De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas

No. 2 No. 2. p. 67 Sent by Dr. Barrow to Mr. Collins in a Letter dated July 31. 1669. No (4)

2 De Analysi per æquationes numero terminorum infinitas.

Methodum generalem quam de curvarum quantitate per infinitam terminorum seriem mensuranda olim excogitaveram, in sequentibus brevitèr explicatam potiùs quàm accuratè demonstratam habes.

Basi $AB$ , curvæ alicujus $AD$ , sit applicata $BD$ perpendicularis: & vocetur $AB = x$ , & $BD = y$ ; & sint $a$ , $b$ , $c$ &c quantitates datæ; & $m$ , $n$ numeri integri. Deinde

Curvarum Simplicium Quadratura Reg: I. Si

a x^{\frac{m}{n}} = y

, erit

\frac{n a}{m + n} x^{\frac{m + n}{n}} = Area ABD

. Res exemplo patebit. Exemp 1. Si

x^{2} (= 1 \times x^{\frac{2}{1}}) = y

; hoc est si

a = 1 = n

, &

m = 2

; erit

\frac{1}{3} x^{3} = ABD

. Exempl 2. Si

4 \sqrt{} x (= 4 x^{\frac{1}{2}}) = y

erit

\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} (= \frac{8}{3} \sqrt{} x^{3}) = ABD

. Exemp 3. Si

\sqrt{} 3: x^{5} (= x^{\frac{5}{3}}) = y

, erit

\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} (= \frac{3}{8} \sqrt{} 3: x^{8}) = ABD

. Exemp 4. Si

\frac{1}{x^{2}} (= x^{- 2}) = y

, id est si

a = 1 = n

m = - 2

, erit

(\frac{1}{- 1} x^{\frac{- 1}{1}}

)

=) - x^{- 1} (= \frac{- 1}{x})

= αBD

infinitè versus

α

protensæ; quam calculus ponit negativam propterea quòd jacet ex altera parte lineæ

BD

. Exemp: 5. Si

\frac{2}{3 \sqrt{} x^{3}} (= \frac{2}{3} x^{\frac{- 3}{2}}) = y

, erit

\frac{2}{- 1} x^{\frac{- 1}{2}} = - \frac{2}{\sqrt{} x} = BDα

. Exemp 6. Si

\frac{1}{x} (= x^{- 1})

= y

, erit

\frac{1}{0} x^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{0} x^{0} = \frac{1}{0} \times 1 = \frac{1}{0} = infinitæ

, qualis est area Hyperbolæ utraqꝫque parte linea

BD

. Reg II. Si valor ipsius

y

ex pluribus istius modi et compositarum ex simplicibus terminis componitur, area etiam componetur ex areis quaæ a singulis terminis emanant. Hujus Exempla prima Ssunto. Si

x^{2} + x^{\frac{3}{2}} = y

erit

\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} = ABD

. EtEenim si semper sit

x^{2} = BF

, &

x^{\frac{3}{2}} = FD

; erit ex præcedenti Regula

\frac{x^{3}}{3} =

superficiei

AFB

descriptæ per lineam

BF

, &

\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} = AFD

superf descriptæ per

DF

; Quare

\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} =

totæ

ABD

. Sic si

x^{2} - x^{\frac{3}{2}} = y

erit

\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} = ABD

. Et si

3

x - 2 x^{2} + x^{3} - 5 x^{4} = y

, erit

\frac{3}{2} x^{2} - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} - x^{5} = ABD

. Exempla secunda. Si

x^{- 2} + x^{\frac{- 3}{2}} = y

, erit

- x^{- 1} - 2 x^{\frac{- 1}{2}} = αBD

. Vel si

x^{- 2} - x^{\frac{- 3}{2}} = y

, erit

- x^{- 1} + 2 x^{\frac{- 1}{2}} = αBD

. Quarum signa si mutaveris habebis affirmativum valorem (

x^{- 1} + 2 x^{\frac{- 1}{2}}

vel

x^{- 1} - 2 x^{\frac{- 1}{2}}

) Superficiei

αBD

, modò tota cadat supra Basin

ABα

; sin aliqua pars cadat infra, (quod fit cùm curva decussat suam Basin inter

B

α

, ut hic vides in

δ

,) istâ parte a parte superiori subductâ, habebis valorem differentiæ. Earum verò summam si cupis, quære utramqꝫque superficiem seorsim, & adde. Quod idem in reliquis hujus regulæ exemplis notandum volo. Exempla tertia. Si

x^{2} + x^{- 2} = y

, erit

\frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} =

superficiei descriptæ. Sed hic notandum est quod dictæ superficiei partes sic inventæ jacent ex diverso latere lineæ

BD

: nempe, posito

x^{2} = BF

x^{- 2} = FD

, erit

\frac{1}{3} x^{3} = ABF

superficiei per

BF

descriptæ, &

- x^{- 1} = DFα

descriptæ per

DF

. Et hoc semper accidit cum indices

(\frac{m + n}{n})

rationum basis

x

in valore superficiei quæsitæ sint varijs signis affectæ. In hujus modi casibus pars aliqua

BDδβ

superficiei media (quæ sola dari poterit, cùm superficies sit utrinqꝫque infinita) sic invenitur. Subtrahe superficiem ad minorem basin

Aβ

pertinentem a Superficie ad majorem basin

AB

pertinente & habebis

βBDδ

superficiem differentiæ basium insistentem. Sic in hoc exemplo, Si

AB = 2

Aβ = 1

, erit

βBDδ = \frac{17}{6}

. Enim superficies ad

AB

pertinens (viz

ABF - DFα

) erit

\frac{8}{3} - \frac{1}{2}

, sive

\frac{13}{6}

; Et superficies ad

Aβ

pertinens (viz

Aφβ - δφα

) erit

\frac{1}{3} - 1

, sive

- \frac{2}{3}

: Et earum differentia (viz

ABF - DFα - Aφβ

+ δφα = βBDδ

) erit

\frac{13}{6} + \frac{2}{3}

sive

\frac{17}{6}

. Eodem modo si

Aβ = 1

, &

AB = x

erit

βBDδ = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1}

. Sic si

2 x^{3} - 3 x^{5} - \frac{2}{3} x^{- 4}

+ x^{\frac{- 3}{5}} = y

, &

Aβ = 1

; Erit

βBDδ = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{6} + \frac{2}{9} x^{- 3} + \frac{5}{2} x^{\frac{2}{5}} - \frac{49}{18}

. Deniqꝫque notari poterit quòd si quantitas

x^{- 1}

in valore ipsinsipsius

y

reperiatur, iste terminus (cùm hyperbolicam superficiem generat) seorsim a reliquis considerandus est. Ut si

x^{2} + x^{- 3} + x^{- 1}

= y

: Sit

x^{- 1} = BF

, &

x^{2} + x^{- 3} = FD

, ac

AB

Aβ = 1

; Et erit

δφFD = \frac{1}{6} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{- 2}}{2}

, utpote quæ ex terminis

x^{2} + x^{- 3}

generatur: quare si reliqua superficies

ββFB

φβFB

, quæ Hyperbolica est, ex calculo aliqua sit data, dabitur tota

βBDδ

. 3 et aliaruum omnium. Reg III. Sin valor ipsius

y

vel aliquis ejus terminus sit præcedentibus magis compositus, in terminos simpliciores reducentus est, operando in literis ad eundem modum quo Arithmetici in numeris decimalibus dividunt, radices extrahunt, vel affectas Æquationes solvunt. Et ex istis terminis quæsitam curvæ superficiem per præcedentes regulas dinceps elicies. Exempla dividendo. Sit

\frac{a a}{b + x} = y

, curvâ nempe exist ente Hyperbolâ: Iam ut æquatio ista a denominatore suo liberetur divisionem sic instituo

\begin{matrix} b & + & x & ) & a a & + & 0 & ( & \frac{a a}{b} & - & \frac{a a x}{b b} & + & \frac{a a x^{2}}{b^{3}} & - & \frac{a a x^{3}}{b^{4}} & &c \\ a a & + & \frac{a a x}{b} \\ ___ & ___ & ___ \\ 0 & - & \frac{a a x}{b} & + & 0 \\ - & \frac{a a x}{b} & - & \frac{a a x^{2}}{b b} \\ ___ & ___ & ___ & ___ \\ 0 & + & \frac{a a x^{2}}{b b} & + & 0 \\ + & \frac{a a x^{2}}{b^{2}} & + & \frac{a a x^{3}}{b^{3}} \\ ___ & ___ & ___ & ___ \\ 0 & - & \frac{a a x^{3}}{b^{3}} & + & 0 \\ - & \frac{a a x^{3}}{b^{3}} & - & \frac{a a x^{4}}{b^{4}} \\ ___ & ___ & ___ & ___ \\ 0 & + & \frac{a a x^{4}}{b^{4}} & &c \end{matrix}

Et sic vice hujus

y = \frac{a a}{b + x}

nova prodit

y = \frac{a a}{b} - \frac{a^{2} x}{b^{2}} + \frac{a^{2} x^{2}}{b^{3}} - \frac{a^{2} x^{3}}{b^{4}}

&c serie istûcistâc infinitè continuatâ. Adeoqꝫque per Reg 2amsecundam erit area

ABDC = \frac{a^{2} x}{b} - \frac{a^{2} x^{2}}{2 b^{2}} + \frac{a^{2} x^{3}}{3 b^{3}} - \frac{a^{2} x^{4}}{4 b^{4}}

&c infinitæ etiam seriei, tamen cujus termini pauci initiales erunt in usum aliquem satis exacti cùm

x

sit aliquoties minor quam

b

. Eodem modo si

\frac{1}{1 + x x} = y

, dividendo prodibit

y = 1 - x x + x^{4} - x^{6} + x^{8}

&c: Unde per Reg 2 erit

ABDC = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7}

&c Vel si terminus

x x

ponatur in divisore primus, hoc modo

x x + 1) 1

: prodibit

x^{- 2} - x^{- 4} + x^{- 6} - x^{- 8}

&c pro valore ipsius

y

. Unde per Reg 2 erit

BDα = - x^{- 1} + \frac{x^{- 3}}{3} - \frac{x^{- 5}}{5} + \frac{x^{- 7}}{7}

&c. Priori modo procede cum

x

sit satis parva, posteriori cùm satis magna supponitur. Deniqꝫque si

\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}} - 3 x} = y

, dividendo prodit

2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 7 x^{\frac{3}{2}} - 13 x^{2} + 34 x^{\frac{5}{2}}

&c: Unde erit

ABDC = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - x^{2} + \frac{14}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{13}{3} x^{3}

&c. Præstat aliquando partes numeratoris sersim considerare, ad vitandum terminum

x^{- 1}

in quotiente; ut si

\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} = y

Exempla Radicem extrahendo. Si

\sqrt{} : a a + x x = y

, radicem sic extraho

\begin{matrix} a a & + & x x & ( & a & + & \frac{x^{2}}{2 a} & - & \frac{x^{4}}{8 a^{3}} & + & \frac{x^{6}}{16 a^{5}} & - & \frac{5 x^{8}}{128 a^{7}} & + & \frac{7 x^{10}}{256 a^{9}} & - & \frac{21 x^{12}}{1024 a^{11}} & &c \\ a a \\ ___ \\ 0 & + & x x \\ x x & + & \frac{x^{4}}{4 a a} \\ ___ & ___ & ___ \\ 0 & - & \frac{x^{4}}{4 a a} \\ - & \frac{x^{4}}{4 a a} & - & \frac{x^{6}}{8 a^{4}} & + & \frac{x^{8}}{64 a^{6}} \\ ___ & ___ & ___ & ___ & ___ \\ 0 & + & \frac{x^{6}}{8 a^{4}} & - & \frac{x^{8}}{64 a^{6}} \\ + & \frac{x^{6}}{8 a^{4}} & + & \frac{x^{8}}{16 a^{6}} & - & \frac{x^{10}}{64 a^{8}} & + & \frac{x^{12}}{256 a^{10}} \\ ___ & ___ & ___ & ___ & ___ & ___ & ___ \\ 0 & - & \frac{5 x^{8}}{64 a^{6}} & + & \frac{x^{10}}{64 a^{8}} & - & \frac{x^{12}}{256 a^{10}} & &c. \end{matrix}

Unde pro

\sqrt{} : a a + x x = y

y

, nova producitur, viz:

y = a + \frac{x x}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}}

&c: Et area Hyperbolæ quæsita erit

ABDC = a x + \frac{x^{3}}{6 a} - \frac{x^{5}}{40 a^{3}} + \frac{x^{7}}{112 a^{5}} - \frac{5 x^{9}}{1152 a^{7}}

&c. Eodem modo si

\sqrt{} : a a - x x = y

4 ejus radix erit

a - \frac{x^{2}}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}} - \frac{x^{6}}{16 a^{5}} - \frac{5 x^{8}}{128 a^{7}}

&c: Adeóqꝫque area circuli quæsita

ABDC =

a x - \frac{x^{3}}{6 a} - \frac{x^{5}}{40 a^{3}} - \frac{x^{7}}{112 a^{5}} - \frac{5 x^{9}}{1152 a^{7}}

&c. Vel si ponas

\sqrt{} : x - x x = y

, erit radix

x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{8} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} x^{\frac{7}{2}} - \frac{5}{128} x^{\frac{9}{2}}

&c Et area quæsita

ABD =

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{28} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{72} x^{\frac{9}{2}} - \frac{5}{704} x^{\frac{11}{2}}

&c: Sive

x^{\frac{1}{2}} in \frac{2}{3} x - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{28} x^{3} - - \frac{1}{72} x^{4} - \frac{5}{704} x^{5}

&c. Si

\frac{\sqrt{} : 1 + a x^{2}}{\sqrt{} : 1 - b x^{2}} = y

, (cujus quadradtura dat longitudinem curvæ ellipticæ,) extrahendo radicem utramqꝫque, prodit

1 + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{8} x^{4} + \frac{1}{16} x^{6} - \frac{5}{12}

\frac{1 + \frac{1}{2} a x^{2} - \frac{a^{2}}{8} x^{4} + \frac{a^{3}}{16} x^{6} - \frac{5 a^{4}}{128} x^{8}}{1 - \frac{1}{2} b x^{2} - \frac{b b}{8} x^{4} - \frac{b^{3}}{16} x^{6} - \frac{5 b^{4}}{128} x^{8}} &c.

Et dividendo sicut fit in fractionibus decimalibus, habes

\begin{array}{l} 1 & + & \frac{1}{2} b & x^{2} & + & \frac{3}{8} b b & x^{4} & + & \frac{5}{16} b^{3} & x^{6} & + & \frac{35}{128} b^{4} & x^{8} \\ + & \frac{1}{2} a & + & \frac{1}{2} a b & + & \frac{3}{16} a b b & + & \frac{5}{32} a b^{3} \\ - & \frac{1}{8} a a & - & \frac{1}{16} a a b & - & \frac{3}{64} a a b b \\ + & \frac{1}{16} a^{3} & + & \frac{1}{32} a^{3} b \\ - & \frac{5}{128} a^{4} \end{array} \begin{matrix} &c \end{matrix}

Adeóqꝫque unāam quæsitam

\begin{array}{l} x & + & \frac{1}{6} b & x^{3} & + & \frac{3}{40} b^{2} & x^{5} \\ + & \frac{1}{6} a & + & \frac{1}{20} a b \\ - & \frac{1}{40} a a \end{array} \begin{matrix} &c \end{matrix}

Sed observandum est quod operatio non rarò abbreviatur per debitam Æquationis præparationem. Ut in allato exemplo

\frac{\sqrt{} : 1 + a x^{2}}{\sqrt{} : 1 - b x^{2}} = y

Si utremqꝫque partem fractionis per

\sqrt{} : 1 - b x^{2}

multiplices prodibit

\frac{\sqrt{} : 1 \binom{+ a}{- b} x^{2} - a b x^{4}}{1 - b x^{2}} = y

, & reliquum opus perficitur extrahendo radicem numeratoris tantum & dividendo per denominatorem. Ex hisce credo satis patebit modus reducendi quemlibet valorem ipsius

y

(quibuscunqꝫque) radicibus vel denominatoribus sit perplexus, ut hic videre est

x^{3} + \frac{\sqrt{x - \sqrt{} : 1 - x^{2}}}{\sqrt{} 3: a x^{2} + x^{3}} - \frac{\sqrt{} 5: x^{3} + 2 x^{5} - x^{\frac{3}{2}} :}{\sqrt{} 3: \overline{x + x^{2}} - \sqrt{} : \overline{2 x - x^{\frac{2}{3}}}} = y

) in series infinitas simplicium terminorum, ex quibus, per Reg 2, quæsita superficies cognoscetur. Exempla per resolutionem Æquationum affectarum. Numeralis æquationum affectarum resolutio. Quia tota difficultas in Resolutione latet, moduum quo ego utor in æquatione numerali primùm illustrabo. Sit

y^{3} - 2 y - 5 = 0

resolvenda: Et sit

2

numerus qui minùs quàm decimâ sui parte differt a radice quæsitâ. Tum pono

2 + p = y

, & substituo hunc sibi valorem in Æquationem; & inde nova prodit

p^{3} + 6 p^{2} + 10 p - 1 = 0

, cujus radix

p

exquirenda est ut quotienti addatur: Nempe (neglectis

p^{3} + 6 p^{2}

ob parvitatem)

10 p - 1 = 0

, sive

p = 0,1

veritateem 2 prope 1 est; itaqꝫque scribo

0,1

in quotiente, & suppono

0,1 + q = p

& hunc ejus valorem, ut priùs, substituo,

\begin{array}{l} \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} & \begin{array}{r} ( & \begin{array}{r} + & 2, & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - & 0, & 0 & 0 & 5 & 4 & 4 & 8 & 5 & 3 \end{array} \\ \begin{array}{r} + & 2, & 0 & 9 & 4 & 5 & 5 & 1 & 4 & 7 \end{array} \end{array} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{r} 2 + p = y) \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{r} + & y^{3} \\ - & 2 y \\ - & 5 \end{array} \\ Summa \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{r} + & 8 & + & 12 p & + & 6 p p & + & p^{3} \\ - & 4 & - & 2 p \\ - & 5 \end{array} \\ \begin{array}{r} - & 1 & + & 10 p & + & 6 p^{2} & + & p^{3} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{r} 0,1 + q = p) \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{r} + & p^{3} \\ + & 6 p^{2} \\ - & 10 p \\ - & 1 \end{array} \\ Summa \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} + & 0,001 & + & 0,03 q & + & 0,3 q^{2} & + & q^{3} \\ + & 0,06 & + & 1,2 & + & 6,0 \\ + & 1, & + & 10, \\ - & 1, \end{matrix} \\ \begin{array}{r} + & 0,061 & + & 11,23 q & + & 6,3 q^{2} & + & q^{3} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{r} - 0,0054 + r = q) \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{array}{r} + & 6,3 q^{2} \\ - & 11,23 q \\ - & 0,061 \end{array} \\ Summa \end{matrix} \end{matrix} & \begin{array}{l} \begin{matrix} + & 0,000183708 & - & 0,06804 r & + & 6,3 r^{2} \\ - & 0,060642 & + & 11,23 \\ + & 0,061 \end{matrix} \\ \begin{array}{r} + & 0,000541708 & + & 11,16196 r & + & 6,3 r r \end{array} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{array}{l} - 0,00004853) \end{array} \end{array}

unde prodit

q^{3} + 6,3 q^{2} + 11,23 q + 0,061

= 0

. Et cùm

11,23 q + 0,061

ad veritateem prope accedit, sive ferè sit

q =

- 0,0054

(dividendo nempe donec tot eliciantur figuræ quot locis primæ figuræ hujus & principalis quotientis exclusivè distant,) scribo

- 0,0054

in inferiori parte quotientis, cùm negativa sit. Et operationem sic produco quosqꝫque placuerit. Verùm si ad bis tot figuras tantùm quot in quot in quotiente jam reperiuntur, unâ dempta, operam continuare cupio, pro

q

substitueo

- 0,0054 + r

in hanc

6,3 q q + 11,23 q + 0,061

, scilicet primo ejus termino

(q^{3})

propter exilitatem suam neglecto: Et prodit

6,3 r r + 11,16196 r + 0,000541708 = 0

ferè sive (rejecto

6,3 r r

r = \frac{- 0,000541708}{11,16196} = - 0,00004853

ferè, quam scribo in negativa parte quotientis. Denique negativam partem quotientis ab affirmativa subducens, habeo

2,09455147

quotientiem quæsitam. Æquationes plurium dimensionum nihilo seciùs resolvuntur, & operam sub fine, ut hic factum fuit, levabits, si primos ejus terminos gradatim omiseris. Præterea notandum est qùod in hoc exemplo si dubitarem an

0,1 = p

ad veritatiem satis accederet, pro

10 p

=

-

1 = 0

finxissem

6 p p + 10 p - 1 = 0

& ejus radicis primam figuram in quotiente scripsissem. Et hoc modi figuram quotientis secundam vel etiam tertiam quotientis figuram sic explorare convenit ubi in æquatione ista ultimò resultante quadratum coefficientis penultimi termini non sit decies major quàm factus ex ultimo termino ducto in coefficientem termini antepenultimi. Imò laborem plerumqꝫque minues præsertim in æquationibus plurimarum dimensionum, si figuras omnes quotienti addendas dicto modo (hoc est extrahendo minorem radicemradicum ex tribus ultimis terminis æquationis novissimè ppt resultantis ) exquiras. Isto enim modo figuras duplo plures qualibet 2 vice in quotiente 1 lucraberis. 5 Hæc methosdus de resolvendis Æquationibus pervulgata an sit nescio, certè mihi videtur præ reliquis simplex & usui accommodata. Demonstratio ejus ex ipso modo operandi putet, unde cum opus sit in memoriam facilè revocatur. Aequationes in quibus vel aliqui vel nulli termini desint eadem fere facilitate perficit. Et æquatio semper relinquitur cujus radix una cum acquisita quotiente adæquat radicem quotientis æquationis primò propositæ: unde examinatio operis hic æque poterit institui ac in reliqua Arithmetica, auferendo nempe quotientem a radice primæ æquationis (sicut Analistis notum est ** Geometr Cartesij) ut æquatio ultima vel termini ejus duo tresve ultimi producantur inde. Quicquid laboris hic est istud reperietur in substituendo quantitates unas pro alijs reperietur. Id quod variè possis perficiere, at sequentem moduum maximè expeditum puto, præsertim cum numeri 2 coefficientes 1 constant ex pluribus figuris. Sit

p + 3

substituenda pro

y

in hanc

y^{4} - 4 y^{3} + 5 y^{2} - 12 y + 17 = 0

: cum ista potest resolvi in hanc formaam

\overline{\overline{\overline{y - 4} \times y : + 5} \times y : - 12} \times y : + 17 = 0

. Æquatio nova sic generabitur

\overline{p - 1} \times \overline{p + 3}

= p p + 2 p - 3

. &

p p + 2 p + 2 in p + 3 = p^{3} + 5 p^{2} + 8 p + 6

. &

p^{3} + 5 p^{2} + 8 p - 6 in

p + 3 = p^{4} + 8 p^{3} + 23 p p + 18 p - 18

. &

p^{4} + 8 p^{3} + 23 p^{2} + 18 p - 1 = 0

, quæ quærebatur. His in numeris sic ostensis: Sit æquatio literalis,

y^{3} + a a y

Literalis æquationum affectarum resolutio

- 2 a^{3} + a x y - x^{3} = 0

, resolvenda. Primùm inquiro valorem ipsius

y

cùm

x

sit nulla, hoc est, elicio radicem hujus æquationis

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

; & invenio esse

+ a

. Itaqꝫque scribo

+ a

in quotiente & supponsito

+ a + p = y

, ipsi pro

y

substituo valorem istum, & terminos inde resultantes (

p^{3} + 3 a p^{2} + 4 a a p

&c) margini appono: Ex quibus assumo

+ 4 a a p + a a x

ubi

p

x

seorsim sunt minimarum dimensionum & eas nihilo ferè æquales suppono, sive

p = \frac{- x}{4}

ferè, sive

p = \frac{- x}{4} + q

. Et scribens

- \frac{x}{4}

in quotiente, substituo

\frac{- x}{4} + q

pro

p

. Et terminos inde resultantes iterum in margines scribo, ut vides in annexo schemate. Et inde assumo quantitates

+ 4 a a q

- \frac{1}{16} a x x

, in quibus

q

x

seorsim sunt minimarum dimensionuum & fingo

q = \frac{x x}{64 a}

ferè, sive

q = \frac{+ x x}{64 a} + r

; & adnectens

\frac{+ x x}{64 a}

quotienti, substituo

\frac{x x}{64 a} + r

pro

q

; & sic procedo quousqꝫque placuerit.

\begin{array}{l} \begin{matrix} \begin{matrix} ( & a & - & \frac{x}{4} & + & \frac{x^{2}}{64 a} & + & \frac{131 x^{3}}{512 a^{2}} & + & \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}} & &c \end{matrix} \\ \begin{matrix} + a + p = y .) & + & y^{3} \\ + & a a y \\ + & a x y \\ - & 2 a^{3} \\ - & x^{3} \end{matrix} & \begin{array}{l} + & a^{3} & + & 3 a a p & + & 3 a p p & + & p^{3} \\ + & a^{3} & + & a a p \\ + & a a x & + & a x p \\ - & 2 a^{3} \\ - & x^{3} \end{array} \\ \begin{matrix} - \frac{1}{4} x + q = p .) & + & p^{3} \\ + & 3 a p^{2} \\ 2 & + & 4 a a p \\ 1 & + & a x p \\ 2 & + & a a x \\ 1 & - & x^{3} \end{matrix} & \begin{array}{l} - & \frac{1}{64} x^{3} & + & \frac{3}{16} x x q & - & \frac{3}{4} x q q & + & q^{3} \\ + & \frac{3}{16} a x^{2} & - & \frac{3}{2} a x q & + & 3 a q q \\ - & a a x & + & 4 a a q \\ - & \frac{1}{4} a x x & + & a x q \\ + & a a x \\ - & x^{3} \end{array} \\ \begin{matrix} + \frac{x x}{64 a} + r = q .) & + & 3 a q q \\ + & 4 a a q \\ 2 & - & \frac{1}{2} a x q \\ 1 & + & \frac{3}{16} x x q \\ 2 & - & \frac{1}{16} a x x \\ 1 & - & \frac{65}{64} x^{3} \end{matrix} & \begin{array}{l} + & \frac{3 x^{4}}{4096 a} & + & \frac{3}{32} x x r & + & 3 a r r \\ + & \frac{1}{16} a x x & + & 4 a a r \\ - & \frac{1}{128} x^{3} & - & \frac{1}{2} a x r \\ + & \frac{3 x^{4}}{1024 a} & + & \frac{3}{16} x x r \\ - & \frac{1}{16} a a x \\ - & \frac{65}{64} x^{3} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{array}{l} + & 4 a a & - & \frac{1}{2} a x & + & \frac{9}{32} x^{2} & ) & + & \frac{131}{128} x^{3} & - & \frac{15 x^{4}}{4096 a} & ( & \frac{131 x^{3}}{512 a a} & + & \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}} & . \end{array} \end{array}

* Sin duplo tantùm plures quotienti terminos, uno dempto, jungendos adhuc vellem: primo termino

(q^{3})

æquationis novissimè resultantis misso, & ista etiam parte

(\frac{- 3}{4} x q q)

secundi ubi

x

est tot dimensionum quot in penultimo termino quotientis; in reliquos terminos

(3 a q q + 4 a a q &c ).

margini adscriptos, ut vides, substituo

\frac{x x}{64 a} + r

pro

q

. Et ex ultimis duobus terminis æquationis inde

(\frac{15 x^{4}}{4096 a} - \frac{131}{128} x^{3} + \frac{9}{32} x x r - \frac{1}{2} a x r +

+ 4 a a r)

æquationis inde resultantis, facta divisione

4 a a - \frac{1}{2} a x + \frac{9}{32} x x) + \frac{131}{128} x^{3} - \frac{15 x^{4}}{4096 a}

, Elicio

\frac{+ 131 x^{3}}{512 a a} + \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}}

quotienti adnectendas. Deniqꝫque quotiens ista

(a - \frac{x}{4} + \frac{x x}{64 a} &c)

per Reg 2damsecundam dabit

a x - \frac{x x}{8} + \frac{x^{3}}{192 a} + \frac{131 x^{4}}{2048 a^{2}} + \frac{509 x^{5}}{81920 a^{3}}

&c pro area quæsita, quæ ad veritatiem tanto magis accedit quanto

x

sit minor. Alius modus easdem resolvendi. Sin velis ut valor areæ tanto magis veritati accedat quanto

x

sit major, exemplum esto

y^{3} + a x y + x x y - a^{3} - 2 x^{3} = 0

; Itaqꝫque hanc resoluturus excerpo terminos

y^{3} + x x y - 2 x^{3}

in quibus

x

y

vel seorsim vel simul multiplicatiæ sunt & plurimarum & æqualium. ubiqꝫque dimensionum. Et ex ijs quasi nihilo æqualibus radicem elicio, quam invenio esse

x

, & hanc in quotiente scribo. Vel quod eodem recidit, ex

y^{3} + y - 2

(unitate pro

x

substitutâ) radicem

(1)

extraho & eam per

x

multiplico, & factum

(x)

in quotiente scribo. Deinde pono

x + p = y

, & sic procedo ut in priori exemplo donec habeo quotientem

x - \frac{a}{4} + \frac{a a}{64 x} + \frac{131 a^{3}}{512 x x} + \frac{509 a^{4}}{16384 x^{3}}

&c, Adeóqꝫque aream

\frac{x^{2}}{2} - \frac{a x}{4} + \begin{matrix} \frac{a a}{64 x} \end{matrix} - \frac{131 a^{3}}{512 x} - \frac{509 a^{4}}{32768 x^{2}}

de qua vide exempla tertia Reg 2asecunda. Lucis gratia dedi hoc exemplum in omnibus idem cum priori, modò

x

a

sibi invicem ibi substituantur, ut non opus ferit esset aliud resolutionis paradigma hic adjungere. 6 Nota quod area

(\frac{x^{2}}{2} - \frac{a x}{4} + \begin{matrix} \frac{a a}{64 x} \end{matrix} &c)

limitatur a curva quæ juxta asymptoton aliquam in infinitum serpit; & termini initiales

(x - \frac{a}{4})

valoris extracti de

y

, in asymptoton istam semper terminantur: Unde positionem asymptoti facile invenias. Idem semper notandum est cùm area designatur terminis plus plusqꝫque divisis per

x

continuò: præterquam quòd asymptoti rectæ quandóqꝫque habeatur Parabola Conica vel alia magis composita. Sed hunc modum missum faciens, utpote particularem quia non applicabilem curvis in orbem ad instar Ellipsium flexis; de altero modo per exemplum

y^{3} + a a y + a a x - 2 a^{3} - x^{3} = 0

supra ostenso (scilicet quo dimensiones de

x

in numeratoribus quotientis perpetuò fiunt plures) annotabo sequentia. 1. Si quando accidait quòd valor ipsius

y

, cùm nullauum est esse fingiturfingitum , sit quantitas surda vel penitus ignota, licebit illam litera aliqua^ designare. Ut in exemplo

y^{3} + a a y + a a x - 2 a^{3} - x^{3} = 0

, si radix hujus

y^{3} + a a y - 2 a^{3}

fuisset surda vel ignota, finxissem

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{matrix} ( & b & - & \frac{a b x}{a a + 3 b b} & &c \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} b + p = y) \end{matrix} & \begin{matrix} + & y^{3} \end{matrix} \\ \begin{matrix} + & a a y \end{matrix} \\ \begin{matrix} + & a x y \end{matrix} \\ \begin{matrix} - & 2 a^{3} \end{matrix} \\ \begin{matrix} - & x^{3} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{array}{l} b^{3} & + & 3 b b p & + & 3 b p p & + & p^{3} \\ + & a a b & + & a a p \\ + & a x b & + & a x p \\ - & 2 a^{3} \\ - & x^{3} \end{array} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{- a b x}{\begin{matrix} \underset{͝}{a a + 3 b b} \\ = \\ c c \end{matrix}} + q = p) \end{matrix} & \begin{matrix} p^{3} \\ + & 3 b p p \\ + & 3 b b p \\ + & a a p \\ + & a x p \\ + & a b x \\ - & x^{3} \end{matrix} \end{matrix} & \begin{array}{l} - & \frac{a^{3} b^{3} x^{3}}{\begin{matrix} c^{6} \end{matrix}} & &c \\ + & \frac{3 a^{2} b^{3} x^{2}}{c^{4}} & - & \frac{6 a b^{2} x}{c^{2}} q & &c \\ - & \frac{a^{2} b x^{2}}{c^{2}} & + & a x q \\ - \end{array} \end{array} \end{array}

quamlibet

(b)

pro ea ponendam, et resolutionem ut sequitur perfecissem. Scribens

b

in quotiente, suppono

b + p = y

, & istum pro

y

substituo, ut vides; unde nova

p^{3} + 3 b p p

&c resultat, rejectis terminis

b^{3} + a a b

- 2 a^{3}

, qui nihilo sunt æquales propterea quod

b

supponitur radix hujus

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

. Deinde termini

3 b b p + a a p + a b x

dant

\frac{- a b x}{3 b b + a a}

quotienti apponendaum &

\frac{- a b x}{3 b b + a a} + q

substituendaum pro

p

. &c. Completo opere sumo numerum aliquem pro

a

, & hanc

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

, sicut de numerali æquatione ostensum supra, resolvo; &radicem ejus pro

b

substituo. 2. Si dictus valor sit nihil, hoc est si in æquatione resolvenda nullus sit terminus nisi qui per

x

vel

y

sit multiplicatus, ut in hac

y^{3} - a x y + x^{3} = 0

; tum terminos

(- a x y + x^{3})

seliego in quibus

x

seorsim &

y

etiam seorsim si fiat fieri potest , alias per

x

multiplicata sit minimarum dimensionum. Et illi dant

+ \frac{x^{2}}{a}

pro primo termino quotientis, &

\frac{x^{2}}{a} + p

pro

y

substituendam. Sic In hâc

y^{3} - a a y + a x y - x^{3} = 0

, licebit primum terminum quotientis vel ex

a a y - x^{3}

, vel ex

y^{3} - a a y

elicere. 3 Deniqꝫque Si valor iste sit imaginarius ut in hoc

y^{4} + y y

- 2 y + 6 - x x y y - 2 x + x x + x^{4} = 0

augeo vel imminuo quantitatem

x

donec dictus valor evadat realis. Sic in annexo schemate cum

AC (x)

nulla est tum

CD (y)

est imaginaria: Sin minuatur

AC

per datam

AB

BC

fiat

x

; tum posito quod

BC (x)

sit nulla,

CD (y)

erit valore quadruplici (

CE

CF

CG

CH

) realis; quarum radicum (

CE

, vel

CF

, vel

CG

, vel

CH

) utravis esto primus terminus quotientis, prout superficiems

BEDC

BFDC

BGDC

, vel

BHDC

desideratur. ** In alijs etiam easibus, si quando hæsitas, te hoc modo extricabis **.** Deniqꝫque si index rationis de

x

vel

y

sit fractio, reduco ad integrum: ut in hoc exem:exemplo

x^{3} -

x y^{\frac{1}{2}} + x x^{\frac{4}{3}} = 0

. posito

y^{\frac{1}{2}} = v

, &

x^{\frac{1}{3}} = z

, resultabit

v^{6} - z^{3} v + z^{4} = 0

eujus indix est

v = z

+ z^{3}

&c sive restituendo

y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3}} + x

&c et quadrando

y = x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}}

&c. Et hæc de areis curvarum investigandis dicta sufficiant. Imò cùm Problemata de curvarum longitudine, de quantitate & superficie solida, deqꝫque centro gravitatis omnia possunt eò tandem reduci ut quǽratur quantitas superficiei planæ linea curva terminatæ, non opus est quicquam de ijs adjungere. In istis itaqꝫque autem quo ego operor modo dicam brevissimè. Applicatio prædictoruum ad reliqua istiusmodi Problemata. Sit

ABD

curva quævis, &

AHKB

rectangulum cujus latus

AH

vel

BK

est unitas. Et cogita rectam

DBK

uniformitèr ab

AH

motam, areas

ABD

AK

describere; & quòd

BK (1)

est momentum quo

AK (x)

, &

BD (y)

momentum quo

ABD

gradatim augetur; et quo ex momento

BD

perpetim dato, possis, per prædictas regulas, aream

ABD

ipso descriptam investigare, sive cum

AK (x)

momento

1

descripta conferre. Iam qua ratione superficies

ABD

ex momento suo perpetim dato per præcedentes regulas elicitur, eâdem quælibet alia quantitas ex momentio suo sic dato elicitur. Exemplo res fiet clarior. Sit Ut ad longitudines curvaruum inveniendas circulus cujus arcûs

AD

longitudo est indaganda. Ducto tangente

DHT

, & completo indefinitè parvo rectangulo

HGBK

& posito

AE = 1 = 2 AC

: Erit ut

BK

sive

GH

momentum Basis

AB

, ad

DH

momentum árcus

AD ∷ BT

DT ∷ BD (\sqrt{} : x - x x :)

DC (\frac{1}{2}) ∷ 1

momentum arcus

(BK)

\frac{1}{2 \sqrt{} : x - x x} (DH)

. Adeóqꝫque

\frac{1}{2 \sqrt{} : x - x x}

sive

\frac{\sqrt{} : x - x x}{2 x - x x}

est momentum arcus

AD

. Quod reductum fit

\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{16} x^{\frac{3}{2}}

+ \frac{5}{32} x^{\frac{5}{2}} + \frac{35}{256} x^{\frac{7}{2}} + \frac{63}{512} x^{\frac{9}{2}}

&c. Quare per regulam 2damsecundam longitudo 7 arcus

AD

est

x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{40} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5}{112} x^{\frac{7}{2}} + \frac{35}{1152} x^{\frac{9}{2}} + \frac{63}{2816} x^{\frac{11}{2}}

&c. Sive

x^{\frac{1}{2}} in 1 + \frac{1}{6} x + \frac{3}{40} x^{2}

&c. Non secus invenies arcum

LD

ponendo

CB

esse

x

, & radium

CA

esse

1

, invenies arcum

LD

esse

x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7}

&c Sed notandum est quod unitas ista quæ pro momento ponitur est superficies cùm de solidis, & linea cum de superficiebus, & punctuum cum de lineis (ut in hoc exemplo) agitur. Nec vereor loqui de unitate in punctis sive lineis infinitè parvis siquidem, proportiones ibi jam contemplantur Geometræ dum utuntur methodis Indivisibilium. Ex his fiat conjectura de superficiebus & quantitatibus solidiorum ac de centris gravitatum. Verum si e contra ex area vel longitudine Prædictorum conversum &c: curvæ &c alicujus datæ longitudo Basis

AB

desideratur, ex æquationibus per præcedendtes regulas inventis extrahatur radix de

x

. Ut si ex area

ABDC

Hyperbolæ Ut inventioinven

(\frac{1}{1 + x} = y)

datâ cupio basin

AB

cognoscere, areâ ista

z

nominatâ, radicem hujus

z (ABCD) = x

- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}

&c: extraho, neglectis illis terminis in quibus

x

est plurium dimensionum quam

z

in quotiente desideratur. Ut si vellem quod

z

ad quinqꝫque tantùm dimensiones in quotiente ascentdat, negligo omnes

- \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{8}}{8}

&c, & radicem hujus tantùm

\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x - z = 0

extraho.

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} ( & z & + & \frac{1}{2} z^{2} & + & \frac{1}{6} z^{3} & + & \frac{1}{24} z^{4} & + & \frac{1}{120} z^{5} \end{matrix} \\ \begin{matrix} z + p = x) & + & \frac{1}{5} x^{5} \\ - & \frac{1}{4} x^{4} \\ + & \frac{1}{3} x^{3} \\ - & \frac{1}{2} x^{2} \\ + & x \\ - & z \end{matrix} & \begin{array}{l} + & \frac{1}{5} z^{5} & &c. \\ - & \frac{1}{4} z^{4} & - & z^{3} p & &c. \\ + & \frac{1}{3} z^{3} & + & z^{2} p & + & z p p & &c. \\ - & \frac{1}{2} z^{2} & - & z p & - & \frac{1}{2} p p & . \\ + & z & + & p \\ - & z \end{array} \\ \begin{matrix} \frac{1}{2} z^{2} + q = p) & + & z p^{2} \\ - & \frac{1}{2} p^{2} \\ - & z^{3} p \\ + & z^{2} p \\ - & z p \\ + & p \\ + & \frac{1}{5} z^{5} \\ - & \frac{1}{4} z^{4} \\ + & \frac{1}{3} z^{3} \\ - & \frac{1}{2} z^{2} \end{matrix} & \begin{array}{l} + & \frac{1}{4} z^{5} & &c. \\ - & \frac{1}{8} z^{4} & - & \frac{1}{2} z^{2} q & &c. \\ - & \frac{1}{2} z^{5} & &c. \\ + & \frac{1}{2} z^{4} & + & z^{2} q . \\ - & \frac{1}{2} z^{3} & - & z q . \\ + & \frac{1}{2} z^{2} & + & q . \\ + & \frac{1}{5} z^{5} & . \\ - & \frac{1}{4} z^{4} & . \\ + & \frac{1}{3} z^{3} & . \\ - & \frac{1}{2} z^{2} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{array}{l} 1 & - & z & + & \frac{1}{2} z^{2} & ) & \frac{1}{6} z^{3} & - & \frac{1}{8} z^{4} & + & \frac{1}{20} z^{5} & ( & \frac{1}{6} z^{3} & + & \frac{1}{24} z^{4} & + & \frac{1}{120} z^{5} \end{array} \end{matrix}

Hæc duo priùs adnotanda essent, si tum in mentem venerant cùm de resolutione æquationis literalis hæc verba [Sin duplo tantùm plures quotienti terminos &c] habui. Analysin ut vides exhibui propter adnotanda duo sequentia. 1 Quòd inter substituendum, istos terminos semper omitto quos nulli deinceps usui fore prævideam. Cujus rei regula esto, quòd post primum terminum ex qualibet quantitate sibi collaterali resultantem non addo plures terminos dextrorsum quàm istius primi termini index dimensionis ab indice a dimensioneis maximâæ unitatibus distat. Ut in hoc exemplo ubi maxima dimensio est

5

omisi omnes terminos post

z^{5}

, post

z^{4}

posui unicum, & duos tantùm post

z^{3}

. Cùm radix extrahenda

(x)

sit parium ubiqꝫque, vel imparium dimensionum; Hæc esto regula; Quod post primum terminum ex qualibet quantitate sibi collaterali resultantem non addo plures terminos dextrorsum, quàm istius primi termini index dimensionis ab indice a dimensioneis maximæ unitatib binis unitatibus distat; vel ternis unitatibus, si indices dimensionuum ipsius

x

unitatibus ubiqꝫque ternis a seinvicemse invicem distant. & sic de reliquis. 2 Cùm videoam

p

q

vel

r

&c: in æquatione novissimè resultante esse unius tantùm dimensionis, ejus valorem, hoc est, reliquos terminos quotienti addendos, per divisionem quæro. Ut hic vides factuum. vel ex data longitudine curvæ. Si ex dato arcu

αD

sinus

AB

desideratur; æquationis

z = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3 x^{5}}{40} + \frac{5 x^{7}}{112}

&c supra inventæ (posito nempe

AB = x

αD = z

Aα = 1

,) radix extracta erit

x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} z^{9}

&c. Et præterea si cosinum

Aβ

ex isto arcu dato cupis, fac

Aβ (= \sqrt{} : 1 - x x :) = 1 - \frac{1}{2} z^{2}

+ \frac{z^{4}}{24} - \frac{z^{6}}{720} + \frac{z^{8}}{40320} - \frac{z^{10}}{3628800}

&c. De serie progressionum continuanda. Hic obiter notetur, qd

5

vel

6

terminis istarum radicum cognitis eas plerumqꝫque ex analogia observata poteris ad arbitrium producere. Sic hanc

x = z + \frac{1}{2} z^{2} + \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{24} z^{4} + \frac{1}{120} z^{5}

&c produces dividendo ultimum terminum per hos ordine numeros

2.3.4.5.6.7 .

&c., Et hanc

x = z - \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{5}}{120} - \frac{z^{7}}{5040}

&c per hos

2 \times 3 . 4 \times 5 . 6 \times 7 . 8 \times 9 . 10 \times 11

&c & hanc

x = 1 - \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{4}}{24} - \frac{z^{6}}{720}

&c per. hos

1 \times 2 . 3 \times 4 . 5 \times 6 . 7 \times 8 . 9 \times 10 .

&c Et hanc

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3 x^{5}}{40} + \frac{5 x^{7}}{112}

&c pmultiplicando per hos

\frac{1 \times 1}{2 \times 3} . \frac{3 \times 3}{4 \times 5} .

\frac{5 \times 5}{6 \times 7} . \frac{7 \times 7}{8 \times 9}

&c. Et sic de reliquis. Applicatio prædictorum ad curvas Mechanicas Et hæc de curvis Geometricis dicta sufficiant. Quin etiam si curva mechanica est Methodum tamen nostram nequaquam respuit. Exemplo sit Trochoides,

ADFG

cujus vertex

A

& axis

AH

, &

AKH

rota qua describitur. Et quæratur superficies

ABD

. Iam posito

AB = x

BD = y

ut supra, &

AH = 1

; primò quæro longitudinem ipsius

BD

. Nempe ex natura Trochoidis

KD = arcui AK

, quare tota

BD = BK + arc AK

. Sed est

BK (= \sqrt{} : x - x^{2}) =

= x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}

+

-

\frac{1}{8} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} x^{\frac{7}{2}}

&c, & (ex prædictis)

arcus AK =

= x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{40} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5}{112} x^{\frac{7}{2}}

&c. Ergo tota

BD = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{20} x^{\frac{5}{2}}

- \frac{1}{56} x^{\frac{7}{2}}

&c. Et (per Reg 2)

area ABD = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{15} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{70} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{252} x^{\frac{9}{2}}

&c. Vel brevius sic: Cùm recta

AK

tangenti

TD

parallela essit erit

AB

BK

sicut momentum linæ

AB

, momento linæ

BD

, hoc

x

\sqrt{} : x - x x ∷

est

x . \sqrt{} : x - x x ∷

1 . \frac{1}{x} \sqrt{} : \overline{x - x x} : = x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{8} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{16} x^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{128} x^{\frac{7}{2}}

&c. Quare (per Reg 2)

BD = 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{20} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{56} x^{\frac{7}{2}} - \frac{5}{576} x^{\frac{9}{2}}

&c Et superficies

ABD =

\frac{4}{3} x - \frac{2}{15}

\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{15} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{70} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{252} x^{\frac{9}{2}} - \frac{5}{3168} x^{\frac{11}{2}}

&c. Non dissimili modo (posito

C

centro circuli &

CB = x

) obtinebis aream

CBDF

&c. Sit area

ABDV

Quadratricis

VDE

(cujus vertex est

V

, &

A

centruum circuli

VK

interioris

VK

cui aptatur) invenienda. Ducta qualibet

AKD

demitto perpendiculares

DB

DC

KG

. Eritqꝫque

KG . AG ∷ AB (x) . BD (y)

. sive

\frac{x \times AG}{KG} = y

. Verum ex natura Quadratricis erit

DB =

BA (= DC) =

varcui

VK

; svive

VK = x

. Quare posito

AV = 1

erit

GK = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5}

&c ex supra ostensis, &

GA = 1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{24} x^{4} - \frac{1}{720} x^{6}

&c. Adeóqꝫque

y (= \frac{x \times AG}{KG})

= \frac{1 - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{24} x^{4} - \frac{1}{720} x^{6}}{1 - \frac{1}{6} x x + \frac{1}{120} x^{4} - \frac{1}{5040} x^{6}}

Sive, divisione facta,

y = 1 - \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{45} x^{4} - \frac{2}{945} x^{6}

&c & (per Reg 2)

area AVDB = x - \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{225} x^{5} - \frac{2}{6615} x^{7}

&c. Conclusio, quòd hæc methodus Analytica censenda est. Sic longitudo Quadratricis

VD

, licet calculo difficiliori, determinabilis est. Nec quicquam hujus modi scio ad quod hæc methodus idqꝫque varijs modis, sese non extendit. Imo tangentes ad curvas Mechanicas (si quando id non alias fiat) hujus ope ducantur. Et quicquid Vulgaris Anaylysis per æquationes ex finito terminorum numero constantes (quando id sit possibile) perficit, hæc per æquationes infinitas semper perficiat: Ut nil dubitavierim nomen Analysis etiam huic tribuere. Ratiocinia nempe in hâc non minùs certa sunt quàm in illâ, nec æquationes minùs exactæ; licet omnes earum terminos nos homines & rationis finitæ nec designare neque ita concipere possumus, ut quantitates inde desideratas exactè cognoscamus: Sicut radices surdæ finitarum æquationum nec numeris nec quavis arte Analytica ita possunt exhiberi ut alicujus quantitas a reliquis distincta e& exactè cognoscatur. Geometricè quidem exhiberi possunt, quòd hisce non conceditur: Imò et istis dimensionum duabus tribúsve plurium, ante curvas in Geometriam super inductas, constructio nulla fuit habita. Deniqꝫque ad Analyticam merito pertinere censeatur cujus beneficio curvarum areæ & longitudines &c (id modò fiat) exactè & Geometricè determinentur. Sed ista narrandi non est locus. Respicienti, duo præ reliquis demonstranda occurrunt. Præparatio pro regula prima demonstranda. 1 Quadratura curvarum simplicium in Reg 1. Sit itaqꝫque curva alicujus

ADδ

Basis

AB = x

, perpendiculariter applicata

BD = y

& area

ABD = z

ut prius. Idem sit

Bβ = o

BK = v

, et rectangulum

BβHK (o v)

=

æquale spatio

BβδD

. Est ergo

Aβ = x + o

Aδβ = z + o v

. His præmissis, ex relatione inter

x

z

ad arbitrium assumptâ quæro

y

isto quem sequentem vides modo. Pro lubitu sumatur

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = z

sive

\frac{4}{9} x^{3} = z z

. Tum

x + o (Aβ)

&pro

x

, &

z + o v (Aδβ)

pro

z

substitutis prodibit

\frac{4}{9} in x^{3} + 3 x x o + 3 x o o + o^{3}

=

(ex natura curvæ)

z z + 2 z o v + o o v v

. Et sublatis (

\frac{4}{9} x^{3}

z z

) æqualibus, reliquisqꝫque per

o

divisis, restat

\frac{4}{9} in 3 x x + 3 x o + o o = 2 z v + o v v

. Si jam supponamus

Bβ

esse infinite parvam, sive

o

esse nihil, erunt

v

y

æquales & termini per

o

multiplicati evanescent; quare restabit

\frac{4}{9} \times 3 x x = 2 z v

, sive

\frac{2}{3} x x (= z y) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} y

, sive

\frac{x^{2}}{x^{\frac{3}{2}}}

x^{\frac{1}{2}} (= \frac{x^{2}}{x^{\frac{3}{2}}}) = y

. Quare e contra si

x^{\frac{1}{2}} = y

erit

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = z

. Demonstratio Vel in genere si

\frac{n}{m + n} \times a x^{\frac{m + n}{n}} = z

; sive, ponendo

\frac{n a}{m + n}

= c

m + n = p

, si

c x^{\frac{p}{n}} =

y

z

, sive

c^{n} x^{p} = z^{n}

: tum

x + o

pro

x

z + o v

(sive, quod perinde est,

z + o y

) pro

z

substitudtis prodit

c^{n} x^{p} + p o c

c^{n} in x^{p} + p o x^{p - 1}

= z^{n} + n o y z^{n - 1}

&c, reliquis nempe terminis qui tandem evanescerent omissis. Iam sublatis

c^{n} x^{p}

z^{n}

æqualibus, reliquisqꝫque per

o

pdivisis, restat

c^{n} p x^{p - 1} = n y z^{n - 1}

(= \frac{n y z^{n}}{n}) = \frac{n y c^{n} x^{p}}{c x^{\frac{p}{n}}}

. Sive, dividendo per

c^{n} x^{p}

, erit

p x^{- 1} = \frac{n y}{c x^{\frac{p}{n}}}

. sive

p c x^{\frac{p - n}{n}} = n y

; vel restituendo

\frac{n a}{m + n}

\times a

pro

c

m + n

pro

p

, hoc est

m

pro

p - n

n a

pro

p c

, fiet

a x^{\frac{m}{n}} = y

. Quare e contra si

a x^{\frac{m}{n}} = y

erit

\frac{n}{m + n} a x^{\frac{m + n}{n}}

= z

. Q.E.D. Inventio curvarum de gnit quæ possunt quadrari. Hic in transitu notetur modus quo curvæ tot quot placuerit, quarum areæ sunt cognitæ, possunt inveniri; sumendo nempe quamlibet æquationem pro relatione inter inter aream

z

& basin

x

ut inde quæratur applicata

y

. Ut si supponisas

\sqrt{} : a a + x x : = z

, ex calculo invenies

\frac{x}{\sqrt{} a a + x x} = y

. Et sic de reliquis. Demonstratio de resolutione æquationum affectaruum. Alterum demonstrandum, est literalis æquationum affectarum resolutio. Nempe quòd quòtiens, cum

x

sit salis parva quo magis producitur eo magis veritati accedit, ut distantia sua (

p

q

, vel

r

&c) ab exacto valore ipsius

y

, tandem evadat minor 9 quavis data quantitate; Et in infinitum producta sit ipsi

y

æqualis. Quod sic patebit [1: Quoniam ex ultimo termino æquationum quarum

p

q

r

&c sunt radices, ista quantitas in qua

x

est minimæ dimensionis (hoc est, plusquam dimidium istius ultimi termini, si supponis

x

satis parvam) in qualibet operatione perpetuò tollitur; iste ultimus terminus (per 1.10 Elem) tandem evadet minor quavis data quantitate; et prorsus evanescet si opus infinite continuatur. Hoc est si radices æquationis resolvendæ gradatim augeantur per negativos pverl diminuantur per affirmativos terminos quotienti continuo annexos, ejus ultimus terminus perpetuò decrescet, donec opere in infinitum continuato tandem evanescit. Hoc est si radices æquationis resovendæ. A. [Nempe si

x = \frac{1}{2}

, erit

x

dimidium omnium

x + x^{2} + x^{3} + x^{4}

&c &

x^{2}

dimidiuum omnium

x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5}

&c. Itaqꝫque si

x < \frac{1}{2}

erit

x

plusquaam dimidium omnium

x + x^{2} + x^{3}

&c: &

x^{2}

plusquam dimidium omniuum

x^{2} + x^{3} + x^{4}

&c. Sic si

\frac{x}{b} < \frac{1}{2}

erit

x

plusquam dimidiuum omnium

x + \frac{x^{2}}{b} + \frac{x^{3}}{b b}

&c et sic de reliquis. Et numeros coefficientes quod attinet, illi plerumqꝫque decrescent perpetuò, vel si quando increscant, tantum opus est ut

x

aliquo tiesad huc minor supponatur. 2 Si ultimus terminus alicujus æquationis continuò diminuatur donec tandem evanescat, una ex ejus radicibus etiam diminuetur donec cum ultimo termino simul evanescit. 3 Quare quantitatumes

p

q

r

&c unus valor continuo decrescit donec tandem, cùm opus in infinitum producitur, penitus evanescat. 4 Sed valores istarum

p

q

vel

r

&c unà cum quotiente eatenus extractâ adæquant radices æquationis propositæ. (Sic in resolutione æquationis

y^{3} + a a y + a x y - 2 a^{3} - x^{3} = 0

. supra ostensâ percipies

y = a + p = a - \frac{1}{4} x + q = a - \frac{1}{4} x + \frac{x x}{64 a} + r

&c :) Unde satis liquet propositum quod quotiens infinite producta est una ex valoribus de

y

. Idem patebit substituendo quotientem pro

y

in æquationem propositam. Videbis enim terminos illos sese perpetuò destruere in quibus

x

est minimarum dimensionum.