Unpublished Appendix to 'methodus': Problem IX

innititur: quæqꝫue magis perspicua et ornata evadet si fundamenta quædam pro more methodi syntheticæ præsternantur; qualia sunt haec.

Axiomata.

Ax.Axioma 1. Quæ fluxionibus æqualibus simul generantur sunt æqualia.

Ax.Axioma 2. Quæ fluxionibus in data ratione simul generantur, sunt in ratione fluxionum.

Nota , simul generari intelligo quæ tota eodem tempore generantur.

Ax.Axioma 3. Fluxio totius æquatur fluxionibus partium simul sumptis.

Ubi nota quod profluxiones affirmativè ac defluxiones negativè ponendæ sint.

~~Ax.Axioma 4. Fluxio major est quæ ~~ex minori facit æquale vel~~ majus, ~~aut ex æquali majus~~ producit.~~

AxAxioma 54. Fluxiones sunt ut momenta contemporanea fluxionibus istis ~~continuè~~ generata.

Ax:Axioma 4. Momenta contemporanea sunt ut fluxiones.

Theoremata.

Th.Theorema 1. Positis quatuor perpetuò proportionalibus fluentibus quantitatibus: summa extremarum reciprocè ductaruum in suas fluxiones æquatur summæ mediarum reciprocè ductarum in suas fluxiones. ~~Sint $A . B ∷ C . D$ et erit $A \times fl: D + D \times fl: A = B \times fl: C + C \times fl: B$ . Id quod eodem modo demonstrari potest ac solutio ProbProblema 1; vel etiam sic. Nam esto $M$~~ momentum ipsius $A$ , et cùm momenta fluentium sint ut fluxiones, erit $\frac{fl: B}{fl: A} M$ momentum ipsius $B$ , $\frac{fl: C}{fl: A} M$ momentum ipsius $C$ , et $\frac{fl: D}{fl: A} M$ momentum ipsius $D$ . Quare ubi $A$ profluendo evadit $A + M$ , $B$ evadet $B + \frac{fl: B}{fl: A} M$ & $C$ evadet $C + \frac{fl: C}{fl: A} M$ , ac $D$ evadet $D + \frac{fl: D}{fl: A} M$ ubi vero & similiter ubi defluendo $A$ evadit $A - M$ . $B$ evadet $B - \frac{fl: B}{fl: A} M$ $C$ evadtevadet $C - \frac{fl: C}{fl: A} M$ ac $D$ evadet $D - \frac{fl: D}{fl: A} M$ hac lege scilicet ut hæ quantitates etiamnum maneant proportionales. Duc ergo extrema et media in se & provenient $A D + \frac{fl: D}{fl: A} A M + D M + \frac{fl: D}{fl: A} M M =$ $B C + \frac{fl: C}{fl: A} B M + \frac{fl: B}{fl: A} C M + \frac{fl: B \times fl: C}{fl: A \times fl: A} M M$ . Et $A D - \frac{fl: D}{fl: A} A M - D M + \frac{fl: D}{fl: A} M M = B C - \frac{fl: C}{fl: A} B M - \frac{fl: B}{fl: A} C M$ $+ \frac{fl: B \times fl: C}{fl: A \times fl: A} M M$ . Aufer jam hæc posteriora æqualia æqualia $A D$ & $B C$ a prioribus æqualibus, & restantia æqualia duc in $fl: A$ ac divide per $M$ /> $M$ . Emerget enim $A \times fl: D + D \times fl: A + fl: D \times M = B \times fl: C + C \times fl: B + \frac{fl: B \times fl: C}{fl: A} M$ . Ubi propter infinitam parvitatem momenti $M$ rejectis terminis per id multiplicatis. Sit $AB . AD ∷ AE . AC$ , et erit $AB \times fl: AC + AC \times fl: AB = AD \times fl: AE$ $+ AE \times fl: AD$ . Nam augeantur hæ lineæ momentis suis fluendo $Bb$ , $Dd$ , $Ee$ , $Cc$ fluendo, & propter perpetuam earum proportionalitatem, adeoqꝫue rectangula ab extremis et medijs constituta perpetuo æqualia nempe $AF = AG$ & $Af = Ag$ ; augmenta rectangulorum istorum $BFCf$ & $DGEg$ æqualia erunt: hoc est $Ab \times Cc (Cf)$ $+ AC \times Bb (bF) = Ad \times Ee (Eg) + AE \times Dd (dG)$ . Cùm autem fluxiones sint ut momenta quantitatum ab istis continuò descripta. hoc est $fl: AC . Cc ∷ fl: AB . Bb$ &c. Erit $Ab \times fl: AC .$ $Ab \times Cc ∷ AC \times fl AB . AC \times Bb ∷ Ab \times fl: AC + AC \times fl: AB .$ $Ab \times Cc + AC \times Bb$ . Et eodem ratiocinio $AD \times fl: AE + AE \times fl: AD$ erit ad $AD \times Ee + AE \times Dd$ in eadem ratione. Quare $Ab \times fl AC + AC \times fl: AB$ & $Ad \times fl: AE + AE \times fl AD$ , cùm sint in eadem ratione ad æqualia, etiam æqualia erunt. * * sive $Ab + AC \times \frac{Bb}{Cc} = Ad \times \frac{Ee}{Cc} + AE \times \frac{Dd}{Cc}$ . Adeoqꝫue cùm fluxiones sint ut momenta quantitatum ab istis continuò generata, hoc est $\frac{Bb}{Cc} = \frac{fl AB}{fl AC}$ , $\frac{Ee}{Cc} = \frac{fl AE}{fl AC}$ & $\frac{Dd}{Cc} = \frac{fl AD}{fl AC}$ , erit $Ab + AC \times \frac{fl AB}{fl AC} = Ad \times \frac{fl AE}{fl AC} + AE \times \frac{fl AD}{fl AC}$ . Sive $Ab \times fl AC + AC \times fl AB = Ad \times fl AE + AE \times fl AD$ . Decrescant jam Decrescant jam rectangula $Af$ et $Ag$ donec in prima rectangula $AF$ & $AG$ redierint, & in ultimo istius infinitè parvæ defluxionis momento hoc est in primtunc $Ab$ evadet $AB$ atqꝫue $Ad$ evadet $AD$ . Quare in ultimo istius infinitè parvæ defluxionis momento, hoc est in primo momento fluxionis quadrangulorum $AF$ et $AG$ quando vel incipiunt augeri vel diminui, erit $AB \times fl: AC + AC \times fl AB =$ $AD \times fl AE + AE \times fl AD$ . Q.E.D.

Cor:Corollarium 1. Positis tribus continuè proportionalibus, summa extremarum reciproce ductarum in suas fluxiones æquatur duplo mediæ ductæ in suam fluxionem. Sit

A . B ∷ B . C

et erit

A \times fl: C + C \times fl: A (=

** TheorTheorema 1.

B \times fl: B + B \times fl B)

= 2 B \times fl B

. CorCorollarium 2. Positis tribus continuè proportionalibus

A . B . C

si summa extremarum sit data quantitas, fluxio minoris extremæ erit ad fluxionem mediæ ut duplum mediæ ad differentiam extremarum.

2 B . C - A ∷ fl A . fl B

. Nam cùm

A + C

ex Hypothesi non fluat, ** AxAxioma 3 erit

fl: A + fl: C = 0

, sive />35

fl C = - fl A

. adeoqꝫue

A \times fl: C = - A \times fl A

. Quare

\overline{C - A} \times fl A

(= A \times fl: C + C \times fl A)

** CorCorollarium 1.

= 2 B \times fl B

, hoc est

2 B . C - A ∷ fl A . fl B

. CorCorollarium 3. Sin differentia extremarum detur, fluxio alterutrius extremæ erit ad fluxionem mediæ, ut duplum mediæ ad summam extremarum.

2 B . A + C ∷ fl A . fl B

. Demonstratur ut CorCorollarium 2. CorCorollarium 4. Quod si summa primæ et secundæ quantitatis detur, erit fluxio secundæ ad fluxionem tertiæ ut prima ad duplum secundæ auctum tertia.

A . 2 B + C ∷ fl B . fl C

. Nam cùm ex Hypothesi

A + B

non fluat, ** AxAxioma 3. erit

fl A + fl B = 0

sive

fl B = - fl A

, adeoqꝫue

C \times fl B = - C \times fl A

. Quare

A \times fl C

(= 2 B \times fl B - C \times fl A) = 2 \overline{B + C} \times fl B

; hoc est

A . 2 B + C ∷ fl: B

.

fl: C

. Cor:Corollarium 5. Si deniqꝫue differentia primæ et secundæ datur erit fluxio primæ vel alterutrius ad fluxionem tertiæ ut prima ad duplum secundæ diminutum tertia.

fl

A . 2 B - C

∷ fl B . fl C

. Demonstratur ut CorCorollarium 4. CorCorollarium 6. Positis quotcuncꝫue continuè proportionalibus, quarum una sit data quantitas & cæteræ fluentes: fluxiones fluentium erunt inter se ut fluentes illæ ductæ in numerum terminorum quibus distant a dato illo termino. Sint

A . B . C . D . E . F .

continuè proportionales et si datur

C

, erit

- 2 A . - B . D . 2 E . 3 F ∷ fl A . fl: B . fl D . fl E

.

fl F

. Nam propter

C . D . E ∺

, est

C \times fl E + E \times fl C =

2 D \times fl D

, per CorCorollarium 1. At ex Hypothesi

fl C = 0

. Ergo

C \times fl: E = 2 D \times fl D

. hoc est

fl D . fl E (∷ C . 2 D) ∷ D . 2 E

. Iterum quia

D . E . F ∺

, erit

D \times fl: F + F \times fl: D =

E \times 2 fl E

. Sed e jam ostensis est

D fl

sive

D \times fl F =

E \times 2 fl: E - F \times fl: D

. Sed e jam ostensis est

\frac{D \times fl E}{2 E} =

fl: D

. Ergo

D \times fl F = \frac{4 E E - D F}{2 E} \times fl E

fl D . fl E (∷ D . 2 E)

∷ E . 2 F

. Ergo

F \times fl D = \frac{1}{2} E \times fl E

. adeoqꝫue

D \times fl F =

\frac{3}{2} E \times fl E

. Et

fl: E . fl: F (∷ 2 D . 3 E) ∷ 2 E . 3 F

. Atqꝫue ita in cæteris. TheoremTheorema 2. In triangulo quovis rectangulo summa laterum ductarum in suas fluxiones æquatur Hypothenusæ ductæ in fluxionem suam. Cor.Corollarium 7. Si fluentes duæ quantitates se multiplicant fluxio Quoti Facti componitur ex fluxionibus factorum mul alterne ductis in factores.

Fl: A B = B \times fl A + A \times fl B

. Nam

1 . A ∷ B . A B

. Ergo per ThTheorema 1. CorCorollarium 8. Si fluens quantitas per fluentem quantitatem dividitur: fluxio Quoti est quæ produ prodit auferendo fluxionem divisoris multiplicatam per dividuum, a fluxione dividui multiplicata per divisorem & dividendo residuum per quadratum divisoris.

Fl: \frac{B}{A} = \frac{A \times fl: B - B \times fl: A}{A A}

. Nam

A . 1 ∷ B . \frac{B}{A}

. Ergo per Th:Theorema 1,

A \times fl \frac{B}{A} + \frac{B}{A} \times fl A = 1 \times fl: B

, nam

B \times fl: 1

nihil est. Aufer utrobiqꝫue

\frac{B}{A} \times fl A

et residuum divide per

A

, et prodibit

fl: \frac{B}{A} = \frac{A \times fl B - B \times fl A}{A A}

. Theor.Theorema 2. In Triangulo quovis rectangulo CorCorollarium 9. Fluxio radicis est ad fluxionem potestatis su alicujus ut radix ad potestatem illam multiplicatam per numerum dimensionum

fl: A . fl A^{3}

∷ A . 3 A^{3}

. vel

fl: \sqrt{} 3 : A . fl: A ∷ \sqrt{} 3 : A . 3 A

& sic in alijs potestatibus. Patet per cCor:Corollarium 6. Theor.Theorema 2. In triangulo quovis perpetim rectangulo cujus latera quomodocunqꝫue fluunt summa laterum ductorum in suas fluxiones æquatur hypotenusæ ductæ in fluxionem suam. Sit

A A + B B = C C

et erit

A \times fl: A + B \times fl: B = C \times fl: C

Nam per CorCorollarium 9 ThTheorematis 1 est

fl: A . fl: A A (∷ A . 2 A A)

∷

1 . 2 A

, adeoqꝫue

fl: A A = 2 A \times fl A

. Eadem ratione

fl B B =

2 B \times fl B

fl C C = 2 C \times fl: C

. Quare cum

A A + B B

= C C

atqꝫue adeo per Ax:Axiomata 1 & 3

fl: A A + fl: B B = fl: C C

erit

2 A \times fl A + 2 B \times fl B = 2 C \times fl C

. Quod dimidiatum fit

A \times fl A + B \times fl B = C \times fl C

. Q.E.D. CorCorollarium 1. Si crus alterutrum sit data quantitas, erit fluxio Hypotenusa alterius cruris ad fluxionem hypotenusæ ut hypotenusa ad crus illud alterum. Detur

A

, et erit

C . B ∷ fl: B . fl: C

, nam

B \times fl B = C \times fl C

propterea quòd

A \times fl A

nihil sit. CorCorollarium 2. Si hypotenusa datur, erit profluxio unius />37 cruris ad defluxionem alterius ut alterum illud alterum crus ad crus primum. Detur

C

, et erit

B . A ∷ fl: A . fl: B

propterea quod

C \times fl: C

nihil sit. Theor.Theorema 34. Si recta circa datum punctum gyrans, secet alias duas positione datas & ad commune punctum terminatas rectas: fluxiones earum quæ positione dantur, erunt ut ipsæ illæ rectæ ductæ in conterminas partes lineæ gyrantis. Circa datum punctum

A

gyret recta

AC

, & inter gyrandum secet ea prectas positione datas

DC

DB

in punctis

C

B

. Dico esse

DB \times AB . DC \times AC ∷

fl DB . fl DC

. Sit enim

Abc

positio rectæ gyrantis in proximo temporis momento, hoc est

Cc

momentum rectæ

DC

Bb

contemporaneum momentum rectæ

DB

; et ipsi

DB

parallela agatur

ce

occurrens

AC

e

: et propter sim: tri:similia triangula

CBD

Cec

, erit

DC . DB ∷ Cc . ce

. Dein propter sim: tri:similia triangula

Aec

ABb

, erit

Ac . Ab ∷ ec . Bb

, et additis rationibus

DC \times Ac . DB \times Ab ∷ Cc . Bb ∷

(per axaxioma 4)

fl: DC . fl: DB

. Coeant jam lineæ infinitè parùm distantes

Ac

AC

, et in momento concursus evadet

DC \times AC . DB \times AB ∷ fl: DC . fl: DB

. Q.E.D. CorCorollarium 1. Iisdem positis, et ab

A

demissis ad

DB

DC

normalibus

AG

AH

: erit primo

DC \times AC . DB \times BG ∷ fl: DC .

fl: AB

. Nam per Cor.Corollarium 1 Th.Theorematis 2, est

AB . BG ∷ fl: DB . fl: AB

. sive

DB \times AB . DB \times BG ∷ fl: DB . fl AB

, et supra erat

DC \times AC .

DB \times AB ∷ fl: DC . fl DB

. Ergo ex æquo

DC \times AC . DB \times BG ∷

fl: DC . fl: AB

. CorCorollarium 2. Erit secundòsecundo

DC \times CH . DB \times BG ∷ fl DC . fl AB

. Nam per CorCorollarium 1 ThTheorematis 2 est

CH . AC (vel DC \times CH . DC \times AC) ∷ fl AC .

fl DC

. Et supra erat

DC \times AC . DB \times BG ∷ fl DC . fl AB

. Ergo ex æquo

DC \times CH . DB \times BG ∷ fl AC . fl AB

. TheorTheorema 4 3. Si Trianguli alicujus Basis et longitudine et positione detur, vertex autem sit ad rectam positione datam; demisso ab alterutro termino basis ad rectam illam positione datam perpendiculo, quod occurrat casis opposito cruri trianguli, erit fluxio ejus oppositi cruris ad fluxionem alterius cruris ut illud alterum crus ad partem hujus cruris inter verticem trianguli et perpendiculum illud situm. Sit

AB

basis trianguli,

C

vertex,

DE

locus verticis, et />

BD

BE

perpendiculariter demissa ad

DC

occurrat

AC

F

, eritqꝫue

BC . FC ∷ fl AC . fl BC

. Nam ab

A

DE

demisso perpendiculo

AD

, erit (per CorCorollarium 1. ThTheorematis 2)

BC . EC ∷ fl EC . fl BC

, et

DC . AC (sive

EC . FC) ∷ fl AC . fl BC = fl EC

. Ergo ex æquo perturbatè

BC . FC ∷ fl AC . fl BC

. Q.E.D. Cor.Corollarium 1. Si a

D

demittatur

K

perpendicularis ad

BC

erit

AC . KC ∷ fl AC . fl BC

quovis rectæ

DC

puncto

R

rectæ

DE

demittantur ad

AC

BC

perpendicula

RS

RT

: erit

SC . TC ∷

fl AC . fl BC

. Nam

RS . RT ∷ BC . FC

SC . TC ∷ BC . FC

. Est

fl: AC

fl: BC

ut cosinus anguli

ACD

ad cosin: ang.cosinum angulum

BCD

. Nam cosinus isti sunt ut

BC

FC

. CorCorollarium 2. Si punctum

A

infinitè distet a

B

, hoc est si

AC

sit ipsi

AB

parallela, age quamvis

RQ

occurrentenoccurentem

AC

Q

, sitqꝫue

RQ

positione data, et demisso ad

BC

normali

RT

, erit

TC . QC ∷ fl: BC . fl QC

. Nam demisso insuper ad

QC

normali

RS

, erit per Cor.Corollarium 1,

TC . SC ∷ fl: BC . fl AC = fl: SC

, & propter datam rationem

SC

QC

erit per axaxioma 2

SC . QC ∷ fl: SC . fl: QC

. Ergo additis rationibus

TC .

QC ∷ fl: BC . fl: QC

. Q.E.D. TheorTheorema 5 Hujusmodi alia Theoremata non inutilia proponi possent: sed ad fluxiones superficierum festinamus. Theor.Theorema 5. Si recta quævis motu parallelo per aream aliquam, a duabus parallelis & positione datis rectis terminatam transferatur: erit fluxio areæ ut fluxio alterutrius rectæ parallelæ. Sint

AB

DC

rectæ parallelæ, &

BC

recta per spatium interjectum

ADCB

in data inclinatione

ABC

translata et

AD

terminus a quo incipit transferri; et erit

fl: ADCB

fl AB

. Nam area

BD

est ut longitudo

AB

Quare per Ax:Axioma 2

fl: BD

fl: AB

. Schol.Scholium. Si angulus

ABC

rectus sit, tum quemadmodum statui solet

BD = AB \times BC

, sic nos statuemus />39

fl BD = fl AB \times BC

hoc est (per CorCorollarium 7 ThTheorematis 1)

= BC \times fl AB

. Sed hic sicut per

AB \times BC

non intelligitur linea sed productum arithmeticum quod exprimit numerum unitatum in area

BD

ex Hypothesi quod unitas superficialis sit quadratum cujus latera sunt unitates lineares: sic in hoc Scholio per

BC \times fl AB

non intelligitur fluxio linearis sed fluxio generans productum arithmeticum quod exprimit numerum unitatum superficialium in

BD

exprimit ex hac Hypothesi quod

BD

momentum basis fluentis ductum in datam altitudinem parallelogrammi facit momentum parallelogrammi. TheorTheorema 6. Si recta quævis motu parallelo transferatur per aream alijs duabus ad positione datis et non parallelis rectis terminatam, erit fluxio areæ ut fluxio alterutrius rectæ positione datæ ducta in rectam mobilem. Transferatur

BC

per spatium

CAB

rectis

AC

AB

positione datis terminatum: et erit

fl: CAB

BC \times fl: AB

. Etenim triangulum

CAB

est ut

{AB}^{q}

. ergo, per Ax.Axioma 2,

fl:

tri:trianguli

CAB

est ut

fl {AB}^{q}

. Sed per Cor:Corollaria 6 & 9, Th:Theorema 1,

fl {AB}^{q}

est ut

2 AB \times fl AB

Ergo hoc est cùm

2 AB

BC

sint in data ratione, ut

BC \times fl AB

. ScholScholium. Si angangulus

ABC

rectus sit, potest juxta ScholScholium præcedens, poni

fl CAB = \frac{1}{2} BC \times fl: AB

. TheorTheorema 7. Si recta circa datum punctum gyrans, continuò terminetur ad aliam rectam positione datam: erit fluxio spatij a gyrante recta descripti, ut fluxio alterius rectæ. Gyret recta

CB

circa punctum

C

sitqꝫue

CA

terminus a quo incipit gyrare, et

AB

recta ad quam terminatur, et erit area

ABC

ut recta

AB

; adeoqꝫue (per AxAxioma 2)

fl ABC

fl AB

. ScholScholium. Demisso ad

AB

normali

CD

, erit (juxta ScholScholium TheorTheorematis 5)

\frac{1}{2} CD \times fl: AB = fl ABC

, quia

\frac{1}{2} CD \times AB = ABC

. TheorTheorema 8. Iisdem positis, si ab alio insuper quovis dato puncto recta perpetim ducatur ad concursum priorum rectarum, et a primo puncto ad hanc rectam agatur demittatur linea perpendicularis terminatam ad rectam positione datam: erit fluxio hujus novæ rectæ ducta in lineam perpendicularem, ut fluxio areæ a prima recta descriptæ. A da A dato

E

agatur

EB

, et ad hanc perpendicularis

CH

occurrens

AB

H

, eritqꝫue

CH \times fl: EB

, ut

fl: ABC

. Nam ad demisso ad

AB

normali

EF

, erit per Cor:Corollarium 1 Th:Theorematis 2,

fl AB (fl: FB) . fl: EB ∷ EB . FB

. (hoc est propter sim. tri.similia triangula

EBF

HCD

)

∷ HC . CD

. Ergo

CD \times fl: AB = HC \times fl: EB

. Quare cùm

CD

datum sit, adeoqꝫue

CD \times fl: AB

fl: AB

, sitqꝫue etiam (per ThTheorema 7)

fl AB

fl ABC

, erit

HC \times fl EB

fl ABC

. ScholScholium. Est et per Schol.Scholium sup.superius

\frac{1}{2} HC \times fl EB = fl ABC

(= \frac{1}{2} CD \times fl AB) = fl ABC

. Et insuper in eo temporis momento quo contingit angulum

EBC

rectum esse, est

\frac{1}{2} BC \times fl: EB

= fl: ABC

quia tunc

HC

BC

coincidunt. TheorTheorema 9. Si recta circa datum punctum gyrans, secet alias duas positione datas rectas: superficieruum inter datum punctum et rectas positione datas isto motu generataruum fluxiones erunt ut quadrata longitudinum generantium. Sit

A

datum punctum circa quod

AC

gyrat, sintqꝫue

BD

CD

rectæ positione datæ, &

AD

principium a quo

AC

incipit gyrare, et erit

fl: ADB . fl ADC ∷ {AB}^{q} . {AC}^{q}

. Sit enim

Abc

positio rectæ gyrantis in proximo temporis momento, et triangula infinitè parva

ABb

ACc

erunt momenta superficierum

ADB

ADC

, adeoqꝫue ut ipsarum fluxiones. Sed per 15. 6. Elem.Elementarum ista triangula sunt ut

AB \times Ab

AC \times Ac

: Quæ ratio, si

Abc

retro volvatur donec redeat in

AC

, in ultimo ejus regressûs momento, hoc est in primo momento progressûs ubi

AC

incipit 41 pergere ad

Ac

evadit

{AB}^{q}

{AC}^{q}

. Q.E.D. Theor:Theorema 10. Si recta positione data tangat curvaam positione datam et utraqꝫue secentur ab alia utcunqꝫue motâ rectâ: fluxiones curvæ illius & tangentis ejus in eo temporis momento æquales erunt, quo mota illa linea secat utramqꝫue in puncto contactû;s. Esto curva

RS

, Tangens ejus

AB

punctum contactûs

C

et linea mobilis

DE

: dico fluxiones linearum

RC

AC

æquales evadere quando

DE

pertingit ad

C

. Nam in

RC

sumatur arcus infinitè parvus

Cc

, & cum hæc juxta Hypothesin Archimedeam pro recta haberi possit, produc eam utrinqꝫue in directum, sitqꝫue ea producta

AB

propterea quod ipsa

AB

tantùm tangat curvam.

RS

itaqꝫue et

AB

commune habent momentum

Cc

, & proinde eandem fluxionem dum

DE

transit per illud momentum. Q.E.D. CorCorollarium. Hinc omnia quæ in Theor:Theorematibus 3 et 4 de fluxionibus rectarum positione datarum demonstrata sunt, conveniunt etiam fluxionibus curvarum quas rectæ illæ tangunt in intersectione cum linea mobili. Theor.Theorema 112. Si recta illa

DE

circa datum punctum

D

convoluta, describat duas superficies quarum una

DRC

terminatur ad curvam

RC

, altera

DAC

ad tangentem curvæ

AC

: fluxiones illarum superficierum æquales erunt in eo temporis momento quo recta circumacta transit per punctum contactus

C

. Nempe

fl DRC = fl DAC

quia tunc commune est utriusqꝫue momentum

CDc

. Cor:Corollarium. Hinc omnia quæ in TheorTheorematibus 7, 8 & 9 de fluxionibus superficierum rectis positione datis terminatarum demonstrata sunt, conveniunt etiam fluxionibus superficierum terminatarum curvis positione datis quas rectæ illæ tangunt. TheorTheorema 123. Si recta mobilis perpetuò tangat curvam, punctum contactûs in siomni temporis momento erit centrum circa quod recta in illo momento volvitur. Concipe Curvam

TV

lineolis parvitate et multitudine infinitis constare quarum duæ sunto

AB

BC

. Hasce produc utrinqꝫue in directum, nempe

AB

D

E

BC

d

e

, et manifestum est quod tangens mobilis in eo temporis momento quo tangens mobilis volvitur de loco

DE

in locum

de

, convertitur circa punctum contactus

B

, propterea quod istud

B

sit communis intersectio locorum

DE

de

. CorCorollarium 1. Hinc omnia quæ in TheorTheorematibus 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 de recta circa datum punctum ceu centrum volvente demonstrata sunt, conveniunt etiam rectæ perpetuò tangentei curvam lineam positione datam, si modò punctum contactûs pro centro habeatur circa quod recta illa in momento contactûs illius convolvitur, vicem centri dati gerere concipiatur. Et proinde sigillatim. CorCorollarium 2. S 45 cruris ad defluxionem alterius ut illud alterum crus ad crus primum. Detur

C

, et erit

B . A ∷ fl: A . fl B

propterea quod

C \times fl: C

nihil sit. Theor.Theorema 3. Si recta utcunqꝫue moveatur per superficiem aliquam: fluxio superficiei isto motu generatæ erit ut fluxio alterius alicujus rectæ a dato puncto ad medium primæ rectæ demissæ, ducta in primam rectam. Describat recta

AB

superficiem

ABC

motu quocunqꝫue, & ad medium ejus punctum

D

erigatur perpendiculum

DE

ad datum quodvis punctum

E

terminatum: et fluxio superficiei

ABC

erit ut

AB \times fl: ED

. Sit enim

adb

, positio r in momento temporis proximè sequenti, positio rectæ

AB

motu quocunqꝫue prolabentis, et erit

ABβ

ABba

momentum superficiei

ABC

, et

Dd

mo momentum contemporaneum momentum rectæ

ED

. Quare cùm

ABba

æquetur

AB \times Dd

, & fluxiones sint ut momenta, erit fluxio generans

ABba

AB

in fluxionem generantem

Dd

. Q.E.D. Quod autem dixerim esse

AB \times Dd =

ABba = AB \times Dd

: ad

A

B

erige ipsi

AB

perpendicula

AF

BG

occurentia

Aα

Bβ

occurentia

ab

α

β

, et erit trapezium

ABβα (= AB \times \overline{\frac{1}{2} Bβ + \frac{1}{2} Aα}) = AB \times Dd

. Et hoc trapezium non differt a momento

ABβα

ABba

nisi in spatijs

Bβb

Aαa

, quæ ex Hypothesi sunt infinitè minora dicto trapezio & ad eam collata instar nihili, vel puncti ad lineam. ScholScholium. Dixi fluxionem superficiei

ACB

esse ut

AB \times fl: ED

: sed quemadmodum Geometræ statuere solent parallelogrammum æquale esse facto ex lateribus, quod (veriùs loquendo) est ut factum ex lateribus; sic eg ego ob usum commodiorem Theorematis hujus dicam in sequentibus esse

fl: ACB

= AB \times fl: ED

. Cor. Si in semicirculo

ACB

recta

AC

generet segmentum

ACE

gyrando circa terminum diametri

A

, turn ab altero diametri termino

B

demisso

BC

normali ad

AC

, erit fluxio segmenti

ACE

ut dimidium fluxionis perpendiculi

BC

ductum in

AC

: vel juxta Scholium

fl: ACE = \frac{1}{2} AC \times fl BC

. Jactis hisce demonstrationum fundamentis, methodus tenendi demonstrationes, uno et altero exemplo constabit. Proponatur itaqꝫue constructio in Exemplo 2dosecundo demonstranda. Per Cor.Corollarium 2 Th.Theorematis 1, est

fl: ID

fl: IP

AI

ID

. Estqꝫue

AI

ID

ID

CE

ex natura Curvæ

AGE

. Et proinde

CE \times fl: ID = ID \times fl: IP

. Sed (per Schol.Scholium Th.Theorematis 3)

CE \times fl ID =

fluxioni areæ

ACEG

, et

ID \times fl: IP =

fluxioni areæ

PDI

. et proinde areæ illæ per Ax:Axioma 1 æquantur. Q.E.D. Proponatur denuò constructio qua Cissoidis area in Exemplo 3 determinatur. Ad hanc autem demonstrandam, lineæ punctim notatæ deleantur in schemate deleantur et agantur

DQ

AE

et Cissoidis Asymptoton

QR

. Iam propter

AQ, DQ, CQ ∺

, est (per CorCorollarium 2 ThTheorematis 1)

fl DQ .

fl CQ ∷ DQ . 2 CQ

. Et propter sim. tri.similia triangula

QDC

DEA

, est

DQ . 2 CQ ∷ ED . 2 AD

. Ergo

fl DQ . fl CQ ∷ ED . 2 AD

. &

ED \times fl CQ = 2 AD \times fl: DQ

sive

=

4 AD \times \frac{1}{2} fl DQ

4 \times \frac{1}{2} AD \times fl DQ

. Sed per Cor.Corollarium 1, Theor.Theorema 3, est

\frac{1}{2} AD \times fl DQ

=

fluxioni generanti aream

ADOQ

, est et ejus quadruplum

ED \times fl CQ =

fluxioni generanti Cissoidalem aream

QREDO

. Et proinde per Ax:Axioma 2 area illa infinite longa

QREDO

generatur quadrupla alterius

ADOQ

. Q.E.D. Deniqꝫue ad demonstrandam constructionem areæ Conchoidalis in Exempl:Exemplo 4; Ubi demonstraveris ut supra quod sit

AG . AP ∷ DE . MK

, sic procede. Est autem (per Cor.Corollarium 2, Th.Theorema 3)

MK \times fl PC = fl: areæ PKC

DE \times fl PC

= fl areæ DPE

. Ergo

fl PKC . fl DPE (∷ MK . DE) ∷

AP . AG

. Adeoqꝫue per Ax.Axioma 2 Areæ

PKC

DPE

sunt in eadem ratione.