Project Falmer 2012 Newton Project, University of Sussex

This metadata is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

Images made available for download are licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (CC BY-NC 3.0)

This text is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

 13 June 1676, in Latin, c. 2,789 words, 6 pp. on 4 ff. 6 pp. on 4 ff.

in Latin

 MS Add. 3977.2, ff. 1r-4r, Cambridge University Library, Cambridge, UK UKCambridgeCambridge University Library Portsmouth Collection MS Add. 3977.2, ff. 1r-4r </msItem> </msContents> </msDesc> </sourceDesc> </fileDesc> <profileDesc> <creation> <origDate when="1676-06-13">13 June 1676</origDate> <origPlace>England</origPlace> </creation> <langUsage> <language ident="lat">Latin</language> </langUsage> <handNotes> <handNote sameAs="#in">Holograph</handNote> <handNote xml:id="ho">Henry Oldenburg</handNote> <handNote xml:id="unknown1">Unknown Cataloguer (1)</handNote> <handNote xml:id="unknown2">Unknown Cataloguer (2)</handNote> </handNotes> </profileDesc> <encodingDesc> <classDecl><taxonomy><category><catDesc n="Mathematics">Mathematics</catDesc><category><catDesc n="Correspondence">Correspondence</catDesc></category></category></taxonomy></classDecl> </encodingDesc> <revisionDesc> <change when="2012-05-12"><name>Daniele Cassisa</name> started tagged transcription</change> <change when="2012-07-13" type="metadata">Catalogue information compiled from CUL Janus Catalogue by <name xml:id="mjh">Michael Hawkins</name></change> <change when="2012-09-15">Proofed by <name>Robert Iliffe</name></change> <change when="2012-09-18" status="released">Preliminary audit of XML by <name>Michael Hawkins</name></change> </revisionDesc> </teiHeader> <facsimile xml:base="http://cudl.lib.cam.ac.uk/newton/images/"> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00001.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00001.jpg" n="1r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00002.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00002.jpg" n="1v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00003.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00003.jpg" n="2r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00004.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00004.jpg" n="2v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00005.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00005.jpg" n="3r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00006.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00006.jpg" n="3v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00007.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00007.jpg" n="4r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-002-00008.jpg" url="MS-ADD-03977-002-00008.jpg" n="4v"/> </facsimile> <text> <body> <div> <pb xml:id="p001r" n="1r" facs="#MS-ADD-03977-002-00001.jpg"/><fw type="shelfmark" place="topRight" hand="#unknown1">(2)</fw> <ab type="head" rend="center" xml:id="hd1">Epistola de D. I. Newtoni ad D. Oldenburgum misi</ab> <div xml:lang="lat"> <p xml:id="par1"><add indicator="no" place="inline" hand="#unknown2">Fragmentum</add></p> <p xml:id="par2"><add indicator="no" place="marginLeft" hand="#ho">Misi apograph<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> <unclear reason="hand" cert="low">Suj</unclear> ad Dn. Leibnitium per Samuelem Regi<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice> Vratislaviensem julij 26. 1676.</add></p> </div> <div xml:lang="lat" type="letter"> <p xml:id="par3">Dignissime <choice><abbr>D<hi rend="superscript">ne</hi></abbr><expan>Domine</expan></choice> </p> <p xml:id="par4">Quanquam D<hi rend="superscript"><del type="cancelled"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del></hi>. Leibnitij modestia, in excerptis quæ ex epistola ejus <lb xml:id="l1"/>ad me nuper misisti, <add indicator="yes" place="supralinear">nostratibus</add> multùm tribuat <del type="cancelled">Mathematicis nostræ gentis</del> circa <lb xml:id="l2"/>speculationem quandam infinitarum serierum <add indicator="yes" place="supralinear">de qua jam cœpit esse rumor</add>: nullus dubito tamen quin <lb xml:id="l3"/>ille, non tantùm (quod asserit) methodum reducendi quantitates quas<lb type="hyphenated" xml:id="l4"/>cunq<choice><orig>ꝫ</orig><reg>ue</reg></choice> in ejusmodi series, sed et varia compendia, fortè nostris simi<lb type="hyphenated" xml:id="l5"/>lia, si non et meliora, adinvenerit. Quoniam tamen ea scire <lb xml:id="l6"/>pervelit quæ ab Anglis hac in re inventa sunt, et ipse ante <lb xml:id="l7"/>annos aliquot in hanc speculationem inciderim: ut votis ejus <lb xml:id="l8"/>aliqua saltern ex parte satisfac<del type="cancelled"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="4"/></del>erem, nonnulla eorum quæ <lb xml:id="l9"/>mihi occurrerunt, ad te transmisi.</p> <p xml:id="par5">Fractiones in infinitas <del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del><add indicator="no" place="over">s</add>eries reducuntur per divisionem <lb xml:id="l10"/>et quantitates radicales per extractionem radicum, perinde institu<lb type="hyphenated" xml:id="l11"/>endo operationes istas in speciebus ac institui solent in decimalibus numeris. Hæc sunt fundamenta harum reductionum; sed extra<lb type="hyphenated" xml:id="l12"/>ctiones radicum,<del type="cancelled"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="12"/> et divisiones</del>, multum abbreviantur per hoc Theorema.</p> <p xml:id="par6"><formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><mrow><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>B</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>C</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>D</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l13"/>Ubi <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> significat quantitatem cujus radix vel <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="yes" place="supralinear">etiam</tei:add> dimensio quævis vel radix dimensionis investiganda est, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>P</mn></math></tei:formula> primum terminum quan<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l14"/>titatis ejus, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Q</mn></math></tei:formula> reliquos terminos divisos per primum, & <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></math></tei:formula> nume<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l15"/>ralem indicem dimensionis ipsius <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> sive dimensio illa integra <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l16"/>sit, sive (ut ita loquar) fracta, sive affirmativa, sive negativa. <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l17"/>Nam sicut Analystæ pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>, &c s<tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="over">c</tei:add>ribere <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="yes" place="supralinear">solent</tei:add> <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mn>2</mn></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></math></tei:formula>, sic ego pro <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l18"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt/><mn>a</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt/><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt/><mo>c.</mo></mrow><mspace width="0.3em"/><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula> &c <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, & pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>a</mn></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mfrac></math></tei:formula> scribo <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l19"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math></tei:formula>. Et sic pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mrow><msqrt/><mn>c:</mn><mspace width="0.3em"/><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></math></tei:formula> scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mo>×</mo><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>, & <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l20"/>pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mfrac linethickness="0"><mphantom><mo>.</mo></mphantom><mrow><msqrt/><mn>c:</mn><mspace width="0.3em"/><mover><mrow><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mspace width="0.5em"/><mo>×</mo><mspace width="0.5em"/><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></mfrac></math></tei:formula> scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mo>×</mo><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>: in quo ultimo casu <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l21"/>si <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></math></tei:formula> conciapiatur es<tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="over">s</tei:add>e <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></math></tei:formula> in Regula; erit <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l22"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> & <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. Deniq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> pro terminis inter operandum <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l23"/>inventis in Quoto, usurpo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula> &c nempe <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> pro primo <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l24"/>termino <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula> pro secundo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, & sic deinceps. Cæterùm usus <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l25"/>Regulæ patebit exemplis.</p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par7">Exempl: 1. Est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt/><mspace width="0.2em"/><mover><mrow><mphantom><mo mathsize="80%">|</mo></mphantom><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mphantom><mo mathsize="80%">|</mo></mphantom></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mspace width="1em"/><mfenced open="(" close=")"><mrow><mtext>seu</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup><mrow><mn>16</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>8</mn></msup></mrow><mrow><mn>128</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l26"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>10</mn></msup></mrow><mrow><mn>256</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:add indicator="no" place="marginLeft" hand="#ho">c</tei:add>. Nam in hoc casu est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l27"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>C</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>B</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>, & sic deinceps.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par8">Exempl: 2. Est <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑤</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mrow><mover><mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mtext>i.e.</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mspace width="1em"/></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l28"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, ut patebit substituendo in allatam Re<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l29"/>gulam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>m</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>P</mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Q</mn></math></tei:formula>. Potest <tei:lb xml:id="l30"/>etiam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula> substitui pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>P</mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Q</mn></math></tei:formula>, et tunc evadet <tei:lb xml:id="l31"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑤</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mrow><mover><mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>−</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>c</mn><mn>10</mn></msup></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Prior <tei:lb xml:id="l32"/>modus eligendus est si <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> valde parvum sit, posterior si valde mag<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l33"/>num.</tei:p> <tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p001v" n="1v" facs="#MS-ADD-03977-002-00002.jpg"/> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par9">Exempl: 3. Est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mn>N</mn><mrow><mrow><msqrt/><mo>③</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mover><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></mrow><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mtext>hoc est</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mover><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>y</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>14 </mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>81</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow><mo>+</mo></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l34"/>Nam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow><mrow><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><msup><mn>y</mn><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><msup><mn>y</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>. hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>y</mn></mfrac></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l35"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>y</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow><mrow><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mtext>. &c</mtext></math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par10">Exempl: 4. Radix cubica ex quadrato-quadrato ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:del type="cancelled">est</tei:del> (hoc est <tei:lb xml:id="l36"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfenced open="" close=")"><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow></math></tei:formula> est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>81</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Nam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l37"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> &c.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par11">Eodem modo simplices etiam potestates eliciuntur. Ut si quadrato-cubus <tei:lb xml:id="l38"/>ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mtext>hoc est</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mn>5</mn></msup><mtext>, seu</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>1</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow></math></tei:formula> desideretur: erit juxta Regulam <tei:lb xml:id="l39"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>5</mn></mrow></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>; adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><msup><mn>d</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, & <tei:lb xml:id="l40"/>sic <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>C</mn><mo>=</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>D</mn><mo>=</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>E</mn><mo>=</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>F</mn><mo>=</mo><mrow><msup><mn>e</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>G</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>F</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. Hoc est <tei:lb xml:id="l41"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mn>5</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mrow><msup><mn>d</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><msup><mn>e</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par12">Quinetiam Divisio, sive simplex sit, sive repetita, per eandem <tei:lb xml:id="l42"/>Regulam perficitur. Ut si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mtext>hoc est</mtext><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>sive</mtext><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></mfenced></math></tei:formula> in seriem <tei:lb xml:id="l43"/>simplicium terminorum resolvendum sit: erit juxta Regulam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l44"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><msup><mn>D</mn><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><msup><mn>d</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula> seu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>d</mn></mfrac></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced open="(" close=""><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>×</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>d</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l45"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula>, & sic <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>C</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>D</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup></mfrac></mrow></math></tei:formula> &c Hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>d</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>e</mn><mn>3 </mn></msup><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par13">Sic <tei:choice><tei:sic>et</tei:sic><tei:corr>est</tei:corr></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula> (hoc est unitas <tei:add indicator="yes" place="supralinear">ter</tei:add> divisa per <tei:del type="strikethrough">cubum ipsius</tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l46"/>vel semel per cubum ejus,) evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>5</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><msup><mn>d</mn><mn>6</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par14">Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>N</mn></math></tei:formula> divisum per radicem cubicam ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l47"/>evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><mover><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>81</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>10</mn><mn>8</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par15">Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> (hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>N</mn></math></tei:formula> divisum per radicem quadrato-cubicam <tei:lb xml:id="l48"/>ex cubo ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula>, sive <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="" close=")"><mrow><mfrac><mn>N</mn><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑤</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mover><mrow><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math></tei:formula> evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>9</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>13</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l49"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>52</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>125</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>18</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par16">Per eandem Regulam <tei:del type="cancelled">etiam</tei:del> Geneses Potestatum, Divisiones <tei:add indicator="yes" place="supralinear">per Potestates aut <tei:add indicator="yes" place="supralinear">per</tei:add> quantitates radicales</tei:add>, et <tei:lb xml:id="l50"/>extractiones radicum <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="7"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">altiorum</tei:add> in numeris etiam commodè instituuntur.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par17"><tei:hi rend="larger">Extractiones Radicum affectarum</tei:hi> in speciebus <tei:lb xml:id="l51"/>imitantur earum extractiones in numeris, sed Methodus Vietæ et <tei:lb xml:id="l52"/>Oughtredi nostri huic negotio minùs idonea est, Quapropter <tei:lb xml:id="l53"/>aliam excogitare adactus sum cujus specimen exhibent sequentia Diagrammata <tei:lb xml:id="l54"/>ubi dextra columna prodit substituendo in media columnâ valores ipso<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l55"/>rum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>q</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> &c in sinistra columnâ expressos. Prius Diagram<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l56"/>ma exhibet resolutionem hujus <tei:del type="cancelled">literalis</tei:del> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">numeralis</tei:add> æquationis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>; et <tei:lb xml:id="l57"/><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">hic</tei:add> in supremis numeris pars negativa Radicis subducta de parte <tei:lb xml:id="l58"/>affirmativa relinquit absolutam Radicem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mspace width="0.5em"/><munder accentunder="true"><mrow><mo mathsize="50%">|</mo><mspace width="0.5em"/><mn>09455148</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></munder></mrow></math></tei:formula>: et posterius <tei:lb xml:id="l59"/>Diagramma exhibet resolutionem hujus litera<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">r</tei:add>iæ æquationis <tei:lb xml:id="l60"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:addSpan xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" spanTo="#addend001v-01" place="p002v" startDescription="f 2v" endDescription="f 1v" resp="#mjh"/> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par18"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnalign="left" rowlines="solid" rowspacing="0.3ex"> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd/> <mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd> <mtd columnalign="left"><mspace width="1em"/> <mtable rowlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mrow><mfenced open="(" close=""><mtable columnspacing="0"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>2,10000000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,00544852</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mfenced open="" close=""><mtable columnspacing="0"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>2,09455148</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>p</mn></mrow><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>8</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>4</mn></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mphantom><mtext>summa</mtext><mphantom><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable rowlines="solid" columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>+</mo><mn>0,1</mn><mo>+</mo><mn>q</mn></mrow><mo>=</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd><mo>+</mo><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,001</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>0,03</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>0,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,06</mn><mphantom><mn>1</mn></mphantom></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>1,2</mn><mphantom><mn>0</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mphantom></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6</mn><mphantom><mn>,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mphantom></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>1</mn><mphantom><mn>,001</mn></mphantom></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>10,</mn><mphantom><mn>0</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mphantom></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom><mtext>summa</mtext><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable rowlines="solid" columnspacing="0.3em" columnalign="right"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>+</mo></mphantom></mtd><mtd><mn>0,061</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>11,23</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>−</mo><mn>0,0054</mn><mo>+</mo><mn>r</mn></mrow><mo>=</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd><mo>+</mo><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>6,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>11,23</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>0,061</mn></mrow></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,0000001</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>0,000</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd><mtd><mphantom><mo>+</mo></mphantom></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd><mtd><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,0001837</mn></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>0,068</mn></mtd><mtd><mphantom><mn>q</mn></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,060642</mn><mphantom><mn>0</mn></mphantom></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>11,23</mn></mtd><mtd><mphantom><mn>q</mn></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,061</mn></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom><mtext>summa</mtext><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable rowlines="solid" columnspacing="0.3em" columnalign="right"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,0005416</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>11,162</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>−</mo><mn>0,00004852</mn><mo>+</mo><mn>s</mn></mrow><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd> <mtd/> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd/></mtr> </mtable> </math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par19"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable><mtr><mtd> <mtable columnalign="left" rowlines="solid" rowspacing="0.3ex"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd/><mphantom><mo>.</mo></mphantom></mtr> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd> <mtd columnalign="left"> <mfenced open="(" close=""><mrow><mn>a</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>64</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>131</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>512</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>509</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>16384</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mfenced> </mtd> </mtr> <mtr><mtd/></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mn>a</mn><mo>+</mo><mn>p</mn></mrow><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mphantom><mo>+</mo></mphantom></mtd><mtd><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>____________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mn>q</mn></mrow><mo>=</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mspace width="1em"/></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>64</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>r</mn></mrow><mo>=</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>4096</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mtd><mtd><mspace width="1em"/></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>1024</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mtd><mtd><mspace width="1em"/></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>65</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>65</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mphantom><mo>_______________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd/></mtr> </mtable> </mtd></mtr> <mtr><mtd> <mrow><mfenced open="" close=")"><mrow><mphantom><mfrac><mn>0</mn><msup><mn>0</mn><mn>0</mn></msup></mfrac></mphantom><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>131</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>15</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>4096</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mfenced open="(" close=""><mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>131</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>512</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>509</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>16384</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>.</mtext><mphantom><mfrac><mn>0</mn><msup><mn>0</mn><mn>0</mn></msup></mfrac></mphantom></mrow> </mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par20">In priori Diagrammate primus terminus valoris ipsorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>q</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> in <tei:lb xml:id="l61"/>prima columna invenitur dividendo primum terminum Summæ proximè <tei:lb xml:id="l62"/>superioris per coefficientem secundi termini ejusdem Summæ: Et idem termi<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l63"/>nus eodem ferè modo invenitur in secundo Diagrammate. Sed <tei:add indicator="yes" place="supralinear">hic</tei:add> præcipua <tei:lb xml:id="l64"/>difficultas est in inventione primi termini radicis: id quod methodo generali <tei:lb xml:id="l65"/>perficitur, sed hoc brevitatis gratia jam prætereo, ut et alia quædam <tei:lb xml:id="l66"/>quæ ad concinnandam operationem spectant. Neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> hic compendia tradere <tei:lb xml:id="l67"/>vacat, sed dicam tantum in genere, quod radix cujusvis æquationis semel <tei:lb xml:id="l68"/>extracta pro regula resolvendi consimiles æquationes asservari possit; <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">&</tei:add> quod ex pluribus ejusmodi regulis, regulam generaliorem plerumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> efformare <tei:lb xml:id="l69"/>liceat; quodq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> radices omnes, sive simplices sint sive affectæ, modis in<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l70"/>finitis extrahi possint, de quorum simplicioribus itaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> semper consulendum <tei:lb xml:id="l71"/>est.</tei:p> <tei:anchor xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="addend001v-01"/> <tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p002r" n="2r" facs="#MS-ADD-03977-002-00003.jpg"/><tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="pag" place="topRight" hand="#unknown1">2</tei:fw> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par21">Quomodo ex æquationibus, sic ad infinitas series reductis, areæ & lon<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l72"/>gitudines curvarum, contenta et superficies solidorum, vel quorumlibet <tei:lb xml:id="l73"/>segmentorum figurarum quarumvis eorumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> centra gravitatis determinan<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l74"/>tur, et quomodo etiam Curvæ omnes <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">M</tei:add>echanicæ ad ejusmodi æquationes <tei:lb xml:id="l75"/>infinitarum serierum reduci possint, indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> Problemata circa illas resolvi <tei:lb xml:id="l76"/>perinde ac si geo<tei:supplied reason="blot" cert="high">m</tei:supplied>etricæ essent, nimis longum foret describere. Sufficiat <tei:lb xml:id="l77"/>specimina quædam talium Problematum recensuisse: inq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ijs brevitatis <tei:lb xml:id="l78"/>gratia literas <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula> &c pro terminis seriei, sicut sub initio, nonnunquam <tei:lb xml:id="l79"/>usurpabo.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par22">1 Si ex dato sinu recto vel sinu verso arcus desideretur: sit <tei:lb xml:id="l80"/>radius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> et sinus rectus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>: hoc <tei:lb xml:id="l81"/>est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo>×</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>D</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Vel sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula> diameter <tei:lb xml:id="l82"/><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> ac <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> sinus versus, et erit arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></mrow><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> hoc <tei:lb xml:id="l83"/>est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par23">2 Si vicissim ex dato arcu desidere<tei:add indicator="yes" place="supralinear">n</tei:add>tur sinus: <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> sit radius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> et <tei:lb xml:id="l84"/>arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> sinus rectus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>9</mn></msup><mrow><mn>36288</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l85"/>hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>; <tei:del type="cancelled">Vel sit</tei:del> Et sinus versus <tei:lb xml:id="l86"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>6</mn></msup><mrow><mn>720</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>8</mn></msup><mrow><mn>4032</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>, hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mrow><mn>8</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>.<tei:hi rend="superscript">q</tei:hi><tei:anchor xml:id="n002r-01"/><tei:note place="marginLeft" target="#n002r-01" hand="#ho"><tei:hi rend="superscript">q</tei:hi> annon <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula> desint</tei:note></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par24">3 Si arcus capiendus sit in ratione datâ ad <tei:add indicator="yes" place="supralinear">alium</tei:add> arcum: <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">es</tei:add>to <tei:lb xml:id="l87"/><tei:del type="cancelled">radius</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">diameter</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">chorda</tei:add> arcus da<tei:del type="over">d</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">t</tei:add>i <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>, & arcus quæsitus ad arcum illum <tei:lb xml:id="l88"/>datum ut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula>; eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:del type="cancelled">sinus</tei:del> arcûs quæsiti <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">chorda</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l89"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>25</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>36</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>D</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>49</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>×</mo><mrow><mn>11</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>E</mn></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Ubi nota <tei:lb xml:id="l90"/>quod cùm <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> est numerus impar, series desinet esse infinita, et evadet <tei:lb xml:id="l91"/>eadem quæ prodit per vulgarem Algebram ad multiplicandum datum an<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l92"/>gulum per istum numerum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par25">4 Si in axe <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="4"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">alterutro</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="4"/></tei:del> Ellipseos <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>ADB</mn></math></tei:formula> <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-01.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l93"/>(cujus centrum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula> & <tei:del type="cancelled">se<tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="7"/> <tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:del type="cancelled">alter</tei:del></tei:add> <tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="7"/> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>E</mn></math></tei:formula></tei:del> axis alter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DH</mn></math></tei:formula>) <tei:lb xml:id="l94"/>detur punctum aliquod <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>E</mn></math></tei:formula> circa quod recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>EG</mn></math></tei:formula> occurrens <tei:lb xml:id="l95"/>Ellipsi in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>G</mn></math></tei:formula> <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="7"/></tei:del> motu angulari feratur, et ex data <tei:lb xml:id="l96"/>area sectoris Ellipticæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BEG</mn></math></tei:formula> quæratur recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GF</mn></math></tei:formula> quæ <tei:lb xml:id="l97"/>a puncto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>G</mn></math></tei:formula> ad axem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> normaliter demittitur: esto <tei:lb xml:id="l98"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BC</mn><mo>=</mo><mn>q</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DC</mn><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>EB</mn><mo>=</mo><mn>t</mn></mrow></math></tei:formula>, ac duplum areæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BEG</mn><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula>; <tei:lb xml:id="l99"/>et erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>GF</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>t</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>q</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn></mrow></mrow><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mspace width="1em"/><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>280</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>504</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>225</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn></mrow></mrow><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l100"/>Sic itaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> Astronomicum illud Kepleri Problema resolvi potest.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par26">5. In eâdem Ellipsi si statuatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CD</mn><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>CB</mn><mo>q</mo></msup><mn>CD</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CF</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:add indicator="yes" place="supralinear">erit</tei:add> <tei:lb xml:id="l101"/>arcus Ellipticus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnalign="left" columnspacing="0.3em"> <mtr><mtd><mn>DG</mn></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>x</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>18</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>11</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>28</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd> <mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3 </mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>48</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>3</mn><mrow><mn>88</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>5</mn><mrow><mn>1152</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>5</mn><mrow><mn>352</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>7</mn><mrow><mn>2816</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l102"/><tei:add indicator="no" place="marginLeft">6</tei:add> <tei:lb type="intentional" xml:id="l103"/>Hic numerales coefficientes <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">s</tei:add>upremorum terminorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>14</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mfenced></math></tei:formula> sunt in <tei:lb xml:id="l104"/>musica progressione, & numerales coefficientes omnium inferiorum in una<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l105"/>quaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> columna prodeunt multiplicando continuò numeralem coefficientem <tei:fw type="catch" place="bottomRight">supremi</tei:fw><tei:pb xml:id="p003r" n="3r" facs="#MS-ADD-03977-002-00005.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknown1">3</tei:fw> supremi termini per terminos hujus progressionis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l106"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>7</mn></mrow><mn>8</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>9</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>9</mn></mrow><mn>10</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>: ubi <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> significat numerum dimensi<tei:lb xml:id="l107"/>onum ipsius <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula> in denominatore <tei:add indicator="yes" place="supralinear">istius</tei:add> supremi termini. E.g. ut <tei:lb xml:id="l108"/>terminorum infra <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula>, numerales coefficientes inveniantur, <tei:lb xml:id="l109"/>pono <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>6</mn></mrow></math></tei:formula>, ducoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>22</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> (numeralem coefficientem ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>) <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>in</mo></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l110"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo rspace="0.5em">in</mo><mn>1</mn></math></tei:formula>; et prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>22</mn></mfrac></math></tei:formula> numeralis coefficiens termini <tei:lb xml:id="l111"/>proximè inferioris; dein duco hunc <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>22</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> sive <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mrow><mn>n</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l112"/>hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> & prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>88</mn></mfrac></math></tei:formula> numeralis coefficiens tertij termini in <tei:lb xml:id="l113"/>ista columna. Atq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ita <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>88</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> facit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>5</mn><mn>352</mn></mfrac></math></tei:formula> num. coeff. <tei:choice><tei:abbr>q<tei:hi rend="superscript">rti</tei:hi></tei:abbr><tei:expan>quarti</tei:expan></tei:choice> termini <tei:lb xml:id="l114"/><tei:add indicator="no" place="marginLeft">6.</tei:add> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>352</mn></mfrac><mo>×</mo> <mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>7</mn></mrow><mn>8</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> facit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>7</mn><mn>2816 </mn></mfrac></math></tei:formula> numeralem coefficientem infimi termini <tei:lb xml:id="l115"/>Idem in alijs ad infinitum <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="7"/></tei:del> usq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> columnis præstari potest, <tei:lb xml:id="l116"/>adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> valor ipsius <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DG</mn></math></tei:formula></tei:add> per hanc Regulam pro lubitu produci.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par27">Adhæc si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BF</mn></math></tei:formula> dicatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula>, sitq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> latus rectum Ellipseos <tei:lb xml:id="l117"/>& <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>r</mn><mn>AB</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>; erit arcus Ellipticus <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> <tei:lb type="intentional" xml:id="l118"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable rowalign="top"> <mtr> <mtd> <mtable rowspacing="1em"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd> <mtable rowalign="top"><mtr> <mtd><mrow><mn>BG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><msqrt/><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow><mo lspace="1em" rspace="1em">in</mo></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid" rowspacing="1em"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd> <mtable rowalign="top"><mtr> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mphantom><msqrt/></mphantom></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo>}</mo> </mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mn>x</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> <mtd/> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>2</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable><mspace width="0.5em"/><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> <mtd><mspace width="1em"/></mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>4</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>23</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable><mspace width="0.5em"/><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> <mtd><mspace width="1em"/></mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>10</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>30</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>123</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>91</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>45</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable><mspace width="0.5em"/><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> </mtr></mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowspacing="1em"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd> <mtable rowalign="top"><mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext><mrow><mphantom><msqrt/></mphantom></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr></mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l119"/>Quare si ambitus totius Ellipseos desideretur: b<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">is</tei:add>eca <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CB</mn></math></tei:formula> in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>F</mn></math></tei:formula>, & <tei:lb xml:id="l120"/>quære arcum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DG</mn></math></tei:formula> per prius Theorema et arcum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BG</mn></math></tei:formula> per posterius.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par28">6. Si vice versa ex dato arcu Elliptico <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DG</mn></math></tei:formula> quæratur sinus <tei:lb xml:id="l121"/>ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CF</mn></math></tei:formula>, tum dicto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CD</mn><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>CB</mn><mo>q</mo></msup> <mn>CD</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>, & arcu illo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DG</mn><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> erit <tei:lb type="intentional" xml:id="l122"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mn>CF</mn></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>z</mn></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>13</mn><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>71</mn><mrow><mn>420</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>493</mn><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par29">Quæ autem de Ellipsi d<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">i</tei:add>cta sunt, omnia facilè accommodantur <tei:lb xml:id="l123"/>ad Hyperbolam: mutat<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">i</tei:add>s tantum signis ipsorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula> ubi sunt impari<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l124"/>um dimensionum.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par30">7. Præterea si sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CE</mn></math></tei:formula> Hyperbola cujus <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-02.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l125"/>Asymptoti <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AF</mn></math></tei:formula> rectum angulum <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>FAD</mn></math></tei:formula></tei:add> constituant <tei:lb xml:id="l126"/>et ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> erigantur utcunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> perpendicula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BC</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l127"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DE</mn></math></tei:formula> occurrentia Hyperbolæ in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula> et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>E</mn></math></tei:formula>, & <tei:lb xml:id="l128"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> dicatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>a</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BC</mn></math></tei:formula> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>b</mn></math></tei:formula>, & area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BCED</mn></math></tei:formula> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l129"/>erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BD</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>b</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>: Ubi coefficientes <tei:lb xml:id="l130"/>denominatorum prodeunt multiplicando terminos hujus arithmeticæ <tei:lb xml:id="l131"/>progressionis, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="" close="" separators=","><mn>1</mn><mn>2</mn><mn>3</mn><mn>4</mn><mn>5</mn><mtext>&c</mtext></mfenced></math></tei:formula> in se continuò. Et hinc ex Logarithmo <tei:lb xml:id="l132"/>dato potest numerus ei competens inveniri.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par31">8 Esto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VDE</mn></math></tei:formula> Quadratrix cujus vertex <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>V</mn></math></tei:formula>, <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-03.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l133"/>existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> centro et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula><tei:anchor xml:id="n003r-01"/><tei:note place="marginLeft" target="#n003r-01" hand="#ho">q. annon debeat esse semi-diameter?</tei:note> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">semi-</tei:add>diametro circuli ad <tei:lb xml:id="l134"/>q<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">ue</tei:add>m aptatur, et angulo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VAE</mn></math></tei:formula> recto. Demissoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l135"/>ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> perpendiculo quovis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DB</mn></math></tei:formula> et acta <tei:add indicator="yes" place="supralinear">Quadratricis</tei:add> tangente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DT</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l136"/>occurrente axi ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula> in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>T</mn></math></tei:formula>: dic <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AV</mn><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>, & <tei:lb xml:id="l137"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AB</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>, eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:del type="cancelled"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BD</mn><mo>=</mo><mrow><mn>a</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>45</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>945</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et <tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del> <tei:lb xml:id="l138"/><tei:del type="cancelled"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>VT</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>15</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>189</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AVDB</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>225</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>6615</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:del> <tei:pb xml:id="p003v" n="3v" facs="#MS-ADD-03977-002-00006.jpg"/> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BD</mn><mo>=</mo><mrow><mn>a</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>45</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>945</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>VT</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>15</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6 </mn></msup></mrow><mrow><mn>189</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l139"/>area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AVDB</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>a </mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>225</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>6615</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>VD</mn><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>27</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l140"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>2025</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>604</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>893025</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Unde vicissim ex dato <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BD</mn></math></tei:formula>, vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VT</mn></math></tei:formula>, aut areâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AVDB</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l141"/>arcuve <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VD</mn></math></tei:formula>, per resolutionem affectarum æquationum erui potest <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> seu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par32">9 Esto deniq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AEB</mn></math></tei:formula> Sphæroides, revolutione Ellipseos <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-04.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l142"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AEB</mn></math></tei:formula> circa axem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> genita, et secta planis quatuor, <tei:lb xml:id="l143"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> per axem transeunte, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DC</mn></math></tei:formula> parallelo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CDE</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l144"/>perpendiculariter bisecante axem, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>FC</mn></math></tei:formula> parallel<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">o</tei:add> <tei:lb xml:id="l145"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CE</mn></math></tei:formula>: sitq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CB</mn><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CE</mn><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CF</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>. & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>FG</mn><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></math></tei:formula>; <tei:lb xml:id="l146"/>et Sphæroideos segmentum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CDFG</mn></math></tei:formula> dictis quatuor <tei:lb xml:id="l147"/>planis comprehensum erit <tei:lb type="intentional" xml:id="l148"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="right"> <mtr><mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><mn mathsize="130%">y</mn></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="130%">y</mn><mn mathsize="130%">3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>20</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="130%">y</mn><mn mathsize="130%">5</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>56</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="130%">y</mn><mn mathsize="130%">7</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>576</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="130%">y</mn><mn mathsize="130%">9</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>18</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>336</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>20</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>160</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>56</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>336</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow><mrow><mn>576</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l149"/><tei:add indicator="no" place="marginLeft">56</tei:add> Ubi <tei:add indicator="yes" place="supralinear"/> numerales coefficientes supremorum terminorum <tei:lb type="intentional" xml:id="l150"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>2</mn><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mphantom><mo>−</mo></mphantom><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>20</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>56</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>576</mn></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mfenced></math></tei:formula> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">in</tei:add> infinitum pro<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l151"/>ducuntur multiplicando <tei:del type="strikethrough">numerum binarium</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">primum coefficientem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></tei:formula></tei:add> continuò per terminos <tei:lb xml:id="l152"/>hujus progressionis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mphantom><mo>−</mo></mphantom><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>×</mo><mn>11</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Et <tei:add indicator="yes" place="supralinear">numerales</tei:add> coefficientes termino<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l153"/>rum in unaquaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> coluna descendentium in infinitum producuntur multi<tei:lb xml:id="l154"/>plicando continuo coefficientem supremi termini in prima colu<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">m</tei:add>na <tei:lb xml:id="l155"/>per eandem progressionem in secunda autem per terminos hujus <tei:lb xml:id="l156"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in tertia per terminos hujus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l157"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in quarta per terminos huius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in <tei:lb xml:id="l158"/>quinta per terminos huius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>11</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> Et sic in infinitum. <tei:lb xml:id="l159"/><tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> Et eodem modo segmenta aliorum solidorum designari, et valores eorum <tei:lb xml:id="l160"/><tei:add indicator="yes" place="supralinear">aliquando commodè</tei:add> per series quasdem numerales in infinitum produci possunt.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par33">Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi infinitas <tei:lb xml:id="l161"/>æquationes ampliantur: qu<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="4"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">ippe</tei:add><tei:del type="cancelled"/> quæ earum beneficio, ad omnia, pene dixe<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l162"/>rim, problemata (si numeralia <tei:hi rend="underline">Diophanti</tei:hi> et similia excipias) sese extendit <tei:lb xml:id="l163"/><tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> Non tamen omninò universalis evadit, nisi per <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> ulteriores quasdem me<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l164"/>thodos eliciendi series infinitas. Sunt enim quædam Problemata in <tei:lb xml:id="l165"/>quibus non liceat ad series infinitas per divisionem vel extractionem radicum <tei:lb xml:id="l166"/>simplicium affectarumve pervenire: sed quomodo in istis casibus proceden<tei:lb xml:id="l167"/>dum sit jam non <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">v</tei:add>acat dicere, ut neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> alia quædam tradere quæ <tei:lb xml:id="l168"/>circa reductionem infinitarum serierum in finitas, ubi rei natur<tei:supplied reason="damage" cert="high">a</tei:supplied> <tei:lb xml:id="l169"/>tulerit, excogitavi. Nam <tei:del type="cancelled"><tei:unclear reason="hand" cert="low">hisce</tei:unclear> quanquam paucis scribendis fatigor, utpote</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">parciùs scribo, quòd <tei:del type="cancelled"><tei:unclear reason="hand" cert="low">horum</tei:unclear> <tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del></tei:add> <tei:lb xml:id="l170"/><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> hæ speculationes diu <tei:add indicator="yes" place="supralinear">mihi</tei:add> fastidio e<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">s</tei:add>se cœperunt, adeò ut ab ijsdem jam per <tei:lb xml:id="l171"/>quinq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ferè annos abstinuerim. <tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> Unum tamen addam: quòd postquam <tei:lb xml:id="l172"/>Problema aliquod ad infinitam æquationem deducitur, possint inde variæ <tei:lb xml:id="l173"/>approximationes in usum Mechanicæ nullo ferè negotio formari, quæ <tei:lb xml:id="l174"/>per alias methodos quæsitæ, multo labore temporisq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> dispendio constare solent. <tei:lb xml:id="l175"/><tei:add indicator="no" place="inline">[</tei:add> Cujus rei exemplo esse possunt Tractatus <tei:hi rend="underline">Hugenij</tei:hi> aliorumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> de Quadrat<tei:supplied reason="illgbl" cert="high">ura</tei:supplied> <tei:lb xml:id="l176"/>circuli. Nam ut ex data arcûs chorda <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, & dimidij arcûs chorda <tei:supplied reason="illgbl" cert="medium"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula></tei:supplied> <tei:lb xml:id="l177"/>arcum <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> illum proxime assequa<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">ris</tei:add>, finge arcum illum esse <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, et circul<tei:supplied reason="illgbl" cert="medium">i</tei:supplied> radium <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula>; juxtaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> superiora erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> (nempe duplum sinus dimidij <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>) <tei:fw type="catch" place="bottomRight"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula></tei:fw><tei:pb xml:id="p004r" n="4r" facs="#MS-ADD-03977-002-00007.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknown1">4</tei:fw> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn> <mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>B</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Duc <tei:lb xml:id="l178"/>jam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula> in numerum fictitium <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> et a producto aufer <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, et residui secun<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l179"/>dum terminum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mtext>nempe</mtext><mspace width="0.5em"/><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mtext>,</mtext></mrow></mfenced></math></tei:formula> eo ut evanescat, pone <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>, indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l180"/>emerget <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>8</mn></mrow></math></tei:formula>, et erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mn>A</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>∗</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>64</mn><mo>×</mo><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>: hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mn>A</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l181"/>errore tantum existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>7680</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> in excessu. Quod est <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> Theorema Huge<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l182"/>nianum.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par34">Insuper si in arcûs <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Bb</mn></math></tei:formula> sagittâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">indefinitè</tei:add> productâ <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-05.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l183"/>quæratur punctum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>G</mn></math></tei:formula> a quo actæ rectæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GB</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Gb</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l184"/>abscindant tangentem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ee</mn></math></tei:formula> quam proximè æqualem <tei:lb xml:id="l185"/>arcui ist<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">i</tei:add>: esto circuli <tei:add indicator="yes" place="supralinear">centrum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula>,</tei:add> diameter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AK</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>, et <tei:lb xml:id="l186"/><tei:del type="cancelled">erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DB</mn></math></tei:formula></tei:del> sagitta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AD</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula> et erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>DB</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt/><mover><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l187"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>=</mo><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3 </mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>16</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l188"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfenced><mrow><mo>=</mo><mn>AB</mn></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Et <tei:lb xml:id="l189"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>AE</mn><mo>−</mo><mn>DB</mn></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>AD</mn></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>AE</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>AG</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:add indicator="yes" place="supralinear">Quare <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AG</mn></math></tei:formula></tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>175</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mtext>vel</mtext><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula></tei:add>. Finge ergo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, et vicissim <tei:lb xml:id="l190"/>erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>DG</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>6</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>DB</mn></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>DA</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>AE</mn><mo>−</mo><mn>DB</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>. Quare <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>AE</mn><mo>−</mo><mn>DB</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>23</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>300</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l191"/>Adde <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> et prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AE</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>17</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>1200</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Hoc aufer de <tei:lb xml:id="l192"/>valore ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> supra habito et restabit error <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>16</mn><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>525</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>vel</mn><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Quare in <tei:lb xml:id="l193"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AG</mn></math></tei:formula> cape <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AH</mn></math></tei:formula> quintam partem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DH</mn></math></tei:formula>, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>KG</mn><mo>=</mo><mn>HC</mn></mrow></math></tei:formula>; et actæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GBE</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Gbe</mn></math></tei:formula> ab<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l194"/>scindent tangentem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ee</mn></math></tei:formula> quam proximè æqualem arcui <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Bab</mn></math></tei:formula> errore tantum <tei:lb xml:id="l195"/>existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>16</mn><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>525</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mn>vel</mn><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>; multò minore scilicet quam in Theore<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l196"/>mate Hugenij. Quod si fiat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>AH</mn></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>DH</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>n</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, et capiatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>KG</mn><mo>=</mo><mrow><mn>CH</mn><mo>−</mo><mn>n</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l197"/>erit error adhuc multò minor.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par35">Atq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ita si circuli segmentum aliquod <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BAb</mn></math></tei:formula> per Mechanicam de<tei:lb xml:id="l198"/>signandum esset: primò reducerem aream istam in infinitam seriem; <tei:lb xml:id="l199"/>puta hanc <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BbA</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>9</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>36</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>; dein quærerem <tei:lb xml:id="l200"/>constructiones me<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">c</tei:add>hanicas quibus hanc serie<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">m</tei:add> proximè assequere<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">t</tei:add><tei:del type="cancelled">ur</tei:del>; cu<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l201"/>jusmodi sunt hæc. Age rectam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, et erit <tei:choice><tei:abbr>segm:</tei:abbr><tei:expan>segmentum</tei:expan></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BbA</mn><mo>=</mo><mrow><mover><mrow><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AB</mn></mrow><mo>+</mo><mn>BD</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mo>×</mo><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l202"/>proximè, existente scilicet errore tantum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>70</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in defectu: <tei:lb xml:id="l203"/>vel proximiùs erit segmentum illud, (bisecto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>F</mn></math></tei:formula> et acta recta <tei:lb xml:id="l204"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BF</mn></math></tei:formula>,) <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>BF</mn></mrow><mo>+</mo><mn>AB</mn></mrow><mn>15</mn></mfrac><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, existente errore solummodo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>560</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>: qui <tei:lb xml:id="l205"/>semper minor est quàm <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>1500</mn></mfrac></math></tei:formula> totius segmenti, <tei:del type="strikethrough"><tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="7"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">dummodo</tei:add> segmentum <tei:add indicator="yes" place="supralinear">illud non</tei:add> ponatur</tei:del> <tei:lb xml:id="l206"/><tei:del type="strikethrough">semicirculus sit major semicircula</tei:del> etiamsi segmentum illud ad usq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> semicirculum augeatur.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par36">Sic et in Ellipsi <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BAb</mn></math></tei:formula> cujus vertex <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, axis alteruter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AK</mn></math></tei:formula>, et latus rectum <tei:lb xml:id="l207"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AP</mn></math></tei:formula>, cape <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>19</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>; in Hyperbola verò cape <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> <tei:lb xml:id="l208"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>19</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>: et acta recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GBE</mn></math></tei:formula> abscindet tangentem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l209"/>quamproximè æqualem arcui Elliptico vel Hyperbolico <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, dummodo ar<tei:supplied reason="damage" cert="high">cus</tei:supplied> <tei:lb xml:id="l210"/>ille non sit nimis magnus. Et pro area segmenti Hyperbolici <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BbA</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l211"/><tei:del type="strikethrough">cape <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PT</mn><mo>=</mo><mn>Lat: recto</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PS</mn><mo>=</mo><mn>Lat: transverso</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PQ</mn><mo>=</mo><mn>AD</mn></mrow></math></tei:formula>, et</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear">in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DP</mn></math></tei:formula> cape <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del></tei:add> <tei:del type="cancelled"><tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-06.png"/><tei:figDesc/></tei:figure></tei:del> <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00198-07.png"/><tei:figDesc/></tei:figure><tei:lb xml:id="l212"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DM</mn> <mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>AD</mn><mo>q</mo></msup></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula> et ad <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula></tei:add> et <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>M</mn></math></tei:formula></tei:add> erige perpendicula <tei:add indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Dβ</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>MN</mn></math></tei:formula></tei:add> oc<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l213"/>currentia semicirculo <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del> super diametro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AP</mn></math></tei:formula> <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="blot" unit="chars" extent="2"/></tei:del> de<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l214"/>scripto, eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AN</mn></mrow><mo>+</mo><mn>Aβ</mn></mrow><mn>15</mn></mfrac><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>BbA</mn></mrow></math></tei:formula> proximè vel <tei:lb xml:id="l215"/>proximius erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>AN</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>Aβ</mn></mrow></mrow><mn>75</mn></mfrac><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>BbA</mn></mrow></math></tei:formula>, si modoò capiatur <tei:lb xml:id="l216"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DM</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>AD</mn><mo>q</mo></msup></mrow><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> </div> </div> </body> </text> </TEI>