Method of Curves and Infinite Series, and application to the Geometry of Curves (Part 1)

divisoris termino hoc modo $x + b) a a (prodibit \frac{a a}{x} - \frac{a a b}{x x}$ $+ \frac{a a b b}{x^{3}} - \frac{a a b^{3}}{x^{4}} &c$ .

Ad eundem modum fractio

\frac{1}{1 + x x}

reducitur ad

1 - x x +

x^{4} - x^{6} + x^{8} &c

vel ad

x^{- 2} - x^{- 4} + x^{- 6} - x^{- 8} &c

Et fractio

\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}} - 3 x}

2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 7 x^{\frac{3}{2}} - 13 x^{2} + 34 x^{\frac{5}{2}} &c

Ubi obiter notandum est quòd usurpo

x^{- 1}

x^{- 2}

x^{- 3}

x^{- 4}

, &c: pro

\frac{1}{x}

\frac{1}{x x}

\frac{1}{x^{3}}

\frac{1}{x^{4}}

; &

x^{\frac{1}{2}}

x^{\frac{3}{2}}

x^{\frac{5}{2}}

x^{\frac{1}{3}}

x^{\frac{2}{3}}

, &c: pro

\sqrt{} x

\sqrt{} x^{3}

\sqrt{} x^{5}

\sqrt{} c: x

\sqrt{} c: x x

; &

x^{- \frac{1}{2}}

x^{- \frac{2}{3}}

x^{- \frac{1}{4}}

, &c pro

\frac{1}{\sqrt{} x}

\frac{1}{\sqrt{} c: x x}

\frac{1}{\sqrt{} 4: x}

. Idqꝫue ob analogiam rei, quæ deprehendi potest ex hujusmodi geometricis progressionibus

x^{3}

x^{\frac{5}{2}}

x x

x^{\frac{3}{2}}

x

x^{\frac{1}{2}}

x^{0}

(sive

1

x^{- \frac{1}{2}}

x^{- 1}

x^{- \frac{3}{2}}

x^{- 2}

&c Sic vice Ad hunc modum pro

\frac{a a}{x} - \frac{a a b}{x x} + \frac{a a b b}{x^{3}} &c

scribi potest

a a x^{- 1} - a a b x^{- 2} + a a b b x^{- 3} &c

. Et sic vice

\sqrt{} \overline{a a - x x}

scribi potest

{\overline{a a - x x}}^{\frac{1}{2}}

; et

{\overline{a a - x x}}^{2}

vice quadrati ex

a a - x x

; et

{\frac{a b b - y^{3}}{b y + y y}|}^{\frac{1}{3}}

vice

\sqrt{} c: \frac{a b b - y^{3}}{b y + y y}

. Et sic in alijs. Unde meritò potestates distingui possunt in affermativas et negativas, integras, et fractas. Exempla reductionum per extractionem radicum. Proposito

a a + x x

, radicem ejus ut sequitur extrahes,

\begin{array}{l} \begin{matrix} a a + x x (a + \frac{x x}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}} + \frac{x^{6}}{16 a^{5}} - \frac{5 x^{8}}{128 a^{7}} + \frac{7 x^{10}}{256 a^{9}} - \frac{21 x^{12}}{1024 a^{11}} &c \end{matrix} \\ \begin{array}{l} \underline{a a} \\ 0 + x x \\ \underline{x x + \frac{x^{4}}{4 a a}} \\ - \frac{x^{4}}{4 a a} \\ - \underline{\frac{x^{4}}{4 a a} - \frac{x^{6}}{8 a^{4}} + \frac{x^{8}}{64 a^{6}}} \\ + \frac{x^{6}}{8 a^{4}} - \frac{x^{8}}{64 a^{6}} \\ \underline{\frac{x^{6}}{8 a^{4}} + \frac{x^{8}}{16 a^{6}} - \frac{x^{10}}{64 a^{8}} + \frac{x^{12}}{256 a^{10}}} \\ - \frac{5 x^{8}}{64 a^{6}} + \frac{x^{10}}{64 a^{8}} - \frac{x^{12}}{256 a^{10}} & &c \\ - \underline{\frac{5 x^{8}}{64 a^{6}} - \frac{5 x^{8}}{128 a^{8}} + \frac{5 x^{12}}{512 a^{10}}} \\ \frac{7 x^{10}}{128 a^{8}} - \frac{7 x^{12}}{512 a^{10}} \\ \underline{\frac{7 x^{10}}{128 a^{8}} + \frac{7 x^{12}}{512 a^{10}}} \\ - \frac{21 x^{12}}{512 a^{10}} \end{array} \end{array}

et prodit

a + \frac{x x}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}} &c

. Ubi notandum venit quòd circa finem operis eos omnes terminos negligo quorum dimensiones trascenderent dimensiones ultimi termini ad quem cupio quotientem solummodò produci, puta

\frac{x^{12}}{a^{11}}

. Potest etiam ordo terminorum inverti ad hunc modum

x x + a a

, et radix est

x + \frac{a a}{2 x} - \frac{a^{4}}{8 x^{3}} + \frac{a^{6}}{16 x^{5}} &c

. Sic ex

a a - x x

radix est

a - \frac{x x}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}} - \frac{x^{6}}{16 a^{5}} &c

Et ex

x - x x

est

x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{8} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} x^{\frac{7}{2}} &c

* * et ex

a a + b x - x x

est

a + \frac{b x}{2 a} - \frac{x x}{2 a} - \frac{b b x x}{8 a^{3}} &c

Et ex

\frac{1 + a x x}{1 - b x x}

est

\frac{1 + \frac{1}{2} a x^{2} - \frac{1}{8} a a x^{4} + \frac{1}{16} a^{3} x^{6}}{1 - \frac{1}{2} b x x - \frac{1}{8} b b x^{4} - \frac{1}{16} b^{3} x^{6}} &c

. factâqꝫue in super divisione, fit

\begin{matrix} 1^{} & \begin{array}{r} + \frac{1}{2} b \\ + \frac{1}{2} a \end{array} & x^{2} & \begin{array}{r} + \frac{3}{8} b b \\ + \frac{1}{4} a b \\ - \frac{1}{8} a a \end{array} & x^{4} & \begin{array}{r} + \frac{5}{16} b^{3} \\ + \frac{3}{16} a b b \\ - \frac{1}{16} a a b \\ + \frac{1}{16} a^{3} \end{array} & x^{6} & &c \end{matrix}

Operationes verò per debitam æquationis præparationeem non rarò abbreviari possunt; Ut in allato exemplo ad extrahendam

\sqrt{} \frac{1 + a x x}{1 - b x x}

, si non eadem fuisset numeratoris ac denominatoris forma, utrumqꝫue multiplicassem per

\sqrt{} \overline{1 - b x x}

& sic prodijsset

\frac{\sqrt{} : 1 \begin{matrix} + a \\ - b \end{matrix} x x - a b x^{4} :}{1 - b x x}

, et reliquum opus perficeretur extrahendo radicem numeratoris tantùm ac dividendo per denominatorem. Ex hisce credo manifestum est quo pacto radices aliæ possunt extrahi et quælibet compositæ quantitates (quibuscunqꝫue radicibus vel denominatoribus perplexæ, ut hic videre est

x^{3} + \frac{\sqrt{} \overline{x - \sqrt{} \overline{1 - x x}}}{\sqrt{} 3: a x x + x^{3}} - \frac{\sqrt{} 5: \overline{x^{3} + 2 x^{5} - x^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{} 3: \overline{x + x x} - \sqrt{} \overline{2 x - x^{\frac{2}{3}}}}

.) in series infinitas simplicium terminorum reduci. De Affectarum æquationum reductione. Propositis verò affectis æquationibus, modus quo radices earum ad hujusmodi series reduci possint obnixiùs explicari debet idqꝫue cùm earum doctrina quam hactenus in numeris exposuerunt Mathematici, per ambages (superfluis etiam operationibus adhibitis) obscurè tradatur, ut in specimen 5 operis in speciebus non debeat adhiberi. Imprimis itaqꝫue numerosam affectarum æquationum resolutionem compendiosè tradam, dein speciosam similiter explicabo. Proponatur æquatio

y^{3} - 2 y - 5 = 0

resolvenda, Et sit 2 numerus utcunqꝫue inventus qui minùs quàm decimâ sui parte differt a radice quæsitâ. Tum pono

2 + p = y

, et pro

y

substituo hunc sibi valorem

2 + p

in æquationem, et inde nova prodit

p^{3} + 6 p p + 10 p - 1 = 0

. cujus radix

p

exquirenda est ut quotienti addatur. Nempe (neglectis

p^{3} + 6 p p

ob parvitatem)

10 p - 1

= 0

sive

p = 0,1

prope ad veritatem est proxime accedit. Scribo itáqꝫue

0,1

in quotiente & suppono

0,1 + q = p

, et hunc ejus fictitiuum valorem ut ante substituo, et prodit

q^{3} + 6,3 q q + 11,23 q + 0,061 = 0

. Et cùm

11,23 q + 0,061

= 0

veritatem prope accediat appropinquet sive ferè sit

q = - 0,0054

(dividendo nempe

0,061

per

11,23

donec tot eliciantur figuræ quot loca primis figuris hujus et principalis quotientis exclusivè intercedunt, quemadmodum hic duo sunt inter

2,

0,005

) scribo

- 0,0054

in inferiori parte quotientis siquidem negativa sit, et supponens

- 0,0054 + r = q

, hunc ut priùs substituo. Et sic operationem ad placitum produco, pro more subjecti diagrammatis.

\begin{array}{l} \begin{array}{r} \begin{array}{r} (\begin{matrix} + & 2,10000000 \\ - & 0,00544852 \end{matrix} \\ \begin{matrix} + & 2,09455148 \end{matrix} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} 2 + p = y . & y^{3} \\ - 2 y \\ - 5 \end{array} & \begin{array}{l} + & 8 & + & 12 p & + & 6 p p & + & p^{3} \\ - & 4 & - & 2 p \\ - & 5 \end{array} \\ \begin{matrix} Summa \end{matrix} & \begin{array}{l} - & 1 & + & 10 p & + & 6 p p & + & p^{3} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} 0,1 + q = p . & + p^{3} \\ + 6 p p \\ + 10 p \\ - 1 \end{array} & \begin{array}{l} + & 0,001 & + & 0,03 q & + & 0,3 q q & + & q^{3} \\ + & 0,06 & + & 1,2 & + & 6, \\ + & 1 & + & 10, \\ - & 1 \end{array} \\ \begin{matrix} Summa \end{matrix} & \begin{array}{r} 0,061 & + & 11,23 q & + & 6,3 q q & + & q^{3} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \begin{matrix} - 0,0054 + r = q . \end{matrix} & + q^{3} \\ + 6,3 q q \\ + 11,23 q \\ + 0,061 \end{array} & \begin{array}{l} - & 0,0000001 \dot{5} \dot{7} \dot{4} \dot{6} \dot{4} & + & 0,000 \dot{0} \dot{8} \dot{7} \dot{4} \dot{8} r & - & \dot{0}, \dot{0} \dot{1} \dot{6} \dot{2} r r & + & \dot{1} r^{3} \\ + & 0,0001837 \dot{0} \dot{8} & - & 0,068 \dot{0} \dot{4} & + & \dot{6}, \dot{3} \\ - & 0,060642 & + & 11,23 \\ + & 0,061 \end{array} \\ \begin{matrix} Summa \end{matrix} & \begin{array}{r} + & 0,0005416 & + & 11,162 r \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{matrix} - 0,00004852 + s = r . \end{matrix} \end{array} \end{array}

Opus verò sub fine (præsertim in æquationibus plurium dimensionum) hac methodo multùm abbreviabitur. Determinato quousqꝫue velis radicem extrahi, tot loca post primaam figuram coefficientis penultimi termini æquationum in dextra parte diagrammatis resultantium adnumera, quot supersunt loca in quotiente complenda, et subsequentes decimales neglige. In ultimo verò termino decimales post tot plura loca neglige quot in quot in quotiente complentur loca decimalia. Inqꝫue antepenultimo termino neglige omnes post tota pauciora loca. Et sic deinceps, Arithmeticè progrediendo per intervalluum istud locorum, sive quod perinde est, tot figuras passim elidendo quot in penultimo termino, modò depressissima earum loca sint in Arithmeticâ progressione juxta seriem terminorum, aut circulis compleri subintelligantur ubi res aliter eveniat. Sic in exemplo jam posito, si cupiam ut quotiens ad octavum tantùm decimalem locum compleatur; inter substituendum

0,0054 + r

pro

q

, ubi quatuor loca decimalia in quotiente complentur ac totidem supersunt complenda, potui figuras in inferioribus quinqꝫue locis omisisse quas eapropter lineolâ transversim notavi; imò primum terminum

r^{3}

, etsi coefficienteem habui

99999

habuisset, potui tamen penitus omisisse. Expunctis itaqꝫue figuris istis, pro subsequente operatione prodit summa

0,0005416 + 11,162 r

, quæ per divisioneem ad usqꝫue præscriptum terminum peractam dat

- 0,00004852

pro

r

, quod quotientem ad optatam periodum complet. Deniqꝫue negativam partem quotientis ab affirmativâ subduco, et oritur

2,09455148

quotiens absoluta. Præterea notandum est quòd sub initio operis si dubitarem an

0,1 = p

ad veritatem satis accederet, vice

10 p - 1 = 0

finxissem

6 p p + 10 p - 1 = 0

, et ejus radicis nihilo propioris primam figuram in quotiente scripsissem. Et hoc modo secundam vel etiam tertiam quotientis figuram explorare convenit ubi in æquatione secundaria circa quam 7 versaris, quadratum coefficientis penultimi termini non sit decies major quàm factus ex ultimo termino ducto in coefficientem termini antepenultimi. Quinimò laborem plerumqꝫue minues, præsertim in æquationibus plurimarum dimensionum, si figuras omnes quotienti addendas hoc modo (id est extrahendo minorem radicum ex tribus ultimis terminis æquationis novissimè resultantis ejus secundariæ) quæras. Sic enim figuras duplo plures in quotiente quâlibet vice lucraberis. His in numeris sic ostensis, consimiles operationes in speciebus explicandæ restant, de quibus juvabit convenit sequentia prænoscere. 1 Quod e speciebus radicem definientibus coefficientibus aliqua præ reliquis (si sint plures) insignioenda sit, ea nempe quæ so aut ms possum fingere est, aut fingi potest esse esse omnium longè minimam vel maximam vel datæ quantitati vicinissima; sive indefinitè parvam vel magnam datæ quantitati vicinam.. Cujus rei causa est, ut dimensionum ob ejus dimensiones in numeratoribus vel denominatoribus terminorum quotientis perpetim auctas, illi termini continuò minores et inde quotiens radici propinquior evadat, sicut ante de specie

x

in exemplis reductionum per divisionem et extractionem radicum manifestum estse potest. Pro isthâc verò specie in sequentibus ut plurimùm usurpabo etiam

x

vel

z

, quemadmodum et

y

p

q

r

s

&c pro specie radicali extrahenda. 2 Siquando fractiones intricatæ complexæ vel surdæ quantitates in æquatione propositâ vel post in operatione occurrant, tolli debent per memthodos Analystis satis notas. Quemadmodum si habeatur

y^{3} + \frac{b b}{b - x} y y - x^{3} = 0

, multiplico per

b - x

et ex facto

b y^{3} - x y^{3} + b b y y - b x^{3} + x^{4} = 0

resolvo valorem

y

elicio. Vel possum fingere

y \times \overline{b - x} = v

, et sic scribendo

\frac{v}{b - x}

pro

y

, orietur

v^{3} + b b y y - b b x^{3} + 2 b x^{4} - x^{5} = 0

dein extractâ radice

v

, divido quotientem per

b - x

ut obtineatur valor

y

. Item si proponatur

y^{3} - x y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{4}{3}}

= 0

fingo

y^{\frac{1}{2}} = v

, et

x^{\frac{1}{3}} = z

, et sic scribendo

v v

pro

y

z^{3}

pro

x

, oritur

v^{6} - z^{3} v + z

; qua æquatione resolutâ restituo

y

x

. Scilicet radix invenietur

v = z + z^{3} + 6 z^{5} &c

, et restitutis

y

x

orietur

y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3}} + x + 6 x^{\frac{5}{3}} &c

; et quadrando,

y = x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}} + 13 x x &c

. Ad eundem modum siquæ sint negativæ ipsoruum

x

y

, facio nullas esse tollo multiplicando per easdem

x

y

Sic habito

x^{3} + 3 x x y^{- 1} - 2 x^{- 1} - 16 y^{- 3} = 0

, multiplico per

x

y^{3}

, oriturqꝫue

x^{4} y^{3} + 3 x^{3} y y - 2 y^{3} - 16 = 0

. Et habito

x = \frac{a a}{y} - \frac{2 a^{3}}{y y} + \frac{3 a^{4}}{y^{3}}

duco in

y^{3}

et oritur

x y^{3} = y y - 2 y + 3

. Et sic de cæteris. 3 Æquatione sic præparatâ, obpus ab inventione primi termini quotientis initium sumit, de quâ ut et consimili subsequentium terminorum inventione hæc esto regula generalis cùm species indefinita (

x

vel

z

) parva esse fingitur, * * ad quem casum cæteri duo casus sunt reducibiles. E terminis in quibus species radicalis (

y

p

q

vel

r

&c) non reperitur selige depressissimum respectu dimensionum indefinitæ speciei (

x

vel

z

&c) dein alium terminum in quo sit illa species radicalis selige, talem nempe ut progressio dimensionum utriusqꝫue præfatæ speciei a termino priùs assumpto ad hunc terminum continuata, quàm maximè potest descendat vel minimè ascendat. Et siqui sint alij termini quorum dimensiones cum hâc progressione ad arbitrium continuatâ conveniant, eos etiam selige. Deniqꝫue ex his selectis terminis tanquam nihilo æqualibus quære primum terminum valorem dictæ speciei radicalis et quotienti appone , vel primum terminum ejus et quotienti appone. Cæterùm ut hæc regula magis elucescat, placuit insuper ope sequentis diagrammatis exponere. Descripto angulo recto

BAC

, latera ejus

BA

AC

divido in partes æquales, et inde normales erigo distribuentes angulare spatium in æqualia quadrata vel parallelogramma, quæ concipio denominata esse a dimensionibus specierum

x

y

, pro ut vides in fig 1 inscriptas. Deinde cùm æquatio aliqua proponitur, parallelogramma singulis ejus terminis correspondentia insignio notâ aliquâ et Regulâ ad duo vel forte plura ex insignitis parallelogrammis applicatâ, quoruum unum sit humillimum in columnâ sinistra juxta

AB

, et alia ad regulam dextrorsum sita, cæteraqꝫue omnia non contingentia 9 regulam supra eam jaceant: seligo terminos æquationis per parallelogramma contingentia regulam designatos et inde quæro quantitatem quotienti addendam. Sic ad extrahendam radicem

y

y^{6} - 5 x y^{5} + \frac{x^{3}}{a} y^{4} -

7 a a x x y y + 6 a^{3} x^{3} + b b x^{4} = 0

; parallelogramma hujus terminis respondendtia signo nota aliqua

*

ut vides in schem. 2. Dein applico regulam

DE

ad inferiorem e locis signatis in sinistra columna, eámqꝫue ab inferioribus dextrorsum ad superiora dextrorsum gyrare facio donec alium similiter vel fortè plura e reliquis signatis locis quam primum attinget cœperit attingere, videóqꝫue loca sic attracta esse

x^{3}

x^{2} y^{2}

, &

y^{6}

. E terminis itáqꝫue

y^{6} - 7 a a x x y y + 6 a^{3} x^{3}

tanquam nihilo æqualibus (et insuper si placet reductis ad

v^{6} - 7 v v + 6 = 0

ponendo

y \times \sqrt{} a x

) quæro valorem

y

, et invenio quadruplicem

+ \sqrt{} a x

- \sqrt{} a x

+ \sqrt{} 2 a x

- \sqrt{} 2 a x

, quorum quemlibet pro initio quotientis accipere liceat prout e radicibus quampiam extrahere decretum est Sic ex

y^{5} - b y y + 9 b x x - x^{3} = 0

seligo

- b y y + 9 b x x

, et inde obtineo

+ 3 x

pro initiali termino quotientis Et ex

y^{3} + a x y + a a y - x^{3} - 2 a^{3} = 0

seligo

y^{3} + a a y - 2 a^{3}

, et radicem ejus

+ a

scribo in quotiente. Et ex

x x y^{5} - 3 c^{4} x y y - c^{5} x x + c^{7} = 0

seligo

x x y^{5} + c^{7}

, quod exhibet

\sqrt{} 5: \frac{c^{7}}{x x}

pro initio quotientis. Et sic de cæteris. Cæterùm invento hoc termino, si is contingat esse negativæ potestatis, æquationem per eandem potestatem indefinitæ speciei potestatem deprimo, eo ut non opus sit inter solvendum deprimere, et insuper ut regula de superfluis terminis elidendis mox tradenda aptè possit adhiberi. Sic proposito

8 z^{6} y^{3} + a z^{6} y y - 27 a^{9} = 0

, cujus quotiens exordiri debet a

\frac{3 a^{3}}{2 z z}

, deprimo per

z z

, ut fiat

8 z^{4} y^{3} + a z^{4} y y - 27 a^{9} z^{- 2} = 0

, antequam solutionem ineo. Subsequentes quotientum termini eâdem methodo ex æquationibus secundarijs inter operandum prodeuntibus eruuntur, sed ut plurimum leviori tamen curâ. Res enim peragi solet dividendo depressissimum e terminis cum indefinitè parva specie (

x

x x

x^{3}

&c) absqꝫue specie radicali (

p

q

r

&c) affectis, per quantitatem quâcum species illa radicalis unius tantùm dimensionis abqꝫue alterâ indefinitâ specie afficitur, et exitum scribendo in quotiente. Sic in exemplo sequente termini quotientis

\frac{x}{4}

\frac{x x}{64 a}

\frac{131 x^{3}}{512 a a}

&c eliciuntur dividendo

a a x

\frac{1}{16} a x x

\frac{131}{128} x^{3}

&c per

4 a a

. Cæterùm His praemissis restat ut praxisn resolutionis exhibeam. Sit itáqꝫue

y^{3} + a a y + a x y - 2 a^{3} - x^{3} = 0

æquatio resolvenda, et ex ejus terminis

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

æquatione fictitiâ, juxta tertium e præmissis elicio

y - a = 0

, & scribo

+ a

in quotiente. Deinde cùm

+ a

non accurate valetat

y

, pono

a + p = y

, et pro

y

substit in terminis æquationis in margine scriptis substituo

a + p

, terminosqꝫue resultantes (

p^{3} + 3 a p p + a x p

&c) rursum scribo in margine, ex quibus iterum juxta tertium e præmissis excerpo terminos

+ 4 a a p + a a x = 0

pro æquatione fictitiâ, quæ cùm exhibetat

p = - \frac{1}{4} x

, scribo

- \frac{1}{4} x

in quotiente. Præterea cùm

- \frac{1}{4} x

non accurate valetat

p

, pono

- \frac{1}{4} x + q

= p

, & pro

p

in terminis marginalibus adscriptis substituo

- \frac{1}{4} x + q

, terminosqꝫue resultantes (

q^{3} - \frac{3}{4} x q q +

3 a q q

&c) iterum scribo in margine, ex quibus denuò juxta regulam præfatam seligo terminos

4 a a q - \frac{1}{16} a x x = 0

pro æquatione fictitiâ quae cùm exhibetat

q = \frac{x x}{6a a}

scribo

+ \frac{x x}{64 a}

in quotiente. Porrò cùm

\frac{x x}{64 a}

non accuratè valetat

q

, pono

\frac{x x}{64 a} + r = q

& pro

q

in terminis marginalibus adscriptis substituo

\frac{x x}{64 a} + r

, & sic opus ad placitum produco prout indicat subjectum diagramma.

\begin{array}{l} \begin{array}{r} (a - \frac{x}{4} + \frac{x x}{64 a} + \frac{131 x^{3}}{512 a a} + \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}} &c \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} + a + p = y . & + y^{3} \\ + a x y \\ + a a y \\ - x^{3} \\ - 2 a^{3} \end{array} & \begin{array}{l} + & a^{3} & + & 3 a a p & + & 3 a p p & + & p^{3} \\ + & a a x & + & a x p \\ + & a^{3} & + & a a p \\ - & x^{3} \\ - & 2 a^{3} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} - \frac{1}{4} x + q = p . & + p^{3} \\ + 3 a p^{2} \\ + a x p \\ + 4 a a p \\ + a a x \\ - x^{3} \end{array} & \begin{array}{l} - & \frac{1}{64} x^{3} & + & \frac{3}{16} x x q & * & - & \frac{3}{4} x q q & + & q^{3} \\ + & \frac{3}{16} a x x & - & \frac{3}{2} a x q & + & 3 a q q \\ - & \frac{1}{4} a x x & + & a x q \\ - & a a x & + & 4 a a q \\ + & a a x \\ - & x^{3} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} + \frac{x x}{64 a} x + r = q . & + q^{3} \\ - \frac{3}{4} x q q \\ + 3 a q q \\ + \frac{3}{16} x x q \\ - \frac{1}{2} a x q \\ + 4 a a q \\ - \frac{65}{64} x^{3} \\ - \frac{1}{16} a x x \end{array} & \begin{array}{l} * \\ * \\ + & \frac{3 x^{4}}{4096 a} & * & + & \frac{3}{32} x x r & + & 3 a r r \\ + & \frac{3 x^{4}}{1024 a} & * & + & \frac{3}{16} x x r \\ - & \frac{1}{128} x^{3} & - & \frac{1}{2} a x r \\ + & \frac{1}{16} a x x & + & 4 a a r \\ - & \frac{65}{64} x^{3} \\ - & \frac{1}{16} a x x \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{c} + 4 a a - \frac{1}{2} a x) + \frac{131}{128} x^{3} - \frac{15 x^{4}}{4096 a} (+ \frac{131 x^{3}}{512 a a} + \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}} . \end{array} \end{array}

11 Quod si Quotientem ad certam usqꝫue periodum continuari produci cupiam, ut

x

nempe in ultimo ejus termino ultra datum dimensionum numerum non ascendat; inter substituendum, terminos istas inter substituendum semper omitto quos nulli deinceps usui fore prævideam. Cujus rei regula esto, quòd post primum terminum ex qualibet quantitate sibi in margine collaterali resultantem non addantur plures dextrorsum, quàm istius primò resultantis termini dimensio a periodica sive maximâ dimensione quotientis distat unitatibus deficit gradibus. Ut in hoc exemplo si cupiam ut quotiens (sive

x

in quotiente) ad quatuor tantùm dimensiones ascendat, omitto omnes terminos post

x^{4}

, & post

x^{3}

pono unicum tantùm. Terminos itaqꝫue post notam

*

delendos esse concipe: Et opere sic continuato donec ultimò ad terminos

(\frac{15 x^{4}}{4096 a} - \frac{131}{128} x^{3} + 4 a a r - \frac{1}{2} a x r)

deveniatur in quibus (

p

q

r

vel

s

&c) residuum radicis extrahendæ sit unicæ tantùm dimensionis; tot terminos

(+ \frac{131 x^{3}}{512 a a} + \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}})

per divisionem elicioes, quot ad complendum quotientem deesse videbis. Atqꝫue ita tandem obtinebitur

y = a - \frac{1}{4} x + \frac{x x}{64 a} + \frac{131 x^{3}}{512 a^{2}} + \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}}

. Plenioris illustrationis gratia dedi aliud exemplum resolvendio

\frac{1}{5} y^{5} - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y y + y - z = 0

, ubi proponitur inventio quotientis ad quintam tantùm dimensionem, terminiqꝫue superflui post notam (&c) negliguntur.

\begin{array}{l} \begin{array}{r} (z + \frac{1}{2} z z + \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{24} z^{4} + \frac{1}{120} z^{5} &c \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} z + p = y & + \frac{1}{5} y^{5} \\ - \frac{1}{4} y^{4} \\ + \frac{1}{3} y^{3} \\ - \frac{1}{2} y^{2} \\ + y \\ - z \end{array} & \begin{array}{l} + & \frac{1}{5} z^{5} & &c \\ - & \frac{1}{4} z^{4} & - & z^{3} p & &c \\ + & \frac{1}{3} z^{3} & + & z^{2} p & + & z p p & &c \\ - & \frac{1}{2} z^{2} & - & z p & - & \frac{1}{2} p p \\ + & z & + & p \\ - & z \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} + \frac{1}{2} z z + q = p . & + z p^{2} \\ - \frac{1}{2} p^{2} \\ - z^{3} p \\ + z^{2} p \\ - z p \\ + p \\ + \frac{1}{5} z^{5} \\ - \frac{1}{4} z^{4} \\ + \frac{1}{3} z^{3} \\ - \frac{1}{2} z^{2} \end{array} & \begin{array}{l} + & \frac{1}{4} z^{5} & &c \\ - & \frac{1}{8} z^{4} & - & \frac{1}{2} z^{2} q & &c \\ - & \frac{1}{2} z^{5} & &c \\ + & \frac{1}{2} z^{4} & + & z^{2} q \\ - & \frac{1}{2} z^{3} & - & z q \\ + & \frac{1}{2} z^{2} & + & q \\ + & \frac{1}{5} z^{5} \\ - & \frac{1}{4} z^{4} \\ + & \frac{1}{3} z^{3} \\ - & \frac{1}{2} z^{2} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{c} 1 - z + \frac{1}{2} z z) + \frac{1}{6} z^{3} - \frac{1}{8} z^{4} + \frac{1}{20} z^{5} (+ \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{24} z^{4} + \frac{1}{120} z^{5} . \end{array} \end{array}

Atqꝫue ita si cupiam æquationem

\frac{63 y^{11}}{2816} + \frac{35}{1152} y^{9} + \frac{5}{112} y^{7} +

\frac{3}{40} y^{5} + \frac{1}{6} y^{3} + y - z = 0

ad usqꝫue nonam tantùm dimensioneem quotientis resolvi, ante opus initum negligo terminum

\frac{63}{2816} y^{11}

, deinde inter operandum negligo etiam omnes terminos post

z^{9}

, post

z^{7}

pono unicum, ac duos tantum post

z^{5}

, eò quòd percipio quotientem ubiqꝫue per gradus binarum unitatum (hoc modo

z

z^{3}

z^{5}

, &c) debere ascendere. Tandemqꝫue prodit

y = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} z^{9}

Et hinc padtet artificium quo æquationes in infinitum affectæ, vel utcunqꝫue multis numeróve infinitis terminis constantes possunt solvi. Scilicet omnes termini ante opus initum debent negligi in quibus dimensio speciei indefinitaè parvæ non affectæ cum radicali specie transcendit maximam desideratamdimensionem in quotiente desideratam vel ex quibus, (substituendo pro radicali specie primum terminum quotientis ope tessellatæ tabulæ inventum), non nisi ejusmodi transcendentes termini possunt emergere. Sic in exemplo novissimo terminos omnes supra

y^{9}

, quamvis infinitè progrederentur, omississem. Et sic in hâc æquatione

0 = \{\begin{array}{r} - & 8 & + & z z & - & 4 z^{4} & + & 9 z^{6} & - & 16 z^{8} & &c \\ + & y & in & z z & - & 2 z^{4} & + & 3 z^{6} & - & 4 z^{8} & &c \\ - & y y & in & z z & - & z^{4} & + & z^{6} & - & z^{8} & &c \\ + & y^{3} & in & z z & - & \frac{1}{2} z^{4} & + & \frac{1}{3} z^{6} & - & \frac{1}{4} z^{8} & &c \end{array}

ut radix cubica ad quatuor tantùm dimensiones ipsius

z

extrahatur, mitto omnes in infinitum terminos post

+ y^{3} in z z - \frac{1}{2} z^{4} + \frac{1}{3} z^{6}

, et post

- y y in z z - z^{4} + z^{6}

et post

+ y in z z - 2 z^{4}

, et post

- 8 + z z - 4 z^{4}

. Et hanc tantùùm æquationem

\frac{1}{3} z^{6} y^{3} - \frac{1}{2} z^{4} y^{3} + z z y^{3} - z^{6} y y + z^{4} y y - 2 z^{4} y + z z y - 4 z^{4}

+ z z - 8 = 0

resolvendam sumo, siquidem

2 z^{- \frac{2}{3}}

(primus nempe quotientis terminus,) pro

y

in reliquâ æquatione per

z^{\frac{2}{3}}

substitutus, dat plures ubiqꝫue quàm quatuor dimensiones. Quæ de altioribus æquationibus dixi, ad quadraticas etiam applicari possunt. Quemadmodum si hujus

0 = \{\begin{matrix} y y & . \\ - y & in & a & + & x & + & \frac{x x}{a} & + & \frac{x^{3}}{a a} & + & \frac{x^{4}}{a^{3}} & &c \\ + \frac{x^{4}}{4 a a} & . \end{matrix}

radicem ad usqꝫue periodum

x^{6}

desiderem, mitto terminos in infinitum post

- y in a + x + \frac{x x}{a}

et isthanc tantùm 13

y y - a y - x y + \frac{x x}{a} y + \frac{x^{4}}{4 a a} = 0

, sive id fiat hâc lege

y = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} x + \frac{x x}{2 a} - \sqrt{} \overline{\frac{1}{4} a a + \frac{1}{2} a x + \frac{3}{4} x x + \frac{x^{3}}{2 a}}

, ut solet, sive expeditiùs per methodum de affectis æquationibus jam traditam, resolvo; et exit

y = \frac{x^{4}}{4 a^{3}} - \frac{x^{5}}{4 a^{4}} *

, ultimo desiderato termino existente nullo. Postquam verò radices ad convenientem periodum extractæ sunt, posss plerumqꝫue possunt aliquando, ex analogiâ seriei observatâ, ad placitum produci. Sic hanc

z + \frac{1}{2} z z + \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{24} z^{4} + \frac{1}{120} z^{5} &c

(radicem æquationis infinitæ

x = y + \frac{1}{2} y y + \frac{1}{3} y^{3} &c

) perpetuò produces dividendo ultimum terminum per hos ordine numeros

2, 3, 4, 5, 6, 7

&c. Et hanc

z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7}

+ \frac{1}{362880} z^{9} &c

dividendo per hos

2 \times 3, 4 \times 5, 6 \times 7, 8 \times 9

&c [Et hanc

a + \frac{x x}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}} + \frac{x^{6}}{16 a^{5}} - \frac{5 x^{8}}{128 a^{7}} &c

multiplicando per hos

\frac{1}{2}. \frac{- 1}{4}. \frac{- 3}{6}. \frac{- 5}{8}. \frac{- 7}{10}

&c.] Et sic in alijs. Cæterùm in inventione primi termini quotientis et nonnunquam secundi tertijve difficultatsis etiamnum enodanda superest. Potest enim valor ejus secundum præcedentia quæsitus esse surda sive inextricabilis radix æquationis multipliciter affectæ. Quod cùm accidit, modò non sit insuper impossibilis, illum literâ aliquâ designabis, dein operabere tanquam si cognitum haberes. Quemadmoduum in exemplo

y^{3} + a x y + a a y - x^{3} - 2 a^{3} = 0

, si radix hujus

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

fuisset surda vel ignota finxissem quamlibet

(b)

, pro ea ponendam esse, et resolutionem (puta ad tertiam dimensionem )quotientis) ut sequitur perfecissem.

\begin{array}{l} \begin{array}{r} (b - \frac{a b x}{c c} + \frac{a^{4} b x x}{c^{6}} + \frac{x^{3}}{c c} + \frac{a^{4} b^{3} x^{3}}{c^{8}} - \frac{a^{5} b x^{3}}{c^{8}} + \frac{6 a^{5} b^{3} x^{3}}{c^{10}} . \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} b + p = y . & + y^{3} \\ + a x y \\ + a a y \\ - x^{3} \\ - 2 a^{3} \end{array} & \begin{array}{l} + & b^{3} & + & 3 b b p & + & 3 b p p & + & p^{3} \\ + & a b x & + & a x p \\ + & a a b & + & a a p \\ - & x^{3} \\ - & 2 a^{3} \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} \begin{array}{r} \frac{- a b x}{c c} + q = p . & + p^{3} \\ + 3 b p p \\ + a x p \\ + c c p \\ - x^{3} \\ + a b x \end{array} & \begin{array}{l} - & \frac{a^{3} b^{3} x^{3}}{c^{6}} & &c \\ + & \frac{3 a a b^{3} x x}{c^{4}} & - & \frac{6 a b b x}{c c} q & &c \\ - & \frac{a a b x x}{c c} & + & a x q \\ - & a b x & + & c c q \\ - & x^{3} \\ + & a b x \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{c} c c + a x - \frac{6 a b b x}{c c} z z) \frac{a^{4} b x x}{c^{4}} + x^{3} + \frac{a^{3} b^{3} x^{3}}{c^{6}} (\frac{a^{4} b x x}{c^{6}} + \frac{x^{3}}{c c} + \frac{a^{3} b^{3} x^{3}}{c^{8}} &c \end{array} \end{array}

Scribens

b

in quotiente suppono

b + p = y

& pro

y

substituo ut vides: unde prodit

p^{3} + 3 b p p

&c, rejectis terminis

b^{3} + a a b

- 2 a^{3}

, qui nihilo sunt æquales propterea quod

b

supponitur radix hujus

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

. Deinde termini

3 b b p + a a p

+ a b x

dant

\frac{- a b x}{3 b b + a a}

, quotienti apponendum &

\frac{- a b x}{3 b b + a a} + q

substituendum pro

p

. Brevitatis autem gratiâ scribo

c c

pro

3 b b + a a

, cavendo tamen ut

3 b b + a a

restituatur ubi terminos sic abbreviari posse percipiam. Completo opere assumo numerum aliquem pro

a

, et hanc

y^{3} + a a y

- 2 a^{3} = 0

(sicut de numerali æquatione ostensum supra) resolvo, et quamvis quamlibet ejus radicem (modo tres haberet) pro

b

substituo. Vel potiùs hujusmodi æquationes a speciebus, ut possum, libero, præsertim ab indefinitâ; idqꝫue pro morequem volui innuere pag 9 lin 14: et pro cæteris tantùm (siquæ supersint indelebiles) pono numeros. Sic

y^{3} + a a y - 2 a^{3} = 0

liberabitur ab

a

dividendo radicem per

a

, fietqꝫue

y^{3} + y - 2 = 0

, cujus inventa radix ducta in

a

substitui debet pro

b

. Hactenus indefinitam speciem suposui parvam esse. Quod si datæ quantitati vicina supponatur, pro indefinitè parvâ differentiâ pono speciem aliquam, et hâc substitutâ, solvo ut ante. Quemadmodum in

\frac{1}{5} y^{5} - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2}

+ y - a - x = 0

, cognito vel ficto

x

esse ejusdem prope quantitatis ac

a

, pono

z

differentiam ex inter ea, & scribendo

a + z

, vel

a - z

pro

x

, orietur

\frac{1}{5} y^{5} - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + y - vel + z = 0

solvendum ut in præcedentibus. Si verò species illa supponatur indefinitè magna, pro reciproco ejus indefinitè parvo pono speciem aliquam, et hâc substitutâ, solvo ut ante. Sic in

y^{3} + y^{2} + y = 0

, cognito vel ficto

z

esse valde magnum, pro reciprocè parvo

\frac{1}{z}

pono

x

, et substituto

\frac{1}{x}

pro

z

orietur

\frac{1}{5} y^{5}

- \frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y y + y - \frac{1}{x} = 0

sive

= 0

, cujus radix secundum præcedentia extrahitur fitqꝫue

\sqrt{} 5: \frac{5}{x} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \sqrt{} 5: x - \frac{1}{12} \sqrt{} 5: 5 x &c

. Sin autem species ilia supponatur indefinite magna, pro reciproco ejus indefinitè parvo pono speciem aliquam, quâ substitutâ solvo ut ante. Sic habito

y^{3} + y^{2} + y - x^{3} = 0

ubi

x

cognoscitur vel fingitur esse valde magnum, pro15 pro reciprocè parvo

\frac{1}{x}

pono

z

, et substituto

\frac{1}{z}

pro

x

, orietur

y^{3} + y y + y - \frac{1}{z^{3}} = 0

, cujus radix est

\frac{1}{z} - \frac{1}{3} - \frac{2}{9} z + \frac{7}{81} z z + \frac{5}{81} z^{3} &c.

x

si platcet restituto fit

y = x - \frac{1}{3} - \frac{2}{9 x} + \frac{7}{81 x x} + \frac{5}{81 x^{3}} &c

. Siquando ex aliquâ harum trium suppositionum res non omninò aut non commodè succedat, ad aliam recurri potest. Quemadmodum Sic in

y^{4} - x x y y + x y y + 2 y y - 2 y + 1 = 0

cùm primus terminus obtineri debetat deberet fingendo

y^{4} + 2 y y - 2 y + 1 = 0

, quæ tamen nullam admittit possibilem radicem, Tento qꝫue quid fiet aliter: quemadmodum si fingam

x

parùm differre a

+ 2

sive esse

2 + z = x

, substituendo

2 + z

vice

x

prodibit

y^{4} - z z y y - 2 z y y

- 2 y + 1 = 0

, et quotiens exordietur ab

+ 1

. Vel si fingam

x

indefinitè magnam esse, sive

\frac{1}{x} = z

, obtinebitur

y^{4} -

\frac{y y}{z z} + \frac{y y}{z} + 2 y y - 2 y + 1 = 0

, &

+ z

pro initio quotientis. Et hac ratione secundum varias Hypotheses procedendo, licebit varijs modis extrahere ac designare radices. Quod si cupias explorare quot modis id potest fieri, tentabis quænam quantitates pro indefinitâ specie in æquationem propositam substitutæ, efficient divisibilem per

y

+

vel

-

aliquâ quantitate vel per

y

solum. Id quod verbi gratia in æquatione

y^{3} + a x y + a a y - x^{3} - 2 a^{3} = 0

eveniet substituendo

+ a

, vel

- a

, vel

- 2 a

, vel

\sqrt{} c: - 2 a^{3}

, &c pro

y

. Atqꝫue ad ita possis commodè supponere quantitatem

x

parùm ab

+ a

, vel

- a

, vel

- 2 a

, vel

\sqrt{} c: - 2 a^{3}

differre, et inde radicem propositæ æquationis tot modis extrahere. Imò et fortasse tot alijs modis fingendo differentias istas esse indefinitè magnas. Quinetiam si aliam atqꝫue aliam e speciebus radiceem definientibus pro indefinitâ adhibeas, possis alijs adhuc fortassè modis propositum consequi; et etiamnum alijs substituendo valores quâcunqꝫue ratione fictos et (quales sunt

a z + b z z

\frac{a}{b + z}

\frac{a + c z}{b + z}

&c) pro indefinitâ specie & in æquatione resultante operando sicut in præcedentibus. Cæterùm ut conclusionum veritas constet, quotientes nempe sic extractos, dum producuntur, ita propiùs ad radicem accedere, ut minùs tandem quâvis datâ quantitate differant, adeóqꝫue in infinitum productos non omninò differre: perpende quod quantitates in sinistrâ columnâ dextræ partis diagrammatum, quòd sint ultimi termini æquationum quarum

p

q

r

s

, &c existunt radices et inde quòd ipsis evanescentibus, illæ

p

q

r

s

, id est differentiæ inter quotienteem & quæsitaam radiceem, simul evanescunt. Adeóqꝫue quotiens tunc non differt a radice. Quamobrem sub initio operis si terminos in dictâ columnâ sese omnes destruere videas, conclude quotientem eatinus extractam, esse justam radicem. Sin aliter, videbis tamen terminos in quibus est indefinite parva species est pauciorum dimensionum, id est longè maximos, e columna ista perpetuò tolli, ut tandem non restent nisi datâ quâvis quantitate minores, et proinde non majores nihilo cùm opus infinitè producitur. Quare quotiens infinitè extracta fiet etiam justa radix. [Etsi deniqꝫue species, quams hactenus perspicuitatis gragratiam supposui indefinitè parvas esse, quantumvis magnæ supponàtur, tamen veræ erunt quotientuesm, ut ut minùs citò ad justam radicem convergeantium veritas tamen ad ve quemadmodum ex analogiâ rei constaebit. Sed hic radicum termini, maximæqꝫue et minimæ quantitates spectandæ veniunt: Nam infinitarum cum finitis asquationibus communia sunt hujusmodi symptomata . Radix autem in his maxima fit vel minima quando maxima vel minima est differentia summæ affirmativorum terminorum a summâ negativorum, ac terminatur cùm indefinita parva quantitas (quam ideò parvam esse non immeritò finxi) non potest major sumi quam quin magnitudo radicis in infinitum prosiliet, hoc est fiet impossibilis. Verbi gratiâ posito

ACD

semicirculo super diametro

AD

descripto, et

BC

ordinatim applicatâ: Dic

AB = x

BC = y

AD = a

et erit

y = (\sqrt{} \overline{a x - x x} =) \sqrt{} a x - \frac{x}{2 a} \sqrt{} a x - \frac{x x}{8 a a} \sqrt{} a x

- \frac{x^{3}}{16 a^{3}} \sqrt{} a x &c

. Fitqꝫue ergo

BC

sive

y

maxima cum

\sqrt{} a x

maximè superat omnes

\frac{x}{2 a} \sqrt{} a x + \frac{x x}{8 a a} \sqrt{} a x + \frac{x^{3}}{16 a^{3}} \sqrt{} a x &c

, id est cùm sit

x = \frac{1}{2} a

: terminabitur autem cùm sit

x = a

squia si sumassummas

x \overline{\underline{|}} a

, summa omnium terminorum

- \frac{x}{2 a} \sqrt{} a x - \frac{x x}{8 a a} \sqrt{} a x - \frac{x^{3}}{16 a^{3}} \sqrt{} a x &c

erit infinita. Est et alius terminus cùm ponitur

x = 0

, propter impossibilitatem radicalis

\sqrt{} - a x

; Quibus terminis correspondent semicirculi limites

A

D

.] Et hic differentia inter in finitas 17 Hactenus de modis computandi quorum poshacposthac frequens erit usus: Jam restat ut in illustrationem hujus Artis Analyticæ tradam aliquot Problematum specimina qualia præsertim natura curvarum ministrabit. Sed imprimis observandum venit quod hujusmodi difficultates possunt omnes ad hæc duo tantùm problemata reduci quæ circa spatium motu locali utcunqꝫue accelerato vel retardato descriptum proponere licebit. 1. Spatij longitudine continuò (sive ad omne τα νυν tempus) data, celeritatem motûs ad tempus propositum invenire. 2. Celeritate motûs continuò datâ longitudinem spatij 2 descripti 1 ad tempus propositum invenire. Sic in æquatione

x x = y

y

designat spatij longitudinem ad quodlibet tempus quod aliud spatium

x

uniformi celeritate in crescendo mensurat et exhibet descriptam: tunc

2 m x

designabit celeritatem qua spatium

y

ad idem temporis momentum describi pergit; et contra. Et hinc est quod in sequentibus consideroem quantitates quasi generatæ essent per incrementum continuum ad modum spatij quod mobile percurrendo describit. Cùm autem temporis nullam habeamus æstimationem nisi quatenus, id per æquabilem motum localem exponitur et mensuratur, et præterea cùm quantitates ejusdem tantùm generis inter se conferri possint et earum incrementi et decrementi celeritates inter se, eapropter ad tempus formaliter spectatum in sequentibus haud respiciam, sed e propositis quantitatibus quæ sunt ejusdem generis aliquam quantitatum aliquam æquabili fluxione ad generatam augeri debemus fingeream quæ cui cæteræ tantquam tempori referantur, adeoqꝫue cui nomen temporis analogiecè tribui mereatur. Siquando itaqꝫue vocabulum temporis in sequentibus occurrat (quemadmodum perspicuitatis et distinctionis gratia nonnuumquàm intertexui) eo nomine non tempus formaliter spectatum subintelligi debet sed illa alia quantitas cujus æquabili incremento sive fluxione tempus exponitur et mensuratur. Quantitates autem quas ut sensim crescentes indefinitè considero, quo distinguam ab alijs quantitatibus quæ in æquationibus quibuscunqꝫue pro determinatis et cognitis habendæ sunt ac initialibus literis

a

b

c

, &c designantur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis

v

x

y

, et

z

. Et celeritates quibus singulæ a motu generante fluunt et augentur (quas possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocitare) designabo literis

l

m

n

r

. Nempe pro celeritate quantitatis

v

ponam

l

et sic pro celeritatibus aliarum quantitatum

x

y

, et

z

ponam

m

n

, et

r

respectivè. His præmissis, e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositoruum problematum solutionem exhibiturus. Prob:Problema 1. Relatione quantitatum fluentium inter se datâ, fluxionum relationem determinare. Solutio. Æquationem qua data relatio exprimitur dispone secundum dimensiones alicujus fluentis quantitatis puta

x

, ac terminos ejus multiplica per quamlibet Arithmeticam progressionem ac deinde per

\frac{m}{x}

. Et hoc opus in qualibet fluenti quantitate seorsim institue. Dein omnium factorum summam pone nihilo æqualem, et habes æquationem desideratam. Exemp:Exemplum 1. Si quantitatum

x

y

relatio sit

x^{3} - a x x + a x y - y^{3}

= 0

, terminos primò secundum

x

adc deinde secundum

y

dispositos multiplico ad hunc modum.

\begin{matrix} \begin{matrix} Mult: & x^{3} & - & a x x & + & a x y & - & y^{3} & . \\ per & \frac{3 m}{x} . & \frac{2 m}{x} . & \frac{m}{x} . & 0 & . \\ fit & 3 m x x & - & 2 m a x & + & m a y . & * & . \end{matrix} & \begin{matrix} Mult & - & y^{3} & + & a x y & \begin{matrix} - & a x x \\ + & x^{3} \end{matrix} & . \\ per & \frac{3 n}{y} . & \frac{n}{y} . & \begin{matrix} 0 \end{matrix} & . \\ fit & - & 3 n y y & + & a n x . & \begin{matrix} * \end{matrix} & . \end{matrix} \end{matrix}

Et factorum summa est

3 m x x - 2 a m x + a m y - 3 n y y + a n x = 0 .

æquatio quæ dat relationem inter fluxiones

m

n

. Nempe si assumas

x

ad arbitrium, æquatio

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

dabit

y

. Quibus determinatis erit

m . n ∷ 3 y y - a x . 3 x x - 2 a x + a y

. ExemplExemplum 2. Si quantitatum

x

y

, et

z

relatio sit

2 y^{3} + x x y - 2 c y z + 3 y z z - z^{3} = 0

\begin{matrix} \begin{matrix} Mult & 2 y^{3} & \begin{array}{l} + & x x \\ - & 2 c z \\ + & 3 z z \end{array} y & - & z^{3} & . \\ per & \frac{2 n}{y} . & 0 . & - & \frac{n}{y} & . \\ fit & 4 n y y & * & + & \frac{n z^{3}}{y} & . \end{matrix} & \begin{matrix} Mult & x y y & \begin{array}{l} + & 2 y^{3} \\ - & 2 c y z \\ + & 3 y z z \\ - & z^{3} \end{array} & . \\ per & \frac{2 m}{x} . & 0 & . \\ fit & 2 m x y & * & . \end{matrix} & \begin{matrix} Mult & - & z^{3} & + & 3 y z z & - & 2 c y z & \begin{array}{l} + & x x y \\ + & 2 y^{3} \end{array} & . \\ per & \frac{3 r}{z} . & \frac{2 r}{z} . & \frac{r}{z} . & 0 & . \\ fit & - & 3 r z z & + & 6 r y z & - & 2 c r y & * & . \end{matrix} \end{matrix}

Quare fluendi celeritatum

m

n

r

relatio est

4 n y y + \frac{n z^{3}}{y} + 2 m x y

- 3 r z z + 6 r y z - 2 c r y = 0

. Cæterùm cùm tres sint hic fluentes quantitates

x

y

, et

z

deberet alia insuper æquatio dari qua relatio inter ipsas ut et inter earum fluxiones penitiùs determinetur. Quemadmodum si ponitur esse

x + y - z = 0 .

exinde fluxionum alia relatio juxta Regulam erit

m + n - r = 0 .

Confer 19 jam hasce cum præcedentibus æquationibus, eliminando quamlibet e tribus quantitatibus et quoadmlibet etiam e tribus earum momentis fluxionibus, et reliquorum relationes penitiùs determinatas obtinebis. Siquando in æquatione propositâ insint fractiones intricatæ complexæ aut surdæ quantitates, pro singulis pono totidem literas, easqꝫue fingens designare quantitates mutabiles fluentes, operor ut ante. Dein supprimo et extermino literas ascriptitias, ut hic videre est. Exempl:Exemplum 3. Si quantitatum

x

y

relatio sit

y y - a a - x \sqrt{} \overline{a a - x x}

: pro

x \sqrt{} \overline{a a - x x}

scribo

z

et inde habeo duas æquationes

y y - a a - z = 0

, et

a a x x - x^{4} - z z = 0

quarum prior ut ante dabit

2 n y - r = 0

pro relatione momentorum fluxionum celeritatum

n

r

, et posterior dabit

2 a a m x - 4 m x^{3} - 2 r z = 0

sive

\frac{a a m x - 2 m x^{3}}{z} = r

pro relatione momentorum celeritatum

m

r

. Jam

r

suppresso fiet

2 n y \frac{- a a m x + 2 m x^{3}}{z} = 0

, & dein restituto

x \sqrt{} \overline{a a - x x}

pro

z

habebitur

2 n y \frac{- a a m + 2 m x x}{\sqrt{} \overline{a a - x x}} = 0

relatio inter

m

n

quæ quærebatur. Exempl:Exemplum 4. Si

x^{3} - a y y + \frac{b y^{3}}{a + y} - x x \sqrt{} \overline{a y + x x} = 0

designat relationem inter

x

y

: pono

z

pro

\frac{b y^{3}}{a + y}

, et

v

pro

x x \sqrt{} \overline{a y + x x}

et inde nactus sum tres æquationes

x^{3} - a y y + z - v = 0

a z + y z - b y^{3} = 0

, &

a x^{4} y + x^{6} - v v = 0

. Prima dat

3 m x x - 2 a n y + r - l = 0

, secunda dat

a r + r y

+ n z - 3 b n y y = 0

, et tertia dat

4 a m x^{3} y + 6 m x^{5} + a n x^{4} - 2 l v = 0

pro relationibus momentorum celeritatum

l

m

n

r

. Ipsorum verò

r

l

valores per secundam ac tertiam inventos (nempe

\frac{3 b n y y - n z}{a + y}

pro

r

, et

\frac{4 a m x^{3} y + 6 m x^{5} + a n x^{4}}{2 v}

pro

l

) substituo in primam et oritur

3 m x x - 2 a n y \frac{3 b n y y - n z}{a + y}

\frac{- 4 a m x^{3} y - 6 m x^{5} - a n x^{4}}{2 v} = 0

. Et vice

z

v

restitutis valoribus

\frac{b y^{3}}{a + y}

x x \sqrt{} \overline{a y + x x}

, prodit æquatio quæsita

3 m x x - 2 a n y \frac{3 a b n y y + 2 b n y^{3}}{a a + 2 a y + y y} \frac{- 4 a m x y - 6 m x^{3} - a n x x}{2 \sqrt{} \overline{a y + x x}} = 0

quâ relatio momentorum celeritatum

m

n

designatur. Quo pacto in alijs casibus operandum est, quemadmoduum cùm in æquatione propositâ reperiuntur surdi denominatores, radicales cubicæ, radicales intra radicales ut

\sqrt{} \overline{a x + \sqrt{} \overline{a a - x x}}

aut alij ejusmodi perplexi termini, ex his credo manifestum esse. Quinimò si in æquatione quantitates involvantur quæ nullâ ratione geometricâ determinari et exprimi possunt, quales sunt areæ vel longitudines curvarum: tamen relationes momentorum fluxionum haud secus investigantur, prout in exemplo sequente manif constabit. Præparatio in Exemplum 5. Exempl:Exemplum 5. Pone

BD

ordinatam esse in angulo recto ad

AB

et quod

ADH

sit curva quæ per relationem inter

AB

BD

æquatione qualibet exhibitam definitur.

AB

verò dicatur

x

et curvæ area

ADB

ad unitatem applicata dicatur

z

. Dein erige perpendiculum

AC

=æquale unitati et per

C

duc

CE

parallelam

AB

et occurrentem

BD

E

, et concipiendo has duas superficies

ADB

ACEB

genitas esse per motum rectæ

BED

, manifestum erit quòd earum momenta fluxiones (hoc est momenta fluxiones quantitatum

1 \times z

1 \times x

, sive quantitatum

z

x

) sunt inter se ut

BD

BE

lineæ generantes. Est ergo

r . m ∷ BD . BE

sive

1

, adeóqꝫue

r = m \times BD

. Et hinc fit quod

z

in æquatione quâlibet designante relationem inter

x

et aliam quamvis mutabilem fluentem quantitatem

y

involvi potest, et tamen momentorum fluxionorum

m

n

relatio nihil minùs inveniri. Exemplum 5. Quemadmodum si proponitur

z z + a x z -

y^{4} = 0

pro designanda relatione inter

x

y

, ut et

\sqrt{} \overline{a x - x x} = BD

pro curvâ determinandâ, quæ proin erit circulus: æquatio

z z + a x z - y^{4} = 0

sicut in præcedentibus dabit

2 r z + a r x + a m z - 4 n y^{3} = 0

, pro determinanda relatione momentorum celeritatum

m

n

, et

r

. Et præterea cùm sit

r = m \times BD

sive

m \sqrt{} \overline{a x - x x}

, pro eo substitue hunc valoreem, et orietur

\overline{2 m z + a m x} \sqrt{} \overline{a x - x x} + a m z - 4 n y^{3} = 0

æquatio definiens relationem momentorum celeritatum

m

n

. Demonstratio. Fluentium quantitatum momenta (i.e. earum partes indefinitè parvæ quarum additamento per singula temporis indefinita parva spatia augentur,) adeoqꝫue sunt ut fluendi celeritates. Quare si cujusvis ut

x

momentum per momentum per factum ex cel ejus celeritate

m

et indefinitè parva quantitate

o

desi (i.e. per

m o

) designetur, cæterorum

v

y

z

momenta per

l o

n o

r o

designabuntur, siquidem

l o

m o

n o

, et

r o

sunt 21 inter se ut

l

m

n

, et

r

. Demonstratio Jam cùm quantitatum fluentium (ut

x

y

) momenta (ut

m o

n o

) sint additamenta infinitè parva quibus illæ quantitates per singula temporis infinite parva intervalla augentur, sequitur quod quantitates illæ

x

y

post quodlibet infinite parvum temporis intervallum futuræ sunt

x + m o

y + n o

. eEt inde æquatio quæ relationem quantitatum fluentium ad omne tempus indifferenter designat, æque designabit relationem inter

x + m o

y + n o

, ac inter

x

y

: adeò ut

x + m o

y + n o

pro quantitatibus istis vice

x

y

in dictam æquationem substitui possint. Detur itaqꝫue quælibet æquatio

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

, et substitue

x + m o

pro

x

y + n o

pro

y

, et emerget

\begin{array}{l} x^{3} + 3 m o x x + 3 m m o o x + m^{3} o^{3} \\ - a x x - 2 a m o x - a m m o o \\ + a x y + a m o y + a n o x + a m n o o \\ - y^{3} - 3 n o y y - 3 n n o o y - n^{3} o^{3} \end{array}\} = 0

Jam ex Hypothesi sunt

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

, quibus deletis et reliquis terminis per

o

divisis restabunt

3 m x x + 3 m m o x + m^{3} o o

- 2 a m x - a m m o + a m y + a n x + a m n o - 3 n y y - 3 n n o y - n^{3} o o = 0

. Et insuper cùm

o

supponitur esse infinitè parvum, eo ut momenta quantitatum designare possit, termini per illud multiplicati respectu cæterorum nihil valebunt. Rejicio itaqꝫue, et restat

3 m x x - 2 a m x

+ a m y + a n x - 3 n y y = 0

, ut supra in Exempl:Exemplum 1. Hinc observare est primò quòd termini non multiplicati per

o

semper evanescent, ut et illi multiplicati per

o

plusquam unius dimensionis: et quòd reliquoruum terminorum per

o

divisiorum ea semper erit forma quam juxta præcedentia debent habere Regulam habere debent. Id quod volui ostendere. Ex hoc monstrato cætera quæ Regula involvit facilè consequentur; quemadmodum quòd in æquatione propositâ plures fluentes quantitates involvi possunt, et quòd termini non modò per numerum dimensionum quantitatum fluentium sed per quaslibet alias Arithmeticas progressiones multiplicari possunt dummodò in operatione juxta quamlibet fluentem quantitatem sit eadem terminorum differentia, et progressio secundum eundem cujusqꝫue dimensionum ordinem disponatur. Et his concessis quæ præterea in exemplis 3, 4, et 5 docentur, per se manifesta sunt. ProbProblema 2 Exposita quantitate fluente ad cujus momenta relatio momentorum alterius alicujus fluentis quantitatis datur, quantitatum relationum inter se relationem invenire. Rationis momentorum quæsitæ quantitatis ad momenta quantitatis expositæ valorem multiplica per expositam quantitatem (si liber sit ab assymmetria et non afficitur denominatore aliquo plurium dimensionum terminorumy) multiplica per expositam quantitatem, dein terminum unumquemqꝫue sigillatim divide per proprium numerum dimensionum ejusdem quantitatis; et quod oritur valebit quantitate quæsitâ. Quemadmodum si exponatur

x

, et

y

quæratur: Rationis

\frac{n}{m}

valorem in datâ quâlibet æquatione, exhibitum duc in

x

, et unumquemqꝫue terminum divide per numerum dimensionum ejus. Dein pone

= y

. Exemplum 1. Si detur

\frac{n}{m} = \frac{x}{a}

, duco

\frac{x}{a}

et fit

\frac{x x}{a}

, ubi cùm

x

sit duarum dimensionum divido per

2

et fit

\frac{x x}{2 a}

quod pono æquale

y

. 23 ProbProblema 2 Exposita æquatione fluxiones quantitatum involvente, invenire relationem quantitatum inter se. Solutio particularis. Cum hoc Problema sit præcedentis contrariaeturversum, contrario modo solvi debet: Utpote terminos per

m

multiplicatos disponendo secundum dimensiones ipsius

x

, dividendoqꝫue per

\frac{m}{x}

ac deinde per numerum dimensionum aut fortasse per aliam arithmeticam progressionem, Atqꝫue idem opus in terminis per

l

n

, vel

r

multiplicatis instituendo, Et resultantium summam, rejectis terminis redundantibus, ponendo æqualem nihilo. ExemplExemplum. Sic expositâ æquatione

3 m x x - 2 a m x +

a m y - 3 n y y + a n x = 0

; Operor ad hunc modum,

\begin{matrix} \begin{matrix} Divido & 3 m x x & - & 2 a m x & + & a m y \\ per \frac{m}{x}, & fit & 3 x^{3} & - & 2 a x x & + & a x y \\ Dein divido per & 3 . & 2 . & 1 . \\ et fit & x^{3} & - & a x x & + & a x y \end{matrix} & \begin{matrix} Div: & - & 3 n y y & + & a n x \\ per \frac{n}{y}, fit & - & 3 y^{3} & + & a x y \\ Div: per & 3 . & 1 . \\ fit & - & y^{3} & + & a x y & . \end{matrix} \end{matrix}

Et summa

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

erit relatio desiderata quantitatum

x

y

. Ubi observandum venit quod etsi terminus

a x y

bis resultavit, tamen non pono bis in hac summâ

x^{3} - a x x + a x y - y^{3}

sed redundantem terminum negligo rejicio. Et sic ubicunqꝫue terminus aliquis bis resultat (aut sæpius si de pluribus fluentibus quantitatibus agitur,) semel tantùm in summâ terminorum scribo. Sunt et aliæ circumstantiæ quas Artificis ingenio pro re nata observandas esse remitto; nam supervacaneum esset his multa verba impendere, siquidem Problema non semper potest hoc artificio solvi. Addo tamen quod postquam Artifex relationem fluentium quantitatum hac methodo adeptus est, si juxta Prob:Problema 1 potest regredi ad expositam æquationem fluxiones involventem, rectè operatus est; sin secùs, vitiosè. Sic in exemplo proposito, ubi æquationem

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

adeptus sum, si relatio inter

m

x

jux ope primi Problematis vicissim exquir inde requiratur, obtinebitur æquatio exposita

3 m x x - 2 a m x + a m y - 3 n y y + a n x = 0

. Unde constat æquationem

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

rectè inventam fuisse. At si æquatio

m - m y + n a = 0

exponeretur, et inde præscripta methodo elicerem

\frac{1}{2} x x - x y + a y = 0

, pro relatione inter

x

y

, vitiosa foret operatio siquidem exinde per ProbProblema 1 vicissim produceretur

m x - m y - n x + n a = 0

, quæ differt ab æquatione primo exposita. Hæc itaqꝫue perfunctoriè notata prætermittens, solutionem generalem aggredior. Præparatio in generalem solutionem. Et in hunc finem convenit ut exposita æquatio ad talem formam semper reducatur ut ex una parte habeatur ratio fluxionum ut

\frac{n}{m}

(vel

\frac{m}{n}

aut

\frac{r}{m}

&c prout fluxiones alijs atqꝫue alijs symbolis exprimuntur,) et ex altera parte valor ejus rationis simplicibus terminis Algebraicis designatus. Sicut hic videre est

\frac{n}{m} = 2 + 2 x - y

. Quamobrem cum in illo valore terminus aliquis a compositisa quantitate denominetur, vel sit radicalis vel si

\frac{n}{m}

ratio illa

\frac{n}{m}

sit aff æquationis radix affecta, æquatio semper debet ad præscriptam formam reduci, idqꝫue vel dividendo per compositum denominatorem, vel extrahendo radicem, vel affectam æquationem resolvendo, prout in superioribus ostensum est. Quemadmodum si exponitur

n a - n x - m a + m x - m y = 0

. Sive (facta reductione)

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a - x}

. Terminum

\frac{y}{a - x}

a composita quantitate

a - x

denominatum reduco ad infinitam seriem simplicium terminorum

\frac{y}{a} + \frac{x y}{a a} + \frac{x x y}{a^{3}} + \frac{x^{3} y}{a^{4}} &c

dividendo numeratorem

y

per denominatorem

a - x

. Et sic obtineo

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a} + \frac{x y}{a a} + \frac{x x y}{a^{3}} + \frac{x^{3} y}{a^{4}} &c

cujus ope relatio inter

x

y

determinanda est. Sic exposito

n n = m n + m m x x

. Sive

\frac{n n}{m m} = \frac{n}{m} + x x

, et ulteriori reductione,

\frac{n}{m} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{} \overline{\frac{1}{4} + x x}

: Radicem quadraticaam e terminis

\frac{1}{4} + x x

extraho, & obtineo infinitam seriem

\frac{1}{2} +

x x - x^{4} + 2 x^{6} - 5 x^{8} + 14 x^{10} &c

quam pro

\sqrt{} \frac{1}{4} + x x

subti 25 Præparatio in generalem solutionem. Et imprimis observandum est quod in exposita æquatione symbola Fluxionum (cum sint quantitates diversi generis a quantitatibus quarum sunt fluxiones) in singulis terminis debent ad æque-multas dimensiones ascendere. Et ubi res aliter se habet, alia alicujus fluentis quantitatis fluxio subintellegi debet esse unitas per quam termini depressiores toties multiplicantur ut in omnibus symbola fluxionum ad eundem dimensionum gradum ascendant. Quemadmodum si exponitur æquatio

m + m n x - a x x = 0

, tertiæ alicujus fluentis quantitatis ut

z

fluxio

r

subintelligi debet esse unitas per quam primus terminus semel

m

semel et ultimus

a x x

bis multiplicetur ut fluxiones inibi ad æque-multas dimensiones ac in secundo termino

m n x

ascendant quasi exposita æquatio ex hac

m r +

m n x - r r x x = 0

derivata fuisset ponendo

r = 1

. Et sic in æquatione

n x = y y

debes imaginari

m

esse unitatem per quam terminus

y y

multiplicatur. Æquationes autem in quibus duæ tantum sunt fluentes quantitates quæ ad æquè multas dimensiones passim ascendunt, semper possunt ad talem formam reduci ut ex una parte habeatur ratio fluxionum (velut

\frac{n}{m}

vel

\frac{m}{n}

vel

\frac{r}{m}

&c ) prout et ex altera parte valor ejus rationis simplicibus terminis Algebraicis designatus; sicut hic videre est

\frac{n}{m} = 2 + 2 x - y

. Et ubi æquationibus præcedens particularis solutio non satisfacit, requiritur ut ad hanc formam reducas. Quamobrem cum in illius rationis valore terminus aliquis a composita quantitate denominetur vel sit radicalis vel si ratio illa sit æquationis radix affecta: reductio vel per divisionem, vel extractionem radicis, vel æquationis affectæ resolutionem institui debet, prout in seuperioribus ostensum est. Quemadmodum si exponitur

n a - n x - m a + m x - m y = 0

. Hæc imprimis reductione vel fit

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a - x}

, vel

\frac{m}{n} = \frac{a - x}{a - x + y}

. Et in priori casu si terminum

\frac{y}{a - x}

a composita quantitate

a - x

denominatum reduco ad infinitam seriem dividendo simplicium terminorum dividendo

\frac{y}{a} + \frac{x y}{a a} + \frac{x x y}{a^{3}} + \frac{x^{3} y}{a^{4}} &c

dividendo numeratorem

y

per denominatorem

a - x

, obtinebo

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a} + \frac{x y}{a a} + \frac{x x y}{a^{3}} + \frac{x^{3} y}{a^{4}} &c

cujus ope relatio inter

x

y

determinanda est. Sic exposita

n n = m n + m m x x

, sive

\frac{n n}{m m} = \frac{n}{m} + x x

, et ulteriori reductione

\frac{n}{m} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{} \overline{\frac{1}{4} + x x}

: Radicem quadraticam e terminis

\frac{1}{4} + x x

extraho et obtineo infinitam seriem

\frac{1}{2} + x x - x^{4} + 2 x^{6} - 5 x^{8} + 14 x^{10} &c

quam pro

\sqrt{} \overline{\frac{1}{4} + x x}

substituendo prodit

\frac{n}{m} = 1 + x x - x^{4} + 2 x^{6} - 5 x^{8} &c

. Vel

\frac{n}{m} = - x x + x^{4} - 2 x^{6} + 5 x^{8} &c

, prout

\sqrt{} \overline{\frac{1}{4} + x x}

additur vel subducitur a

\frac{1}{2}

. Atqꝫue ita si exponitur

n^{3} + a x m m n + a a m m n - m^{3} - 2 m^{3} a^{3} = 0 .

sive

\frac{n^{3}}{m^{3}} + a x \frac{n}{m} + a a \frac{n}{m} - x^{3} - 2 a^{3} = 0

, extraho radicem cubicè affectam et prodit

\frac{n}{m} = a - \frac{x}{4} + \frac{x x}{64 a} + \frac{131 x^{3}}{512 a a} + \frac{509 x^{4}}{16384 a^{3}} &c

prout videre est ad pag 10. Cæterum hic observandum venit quod terminos solummodò pro compositis habeo qui ex parte fluentium quantitatum componuntur. Terminos ubi nulla est nisi ex parte datarum quantitatum compositio pro simplicibus habeo, siquidem ad simplices reduci possunt fingendo æquales esse alijs datis. Sic quantitates

\frac{a x + b x}{c}

\frac{x}{a + b}

\frac{b c c}{a x + b x}

\frac{b^{4}}{a x x + b x x}

\sqrt{} \overline{a x + b x}

&c pro simplicibus habeo siquidem ad simplices

\frac{e x}{c}

\frac{x}{e}

\frac{b c c}{e x}

\frac{b^{4}}{e x x}

\sqrt{} e x

sive

e^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}

&c reduci possunt fingendo esse

a + b = e

. Præterea quo fluentes quantitates a se invicem clarius distinguantur, Fluxionem quæ in Numeratore Rationis disponitur, sive Antecedentem Rationis haud impropriè Relatam Quantitatem nominare possum, et alteram ad quam refturreferetur, Correlatam; ut et fluentes Quantitates ijsdem respectivè nominibus insignire possunt. Et quo sequentia promptiùs intelligantur, possis imaginari CorreltamCorrelatam Quantitatem esse Tempus vel potiùs aliam quamvis æquabiliter fluentem quantitatem qua Tempus exponitur et mensuratur, et alteram sive Relatam Quantitatem esse spatium quod mobile utcunqꝫue acceleratum vel retardatum in illo tempore transigit. Et quod Problematis intensio est ut e celeritate motûs ad omne tempus datâ spatium in toto tempore transactum determinetur. Cæterùm æquationes respectu hujus Problematis in tres ordines distingui convenit. 1 In quibus duæ quantitatum fluxiones et alterutra tantùm fluens quantitas involvuntur. 2 In quibus duæ involvuntur fluentes quantitates unà cum earum fluxionibus. 3 Quæ plures duabus quantitatum fluxionibus complectuntur. Et his præmissis, Problematis confectionem secundum hosce tres casus aggrediar. Solutionis Cas:Casus 1. Fluentem quantitatem, quam unicè æquatio complectitur suppone Correlatam esse, et æquatione perinde dispositâ, (hoc est faciendo ut ex una parte habeatur fluxionis alterius ad hujus fluxionem Ratio, et valor ejus in simplicibus terminis ex altera) Multiplica valorem rRationis Fluxionum per Correlatam Quantitatem, dein singulos ejus terminos divide per numerum dimensionum quibus illa qQuantitas inibi afficitur, et quod oritur valebit altera Fluenti Quantitate. Sic habit expositâ

n n = m n + m m x x

, et æquatio suppono

x

esse fluentem Q Correlatam Quantitatem, et æquatione perinde reductâ habebitur

\frac{n}{m} = 1 + x x - x^{4} + 2 x^{6} &c

. Jam duco valorem

\frac{n}{m}

x

et oritur

x + x^{3} - x^{5} + 2 x^{7} &c

quos terminos sigillatim per numerum dimensionum divido et exitum

x + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{7} x^{7} &c

pono

= y

. Et isthac æquatione desiderata relatio inter

x

y

determinatur. Sic habitâ

\frac{n}{m} = a - \frac{x}{4} + \frac{x x}{64 a} + \frac{131 x^{3}}{512 a a} &c

, prodibit

y = a x - \frac{x x}{8} + \frac{x^{3}}{192 a} + \frac{131 x^{4}}{2048 a a}

pro determinanda relatione inter

x

y

. 27 Et sic æquatio

\frac{n}{m} = \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x x} + \frac{a}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}

dat

y = - \frac{1}{2 x x}

+ \frac{1}{x} + 2 a x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}

. nNam valorem

\frac{n}{m}

duc in

x

, et fit

\frac{1}{x x} - \frac{1}{x} + a x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}

, sive

x^{- 2} - x^{- 1} + a x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}

Quibus terminis per numerum dimensionum divisis emergit valor assignatus

y

. Ad eundem modum æquatio bb

\frac{m}{n} = \frac{2 b b c}{\sqrt{} a y^{3}} + \frac{3 y y}{a + b} +

\sqrt{} \overline{b y + c y}

dat

x = - \frac{4 b b c}{\sqrt{} a y} + \frac{y^{3}}{a + b} + \frac{2}{3} \sqrt{} \overline{b y^{3} + c y^{3}}

. Nam valore

\frac{m}{n}

ducto in

y

, oritur

\frac{2 b b c}{\sqrt{} a y} + \frac{3 y^{3}}{a + b} + \sqrt{} \overline{b y^{3} + c y^{3}}

sive

2 b b c a^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{a + b} y^{3} + \sqrt{} \overline{b + c} \times y^{\frac{3}{2}}

. Et inde prodit valor

x

, dividendo per numerum dimensionum cujusqꝫue termini. Atqꝫue ita

\frac{n}{r} = z^{\frac{2}{3}}

dat

y = \frac{3}{5} z^{\frac{5}{3}}

. Et

\frac{n}{m} = \frac{a b}{c x^{\frac{1}{3}}}

dat

y = \frac{3 a b x^{\frac{2}{3}}}{2 c}

. At æquatio

\frac{n}{m} = \frac{a}{x}

dat

y = \frac{a}{0}

. Nam

\frac{a}{x}

ductum in

x

fit

a

, quo per numerum dimensionum (qui nullus est) diviso prodit

\frac{a}{0}

quantiasquantitas infinita pro valore

y

. Quamobrem siquando consimilis terminus (cujus denominator involvit Correlatam Quantitatem unius tantùm dimensionis) in valore

\frac{n}{m}

reperiatur, quantitas

x

debet auger vel minui per datam quamvis pro Correlatam Quantitatem quantitatem. Veluti substituendo

z

+

vel

-

quavis data quantitate

s

pro

x

, ut et ejus fluxionis symbolo

r

pro pro substitue summam vel differentiam inter eandem quantitatem et aliam quamvis datam quantitatem pro arbitrio assumptam. Nam quantitatum

x

y

fluentium juxta prodeuntem æquationem eadem erit inter se fluendi relatio ac juxta æquationem primò expositam; et infinita quantitas Relata hoc pacto parte infinitâ diminuetur et evadet finita, sed terminis tamen numero infinitis constans. Æquatione itaqꝫue

\frac{n}{m} = \frac{a}{m}

expositâ, si pro

x

scribam

b + x

, quantitatem

b

pro lubitu assumptâens; prodibit

\frac{n}{m} = \frac{a}{b + x}

; factâqꝫue divisione,

\frac{n}{m} = \frac{a}{b} - \frac{a x}{b b} + \frac{a x x}{b^{3}} - \frac{a x^{4}}{b^{4}} &c

. Et inde Regula ut in superioribus dabit

y = \frac{a x}{b} - \frac{a x x}{2 b b} + \frac{a x^{3}}{3 b^{3}} - \frac{a x^{4}}{4 b^{4}} &c

relationem inter

x

y

. Sic etiam habitâ æquatione

\frac{n}{m} = \frac{2}{m} + 3 - x x

, si (propter terminum

\frac{2}{x}

) scribam

1 + x

pro

x

, emerget

\frac{n}{m} = \frac{2}{1 + x} + 2 - 2 x - x x

terminoqꝫue

\frac{2}{1 + x}

in infinitam seriem

2 - 2 x + 2 x x - 2 x^{3} + 2 x^{4} &c

redaucto erit

\frac{n}{m} = 4 - 4 x + x x - 2 x^{3} + 2 x^{4} &c

. Adeoqꝫue juxta Regulam obtinebitur

y = 4 x - 2 x x + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{2}{5} x^{5} &c

relatio inter

x

y

. Atqꝫue ita si propononitur

\frac{n}{m} = x^{- \frac{1}{2}} + x^{- 1} - x^{\frac{1}{2}}

Quia terminum

x^{- 1}

(sive

\frac{1}{x}

) inesse video, transmuto

x

: quemadmodum pro eo substituendo

1 - x

, et oritur

\frac{n}{m} = \frac{1}{\sqrt{} \overline{1 - x}} +

\frac{1}{1 - x} - \sqrt{} \overline{1 - x}

. Terminus autem

\frac{1}{1 - x}

valet

1 + x + x x

+ x^{3} &c

; Et

\sqrt{} \overline{1 - x}

valet

1 - \frac{1}{2} x - \frac{x x}{8} - \frac{x^{3}}{16} &c

. adeoqꝫue

\frac{1}{\sqrt{} \overline{1 - x}}

sive

\frac{1}{1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x x - \frac{1}{16} x^{3} &c}

valet

1 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x x + \frac{5}{8} x^{3} &c

. Quamobrem (valoribus hisce substitutis) erit

\frac{n}{m} = 1 + 2 x + \frac{3}{2} x x + \frac{27}{16} x^{3} &c

Et inde per regulam fit

y = x + x x + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{27}{64} x^{4} &c

. Et sic in alijs. Hujusmodi etiam transmutatione fluentis quantitatis æquatio in alijs casibus nonnunquam commode reduci poterit. Quemadmodum si exponitur

\frac{n}{m} = \frac{c c x}{c^{3} - 3 c c x + 3 c x x - x^{3}}

pro

x

scribo

c - x

et obtineo

\frac{n}{m} = \frac{c^{3} - c c x}{x^{3}}

sive

= \frac{c^{3}}{x^{3}} - \frac{c c}{x x}

et inde per Reg:Regulam

y = - \frac{c^{3}}{2 x x} + \frac{c c}{x}

. At harum transmutationum usus in sequentibus magis elucescet. In Casuum 2 Præparatio. Hæc itaqꝫue de æquationibus involventibus unicam tantum fluentem quantitatem. Cum verò utraqꝫue in exposita æquatione involvitur, æquatio imprimis ad præscriptam formam redigenda est, efficiendo scilicet ut ex una tantum parte habeatur Fluxionum ratio æqualis aggregato simplicium terminorum ex alterâ. Quemadmodum si exponitur

n a - n x - m a + m x - m y = 0

eadem per debitam reductionem vel fiet

\frac{m}{n} = \frac{a - x}{a - x + y}

, vel

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a - x}

. Et in posteriori casu si

\frac{y}{a - x}

ad infinitam seriem simplicium terminorum reducatur, emerget

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a} + \frac{x y}{a a}

+ \frac{x x y}{a^{3}} + \frac{x^{3} y}{a^{4}} &c

Cujus ope relatio inter

x

y

determinanda restat. Haud secus ad exemplar eorum quæ in priori casu tradita sunt possis vel radicales vel utcunqꝫue affectas 29 æquationes (siquando opus est) reducere. Et præterea siquæ sunt in æquationibus sic reductis fractiones quæ denominantur a fluenti quantitate, a denominatoribus istis liberari debent per transmutationem ejus fluentis quantitatis paulo ante commemoratam. Sic exposita æquatione

n a x - m x y - m a a = 0

sive

\frac{n}{m} = \frac{y}{a} + \frac{a}{x} .

propter terminum

\frac{a}{x}

assumo

b

ad arbitrium et pro

x

vel scribo

b + x

, vel

b - x

vel

x - b

. Quemadmodum si scribam

b + x

fiet

\frac{n}{m} = \frac{y}{a} + \frac{a}{b + x}

. Adeóqꝫue termino

\frac{a}{b + x}

, in infinitam seriem per divisionem redacto erit

\frac{n}{m} = \frac{y}{a} + \frac{a}{b} - \frac{a x}{b b} + \frac{a x x}{b^{3}} - \frac{a x^{3}}{b^{4}} &c

. Et ad eundem modum exposita æquatione

\frac{n}{m} = 3 y - 2 x

+ \frac{x}{y} - \frac{2 y}{x x}

; si (propter terminos

\frac{x}{y}

\frac{2 y}{x x}

) scribam

1 - y

pro

y

1 - x

pro

x

, orietur

\frac{n}{m} = 1 - 3 y + 2 x + \frac{1 - x}{1 - y}

+ \frac{2 y - 2}{1 - 2 x + x x}

. Terminus autem

\frac{1 - x}{1 - y}

per infinitam divisionem dat

2 y - 2 + 4 x y - 4 x + 6 x x y - 6 x x + 8 x^{3} y - 8 x^{3} + 10 x^{4} y - 10 x^{4} &c

Quare est

\frac{m}{n} = - 3 x + 3 x y + y y - x y y + y^{3} - y y^{3} &c + 6 x x y

- 6 x x + 8 x^{3} y - 8 x^{3} + 10 x^{4} y - 10 x^{4} &c

. Regula. Æquatione cùm opus est sic præparata: terminos ordina juxta dimensiones fluentium quantitatum ponendo imprimis non affectos Relata Quantitate, deinde affectos minima ejus dimensione, &c& sic deinceps. Terminos etiam in his singulis classibus juxta dimensiones alterius Correlatæ quantitatis pariter dispone, eosqꝫue in prima classe (i.e. quos Relata Quantitas non afficit) scriba in serie collaterali dextrorsum pergente, et cæteros in seriebus descendentibus in sinistra collumnâ prout indicant subsequentia Diagrammata. Opere sic instituto Primum sive depressissimum e terminis in prima classe duc in cCorrelatam qQuantitatem dividéqꝫue per numerum dimensionum, et in Quotiente, (pro initiali termino valoris rRelatæ Quantitatis ,repone. Hunc deinde in æquationis terminos in sinistrâ columnâ dispositos pro rRelatâ qQuantitate substitue, et e terminis proximè depressissimis secundum Quotientis terminum eadem ratione quâ primum elicies. Et eâdem operatione sæpiùs repetitâ Quotientem ad arbitrium producere possis. Sed res exemplo clariùs patebit. Ex:Exemplum 1. Exponatur æquatio

\frac{n}{m} = 1 - 3 x + y + x x + x y

cujus

\begin{array}{c} \begin{matrix} + & 1 & - & 3 x & + & x x \\ + y & * & + & x & - & x x & + & \frac{1}{3} x^{3} & - & \frac{1}{6} x^{4} & + & \frac{1}{30} x^{5} \\ + x y & * & * & + & x x & - & x^{3} & - & \frac{1}{3} x^{4} & - & \frac{1}{6} x^{5} & + & \frac{1}{30} x^{6} \\ Summa & 1 & - & 2 x & + & x x & - & \frac{2}{3} x^{3} & + & \frac{1}{6} x^{4} & + & \frac{4}{30} x^{5} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & x - x x + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{30} x^{5} + \frac{1}{45} x^{6} &c \end{matrix} \end{array}

terminos

1 - 3 x

+ x x

non affectos Relata quantitate

y

vides in suprema serie collateraliter dispositos, cæterosqꝫue

y

x y

in sinistrâ columnâ. Et imprimis terminum initialem

1

duco in Correlatam quantitatem

x

fitqꝫue

x

, quem per numerum dimensionum

1

divisum repono in subscripta Quotiente. Dein hoc termino pro

y

in marginalibus substituto, vice

+ y

+ x y

substituto, obtineo

+ x

+ x x

, quos e regione dextrorsum scribens, ex omnibus excerpo depressimosdepressissimos terminos

- 3 x

+ x

quorum aggregatum

- 2 x

ductum in

x

fit

- 2 x x

, et per d numerum dimensionum

2

divisum dat

- x x

pro secundo termino valoris

y

in Quotiente. Hoc proinde termino ad complendum valorem

y

in marginalibus

+ y

+ x y

adscito, oriuntur præterea

- x x

- x^{3}

prioribus terminis priùs oriundis

+ x

+ x x

adnectendi. Quo facto iterum terminos proximè depressissimos

+ x x

- x x

, et

+ x x

in unam summaam

x x

colligo et inde ut priùs tertium terminum

\frac{1}{3} x^{3}

in valore

y

reponendum elicio. Iterumqꝫue

\frac{1}{3} x

in31 in valore

y

reponendum elicia marginalium terminorum valores adscito, e proxime depressissimis

\frac{1}{3} x^{3}

- x^{3}

in unum aggregatis elicio

- \frac{1}{6} x^{4}

quartum terminum valoris

y

. Et sic in infinitum. Ex:Exemplum 2. Ad eundem modum si relationem inter

x

y

, habita æquatione

\frac{n}{m} = 1 + \frac{y}{a} + \frac{x y}{a a} + \frac{x x y}{a^{3}} + \frac{x^{3} y}{a^{4}} &c

cujus terminorum series infinite progredi subintelligitur, determinare oportet. Operationem ex adjuncto diagrammate credo satis manifestam esse.

\begin{array}{c} \begin{matrix} + 1 \\ + \frac{y}{a} & * & + & \frac{x}{a} & + & \frac{x x}{2 a a} & + & \frac{x^{3}}{2 a^{3}} & + & \frac{x^{4}}{2 a^{4}} & + & \frac{x^{5}}{2 a^{5}} & &c \\ + \frac{x y}{a a} & * & * & + & \frac{x x}{a a} & + & \frac{x^{3}}{2 a^{3}} & + & \frac{x^{4}}{2 a^{4}} & + & \frac{x^{5}}{2 a^{5}} & &c \\ + \frac{x x y}{a^{3}} & * & * & * & + & \frac{x^{3}}{a^{3}} & + & \frac{x^{4}}{2 a^{4}} & + & \frac{x^{5}}{2 a^{5}} & &c \\ + \frac{x^{3} y}{a^{4}} & * & * & * & * & + & \frac{x^{4}}{a^{4}} & + & \frac{x^{5}}{2 a^{5}} & &c \\ + \frac{x^{4} y}{a^{5}} & * & * & * & * & * & + & \frac{x^{5}}{a^{5}} & &c \\ Summa & 1 & + & \frac{x}{a} & + & \frac{3 x x}{2 a a} & + & \frac{2 x^{3}}{a^{3}} & + & \frac{5 x^{4}}{a^{4}} & + & \frac{3 x^{5}}{a^{5}} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & x + \frac{x x}{2 a} + \frac{x^{3}}{2 a a} + \frac{x^{4}}{2 a^{3}} + \frac{x^{5}}{2 a^{4}} + \frac{x^{6}}{2 a^{5}} &c \end{matrix} \end{array}

Pono

1

in capite reliquosqꝫue terminos in sinistra columna. Reliquamqꝫue Et opus deinde prosequor pro more adjuncti diagrammatis. Ubi propositum est mihi elicere valorem

y

ad usqꝫue sex dimensiones

x

, et eâ de causâ terminos omnes quos proposito nihil conducere prævideo, inter operandun missos facio, sicut innuit nota &c quam seriebus intercisis adnexui. Ex:Exemplum 3. Pari methodo si proponitur æquatio

n = - 3 x +

3 x y + y y - x y y + y^{3} - x y^{3} + y^{4} - x y^{4} &c + 6 x x y - 6 x x

+ 8 x^{3} y - 8 x^{3} + 10 x^{4} y - 10 x^{4} + 12 x^{5} y - 12 x^{5} &c

. Et valorem

y

ad usqꝫue septem dimensiones

x

eruere institutum est, terminos, ut in adjuncto diagrammate, in ordinem redigo et operor sicut in præcedentibus hoc tantùm excepto quod cùm hic in sinistrâ columnâ

y

non tantùm unius dimensionis sed etiam duarum ac trium dimensionum existit (vel etiam plurium prout valorem

y

ultra gradum

x^{7}

extrahere statuam) subjicio quadratum et cubum valoris

\begin{array}{c} \begin{matrix} - & 3 x & - & 6 x x & - & 8 x^{3} & - & 10 x^{4} & - & 12 x^{5} & - & 14 x^{6} & &c \\ + 3 x y & * & * & - & \frac{9}{2} x^{3} & - & 6 x^{4} & - & \frac{75}{8} x^{5} & - & \frac{273}{20} x^{6} & &c \\ + 6 x x y & * & * & * & - & 9 x^{4} & - & 12 x^{5} & - & \frac{75}{4} x^{6} & &c \\ + 8 x^{3} y & * & * & * & * & - & 12 x^{5} & - & 16 x^{6} & &c \\ + 10 x^{4} y & * & * & * & * & * & - & 15 x^{6} & &c \\ \underline{&c} \\ + y y & * & * & * & + & \frac{9}{4} x^{4} & + & 6 x^{5} & + & \frac{107}{8} x^{6} & &c \\ - x y y & * & * & * & * & - & \frac{9}{4} x^{5} & - & 6 x^{6} & &c \\ + y^{3} & * & * & * & * & * & - & \frac{27}{8} x^{6} & &c \\ &c \\ Summa & - & 3 x & - & 6 x x & - & \frac{25}{2} x^{3} & - & \frac{91}{4} x^{4} & - & \frac{333}{8} x^{5} & - & \frac{302}{5} x^{6} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & - \frac{3}{2} x x - 2 x^{3} - \frac{25}{8} x^{4} - \frac{91}{20} x^{5} - \frac{111}{16} x^{6} - \frac{302}{35} x^{7} &c \\ y y & = & + \frac{9}{4} x^{4} + 6 x^{5} - \frac{111}{16} x^{6} + \frac{107}{8} x^{6} &c \\ y^{3} & = & - \frac{27}{8} x^{6} &c \end{matrix} \end{array}

y

eatinus gradatim productuum, ut cùm in valoribus marginaliuum terminoruum dextrorsum gradibus inscribuntur, termini tot dimensionum emergant quot ad sequentem operationem requiri percipio. Et hac methodo prodit tandem

y = - \frac{3}{2} x x - 6 x^{3} - \frac{25}{8} x^{4} &c

æquatio desiderata. Qui valor cùm sit negativus, patet alterum e quantitatibus

x

y

decrescere dum altera increscit * * Atqꝫue idem pariter concludi debet cum fluxionum diversa sunt altera affirmativa est et altera negativa. Ex:Exemplum 4. Haud secus cùm Relata quantitas indefinitè quæsita fractis dimensionibus afficitur possis valorem ejus extrahere. Veluti si proponitur

\frac{m}{n} = \frac{1}{2} y - 4 y y + 2 y x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{5} x x

+ \frac{7}{4} y^{\frac{5}{2}} + 2 y^{3}

, ubi

x

in termino

2 y x^{\frac{1}{2}}

(sive

2 y \sqrt{} x

fracta

\begin{array}{c} \begin{matrix} + & \frac{1}{2} y & \cdot & - & 4 y y & + & 7 y^{\frac{5}{2}} & + & 2 y^{3} & \cdot & \cdot \\ 2 y x^{\frac{1}{2}} & \cdot & \cdot & + & y y & \cdot & - & 2 y^{3} & + & 4 y^{\frac{7}{2}} & - & 2 y^{4} & &c \\ - \frac{4}{5} x x & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & - & \frac{1}{20} y^{4} & &c \\ Summa & + & \frac{1}{2} y & \cdot & - & 3 y y & + & 7 y^{\frac{5}{2}} & \cdot & + & 4 y^{\frac{7}{2}} & + & \frac{41}{20} y^{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} x & = & + \frac{1}{4} y y \cdot - y^{3} + 2 y^{\frac{7}{2}} \cdot + \frac{8}{9} x^{\frac{9}{2}} - \frac{41}{100} y^{5} &c \\ x^{\frac{1}{2}} & = & + \frac{1}{2} y - y y + 2 y^{\frac{5}{2}} - y^{3} &c \\ x x & = & \frac{1}{16} y^{4} &c \end{matrix} \end{array}

dimensione

\frac{1}{2}

afficitur: Ejus

x^{\frac{1}{2}}

valorem e valore

x

paulatim elicio (extrahendo nempe radicem quadraticam) sicut in inferiori parte diagrammatis videre est; eò ut in maginalismarginalis termini vale

2 y x^{\frac{1}{2}}

33 valorem gradatim adap transferri et inseri possit. Et sic tandem adipiscor æquationem

x = \frac{1}{4} y y - y^{3} + 2 y^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{9} y^{\frac{9}{2}} - \frac{41}{100} y^{5} &c

qua

x

respectu

y

indefinitè determinatur. Et sic in alijs quibuscunqꝫue casibus operari licet. Cæterùm dixi hasce solutiones infinitis modis præstari posse. Et hoc fiet si non tantùm initialem quantitatem supremæ seriei sed et aliam quamvis datam quantitatem pro primo termino Quotientis ad arbitrium assumas, ad ac deinde opereris ut in æquantibus præcedentibus. Sic in primo præcedentium exemplorum si pro primo termino

\begin{array}{c} \begin{matrix} + & 1 & - & 3 x & + & x x \\ + y & + & 1 & + & 2 x & \cdot & + & x^{3} & + & \frac{1}{4} x^{4} & &c \\ + x y & \cdot & + & x & + & 2 x x & \cdot & + & x^{4} & &c \\ Summa & + & 2 & \cdot & + & 3 x x & + & x^{3} & + & \frac{5}{4} x^{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & 1 + 2 x \cdot + x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} &c \end{matrix} \end{array}

valoris

y

assumas

1

, et pro

y

in terminis marginalibus (

+ y

+ x y

) substituas, reliquamqꝫue operationem (cujus specimen adjunxi) sicut in præcedentibus prosequaris, ipsius

y

alius exurget valor

1 + 2 x + x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} &c

. Et sic alius atqꝫue alius exurget assumendo

2

3

, vel alium quemvis numerum pro primo ejus termino. Vel si symbolum aliquod, ut

a

, pro illo termino indefinitè designando usurpes,

\begin{array}{c} \begin{matrix} + 1 & - 3 x & + x x \\ + y & + a & \begin{array}{l} + x \\ + a x \end{array} & \begin{array}{l} - x x \\ + a x x \end{array} & \begin{array}{l} + \frac{1}{2} x^{3} \\ + \frac{2}{3} a x^{3} \end{array} & &c. \\ + x y & \cdot & \begin{array}{l} + a x \end{array} & \begin{array}{l} + x x \\ + a x x \end{array} & \begin{array}{l} - x^{3} \\ + a x^{3} \end{array} & &c. \\ Summe & \begin{array}{l} + 1 \\ + a \end{array} & \begin{array}{l} - 2 x \\ + 2 a x \end{array} & \begin{array}{l} + x x \\ + 2 a x x \end{array} & \begin{array}{l} - \frac{2}{3} x^{3} \\ + \frac{5}{3} a x^{3} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & a & \begin{array}{l} + x \\ + a x \end{array} & \begin{array}{l} - x x \\ + a x x \end{array} & \begin{array}{l} + \frac{1}{3} x^{3} \\ + \frac{2}{3} a x^{3} \end{array} & \begin{array}{l} - \frac{1}{6} x^{4} \\ + \frac{5}{12} a x^{4} \end{array} & &c. \end{matrix} \end{array}

eadem operandi methodo (quam hic etiam designatam habes) elicies tandem

y = a + x + a x

- x x + a x x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} a x^{3} &c

. Qua inventa possis pro

a

arbitrio substituresubstituere

1

, vel

2

, vel

0

\frac{1}{2}

, aut quem vis numerum, et sic relationem inter

x

y

modis infinitis obtinere. Et nota quod ubi quantitas elicienda afficitur fracta dimensione (ut in præcedentium exemplorum quartó vides) convenit plerumqꝫue unitatem (vel alium quemvis aptum numerum) pro primo ejus termino adhibere; immò hoc necesse est ubi radix (ad fractæ illius dimensionis valorem obtinendum) propter negativum signum nequit alias extrahi, ut et ubi nulli sunt termini in prima sive capitali classe reponendi, ex quibuts initialis ille terminus eliciatur. Sic tandem hoc molestissimum et omnium difficillimum Problema, ubi duæ tantùm fluenties quantitates una cum earum fluxionibus in æquatione complrehenduntur, absolvi. Sed præter generalem methodum qua omnes difficultates complexus sum sunt aliæ plerumqꝫue contractiores quibus opus aliquando sublevari possit, et quarum aliqua specimina ex abundanti perstringere forte non erit ingratum. 1. Siquando itaqꝫue quantitas elicienda sit alicubi negatænegativæ dimensionis non est absolutè necessarium ut æquatio propterea ad aliam formam reducatur. Sic enim expositâ æquatione

n = \frac{1}{y} - x x

ubi

y

est unisus negatænegativæ dimensionis, possim equidem ad aliam formam reducere, veluti scribendo

1 + y

pro

y

, sed expeditior erit resolutio quam in

\begin{array}{c} \begin{matrix} \cdot & \cdot & - & x x \\ \frac{1}{y} & 1 & - & x & + & \frac{3}{2} x x & &c \\ Summa & 1 & - & x & + & \frac{1}{2} x x \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} &c \\ \frac{1}{y} & = & 1 - x + \frac{3}{2} x x &c \end{matrix} \end{array}

annexo diagrammate designatam habes, ubi assumpto

1

pro initio valoris

y

cæteros ejus terminos ut in præcedendtibus extraho, et interea valorem

\frac{1}{y}

exinde per divisionem paulatim institutam elicio et insero in valorem marginalis termini. 35 2. Neqꝫue semper opus est ut alterius fluentis quantitatis dimensiones sint passim affirmativæ. Nam ex æquatione

n = 3 + 2 y - \frac{y y}{x}

, absqꝫue termini

\frac{y y}{x}

reductione præscriptâ emerget

y = 3 x - \frac{3}{2} x x - 4 x^{3} &c

. Et ex

n = y + \frac{1}{x} - \frac{1}{x x}

(opere ad modum annexi speciminis institoistituto) emerget

y = \frac{1}{x}

\begin{array}{c} \begin{matrix} - & \frac{1}{x x} & + & \frac{1}{x} \\ - y & \cdot & - & \frac{1}{x} \\ Summa & - & \frac{1}{x x} & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & \frac{1}{x} \end{matrix} \end{array}

Ubi obiter nota quod inter modos infinitos quibus quælibet æquatio resolvi potest sæpe numero contingit aliquos esse quibus ad finitum valorem quantitatis elicientdæ sicut in allato specimine finiuntur, et quods haud difficile est invenire si pro primo valoris termino symbolum aliquod assumatur. Et resolutione peractâ consulatur de symboli illius quantitate qua valor elicitus evadat finitus. Porro si æquatio valor

y

ex æquatione

n = \frac{y}{2 x}

+ 1 - 2 x + \frac{1}{2} x x

eliciendus sit, id sine aliqua reductione termini

\frac{y}{2 x}

non incommodè fiet fingendo (pro more Analytico) datum esse quod quæritur. Utpote pro primo termino valoris ejus effingo

2 e x

assumendo

2 e

pro

\begin{array}{c} \begin{matrix} 1 & - 2 x & + \frac{1}{2} x x \\ \frac{y}{2 x} & e & + f x & + g x x & + h x^{3} \\ Summa & \begin{array}{l} + 1 \\ + e \end{array} & \begin{array}{l} - 2 x \\ + f x \end{array} & \begin{array}{l} + \frac{1}{2} x x \\ + g x x \end{array} & \begin{array}{l} + h x^{3} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} Hypotheticè & y & = & 2 e x & + 2 f x x & + 2 g x^{3} & + 2 h x^{4} \\ = & = & = & = \\ Consequenter & y & = & \begin{array}{l} + x \\ + e x \end{array} & \begin{array}{l} - x x \\ + \frac{1}{2} f x x \end{array} & \begin{array}{l} + \frac{1}{6} x^{3} \\ + \frac{1}{3} g x^{3} \end{array} & \begin{array}{l} + \frac{1}{4} h x^{4} \end{array} \\ Revera & y & = & 2 x & - \frac{4}{3} x x & + \frac{1}{5} x^{3} \end{matrix} \end{array}

numerali coefficiente quæ nondum innotescit. Et hunc

2 e x

pro

y

in termino marginali

\frac{y}{2 X}

substituens prodit

e

quem scribo ad dextram et summa

1 + e

dabit

x + e x

pro eodem primo termino valoris

y

quem prius designaveram termino

2 e x

. Pono itaqꝫue

2 e x = x + e x

et inde elicio

e = 1

. Adeoqꝫue primus valoris

y

primus terminus (

2 e x

) est

2 x

. Et sic p Ad eundem modum pro secundo termino designando effictum

2 f x^{2}

usurpo et inde tandem eruo

- \frac{2}{3}

pro valore

f

, adeoqꝫue

- \frac{4}{3} x x

pro secundo termino. Et sic effictus

g

in tertio termino valebit

\frac{1}{10}

, at

h

in quarto valebit

0

, et proinde cum nullos præterea terminos superesse video, concludo opus finitum esse et

y

valere

2 x - \frac{4}{3} x x

+ \frac{1}{5} x^{3}

præcisè. Ad eundem ferè modum si esset

n = \frac{3 y}{4 x}

, effinge

y = e x^{s}

ubi

e

ignotum coefficientem et

s

numerum dimensionum similiter ignotum denotet. Et ** ** Et

e x^{s}

pro

y

substituto, prodibit

n = \frac{3 e x^{s - 1}}{4}

. et inde rursus

y = \frac{3 e x^{s}}{4 s}

. Conferantur jam valores

y

, et videbis esse

\frac{3 e}{4 s} = e

, adeòqꝫue

s = \frac{3}{4}

, et

e

indefinitum. Quare assumpto utcunqꝫue

e

, erit

y = e x^{\frac{3}{4}}

.. 4. Adhæc nonnunquam opus ab altissima dimensione æquabilis quantitatis inchoari potest et ad depressiores continuo pergere. Veluti si detur

n = \frac{y}{x x} + \frac{1}{x x} + 3

+ 2 x - \frac{4}{x}

, & ab altissimo termino

2 x

opus inchoetur

\begin{array}{c} \begin{matrix} + & 2 x & + & 3 & - & \frac{4}{x} & + & \frac{1}{x x} & . \\ + \frac{y}{x x} & \cdot & + & 1 & + & \frac{4}{x} & \cdot & - & \frac{1}{x^{3}} & + & \frac{1}{2 x^{4}} & &c \\ Summa & - & 2 x & + & 4 & \cdot & + & \frac{1}{x x} & - & \frac{1}{x^{3}} & + & \frac{1}{2 x^{4}} \end{matrix} \\ \begin{matrix} y & = & x x + 4 x \cdot - \frac{1}{x} + \frac{1}{2 x x} - \frac{1}{6 x^{3}} &c \end{matrix} \end{array}

disponendo capitalem seriem in ordine præcedentibus contrario, emerget tandem

y = x x + 4 x - \frac{1}{x} &c

prout in appositâ operandi forma videre est. Et hic in transitu notari potest quod inter operandum potuit inter terminos

4 x

- \frac{1}{x}

pro intermedio deficienti termino quælibet data quantitas inseri et sic valor

y

modis infinitis extrahi. 5. Siquæ præterea sint fractæ dimensionum Relatæ Quantitatis indices, ad integras reduci possunt fingendo Quantitatem illam sua fracta dimensione affectam esse alij cuilibet tertiæ fluenti quantitati æqualem, et substituendo tum illam quantitatem tum fluxionem ejus ab ilia fictâ æquatione oriundam pro Relata Quantitate et ejus fluxione. Quemadmodum si exponitur 37 æquatio

n = 3 x y^{\frac{2}{3}} + y

, ubi Relata Quantitas fractâ dimensionis indice

\frac{2}{3}

afficitur, assumpta ad arbitrium fluenti quantitate

z

fingo esse

y^{\frac{1}{3}} = z

sive

y = z^{3}

et fluxionum relatio juxta Reg Prob:Problema 1. erit

n = 3 r z z

. Quare substituto

3 r z z

pro

n

ut et

z^{3}

pro

y

z z

pro

y^{\frac{2}{3}}

, emerget

3 r z z = 3 x z z + z^{3}

sive

r = x + \frac{1}{3} z

. Ubi

z

supplet vices Relatæ quantitatis. Postquam vel velro valor

z

eo nomine eruitur utpote

z = \frac{1}{2} x x + \frac{1}{18} x^{3} + \frac{1}{216} x^{4} + \frac{1}{3240} x^{5} &c

, pro

z

restitue

y^{\frac{1}{3}}

et habebis desideratam relationem inter

x

y

nempe

y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} x x + \frac{1}{18} x^{3} + \frac{1}{216} x^{4} &c

, et cubis partium utrobiqꝫue positis erit

y = \frac{1}{8} x^{6} + \frac{1}{24} x^{7} + \frac{1}{288} x^{8} &c

. Pari ratione si detur

n = \sqrt{} 4 y + \sqrt{} x y

, sive

= 2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} .

fingo

z = y^{\frac{1}{2}}

sive

z z = y

, et inde per ProbProblema 1 elicio

2 r z = n

et consequenter est

2 r z = 2 z + x^{\frac{1}{2}} z

sive

r = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}

. Adeoqꝫue per casum priorem hujus est

z (y^{\frac{1}{2}}) = x + \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}

vel et partibus quadratis

y = x x + \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{9} x^{3}

. Sin valorem

y

modis infinitis desideres fac

z = c + x + \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}

assumpto utcunqꝫue initiali termino

c

, et erit

y (z z) = c c + 2 c x + \frac{2}{3} c x^{\frac{3}{2}} + x x

+ \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{9} x^{3}

. Ast haec nimis officiose tractare videor siquidem rarissime usui esse possunt. Quamobrem de resolutione Ast haec nimis officiose tractare videor siquidem rarissime usui esse possunt. Casus 3. Problematis ubi tres vel plures quantitatum fluxiones æquatio complectitur haud operæ pretium Resolutio brevi absolvitur erit aliquid disserere; sed dicam tamen brevitur quod Scilicet inter duas quaslibet istarum quantitatum relatio (ubi ex statu Probl Quæstionis non determinatur) quælibet effingi debet, et earum fluxionum exinde quæri, eo ut alterutra unà cum ejus fluxione ex æquatione expositâ exterminari possit. Quâ de causâ, si trium insunt in æquati quantitatum fluxiones unica effingenda est æquatio ac duæ si insunt quatuor, et sic porro, ut exposita æquatio in aliam tandem æquationem transformetur cui non insint plures duabus; Et hæâc deinde ut supra resolutâ, qu reliquarum fluentium quantitatum obtinentur relationes eruentur. Sic æquatione

2 m - r + n x = 0

exposita; quo quantitatum

x

y

z

(quarum fluxiones

m

n

r

æquatio complectitur) relationes inter se obtineam, relationem inter duas quaslibet ut

x

y

pro lubitu effingo puta quod sit

x = y

, vel

2 y = a + z

, vel

x = y y

&c. Sit autem

x = y y

et inde erit

m = 2 n y

, Quare scriptis

2 n y

pro

m

y y

pro

x

, exposita æquatio transformabitur in

4 n y - r + n y y = 0

. Ubi si

x

vicissim pro

y y

scribatur prodibit etiam Et inde relatio inter

y

z

emerget

2 y y + \frac{1}{3} y^{3} = z

. Ubi si

x

pro

y y

x^{\frac{3}{2}}

pro

y^{3}

vicissim scribatur prodibit etiam

2 x +

\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} = z

. Adeóqꝫue inter

x

y

et modos infinitos quibus

x

y

z

ad invicem referuntur unius his aequationibus

x = y y .

2 y y + \frac{1}{3} y^{3} = z

2 x + \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} = z

designatus investigatur. Demonstratio. Jam deniqꝫue harum Problema tandem coonfecimus sed demonstratio superest. Et in tanta rerum copiâ ne per nimias ambages e proprijs fundamentis Syntheticè derivetur, sufficiat per Analysin sic breviter indicare. Scilicet æquatione quâlibet expositâ, postquam opus ad finem perduxeris experiri est quod ex elicita æquatione exposita vicissim (per ProbProblema 1) eruetur. Et proinde quantitatum relatio in elicita æquatione exigit relationem fluxionum in exposita, et contra: sicut ostendendum erat. Sic æquatione

n = x

expositâ elicietur

y = \frac{1}{2} x x

et inde vicissim (per probproblema 1)

n = m x

sive

= x

quandoquidem

m

supponitur esse

1

. pag 30Et sic ex

n = 1 - 3 x + y + x x + x y

provenit

y = x - x x + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{30} x^{5} - \frac{1}{45} x^{6} &c

et inde vicissim per ProbProblema 1, et

n = 1 - 2 x + x^{2} - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{6} x^{4} - \frac{2}{15} x^{5} &c

Qui 39 duo valores ipsius

n

conveniunt, ut patet substituendo

x - x x

+ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{6} x^{4} + \frac{1}{30} x^{5} &c

pro

y

in priori. Cæterùm in æquationum reductione adhibui operationem de qua præterea rationem reddere oportet: Estqꝫue transmutatio fluentis quantitatis per connexionem cum quantitate data. Sunto

AE

ae

linæ utrinqꝫue infinitæ per quas mobilia duo e longinquo trajiciantur simul attingentia locos

A

a

B

b

C

c

D

d

&c; et sit

B

punctum a cujus et rei mobilis distantiâ in

AE

motus æstimetur ita ut

- BA

BC

BD

BE

successive sint fluentes quantitates quando mobile sit in locis

A

C

D

E

. Sitqꝫue

b

consimile punctum in altera linea: et erunt

- BA

- ba

contemporaneæ fluentes quantitates, ut et

BC

bc

BD

bd

BE

be

&c. Quod si vice punctorum

B

b

substituantur

A

c

ad quæ tanquam quiescentia motus referantur, tunc

0

- ca

AB

- cb

AC

0

AD

cd

AE

ce

&c erunt contemporaneæ fluentes quantitates. Mutantur itaqꝫue fluentes quantitates additione et substractione datarum

AB

be

, sed non mutantur quoad motûs celeritatem et fluxionis mutuum respectum: nam ejusdem longitudinis sunt partes contemporaneæ

AB

ab

BC

bc

CD

cd

DE

de

in utroqꝫue casu. Et sic in æquationibus quibus hæ quantitates designantur partes contemporaneæ quantitatum non ideo mutantur quod earum absoluta longitudo datâ aliquâ augeatur vel minuatur. Unde constat Propositum: Nam Problematis hujus scopus propriè non alius est quam contemporaneas partes sive absolutatrum quantitatum (

v

x

y

, aut

z

) contemporaneas differentias data fluendi ratione descriptas determinare. Et perinde est cujusnam sint absolutæ longitudinis quantitates illæ dummodo contemporaneæ sive correspondentes earum differentiæ cum exposita fluxionum relatione conveniatnt. Potest et hujus rei ratio sic Algebraicè reddi. Proponatur

n = m x y

, et finge

x = 1 + z

, eritqꝫue (per ProbProblema 1)

n = r

. Adeoqꝫue pro

n = m x y

scribi potest

r = m y + m z y

. Jam cum sit

n = r

, patet quantitates

x

z

etsi non sint ejusdem longitudinis, pariter tamen fluere respectu ipsius

y

, et pares habere partes contemporaneas. Quid itaqꝫue si ijsdem symbolis denotem quæ fluendi ratione conveniunt et vice ad conttemporaneas differentias determinandas vice

n = m x y

usurpem

n = m y + m x y

. Jam deniqꝫue quo pacto partes contemporaneæ ex ex æquatione quantitates involvente inveniri possint per se manifestum est. E.G.Exempli Gratia. Sit

y = \frac{1}{x} + x

æquatio. Et posito cum sit

x = 2

erit

y = 2 \frac{1}{2}

, dein posito cum verò sit

x = 3

erit

y = 3 \frac{1}{3}

. Ergo dum

x

fluit a

2

3

y

fluet a

2 \frac{1}{2}

3 \frac{1}{3}

. Adeoqꝫue partes in hoc tempore transactæ sunt

(3 - 2) 1

(3 \frac{1}{3} - 2 \frac{1}{2}) \frac{5}{6}

. Atqꝫue ita cum

x

sit

0

erit

y

infinitinfinita et cum

x

sit

- 1

erit

y = - 2

. Ergo dum

x

fluit a

- 1

+ 3

y

fluet ab

- 2

per infinitatem ad

+ 3 \frac{1}{3}

. Et

x

in hoc tempore Hoc est Adeoqꝫue partes contemporanæ sunt 4 et infinitum spatium. Jactis hisce sequentium fundamentis, ad Problemata magis particularia jam transeo. 41 ProbProblema 3. Determinare maximas et minimas. Quantitas ubi maxima est vel minima, in illo momento nec profluit nec refluit. nNam si profluit, sequitur id arguit minorem fuisse et statim majorem fore quam jam est; et contra si refluit. Quamobrem fluxionem ejus per Prob:Problema 1 quære et pone nullam esse. ExempExemplum 1. Si maxima quantitas

x

in æquatione

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

desideretur. pag 18.Quantitatum

x

y

fluxiones quære et prodibit

3 m x x - 2 a m x + a m y - 3 n y y

+ a n x = 0

. Positóqꝫue

m = 0

restabit

- 3 n y y + a n x = 0

sive

3 y y = a x

. Cujus ope possis alterutram

x

vel

y

in æquatione primariâ exterminare, et per æquationem resultantemrestantem determinare alteram, et utramqꝫue deinde per

3 y y + a x = 0

- 3 y y + a x = 0

. Perinde est hæc operatio ac si multiplicasses terminos propositæ æquationis per numerum dimensionum alterius fluentis quantitatis

y

. Unde prodit Huddeniana notissima Regula quod ad obtinendum maximam aut minimam Relatam Quantitatem Æquatio juxta dimensiones Correlatæ qQuantitatis disponi debet et per quamlibet Arithmeticam progressionem multiplicari. Ast cùm neqꝫue hæc regula ad æquationes surdis quantitatibus affectas neqꝫue ulla alia hactenus quod sciam evulgata se extendit absqꝫue prævia reductione se extendiat: ejus rei accipe sequens exemplum. pag 19.Ex:Exemplum 2. Si maxima quantitas

y

in æquatione

x^{3} - a y y + \frac{b y^{3}}{a + y} - x x \sqrt{} \overline{a y + x x} = 0

determinanda est; ipsarum

x

y

fluxiones quære et emerget

3 m x x - 2 a n y \frac{+ 3 a b n y y + 2 b n y^{3}}{a a + 2 a y + y y}

\frac{- 4 a m x y - 6 m x^{3} - a n x x}{2 \sqrt{} \overline{a y + x x}} = 0

. Et cum ex hypothesi sit

n = 0

neglige terminos in

n

ductos (id quod inter operantdum ad minuendum laborem antea fieri potuit) cæterosqꝫue per

m x

divide et restabit

3 x \frac{- 2 a y - 3 x x}{\sqrt{} \overline{a y + x x}} = 0

, factaqꝫue reductione exurget

4 a y + 3 x x = 0

. Cujus ope possis utramvis quantitatem

x

vel

y

ex æquatione primò proposita exterminare ac deinde ex æquatione resultante (quæ cubica erit) valorem alterius elicere. Ex hoc problemate sequentium resolutio petenda est. cujusmodi Problematis hujus beneficio sequentia resolvenda sunt, unà et alia permulta facilius excogitari cum ejusmodi permultis alijs quæ ut plurimùm facilius excogitari possunt quam (propter computandi molestiam) resolvi. In dato Triangulo aut Segmento cujusvis cCurvæ, maximum rectangulum inscribere. Maximam vel minimam rectarum ducere quæ inter datum punctum et curvam positione datam interjacent. Sive,

A

dato puncto ad Curvam ducere perpendiculum. Maximam vel minimam rectarum ducere quæ per datum punctum transeuntes interjacent alijs duabus sive rectis sive curvis lineis. A puncto intra Parabolam dato rectam ducere quæ Parabolam omnium obliquissimè secabit. Et idem in alijs curvis facere. Curvarum vertices maximams aut minimams latitudines vertices puncta in quibus partes circumactæ se decussant determinare. Curvarum puncta invenire ubi maxime aut minimè curvantur. Invenire minimum angulorum in quibus rectæ ad diametros suas in data Ellipsi ordinatim applicantur. Ellipsium per data quatuor puncta transeuntium vel minimam definire vel eam quæ ad formam circularem maximè accedit. Amplitudinem sphæricæ superficiei determinare quam lux e longinquo fluens postquam ab anteriori hemisphærio refracta fuit illustrat in posteriori. Et hujusmodi alia permulta facilisùs excogitari possunt quàm (propter computandi molestiam fastidium) resolvi. 43 ProbProblema 4. Curvarum Tangentes ducere. Modus 1. Tangentes pro varijs relationibus curvarum ad rectas, variè ducuntur. CMod. 1.Et imprimis esto

BD

recta in dato angulo ad aliam rectam

AB

tanquam basin ordinata et ad curvam

ED

terminata. Et moveatur hæc ordinata per indefinitè parvum spatium ad locum

bd

, ita ut momento

cd

augeatur dum

AB

augetur momento

Bb

, cui

Dc

æqualis est. Jam producatur

Dd

donec cum

AB

T

conveniat et hæc tanget curvam in

D

vel

d

, Eruntqꝫue triangula

dcD

DBT

similia. Adeóqꝫue

TB . BD ∷ Dc . cd

. Cùm itaqꝫue relatio

BD

AB

in æquatione qualibet pro curvâ determinandâ exponitur; quære relationem fluxionum per ProbProblema 1, et cape

TB

BD

in ratione fluxionis

AB

ad fluxionem

BD

, ac

TD

tanget curvam in

D

. ExempExemplum 1. Nominata

AB

x

BD

y

esto earum relatio

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

. Et fluxionum relatio erit

3 m x x - 2 a m x + a m y - 3 n y y + a n x = 0

. Adeoqꝫue

n . m ∷ 3 x x - 2 a x + a y . 3 y y - a x ∷ BD (y) . BT

. Est ergo

BT = \frac{3 y^{3} - a x y}{3 x x - 2 a x + a y}

. Quamobrem data vel assumpta utcunqꝫue longitudine

AB

per

x

, et inde per expositam Dato itaqꝫue puncto

D

, et inde

x

y

DB

AB

sive

y

x

; dabitur longitudo

BT

qua tangens

TD

determinatur. Potest autem hæc operandi methodus sic concinnari. Æquationis expositæ terminos fac esse nihilo aequales; deinde per proprium numerum dimensionum ordinatæ quantitatis multiplica, et exitum colloca in numeratore; Dein terminos ejusdem æquationis per proprium numerum dimensionum Basis multiplica et exitum per Basin divisum colloca in denominatore valoris

BT

. Et illam

BT

cape ad partes adversus

A

si valor ejus sit affirmativus, aut versus

A

si sit negativus. Sic æquatio

\begin{matrix} 0 . & 0 . & 1 . & 3 . \\ x^{3} & - & a x x & + & a x y & - & y^{3} & = & 0 \\ 3 . & 2 . & 1 . & 0 . \end{matrix}

per superiores numeros multiplicata dat

a x y - 3 y^{3}

pro numeratore, et per inferiores multiplicata dat ac divisa per

x

dat

3 x x - 2 a x + a y

pro denominatore valoris

BT

. Geom: Cart: p 42Sic æquatio

y^{3} - b y y - c d y + b c d + d x y = 0

(quæ designat Parabolam secundi generis cujus beneficio Des-Cartes construxit æquationes 6 dimensionum) primâ fronte dat

\frac{3 y^{3} - 2 b y y - c d y + d x y}{d y}

, sive

\frac{3 y y}{d} - \frac{2 b y}{d} - c + x = BT

. Et sic

a a - \frac{r}{q} x x - y y = 0

(quæ designat Ellipsin cujus centrum

A

) dat

\frac{- 2 y y}{- 2 \frac{r}{q} x}

sive

\frac{q y y}{r x} = BT

. Et sic in alijs. Et nota quod nihil interest cujusnam quantitatis sit angulus ordinationis

ABD

. Ast hæc Regula se ad æquationes surdis quantitatibus affectas Curvasqꝫue Mechanicas non extendit. In istis casibus ad fundamentalem methodum recurrendum est. pag 19Exempl:Exemplum 2. Esto

x^{3} - a y y + \frac{b y^{3}}{a + y} - x x \sqrt{} \overline{a y + x x} = 0

æquatio designans relationem inter

AB

BD

, et per ProbProblema 1 relatio fluxionum erit

3 m x x - 2 a n y +

\frac{3 a b n y y + 2 b n y^{3}}{a a + 2 a y + y y} \frac{- 4 a m x y - 6 m x^{3} - a n x x}{2 \sqrt{} \overline{a y + x x}} = 0

. Atqꝫue adeò est

3 x x \frac{- 4 a x y - 6 x^{3}}{2 \sqrt{} \overline{a y + x x}} . 2 a y \frac{+ 3 a b y y + 2 b y^{3}}{a a + 2 a y + y y} \frac{- a x x}{2 \sqrt{} \overline{a y + x x}} (∷ n . m)

∷ BD . BT

. Exempl.Exemplum 3. Sit

ED

prima Conchoïdes Nichomedea Vetera Polo

G

, Asymptoto

AT

et intervallo

LD

descripta. Sitqꝫue

GA = b

LD = c

AB = x

BD = y

. Et propter similia triangula

DBL

BMG

DMG

erit

\begin{matrix} LB & . & BD & ∷ & DM & . & MG \\ \sqrt{} \overline{c c - y y} & y & x & b + y \end{matrix}

. Adeoqꝫue

\overline{b + y} in \sqrt{} \overline{c c - y y} = y x

. Nactus hanc æquationem fingo

\sqrt{} \overline{c c - y y} = z

et sic duas æquationes 45

b z + y z = y x

z z = c c - y y

habeo. Quarum ope velocitates qua fluxiones quantitatum

x

y

, et

z

(Per ProbProblema 1) quæro et e prima prodit

b r + y r + n z = n x + m y

, ac e secunda

2 r z = - 2 n y

, sive

r z + n y = 0

. E quibus exterminato

r

, oritur

- \frac{b n y}{z} - \frac{n y y}{z} + n z = n x + m y

. Quâ resolutâ fit

y . z - \frac{b y}{z} - \frac{y y}{z} - x (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Cùm ergo

BD

sit

= y

, erit

BT = z - x \frac{- b y - y y}{z}

. Hoc est

- BT = AL + \frac{BD \times GM}{BL}

. Ubi signum

-

ipsi

BT

præfixum denotat punctum

T

ad partes adversus

A

capiendum esse. Schol:Scholium Et hinc obiter determinatio inventio puncti disterminantis concavam et convexam partem Conchoidis prodit. Nempe cùm

AT

sit omnium minima, erit

D

ejusmodi punctum. Esto itaqꝫue

AT = v

, et cùm sit

BT = - z + x \frac{+ b y + y y}{z}

erit

v = - z + 2 x \frac{+ b y + y y}{z}

. Ubi ad opus abbreviandum pro

x

substitue

\frac{b z + y z}{y}

valorem e superioribus erutum et fiet

\frac{2 b z}{y} + z \frac{+ b y + y y}{z} = v

. Unde per ProbProblema 1 fluxionibus

l

n

, et

r

quæsitis, et per ProbProblema 3 supposita

l = 0

, emerget

\frac{2 b r}{y} - \frac{2 b n z}{y y} + r + \frac{b n + 2 y n}{z} \frac{- b r y - r y y}{z z} = (l =) 0

. In hâc deniqꝫue substitue

\frac{- n y}{z}

pro

r

c c - y y

pro

z z

(valores

r

z z

e superioribus petendos) et facta reductione obtinebitur

y^{3} + 3 b y y - 2 b c c = 0

. Cujus æquationis constructione ddabitur

y

sive

AM

; et per

M

acta

MD

ipsi

AB

parallela indcidet in punctum flexùs contrarij

D

. *** flexùs contrarij

D

53 ***This leafe must bee inserted in the middle of pag 45. Præterea si curva Mechanica est cujus tangentem ducere oportet, quantitatum fluxiones ut in exemplo 5 ProbProblemate 1 quærendæ sunt, cæteráqꝫue ut in præcedentibus peragenda. ExemplExemplum 4. Sunto

AC

AD

duæ curvæ quibus recta

BCD

ad Basin

AB

in dato angulo applicata occurrit in

C

D

et appelletur

AB = x

BD = y

, et

\frac{area ACB}{1} = z

; et per Prob:Problema 1, Præparat:Præparationem ad ExemplExemplum 5, erit

r = m \times BC

. Jam sit

AC

circulus aut curva quævis nota et ad alteram curvam

AD

definiendam exponatur quævis æquatio cui

z

intexta est veluti

z z + a x z = y^{4}

. Et per ProbProblema 1 erit

2 r z + a x r + a m z = 4 n y^{3}

. Et scripto

m \times BC

pro

r

, fiet

2 m z \times BC + a m x \times BC + a m z = 4 n y^{3}

. Adeoqꝫue

2 z \times BC + a x \times BC + a z . 4 y^{3} (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Quamobrem si ex natura curvæ

AC

detur ordinata

BC

et area

ACB

sive

z

, dabitur punctum

T

per quod tangens

DT

transibit. Ad eundem modum si

3 z = 2 y

sit æquatio ad curvam

AD

, erit

3 r (3 m \times BC) = 2 n

. Adeoqꝫue

3 BC . 2 (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Et sic in alijs. Exempl:Exemplum 5. Sit

AB = x

BD = y

ut ante, et Curvæ cujusvis

AC

longitudo sit

z

; ductâqꝫue ad eam tangente

Ct

, erit

Bt . Ct ∷ m . r

, sive

r = \frac{m \times Ct}{Bt}

. Jam ad aliam curvam

AD

cujus tangens ducenda est, detur quælibet æquatio in qua

z

involvitur, puta si

z = y

, erit

r = n

. Adeoqꝫue

Bt . Ct (∷ n . m)

∷ BD . BT

. Invento autem

T

age

DT

tangentem. Sic posito

x z = y y

erit

m z + r x = 2 n y

, et pro

r

scripto

\frac{m \times Ct}{Bt}

, emerget

m z + \frac{m x \times Ct}{Bt} = 2 n y

. Quare est

z + \frac{x \times Ct}{Bt} . 2 y ∷ BD . DT

. Exempl:Exemplum 6. Sit

AC

circulus aut alia quævis nota curva quam tangat

Ct

, et sit

AD

alia curva cujus tangentem

DT

ducere oportet, et quæ definitur assumendo

AB = arcui AC

, et (

CE

, ac

BD

in dato angulo ad

AB

ordinatis) referendo

BD

CE

vel

AE

in æquatione aliqua. Dic ergo

AB

vel

AC = x

BD = y

AE = z

, et

CE = v

, et patet

l

m

, et

r

fluxiones ipsarum

CE

AC

, et

AE

esse inter se ut sunt

CE

Ct

Et

, Adeoqꝫue

m \times \frac{CE}{Ct} = l

, et

\frac{m \times Et}{Ct} = r

. Detur jam quælibet æquatio ad definiendam Curvam

AD

, veluti

y = z

, et erit

n = r

, Adeoqꝫue

Et . Ct (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Vel detur

y = z + v - x

, et erit

n = (l + r - m =) \frac{m \times CE + Et - Ct}{Ct}

. Adeoqꝫue

CE + Et - Ct . Ct (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Vel deniqꝫue detur

a y y = v^{3}

, et erit

2 a n y = (3 l v v =) \frac{3 m v v \times CE}{Ct}

. Adeoqꝫue

3 v v \times CE . 2 a y \times Ct ∷ BD . BT

. ExemplExemplum 7. Sit

FC

circulus quem tangat

Ct

CS

, sitqꝫue

FD

Curva quæ definitur assumendo quamvis relationem applicatæ

DB

FC

arcum quem

DA

ad centrum ducta intercipit. Et demissa

CE

in circulo pag 45 applicata dic

AC

vel

AF = 1

AB = x

BD = y

AE = z

CE = v

CF = t

et ipsius

t

fluxionem

k

, et erit

k x (= \frac{k \times CE}{CS}) = l

k z (= \frac{k \times CE}{CS}) = l

, et

- k v (= \frac{k \times - ES}{CS}) = r

. Ubi pono

r

negativè, quòd

AE

diminuitur dum

EC

augetur. Est insuper

AE . EC ∷ AB . BD

, adeoqꝫue

z y = v x

et inde per Prob:Problema 1,

r y + n z = l x + m v

. Et hiæc, exterminatis

l

r

, et

v

, fit faciunt

n x

- k y y - k x x = m y

. Definiatur jam curva

DF

æquatione quavis unde a qua valor

k

hic substituendus deduci possit: puta sit

t = y

(æquatio ad primam Quadratricem,) et per Prob:Problema 1 erit

k = n

. Adeoqꝫue

n x - n y y - n x x = m y

. Unde

y . x x + y y - x

(∷ n . - m) ∷ DB (y) . BT

. Quare

BT = x x + y y - x

. Et

AT =

x x + y y = \frac{{AD}^{q}}{AF}

. Ad eundem modum si sit

t t = b y

, proveniet

2 k t = b n

, et inde

AT = \frac{b \times {AD}^{q}}{z t \times AF}

. Et sic in alijs. ExemplExemplum 8. Quod si

AD

sumatur æqualis arcui

FC

, existente

ADH

spirali Archimedea, tum stantibus jàm positis linearum nominibus, est (propter ang:angulum

ABD

rect:rectum)

x x + y y = t t

. Et inde per Prob:Problema 1

m x + n y = k t

. Est etiam

AD . AC ∷ DB . CE

, adeoqꝫue

t v = y

et inde per ProbProblema 1

k v + t l = n

. Deniqꝫue est fluxio arcus

FC

ad fluxionem rectæ

CE

AC

AE

sive ut

AD

AB

hoc est

k . l ∷ t . x

, et inde

k x = t l

. Confer jam inventas æquationes et videbis esse

k v + k x = n

, et inde

m x + n y (= k t) = \frac{n t}{v + x}

. Atqꝫue adeo (completo parallelogrammo

ABDQ

) si fiat

QD . QP

(∷ BD . BT ∷ n . - m) ∷ x . y - \frac{t}{v + x}

, hoc est si capiatur

AP = \frac{t}{v + x}

, erit

PD

ad spiralem perpendicularis. Ex his opinor satis manifestum est quo pacto curvarum omnium tangentes ducendæ sunt. Attamen ut facillima et simplicissima methodus pro singulis curvis adhibeatur, non abs re erit si præterea confectionem Problematis ubi curvæ alijs quibuscunqꝫue modis ad rectas referuntur ostendero, ut e pluribus Methodis facillima et simplicissima methodus semper possit adhiberi. Modus 2. Sit itaqꝫue

D

punctum in curva, a quo &c Mod:Modus 2Cæterùm ad Tangentium doctrinam revertamur earum determinatione jam aggressi cum curvæ alijs modis ad rectas referuntur. Mod:Modus 2. Sit itaqꝫue

D

punctum in curva a quo subtensa

DG

ducitur ad datum punctum

G

DB

in dato quovis angulo ordinatur ad Basin

AB

. Punctum verò

D

per infinitè parvum intervallum

Dd

in curva fluat, inqꝫue

GD

sumatur

GK

æqualis

Gd

et compleatur parallelogrammum

dbBC

. Et erunt

DK

DC

contemporanea momenta ipsarum

GD

BD

quibus nempe diminuuntur dum

D

transfertur ad

d

. Jam

Dd

rectà producatur donec cum

AB

conveniat in

T

et ab isto

T

ad subtensam

GD

demittatur perpendiculum

TF

et erunt Trapezia

DCdK

DBTK

DBTF

similia adeoqꝫue

DB . DF ∷ DC . DK

. Cùm itaqꝫue relatio

BD

GD

in æquatione qualibet, pro curva definienda exponitur, quære relationem fluxionum et cape

FD

DB

in ratione fluxionis

GD

ad fluxionem

BD

. Dein ab

F

erige perpendiculum

FT

quod cum

AB

concurrat in

T

et acta

TD

curvam tanget in

D

. Cape autem

DF

versus

G

si sit affirmativa; sin secus, cape ad contrarias partes. ExemplExemplum 1. Dic

GD = x

BD = y

et esto earum relatio

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

Eritqꝫue fluxionum relatio

x^{3} - a x x

3 m x x - 2 a m x + a m y + a x n - 3 n y y = 0

. Atqꝫue adeò

3 x x - 2 a x

+ a y . 3 y y - a x (∷ m . n) ∷ DB (y) . DF

. Et hinc dato quolibet in curva puncto

D

Est ergo

DF = \frac{3 y^{3} - a x y}{3 x x - 2 a x + a y}

. Adeoqꝫue dato quolibet in curva puncto

D

, et inde

BD

GD

sive

y

x

; dabit hinc dabitur punctum

F

: Unde si normalem

FT

erigas; ad ejus concursum cum basi

AB

ducta

DT

curvam tanget. Et hinc patet Regulam perinde ac in priori casu concinnari posse. Scilicet æquationis expositæ terminos omnes ad easdem partes dispone et sigillatim per terminos dimensiones ordinatæ

y

multiplica et exitum colloca in Numeratore. Dein terminos ejus sigillatim per dimensiones subtensæ

x

multiplica, et exitum per subtensam illam

x

divisum colloca in Denominatore valoris

DF

. Illamqꝫue

DF

cape ad partes contra

G

si sit affirmativa, sin secus, cape ad easdem partes. Et nota quod nihil intersit quanto intervallo punctum

G

distat a Basi AB, si fortè distat, neqꝫue quinam sit angulus ordinationis

ABD

. Sic æquatio superior

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

prima fronte dat

a x y - 3 y^{3}

pro numeratore et

3 x x - 2 a x + a y

pro Denominatore valoris

DF

. Sic etiam

a + \frac{b}{a} x - y = 0

, (quæ æquatio est ad Conicam sectionem) dat

- y

pro numeratore et

\frac{b}{a}

pro denominatore valoris

DF

quæ ideo erit

= \frac{- a y}{b}

. Et sic in Conchoide, (ubi res si expeditiùs obsolvitur quàm 47 ante) posito

GA = b

LD = c

GD = x

, et

BD = y

, erit

\begin{matrix} BD & . & DL & ∷ & GA & . & GL \\ y & c & b & x - c \end{matrix}

.Fig Adeoqꝫue

x y - c y = c b

, sive

x y - c y - c b = 0

Quæ æquatio juxta Regulam dat

\frac{x y - c y}{y}

hoc est

x - c =

DF

. Produc ergo

GD

F

ut sit

DF = LG

, et abd

F

erige normalem

FT

occurrentem Asymptoto

AB

T

, et acta

DT

Conchoidem tanget. Siquando compositæ quantitates in æquatione reperiantur ad methodum generalem recurrendum est, nisi ubi malueris æquationem reducere. Exempl.Exemplum 2. Si detur æquatio

\overline{b + x} \sqrt{} \overline{c c - y y} = y x

pro relatione inter

GD

BD

determinanda, fluxionum relationem juxta ProbProblema 1 quære. Utpote ficto

\sqrt{} \overline{c c - y y} = z

, æquationes

b z + y z = y x

c c - y y = z z

habebis, et inde fluxionum

m

n

r

relationes

b r + y r + n z = n x + y m

, et

- 2 n y = 2 r z

. Et exterminatis

r

z

orietur

n \sqrt{} \overline{c c - y y} \frac{- b n y - n y y}{\sqrt{} \overline{c c - y y}} - n x = m y

. Est ergo

y . \sqrt{} \overline{c c - y y} \frac{- b y - y y}{\sqrt{} \overline{c c - y y}} - n x (∷ n . m) ∷ BD (y) . DF

. Mod:Modus 3.Mod:Modus 3. Præterea si Curva ad duas subtensas

AD

BD

referatur quæ a datis punctis

A

B

ductæ ad Curvam terminantur conveniunt: concipe punctum illud

D

per infinitè parvum spatium

Dd

in curva profluere et in

AD

BD

cape

AK = Ad

BC = Bd

et erunt

KD

CD

contemporanea momenta linearum

AD

BD

. Cape jam

DF

BD

in ratione momenti

DK

ad momentum

DC

(i.e. in ratione fluxionis Lineæ

AD

ad Fluxionem lineæ

BD

,) et Lineam erige perpendicula

BT

FT

concurrentia in

T

eruntqꝫue trapezia

DTFB

DKdC

similia, et proinde diagonalis

DT

curvam tanget. Per æquationem itaqꝫue qua relatio inter

AD

BD

definitur, quære relationem fluxionum ope ProbProblema 1, et cape

FD

BD

in eadem ratione. ExemplExemplum. Posito

AD = x

BD = y

sit earum relatio

a + \frac{e x}{d} - y = 0

(quæ æquatio est ad Ellipses secundi generis quarum proprietates ad Lucem refringendam Des-Cartes in LibLibro 2 Geometriæ docuit) et fluxionum relatio erit

\frac{e m}{d} - n = 0

. Est itaqꝫue

e . d (∷ n . m) ∷ BD . DF

. Et pari ratione si

a - \frac{e x}{d} - y = 0

, erit

e . - d ∷ BD . DF

. In priori casu cape

DF

versus

A

, et in poster ad contrarias partes in posteriori. Coroll:Corollarium 1. Hinc si

d = e

(quo casu curva evadit conica sectio) erit

DF = DB

. et inde triangula

DFT

DBT

æqualia, angulusqꝫue

FDB

a tangente bisecabitur. CorollCorollarium 2. Hinc etiam quæ Des-Cartes haud absqꝫue circuitu de his curvis circa refractiones haud absqꝫue circuitu demonstravit, per se manifesta sunt: siquidem

DF

DB

(quæ sunt in data ratione

d

e

) respectu sinus totius

DT

suint sinus angulorum et

DTF

DTB

. id est incidentiæ radij

AD

in superficiem curvæ, et reflectionis vel refractionis ejus

DB

. Estqꝫue par ratio de refractionibus Conicarum Sectionum si modo punctorum

A

vel

B

alterutrum infinitè distare concipiatur. Perfacile est hanc regulam pro more præcedentium concinnare et pluribus exemplis donare.. et ad harum Quinimò ubi curvæ alijs quibuscunqꝫue modis ad rectas referuntur, et ad præcedentes formas haud commodè reduci possunt; perfacile est alias Regulas ad harum exemplar pro re nata excogitare. ModModus 4ModModus 4 Quemadmodum si rectæ

BD

circa datum punctum

B

volventis punctum

D

sit ad Curvam aliquam, et

C

sit intersectio ejus cum rectâ

AC

positione datâ; habeaturqꝫue relatio inter

BC

BD

quacunqꝫue æquatione designata; Age

BF

parallelam

AC

, eiqꝫue occurrat

DF

normalis ad 49

BF

BD. Et ad

DF

itidem erige normalem

FT

, et cape in ratione ad

BC

quam habet fluxio ipsius

BD

ad fluxionem ipsius

BC

: Actáqꝫue

DT

curvam tanget. ModModus 5ModModus 5 Sin, dato puncto

A

, æquatio relationem inter

AC

BD

designat, duc

CG

parallelam

DF

, et cape

FT

in ratione ad

BG

quam habet fluxio

BD

ad fluxionem

AC

. ModModus 6ModModus 6 Vel deniqꝫue si æquatio relationem inter

AC

CD

definit: conveniant

AC

FT

H

, et cape

HT

in ratione ad

BG

quam habet fluxio

CD

ad fluxionem

AC

. Et sic in alijs. ModModus 7 De SpiralibusModModus 7. Præterea cum Haud secus absolvitur Problema ubi curvæ non ad rectas sed ad alias curvas referuntur lineas (uti solent Mechanicæ) possis uti solent tangentes nihil secans ducere referuntur. Sit

BG

circuli periferia in cujus semidiametro

AG

, dum circa centrum

A

convolvitur, moveatur utcunqꝫue punctum

D

et spiralem

ADE

describat. Et concipe

Dd

et partem curvæ infinitè parvam per quam

D

fluit, et in

AD

cape

AC = Ad

et erunt

CD

Gg

contemporanea momenta rectæ

AD

et arcus periferiæ

BG

. Duc ergo

At

parallelam

CD

, id est perpendicularem

AD

, et cum ea tangens

DT

convenitat in

T

, eritqꝫue

cd . CD ∷ AD . A

CD . Cd ∷ AD . AT

. Sit insuper

Gt

parallela tangenti, et erit

Cd . Gg (∷ Ad vel AD . AG) ∷ AT . At

. Quare obrem exposita quacunqꝫue æquatione quâ relatio inter

AD

BG

BG

AD

definitur, quære rationemrelationem fluxionum per ProbProblema 1, et cape

At

in illa ratione ad

AD

. Eritqꝫue

Gt

tangent et ipsi

Gt

parallelam age

DT

quaæ curvam tanget eritꝫue

Gt

tangenti parallela. ExemplExemplum 1. Dictis

BG = x

AD = y

, sit earum relatio

x^{3} - a x x + a x y - y^{3} = 0

et ope ProbProblema 1 emerget

3 x x - 2 a x

+ a y . 3 y y - a x (∷ n . m) ∷ AD . At ∷ AP . AG

. Puncto

t

sic invento duc

Gt

eiqꝫue parallelam

DT

, et illa Curvam tanget. ExemplExemplum 2. Si sit

\frac{a x}{b} = y

(quæ æquatio est ad Spiralem Archimedeam) erit

\frac{a m}{b} = n

. Adeoqꝫue

a . b (∷ n . m) ∷ AD . At

. Unde obiter si

TA

producatur ad

P

ut sit

AP . AB ∷ a . b

, PD ad curvam recta erit. ExemplExemplum 3. Si

x x = b y

, erit

2 m x = b n

. Adeoqꝫue

2 x . b ∷ AD . At

. Et sic tangentes ad quibascunqꝫue spiraliebus nullo negotio determinari possunt. ModsModModus 8. De QuadratricibusModModus 8. Ad hæc si curva sit ejusmodi ut per centrum

A

ductâ utcunqꝫue

AGD

quæ circulo in

G

, curvæqꝫue in

D

occurrat, relatio inter arcum

BG

et rectam

DH

quæ in dato angulo ad Basin

AB

ordinata est, æquatione quavis definiatur: Concipe punctum

D

per infinitè parvum intervallum ad

d

in curva moveri et completo parallelogrammo

dhHK

productâqꝫue

Ad

C

ut sit

AC = AD

; erunt

Gg

arcûs

BG

DK

ordinatæ

DH

contemporanea momenta. Produc jam

Dd

rectà ad

T

ubi cum

AB

conveniat et demitte

TF

DC

perpendicularem, eruntqꝫue trapezia

DKdc

DHTF

similia; At atqꝫue adeo

DK . DC ∷ DH . DF

. Et præterea si

Gf

AG

normalis erigatur quæ cum

AF

concurrat in

f

propter parallelas

DF

Gf

erit

DC . Gg ∷ DF . Gf

. Quamobrem ex æquo est

DK . Gg ∷ DH . Gf

, hoc est, ut momenta sive fluxiones linearum

DH

BG

. Per æquationem itaqꝫue quâ relatio

BG

DH

definitur quære rationem fluxionum per Prob.Problema 1 et in ea ratione cape

Gf

(tangentem circuli

BG

) ad

DH

ordinatur

DH

. Age

DF

parallelam

Gf

quæ cum

Af

producta conveniat in

F

Et ad

F

erige normalem

FT

occurrentem

AB

T

et acta

DT

Quadratriceem tanget. ExemplExemplum 1. Nominatis

BG = x

, ac

DH = y

, esto

x x = b y

et (per Prob.Problema 1) erit

2 m x = b n

. Adeoqꝫue

2 x . b (∷ n . m) ∷ DH . Gf

. Et invento

f

, cætera ut præscriptum est determinabis. 5155 Cæterum hæc Regula forte sic elegantior evadet. Cape

AL

Fac est Cape Fac

m . n ∷ AB . AL

. Dein

AL . AD ∷

AD . AT

DT

curvam tanget. Nam propter æqualia triangula

AFD

ATD

, est

AD \times DF = AT \times DH

. Adeoqꝫue

AT . AD (∷ DF . DH, sive \frac{n}{m} Gf) ∷ AD . \frac{n}{m} AG, sive AL

. ExemplExemplum 2. Esto

x = y

(quæ æquatio est ad simplicem veterum Quadratricem) et erit

m = n

. Adeoqꝫue

AB . AD ∷ AD . AT

. ExemplExemplum 3. Esto

a x x = y^{3}

, et erit

2 a m x = 3 n y y

. Fac ergo

3 y y . 2 a x (∷ m . n) ∷ AB . AL

. Dein

AL . AD ∷ AD . AT

. Et sic tangentes ad alias utcunqꝫue compositas Quadratrices possis expeditè determinare; et hujusmodi Regulas pro alijs quibuscunqꝫue Mechanicarum Curvarum generibus excogitare. Siquando in æquationibus Mechanicæ quantitates involvantur earum fluxiones ut in exemplo 5 ProbProblemate 1 quærere oportet cæteraqꝫue ut supra peragere.. ExempExemplum 1 e sequenti pag:pagina pete.ExemplExemplum 1. Rectâ

BCD

in dato angulo ad basin

AB

ordinatâ, dic

AB = x

BD = y

, & aream

\frac{ACB}{1} = z

, et sit

\sqrt{} \overline{a x - x x}

= BC

æquatio ad curvam

AC

z z + a x z - y^{4} = 0

æquatio ad alteram curvam cujus tangens ducenda est: et per ProbProblema 1 exemplexemplum 5 relatio fluxionum

m

n

erit

\overline{2 m z + a m x} \sqrt{} \overline{a x - x x}

+ a m z - 4 n y^{3} = 0

. Fac itaqꝫue

\overline{2 z + a x} \sqrt{} \overline{a x - x x} + a z . 4 y^{3}

(∷ n . m) ∷ BD . BT

, et juxta casuum 1, et age tangentem

DT

. ExemplExemplum 1. Sunto

AC

AD

duæ curvæ quibus recta

BCD

ad Basin

AB

in dato angulo ordinata occurrit in C et D. Et appelletur

AB = x

BD = y

, et

\frac{area ACB}{1} = z

et per ProbProblema 1 Præparat:Præparationem ad Exemp:Exemplum 5 erit

r = m \times BC

. Jam sit

AC

circulus aut curva quævis nota et ad alteram curvam

AD

definiendam exponatur quævis æquatio cui

z

intexta est: veluti

z z + a x z = y^{4}

. Et per ProbProblema 1 erit

2 r z

+ a x r + a m z = 4 n y^{3}

. Et inscripto

m \times BC

pro

r

, fiet

2 m z \times BC + a m x \times BC

+ a m z = 4 n y^{3}

, Adeoqꝫue

2 z \times BC + a x \times BC + a z . 4 y^{3} (∷ n . m)

∷ BD . BT

sicut in primo præcedentium casuum. Quamobrem si ex natura curvæ

AC

detur ordinata

BC

et area

ACB

sive

z

dabitur punctum

T

per quod tangens

DT

transibit. Ad eundem modum si

3 z = 2 y

sit æquatio ad curvam

AD

, erit

3 r

(3 m \times BC) = 2 n

. Adeoqꝫue

3 BC . 2

(∷ n . m) ∷ BD . BT

. Et sic in alijs. Exempl:Exemplum 2. Sit

AB = x

BD = y

(ut ante) et curvæ cujusvis

AC

longitudo

= z

, angulusqꝫue

ABD

rectus. Sit etiam

\sqrt{} \overline{a x + x x} = BC

æquatio ad curvam

AC

(quæ proinde erit Hyperbola) sit etiaam

z = y

æquatio ad curvam

ADE

cujus tangentem ducere oportet. Jam quo relatio inter

m

n

determinetur video imprimis (propter

z = y

) esse

r = n

. Dein ad Hyperbolam curvam

AC

ductâ tangente

Ct

eritsse

r . m ∷ Ct . Bt

. Sit autem

Bt = \frac{2 a x + 2 x x}{a + 2 x}

cujus quadrato adde

{Bt}^{q}

et fiet

{Ct}^{q} = \frac{a^{3} x + 9 a a x x + 16 a x^{3} + 8 x^{4}}{a a + 4 a x + 4 x x}

curvæ cujusvis

AC

longitudo sit

z

, ductaqꝫue ad eam tangente

Ct

erit

Bt . Ct ∷ m . r

sive

r = \frac{m \times Ct}{Bt}

. Jam ad aliam curvam

AD

cujus tangens ducenda est detur quælibet æquatio in qua

z

involvitur, puta si

z = y

r = n

Adeoqꝫue

Ct . Bt (∷ n . m) ∷ BD . BT

, ut in primo casu. Invento autem

T

age tangentem

DT

. Vel Sic posito

x z = y y

, erit

m z + r x = 2 n y

, et pro

r

scripto

\frac{m \times Ct}{Bt}

emerget

m z + \frac{m x \times Ct}{Bt} = 2 n y

Quare

z + \frac{x \times Ct}{Bt} . 2 y

∷

BD . DT

. ExemplExemplum 3. Sic

AC

circulus aut alia quævis nota curva quam tangat

Ct

, et sit

AD

alia curva cujus tangentem

DT

ducere oportet, et quæ definitur assumendo

AB =

arcui

AC

, et (

CE

BD

in dato angulo ad

AB

ordinatis) referendo

BD

CE

vel

AE

in æquatione aliqua. Dic ergo

AB

, vel

AC = x

BD = y

AE = z

CE = v

, et patet

l

m

, et

r

(fluxiones ipsarum

v

x

CE

AC

, et

AE

) esse inter se ut sunt

CE

Ct

Et

. Adeóqꝫue

\frac{m \times CE}{Ct} = l

, et

\frac{m \times Et}{Ct} = r

. Detur jam quælibet æquatio ad curvam

AD

determinandam veluti

y = z

et erit

n = r = \frac{m \times Et}{Ct}

. Adeoqꝫue

Et . Ct (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Vel detur

y = v - z + x

, et erit

n = (l - r + m =) \frac{m \times CE + Et + Ct}{Ct}

. Adeoqꝫue

CE + Et + Ct

. Ct (∷ n . m) ∷ BD . BT

. Vel deniqꝫue detur

a y y = v^{3}

et erit

2 a n y = (3 l v v) \frac{3 m v v \times CE}{Ct}

. Adeoqꝫue

3 v v \times CE . 2 a y \times Ct ∷ BD . BT

. Quemadmodum in primo præcedentium octo casuum his exemplis illustrato sic etiam in quovis alio hujusmodi æquationibus adhibitis tangentes duci possunt. Et hæc in hujus explicationem hujus methodi generalis qua curvarum omnium tangentes absqꝫue solitâ calculi molestiâ prompte et concinnè determinantur, adduxisse sufficiat. 5155 Cæterum hæc Regula forte sic elegantior evadet, Fac

m . n ∷ AB . AL

. Dein

AL . AD ∷ AD . AT

, et

DT

curvam tanget. Nam propter æqualia triangula

AFD

ATD

, est

AD \times DF = AT \times DH

. Adeoqꝫue

AT . AD (∷ DF . DH, sive \frac{n}{m} Gf)

∷ AD . \frac{n}{m} AG, sive AL

. ExemplExemplum 2. Esto

x = y

(quæ æquatio est ad Veteruum Quadratricem per ProbProblema 1 erit

m = n

. Adeoqꝫue

AB . AD ∷ AD . AT

. ExemplExemplum 3. Esto

a x x = y^{3}

et erit

2 a m x = 3 n y y

. Fac ergo

3 y y . 2 a x (∷ m . n) ∷ AB . AL

. Dein

AL . AD ∷ AD . AT

. Atqꝫue ita tangentes aliarum Quadratricum utcunqꝫue compositarum possis expeditè determinare. Mod.Modus 9. Si deniqꝫue

ABF

sit curva quævis data quam tangat recta recta

Bt

, et rectæ

BC

in dato angulo ad basin

AC

applicatæ pars

BD

inter hanc et aliam curvam

DE

intercepta relationem atd curvæ portionem

AB

in æquatione quacunqꝫue definitam habeat: alterius curvæ tangentem

DT

duces capiendo in hujus tangente,

BT

in ea relatione ad

BD

, quam habet fluxio curvæ

AB

ad fluxionem rectæ

BD

. ExemplExemplum 1. Dictis

AB = x

BD = y

, esto

a x = y y

et per Prob:Problema 1, erit

a m = 2 n y

, adeoqꝫue

a . 2 y (∷ n . m) ∷ BD . BT

. ExemplExemplum 2. Sit

\frac{a}{b} x = y

(æquatio ad Trochoidem si modò

ABF

sit circulus) et erit

\frac{a}{b} m = n

. Adeoqꝫue

a . b ∷ BD . BT

. Et nihilo difficiliùs tangentes, ubi ipsius

BD

AC

vel ad

BC

relatio in æquatione quavis exprimitur, vel ubi curvæ alijs quibuscunqꝫue modis ad rectas aliasve curvas referuntur, possis ducere. Sunt etiam alia non pauca Problemata quorum solutiones ex hisce sturiunt fluunt. Cujusmodi sunt; 1. Invenire punctum Curvæ ubi tangens est ad Basin (vel quamvis positione datam rectam) parallela vel perpendicularis vel in alio quovis angulo inclinata. 2. Invenire punctum ubi tangens maxime minimève ad Basin aut aliam positione datam rectam inclinatur. Hoc est invenire confinium flexûs contrarij. Hujus autem specimen in Conchoide jam ante exhibui. 3. A dato quovis extra curvæ perimetrum puncto rectam ducere quæ cum curva perimetro aut angulum contactûs aut rectum angulum, aut alium quemvis datum conficiet. Hoc est rectas tangentes vel perpendiculares rectas vel aliter ad curvam in datis >inclinatas rectas a dato quovis puncto ducere. 4. A dato quovis intra Parabolam puncto rectam ducere quæ maximum minimumve quem potest angulum cum perimetro ejus conficiet. Et idem de alijs curvis intellige. 5. Rectam ducere quæ duas positione datas curvas, vel eandem curvam (si modò potest) in duobus punctis tangat. 6. Curvam quamvis sub datis conditionibus ducere quæ aliam positione datam curvam in dato puncto tanget. 7. Luce in quamlibet curvam superficiem incidente, cujusvis radij fractionem determinare. Horum et similium Problematum confectiones, ubi non obstat computandi tædium, non sunt ita difficiles ut ijs explicandis immorari opus sit. Et Geometris, credo, magis gratum erit sic tantùm recensuisse.