Method of Curves and Infinite Series, and application to the Geometry of Curves (Part 2)

5357 Prob:Problema 5. Curvæ alicujus ad datum punctum curvaturam invenire.

Problema cum primis elegans videtur et ad curvarum scientiam utilie. In ejus autem constructionem generalia quædam præmittere convenit.

1. ~~Diversorum~~ Ejusdem circuli eadem est undiqꝫue curvatura et Inæqualium circulorum curvaturæ sunt reciprocè proportionales diametris. Si alicujus diameter diametro alterius duplo minor est, ejus periferiæ curvatura erit duplo major, si diameter triplo minor est curvatura erit triplo major, &c.

2. Si cCirculus cCurvam aliquam ad partem concavam in dato puncto tangat, sitqꝫue talis magnitudinis ut alius contingens circulus in angulis contactûs ~~inter~~ proximè punctum istud interscribi nequeat, circulus ille ejusdem est curvitatis ac Curva in isto puncto contactûs. Nam circulus, qui inter curvam et alium circulum ~~interjacet~~ juxta punctum contactus interjacet, minus deflectit a curva ejusqꝫue curvaturam magis appropinquat quam ille alius circulus; et proinde curvaturam ejus maximè appropinquat inter quiem et Curvam non alius quisquam potes intercedere.

3. Itaqꝫue centrum curv~~itatis~~aminis ad aliquod Curvæ punctum est centrum tangentis circuli æqualiter incurvatæ; et sic radius vel semidiameter curv~~itatis~~aminis est pars perpendiculi ad istud centrum terminata.

4. Et proportio curv~~itatis~~aminis ad diversa ejus puncta e proportione cui curv~~itatis~~aminis circulorum æque curvorum sive e reciproca proportione radiorum curv~~itatis~~aminis innotescit.

Problema itaqꝫue ad hunc locum redijt ut radius ~~aut~~ ~~aut~~vel centrum curv~~itatis~~aminis inveniatur.

Concipe ergo quod ad tria curvæ puncta $δ$ , $D$ , ac $d$ ducantur perpendicula quorum quæ sunt ad $D$ et $δ$ conveniant in $H$ ; et quæ ad $D$ et $d$ , conveniant in $h$ . Et puncto $D$ existente medio si major est curvitas a parte $Dδ$ quam $Dd$ , erit $DH < dh$ $δH < dh$ . Sed quo perpendicula $δH$ ac $dh$ propiora sunt intermedio perpendiculo, eò minùs distabunt puncta $H$ et $h$ . Et convenientibus tandem perpendiculis, coalescent. Coalescant autem in puncto $C$ et erit illud $C$ centrum curvitatisaminis atd curvæ punctum $D$ cui perpendicula insistunt. Id quod per se manifestum est.

Hujus autem

C

varia sunt symptomata quæ ad ejus determinationem inservire possunt: QuemamodumQuemadmodum 1. Quod sit concursus perpendiculorum hinc et inde a

DC

infinitè parùm distantium. 2. Quod perpendiculorum finitè parùm distantium intersectiones hinc et inde dirimit ac disterminat. Ita ut quæ sunt a parte curviori

Dδ

citiùs ad

H

conveniant, et quæ sunt ex alterâ minùs curvâ parte

Dδ

remotiùs conveniant ad

h

. 3. Si

DC

dum curvæ perpendiculariter insistat moveri concipiatur, illud ejus punctum

C

(si demas motum accedendi vel recedendi a puncto insistentiæ

C

) minimè movebitur sed centri motionis rationem habebit. 4. Si centro

C

intervallo

DC

circulus describatur, non potest alius describi circulus qui juxta contactum interjacebit. 5. Deniqꝫue si alterius alicujus tangentis circuli centrum ut

H

vel

h

paulatim ad hujus centrum

C

accedat donec tandem conveniat, tunc aliquod e punctis in quibus circulus ille curvam secavit simul conveniet punctum contactûs

D

. Et unumquodqꝫue horum Symptomatum ansam præbet diversimodè resolvendi Problema. Nos autem primum tanquam simplicissimum eligemus. Ad quodlibet Curvæ punctum

D

esto

DT

tangens,

DC

perpendiculum et

C

centrum curvitatisaminis ut ante. Sitqꝫue

AB

basis ad quam

DB

in angulo recto applicatur, et cui

DC

occurrit in

P

. Age

DG

parallelam

AB

, inqꝫue perpendicularem Et

CG

perpendiculum, inqꝫue eo cape

Cg

cujuslibet datæ magnitudinis, et age

gδ

parallelam perpendiculum quod occurrat

DC

δ

: eritqꝫue

Cg . gδ (∷ TB . BD) ∷

fluxio Basis ad fluxionem Aplplicatæ. Concipe præterea punctum

D

per infinitè parvum intervallum

Dd

in curva promoveri et actis

dE

DG

Cd

ad curvam normalibus quarum

Cd

occurrit

DG

F

δg

f

; erit

DE

momentum Basis 5559

dE

momentum Applicatæ, ac

δf

contemporaneum momentum rectæ

gδ

. Estqꝫue

DF = DE + \frac{dE \times dE}{DE}

. Habitis itaqꝫue horum momentorum rationibus sive quod perinde est fluxionum generantium rationibus, habebitur ratio

GC

ad datam

gC

(quippe quæ est

DF

δf

,) et inde punctum

C

determinabitur. Sit ergo

AB = x

BD = y

Cg = 1

, et

gδ = z

valebit

\frac{n}{m}

, dic autem

z

, et et erit

1 . z ∷ m . n

seu

z = \frac{n}{m}

, hujus autem

z

momentum ejus

δf

dic

r \times o

(factum nempe ex velocitate et infinite parva quantitate,) eritqꝫue momentum

DE = m \times o

dE =

n \times o

, et inde

DF = m o + \frac{n n o}{m}

. Est ergo

Cg (1) . CG ∷ (δf .

DF ∷) r o . m o + \frac{n n o}{m}

. Adeoqꝫue

CG = \frac{m m + n n}{m r}

. Cùm insuper Basis fluxioni

m

(ad quam tanquam correlatam et uniformem fluxionem cæteras referre juvat convenit) liberum sit quancunqꝫue velocitatem tribuere; dic esse

1

, et erit

n = z

, et

CG = \frac{1 + z z}{r}

. vel = siquidem est Et inde

DG = \frac{z + z^{3}}{r}

, ac

DC = \frac{\overline{1 + z z} \sqrt{} \overline{1 + z z}}{r}

. Expositâ itaqꝫue quâvis æquatione quâ relatio

BD

AB

pro curvâ definiendâ designetur, imprimis quære relationem inter

m

n

per ProbProblema 1, et interea substitue

1

pro

m

z

pro

n

. Dein ex æquatione resultante per idem ProbProblema 1 quære relationem inter

m

n

, et

r

et interea substitue

1

pro

m

z

pro

n

ut ante. Atqꝫue ita per priorem operationem obtinebis valorem

z

, et per posteriorem obtinebis valorem

r

; quibus habitis, produc

DB

H

versus concavam partem curvæ ut sit

DH = \frac{1 + z z}{r}

, et age

HC

parallelam

AB

et perpendiculo

DC

occurrentem in

C

, eritqꝫue

C

centrum curvaturæ ad curvæ punctum

D

. Vel cùm sit

1 + z z = \frac{PT}{BP}

, fac

DH = \frac{PT}{r \times BP}

, vel

DC = \frac{{DP}^{3}}{r \times {DB}^{3}}

. Exempl:Exemplum 1. Sic exposita

a x + b x x - y y = 0

, æquatione ad Hyperbolam cujus latus rectum est

a

ac transversum

\frac{a}{b}

; emerget (per ProbProblema 1)

a + 2 b x - 2 z y = 0

substituto (scriptis nempe

1

pro

m

z

pro

n

in æquatione resultante, quæ secus foret

a m + 2 b m x - 2 n y = 0

) et hinc denuò prodit

2 b - 2 z z - 2 r y = 0

substitutis iterum scriptis iterum

1

pro

m

z

pro

n

. Per priorem est

z = \frac{a + 2 b x}{2 y}

, et per posteriorem

r = \frac{b - z z}{y}

. Dato itaqꝫue quovis curvæ puncto

D

et per consequentiam

x

y

, ex his dabuntur

z

r

, quibus cognitis fac

\frac{1 + z z}{r} = GC

vel

DH

, et age

HC

Quemadmodum si definitè sit

a = 3

, &

b = 1

, adeoqꝫue

3 x + x x = y y

Hyperbolæ conditio: et si perpendiculo

DC

occurrentem in

C

et erit

C

centrum assumatur

x = 1

, erit

y = 2

z = \frac{5}{4}

r = - \frac{9}{32}

DH = - 9 \frac{1}{9}

. Invento

H

, erige

HC

occurrente perpendiculo

DC

priùs ducto. Vel quod perinde est fac

HD . HC (∷ 1 . z) ∷ 1 . \frac{5}{4}

et age

DC

curvedinis Radium. Siquando computationem non admodum perplexam fore censeas, possis indefinitos valores ipsorum

r

z

\frac{1 + z z}{r}

valore

CG

substituere. Et sic in hoc exemplo per debitam reductionem obtinebis

DH = y + \frac{4 y^{3} + 4 b y^{3}}{a a}

. Cujus tamen

DH

valor per calculum negativus prodit sicut in exemplo numerali videre est. At hoc tantùm arguit

DH

ad partes versus

B

capiendam esse. Nam si fuisset affirmativus ad contrarias partes duxisse oporteret. CorollCorollarium. Hinc si signum quod

+ b

præfigitur symbolo

+ b

præfixum mutaetur, ut fiat

a x - b x x - y y = 0

, æquatio ad Ellipsin; erit

DH = y + \frac{4 y^{3} - 4 b y^{3}}{a a}

. At posito

b = 0

ut æquatio fiat

a x - y y = 0

ad Parabolam; erit

DH = y + \frac{4 y^{3}}{a a}

. VIndéqꝫue facilè colligitur esse

DG = \frac{1}{2} r + 2 x

DG = \frac{1}{2} a + 2 x

. Ex his facilè colligitur radium curvaturæ cujusvis conicæ sectionis valere

\frac{{4 DP}^{cubum}}{a a}

. ExemplExemplum 2. Si

x^{3} = a y y - x y y

(æquatio ad Cissoidem Dioclis) exponatur; Per ProbProblema 1 impbrimis obtinebitur

3 x x = 2 a z y - 2 x z y - y y

; adc deinde

6 x = 2 a r y - 2 a z z

- 2 z y - 2 x r y - 2 x z z - 2 z y

. Adeoqꝫue est

z = \frac{3 x x + y y}{2 a y - 2 x y}

. Et

r = \frac{3 x - a z z + 2 z y + x z z}{a y - x y}

. Dato itaqꝫue quolibet Cissoidis puncto et inde

x

y

, dabuntur

z

r

: Quibus cognitis fac

\frac{1 + z z}{r} = CG

. Exempl:Exemplum 3. Si detur

\overline{b + y} \sqrt{} \overline{c c - y y} = x y

æquatio ad Conchoidem, ut supra; Finge

\sqrt{} \overline{c c - y y} = v

, et emerget

b v + y v = x y

. Jam harum prior (viz

c c - y y = v v

) per ProbProblema 1 dat

- 2 y z = 2 v l

(scripto nempe

z

pro

n

,) et posterior dat

b l + y l + z v = y + x z

. Et ex his æquationibus rite dispositis determinantur

l

z

. Ut autem

r

præterea determinetur, e novissimâ æquatione extermina fluxionem

l

substituendo

\frac{- y z}{v}

et emergiet

- \frac{b y z}{v} - \frac{y y z}{v} + z v = y + x z

, sive

- b y z - y y + z v v = y v - x y z

æquatio quæ fluentes quantitates sine aliquibus earum fluxionibus (prout exigit resolutio ProbProblematis 1miprimi) complectitur. Hinc itaqꝫue per ProbProblema 1 elicies

- \frac{b z z}{v} - \frac{b y r}{v}

+ \frac{b y z l}{v v} - \frac{2 y z z}{v} - \frac{y y r}{v} + \frac{y y z l}{v v} + r v + z l = 2 z + x r

. Qua æquatione in ordinem redactâ et concinnatâ, dabitur

r

. Inventis5761 Inventis autem

z

r

fac

\frac{1 + z z}{r} = CG

. Si penultimam æquationem per

z

divisissems, exinde postmodum per ProbProblema 1 obtinuisses

- \frac{b z}{v} + \frac{b y l}{v v} - \frac{2 y z}{v} + \frac{y y l}{v v} + l = 2 - \frac{y r}{z z}

, æquationem priori simpliciorem pro determinando

r

. Dedi quidem hoc exemplum ut modus operandi in surdis æquationibus constaret. At Conchoidis curvatura sic breviùs inveniri potuit. Æquationis

\overline{b + y} \sqrt{} \overline{c c - y y} = x y

partibus quadratis et per

y y

divisis, exurgit

\frac{b b c c}{y y} + \frac{2 b c c}{y} \begin{array}{r} + c c \\ - b b \end{array} - 2 b y - y y = x x

. Et inde per ProbProblema 1 exoritur

- \frac{2 b b c c z}{y^{3}} - \frac{2 b c c z}{y y} - 2 b z - 2 y z = 2 x

. sive

- \frac{b b c c}{y^{3}} - \frac{b c c}{y y} - b - y = \frac{x}{z}

. Et hinc denuo per ProbProblema 1 exoritur

\frac{3 b b c c z}{y^{4}} + \frac{2 b c c z}{y^{3}} - z = \frac{1}{z} - \frac{x r}{z z}

. Per priorem exitum determinatur

z

, et per posteriorem

r

. ExemplExemplum 4. Sit

IADF

Trochois ad circulum

ALE

(cujus diameter est

AE

) accommodata; et ordinatâ

BD

secante circulum in

L

, dic

AE = a

AB = x

BD = y

BL = v

, et arcarcus

AL = t

ejusqꝫue arcûs fluxionem dic

k

. Et imprimis (ducto

PL

semidiametro) erit Fluxio Basis

AB

ad fluxionem arcus

AL

BL

PL

; hoc est,

m sive 1 .

k ∷ v . \frac{1}{2} a

. Atqꝫue adeo

\frac{a}{2 v} = k

. Porrò ex natura circuli est

a x - x x = v v

. Et inde per Prob:Problema 1

a - 2 x = 2 l v

, sive

\frac{a - 2 x}{2 v} = l

. Adhæc ex natura Trochoidis est

AP = PD

LD =

arcarcus

AL

; adeoqꝫue

v + t = y

. Et inde per Prob:Problema 1,

l + k = z

. Deniqꝫue pro fluxionibus

l

k

valores hic substituantur et emerget

\frac{a - x}{v} = z

. Unde per Prob:Problema 1 deducitur

- \frac{a l}{v v} + \frac{x l}{v v} - \frac{1}{v} = r

. Et his inventis fac

\frac{1 + z z}{r} = - DH

et erige

HC

. CorollCorollarium. Cæterum ex his consectatur, 1. Quod sit

DH = 2 BL

CH = 2 BE

, sive quod

EF

N

bisecat

CD

radium curvaminis. Et hoc patebit substituendo valores

r

z

jam inventos in æquatione

\frac{1 + z z}{r} = DH

et exitum probè reducendo. 2. Hinc Curva

FCK

in qua centrum curvaminis indefinite versatur est alia Trochois huic æqualis, quam cuspide hujus contingunt in ejus verticibus huic æqualis Trochois cujus vertices ad

I

F

adjacent hujus cuspidibus. Nam circulus

Fλ

æqualis

ALE

et similiter positus describatur et agatur

Cβ

parallela

EF

circuloqꝫue occurrens in

λ

; et erit arcarcus

Fλ

(

=

arc.arcus

EL = NF

)

= Cλ

. 3.

CD

quæ recta est ad Trochoidem

IAF

, contingit Trochoidem

IKF

C

. 4. Hinc (inversis Trochoidibus) si superioris Trochoidis cuspidi

K

innitatur pondus ad distantiam

KA

sive

2 EA

filo appensum innitatur, et undulante pondere filum se applicet ad Trochoidis partes

KF

KI

hinc inde obsistentes ne in rectum distendatur, et cogentes ut ad earum normam dum digreditur a perpendiculo paulatim desuper inflectatur, parte

CD

sub infimo contactûs puncto manente rectâ: pondus in inferioris Trochoidis perimetro movebitur, utpote cui filum

CD

semper perpendicularies est. 5. Est itaqꝫue tota fili longitudo

KA

æqualis perimetro Trochoidis

KCF

, ejusqꝫue pars

CD

æqualis parti perimetri

CF

. 6. Cum filum circa mobile punctum

C

tanquam centrum undulando convolvatur; superficies per quam tota

CD

continuò trajicitur erit ad superficemsuperficiem per quam pars

CN

supra rectam

IF

simul trajicitur ut

{CD}^{q}

{CN}^{q}

hoc est ut

4

1

. Est itaqꝫue area

CFN

quarta pars areæ

CFD

, et area

KCNE

quarta pars areæ

ACDB

KCDA

. 7. Quinimò cùm subtensa

EL

circa centrum immobil sit æqualis et parallela

CN

, et circa immobile centrum

E

perinde ac

CN

circa mobile centrum

C

utraqꝫue per circumagaitur, æquales erunt superficies per quas simul trajiciuntur; nempe area

CFN

et circuli segmentum

EL

. Et inde area

NFD

tripla erit segmenti istius, ac tota

EADF

tripla semicirculi. 8. Deniqꝫue cùm pondus

D

attingit punctum

F

, totum filum circum Trochoidis perimetrum

KCF

flectetur, radio curvaminis

CD

manente nullo. Et proinde Trochois ad ejus

IAF

ad ejus cuspidem

F

curvior est quàm quilibet circulus, et cum tangente

BF

productâ constituit angulum contactus infinitè majorem quàm circulus cum rectâ potest constituere. Sunt etiam anguli contactûs Trochoidalibus infinitè majores 5963 et illis deinceps alij infinite majores et sic in infinitum, et tamen maximi sunt infinitè minores rectilineis. Sic

x x = a y

x^{3} = b y y

x^{4} = c y^{3}

x^{5} = d y^{4}

&c denotant seriem curvarum quarum quælibet posterior cum Basi constituit angulum contactus infinitè majorem quàm prior cùm eadem Basi potest constituere. Estqꝫue angulus contactus quem prima

x x = a y

constituit, ejusdem generis cum circularibus, et ille quem secunda

x^{3} = b y y

constituit, ejusdem generis cum Trochoidalibus. Et quamvis subsequentium anguli angulos præcedentium perpetim infinitè superant, tamen anguli rectilinei magnitudinem nunquam possunt assequi. Ad eundem modum

x = y

x x = a y

x^{3} = b b y

x^{4} = c^{3} y

&c denotant seriem linearum quarum subsequentium anguli ad vertices cum basibus confecti sunt angulis præcedentiuum perpetim infinitè minores. Quinetiam inter angulos contactus duorum quorumlibet ex his generibus possunt possunt alia anguloruum se infinite superantium intercedentia genera in infinitum excogitari. possunt Angulorum verò contactus unum genus esse infinitè majus alio constat cùm unius genesris curva utcunqꝫue parva magna inter et rectam tangentem et alterius generis curvam quantumvis parvam juxta punctum contactus non potest interjacere: Sive cujus angulus contactus necessariò continet alterius angulum contactûs ut partem totius. Sic curva

x^{4} = c y^{3}

angulus contactûs quem cum basi constituit, necessario continet angulum contactus curvæ

x^{3} =

b y y

. Qui verò se mutuò superare possunt anguli sunt ejusdem generis, uti de præfatis angulis Trochoidis et hujus curvæ

x^{3} = b y y

contigit. Etx his patet curvas in quibusdam punctis posse infinitè rectiores esse vel infinitè curviores quolibet circulo et tamen formam curvarum non ideo amittere. Sed hæc in transitu. *** in transitu.65 ***This pag: must bee inserted at the end of pag 59. Exempl:Exemplum 5. Esto

ED

Quadratrix ad circulum centro

A

descriptum pertinens, ac

DB

AE

normaliter demissâ dic

AB = x

BD = y

AE = 1

. Eritqꝫue

n x - n y y - n x x = m y

ut supra. quæ æquatio, scriptis

1

pro

m

z

pro

n

, fit

z x - z y y - z x x = y

; Et inde per ProbProblema 1 elicitur

r x - r y y - r x x + z m - 2 z m x - 2 z n y = n

. Factâqꝫue reductione et scriptis iterum

1

pro

m

z

pro

n

, exit

r = \frac{2 z z y + 2 z x}{x - x x - y y}

. Inventis autem

z

r

fac

\frac{1 + z z}{r} = DH

, et age

HC

ut supra. Si constructionem concinnare placet, perbrevem invenies; nempe ad

DT

duc normalem

DP

occurrentem

AT

P

, et fac esse

2 AP . AE ∷ PT . CH

. Scilicet est

z = \frac{y}{x - x x - y y} = \frac{BD}{- BT}

, et

z y = \frac{{BD}^{q}}{- BT} = - BP

. et

z y + x = - AP

, et

\frac{2 z}{x - x x - y y} in z y + x = \frac{2 BD}{AE \times {BT}^{q}} in - AP = r

Præterea est

1 + z z = \frac{PT}{BT}

, (utpote

= 1 + \frac{{BD}^{q}}{{BT}^{q}} = \frac{{DT}^{q}}{{BT}^{q}}

,) adeóqꝫue

\frac{1 + z z}{r} = \frac{PT \times AE \times BT}{- 2 BD \times AP} = DH

. Deniqꝫue est

BT . BD ∷ DH .

CH = \frac{PT \times AE}{- 2 AP}

. Ubi valor negativus tantum arguit

CH

capiendam esse ad partes

DH

versus

AB

. Eadem methodo Spiralium et aliarum quarumvis Curvarum curvatura calculo brevissimo determinarei potest. Ad curvaturam praæterea, cum curvæ alijs modis ad rectas referuntur, sine prævia reductione determinandam, jam potuit hæc methodus applicari perinde ut in determinando Tangentes factum est. Sed cùm omnes Geometricæ curvæ ut et Mechanicæ (præsertim ubi definientes conditiones ad infinitas æquationes uti post ostendam reducuantur) ad rectangulas ordinatas referri possient videor satis præstitisse. Qui plura &cpag 60, lin. 6 Ad curvaturam determinandam cum curvæ aljis modis ad rectas referuntur determinandam jam potuit hæc methodus applicari perinde ut in determinando tangentes factum est. Sed cum omnes Geometricæ Curvæ, ut et Mechanicæ mediantibus infinitis æquationibus uti posthac ostendetur, ad p rectangulas ordinatas referri possunt, videor satis præstitisse. Qui plura desiderat haud difficulter proprio Marte supplebit Præsertim si Methodum in ejus rei illustrationem pro ex abundanti methodum pro Spiralibus adjecero. Esto

BK

circulus,

A

centrum ejus,

B

punctum in circumferentia datum,

ADd

spiralis,

DC

perpendiculum ejus, et

C

centrum curvitatis ad punctum

D

. Ductâqꝫue

ADK

recta, et ei parallela et cujusvis datæ longitudinis æquali

CG

, ut et normali

GF

occurrente

CD

F

; Sdic

AB

vel

AK =

1 = CG

BK = x

AD = y

AK = 1 = CG

BK = x

AD = y

, &

GF = z

. Præterea concipe punctum

D

per infinitè parvum spatium

Dd

in spirali moveri, et perinde per

d

agi semidiatrum

Ak

, eiqꝫue parallelam et æqualem

Cg

, et normalem

gf

occurentem

Cd

f

, cui etiam

GF

occurrit in

P

; Produc

GF

φ

ut sit

Gφ = gf

, et ad

AK

demitte normalem

dE

et produc donec cum

CD

conveniat ad

I

: Et ipsarum

BK

AD

, ac

Gφ

contemporanea momenta erunt

Kk

DE

, et

Fφ

, quæ proinde dicentur

m \times o

n \times o

, et

r \times o

. Jam est

AK . AE (AD) ∷ kK . dE = o y

ubi assumo

m = 1

ut supra. Item

CG . GF ∷ dE . ED = o y z

adeóqꝫue

y z = n

. Præterea

CG . CF ∷ dE . dD = o y \times CF ∷ dD . dI = o y \times CF

. Ad hæc propter

ang PCφ (= ang GCg) = ang DAd

ang CPφ

(= ang CdI = ang EdD + rect:) = ang ADd

, triangula

CPφ

ADd

sunt similia, et inde

AD . Dd ∷ CP (CF) . Pφ = o \times {CF}^{q}

, unde aufer

Fφ

et restabit

PF = o \times {CF}^{q} - o \times r

. Deniqꝫue demissa

CH

normali ad

AD

est

PF . dI ∷ CG . EH vel DH =

\frac{y \times {CF}^{q}}{{CF}^{q} - r}

. Vel substituto

1 + z z

pro

{CF}^{q}

, erit

DH = \frac{1 + y z z}{1 + z z - r}

. Et nota quod in hujusmodi computationibus quantitates (ut

AD

AE

) pro ǽqualibus habeo quarum ratio a ratione aequalitatis6167litatis non nisi infinitè parùm differt. Ex his autem prodit hujusmodi Regula: Relatione inter

x

y

per quamlibet æquationem definitâ, quære relationem fluxionum

m

n

ope ProbProblematis 1, et substitue

1

pro

m

y z

pro

n

. Deinde ex æquatione prodeunte quære denuò per ProbProblema 1 relationem inter

m

n

r

et iterum substitue

1

pro

m

. Prior exitus per debitam reductionem dabit

n

z

et posterior dabit

r

; quibus cognitis fac

\frac{y + y z z}{1 + z z - r} = DH

, et erige normalem

HC

spiralis perpendiculo

DC

priùs ducto occurrentem in

C

, quod et erit

C

centrum curvaminis. Vel quod eodem recidit cape

CH .

HD ∷ z . 1

, et age

CD

. ExemplExemplum 1. Si detur

a x = y

æquatio ad Spiralem Archimedeam; erit per ProbProblema 1

a m = n

sive (scripto

1

pro

m

y z

pro

n

)

a = y z

. Et hinc denuò per ProbProblema 1 exit

0 = n z + y r

. Est ita Quare ex dato quolibet spiralis puncto

D

et inde longitudine

AD

sive

y

, dabuntur

z (= \frac{a}{y})

r (= - \frac{n z}{y} sive = \frac{- a z}{y})

: Quibus cognitis fac

1 + z z - r . 1 + z z

∷ DA (y) . DH

. et

1 . z ∷ DH . CH

. Et hinc facilè deducitur hujusmodi constructio. Produc

AB

Q

ut sit

AB . arc BK ∷ arc BK . BQ

, et fac

AB + AQ

. AQ ∷ DA . DH ∷ a . HC

.here a particular figure is required Exempl:Exemplum 2. Si

a x x = y^{3}

definit relationem inter

BK

AD

: obtinebis (per ProbProblema 1)

2 a m x = 3 n y^{2}

, sive

2 a x = 3 z y^{3}

, et inde rursus

2 a m = 3 r y^{3} + 9 z n y y

. Est itaqꝫue

z = \frac{2 a x}{3 y^{3}}

r = \frac{2 a - 9 z z y^{3}}{3 y^{3}}

. Quibus cognitis fac

1 + z z - r . 1 + z z ∷ DA . DH

. Vel opere concinnato, fac

9 x x + 6 . 9 x x + 4 ∷ DA . DH

. ExemplExemplum 3. Ad eundem moduum si

a x x - b x y = y^{3}

determinat relationem

BK

AD

, orietur

\frac{2 a x - b y}{b x y + 3 y^{3}} = z

, et

\frac{2 a - 2 b z y - b z z x y - 9 z z y^{3}}{b x y + 3 y^{3}} = r

. Ex quibus

DH

, et inde punctum

C

determinatur ut ante. Et sic aliarum quarumvis spiralium curvaturam nullo negotio determinabis. Imo et ad horum exemplar Regulas pro quibuslibet curvarum generibus excogitare. Absolvi tandem Problema sed cum methodum adhibuerim a vulgaribus operandi modis satis diversam, et ipsum Problema non sit ex eorum numero quorum contemplatio apud Geometras increbuit: in ablatæ solutionis illustrationem et confirmationem non gravabor aliam magis obviam solutionem attingere attingere, in quam veri simile est GEometras statim incidisse ut incœpissent speculari magis obviam et usitatis in ducendo tangentes methodis affinem. Utpote si centro et intervallo quovis circulus describi concipiatur, qui curvam quamlibet in pluribus punctis secet, et circulus ille contrahetur vel dilatetur donetc duo intersectionum puncta conveniant, is curvam ibidem tanget. Et præterea si tertium centrum ejus accpedu accedere vel recedere a puncto contactûs fingatur, donec tertium intersectionis punctum cum prioribus in puncto contactûs conveniat, is æque curvus ac Curva in illo puncto contactûs evadet. Quemadmodum in ultimo quinqꝫue symptomatum centri curvaminis supra monui, e quorum singulis dixi Problema diversimodè confici potuisse. Centro itaqꝫue

C

et radio

CD

describatur circulus secans curvam in punctis

d

D

, ac

δ

. Et demissis

db

DB

, et

δβ

, et

CF

ad Basin

AB

normalibus: dic

AB = x

BD = y

AF = v

FC = t

, ac

DC = s

; et erit

BF = v - x

, ac

DB + FC = y + t

; Quorum quadratorum aggregatum æquatur quadrato

DC

. Hoc est

v v - 2 v x + x x + y y + 2 t y + t t = s s

. Quam æquationem si placet abbreviare possis fingendo

v v + t t - s s =

symbolo cuivis

q q

, et evadet

x x - 2 v x + y y + 2 t y + q q = 0

. Postquam verò

t

v

, et

q q

inveneris si

s

desideres fac

= \sqrt{} \overline{v v + t t - q q}

. Proponatur jam quælibet æquatio pro Curva definienda cujus flexuræ quantitatem invenire oportet et ejus ope alterutram f quantitatem

x

vel

y

extermina et emerget æquatio cujus radices (

db

DB

δβ

&c si extermines

x

, vel

Ab

AB

Aβ

&c si extermines

y

) sunt ad intersectionum puncta (

d

D

δ

&c). Et proinde cùm 6369 ex istis tres evadent æquales, circulus et curvam continget et erit ejusdem curvitatis ac curva in puncto contactus. Æquales autem evadent conferendo æquationem cum alia totidem dimensionum æquatione fictitia cujus tres sunt æquales radices ut docuit Cartesius; vel expeditiùs multiplicando terminos ejus bis per Arithmeticam progressionem. ExemplExemplum. Sit

a x = y y

æquatio ad Parabolam, et exterminato

x

(substituendo nempe valo in æquatione superiori valorem ejus

\frac{y y}{a}

) prodibit

\begin{matrix} \frac{y^{4}}{a} & \begin{matrix} - & \frac{2 v}{a} y y \\ + & y y \end{matrix} & + & 2 t y & + & q q & = & 0 \\ 4 . & 2 . & 1 . & 0 . \\ 3 . & 1 . & 0 . & - 1 . \end{matrix}

cujus e radicibus

y

tres debent fieri æquales. Et in hunc finem terminos per Arithmeticam progressionem bis multiplico ut hic videre est, et exit

\frac{12 y^{4}}{a a} - \frac{4 v}{a} y y + 2 y y = 0

sive

v = \frac{3 y y}{a} + \frac{1}{2} a

. Hoc est

AF = 3 x + \frac{1}{2} a

Unde facilè colligitur esse

BF = 2 x + \frac{1}{2} a

ut supra. Quamobrem dato quovis Parabolæ puncto

D

, duc perpendiculum

DP

et in axe cape

PF = 2 AB

et erige normalem

FC

ocrrentemoccurentem

DP

C

et erit

C

desideratum centrum curvitatis. Idem in Ellipsi et Hyperbola præstare possis sed calculo satis molesto, et in alijs curvis utplurimùm fastidiosissimo. De Quæstionibusdab quibusdam huic Problemati cognatis. Ex hujus Problematis resolutione consectantur aliorum nonnullorum confectiones. Cujusmodi sunt 1. Invenire punctum ubi linea datam habet curvaturam. Sic in Parabola

a x = y y

si punctum quæratur ubi ad quod radius curvaturæ sit datæ longitudinis

f

: e centro curvaturæ ut prius invento radium determinabis esse

\frac{r + 4 x}{2 r} \sqrt{} \overline{r r + 4 r x}

\frac{a + 4 x}{2 a} \sqrt{} \overline{a a + 4 a x}

, quem pone æqualem

f

. Et factâ reductione emerget

x = - \frac{1}{4} a + \sqrt{} c: \frac{1}{16} a a f

x = - \frac{1}{4} a + \sqrt{} c: \frac{1}{16} a f f

. 2. Invenire punctum rectitudinis. Punctum rectitudinis vociot ad quod radius flexionis infinitus evadit, sive centrum infinitè distans; quale est ad verticem Parabolæ

a x^{3} = y^{4}

. Et hoc idem plerumqꝫue limes est flexionis contrariæ cujus determinationem supra posui. Sed et alia haud inelegans ex hoc Problemate scaturit. FigNempe quo longior est radius flexionis eo minor evadit angulus

DCd

, et pariter momentum

δf

adeóqꝫue fluxio quantitatis

z

unà diminuaintur, ita ut per ejus radij infinitatem prorsus evanescant. Quære ergo fluxionem

r

et suppone nullam esse. Quemadmodum si limitem flexûs contrarij in Parabola secundi generis cujus ope Cartesius construxit æquationes sex dimensionum determinare oportet. Ad illam Curvam æquatio est

x^{3} - b x x - c d x + b c d + d x y = 0

. Et hinc per ProbProblema 1 exit

3 m x x - 2 b m x - c d m + d m y + d x n = 0

; Quæ, scripto

1

pro

m

z

pro

n

, fit

3 x x - 2 b x - c d + d y + d x z = 0

: Unde rursus per ProbProblema 1 exit

6 m x - 2 b m + d n + d m z + d x r = 0

, Et hæc, scripto iterum

1

pro

m

z

pro

n

, et

0

pro

r

, fit

6 x - 2 b + 2 d z = 0

. Jam extermina

z

scribendo pro

d z

valorem

2 b - 3 x

b - 3 x

, et proveniet in æquatione

3 x x - 2 b x - c d

+ d y + d x z = 0

, et proveniet

- c d + d y = 0

, sive

y = c

. Quamobrem ad punctum

A

erige perpendiculum

AE = c

, et per

E

duc

ED

parallelam

AB

, et punctum

D

ubi Parabolæ partem convexo-concavam secuerit erit in confinio flexionis contrariæ. Similiqꝫue methodo alia rectitudinis puncta quæ non interjacent partibus contrariè flexis determinarei possisunt. Veluti si

x^{4} - 4 a x^{3} + 6 a a x x - b^{3} y = 0

Curvam definiat, Exinde per ProbProblema 1 imprimis producetur

4 x^{3} - 12 a x x + 12 a a x - b^{3} z = 0

et hinc denuò

12 x x - 24 a x + 12 a a - b^{3} r = 0

, Ubi suppone

r = 0

et factâ reductione prodibit

x = a

. Quamobrem sume

AB = a

BD

normaliter erecta curvæ in desiderato rectitudinis puncto

D

occurret. 3. Invenire punctum flexionis infinitæ. Ad ejusmodi puncta radius curvaturæ nullus est, et fluxio quantitatis

z

infinita. Quære ergo fluxionem ejus

r

, et suppone infinitam esse, hoc est denominatorem valoris ejus pone

= c

. Quære radium curvatur flexionis et suppone nullum esse Sic ad Parabolam secundi generis æquatione

x^{3} = a y y

definitam erit radius ille

CD = \frac{4 a + 9 x}{6 a} \sqrt{} \frac{x}{a}

; qui nullus evadit cum sit 6571 3. Invenire punctum flexioûsnis infiniti Quære radium flexionis curvaminis et suppone nullum esse. Sic ad Parabolam secundi generis æquatione

x^{3} = a y y

definitam, erit radius ille

CD = \frac{4 a + 9 x}{6 a} \sqrt{} \overline{4 a x + 9 x x}

; qui nullus evadit cùm sit

x = 0

. 4. Flexûs maximi minimive punctum determinare. Ad hujusmodi puncta radius curvaturæ aut maximus aut minimus evadit. Quare centrum curvaturæ ad id temporis momentum nec versus punctum contactus neqꝫue ad contrarias partes movetur sed penitus quiescit. Quæratur itaqꝫue fluxio Radij

CD

; vel expeditiùs, quæratur fluxio alterutrius rectæ

BH

vel

AK

, et supponatur nulla. Quemadmodum si de Parabola secudndi generis

x^{3} = a a y

quæstio proponatur: imprimis ad curvaturæ centrum determinandum invenies

DH = \frac{a a + 9 x y}{6 x}

, adeoqꝫue est

BH = \frac{a a + 15 x y}{6 x}

, dic autem

BH = v

, et erit

\frac{a a}{6 x} + \frac{5}{2} y = v

, unde juxta ProbProblema 1 educitur

- \frac{a a m}{6 x x} + \frac{5 n}{2} = l

15 m y + 15 x x = 6 m v + 6 x l

. Jam vero

l

ipsius

BH

fluxionem suppone nullam esse, et insuper cùm ex hypothesi sit

x^{3} = a a y

, et inde per ProbProblema 1

3 m x x = a a n

, posito

m = 1

substitue

\frac{3 x x}{a a}

pro

n

, ut est

\frac{a a + 15 x y}{6 x}

pro , et emerget

45 x^{4} = a^{4}

15 y + \frac{45 x^{3}}{a a} = \frac{a a + 15 x y}{x}

; Factâqꝫue reductione,

\sqrt{} 4: \frac{x^{4}}{45}

. Cape ergo

AB = \sqrt{} 4: \frac{x^{4}}{45}

. Et

BD

normaliter erecta occurret curvæ in puncto maximæ fluxionis curvaturæ. Vel, quod perinde est fac

AB . BD ∷ 3 \sqrt{} 5 . 1

. Ad eundem modum Hyperbola secundi generis per æquationem

x x y = a^{3}

designata maximè flexctitur in punctis

D

d

, quæ determinabis sumendo

AQ = 1

in Basi, et erigendo

QP = \sqrt{} 5

. eiqꝫue æqualem

Qp

ex altera parte et agendo

AP

Ap

, quæ curvæ occurrent in desideratis punctis

D

d

. 5. Locum centri curvaminis determinare; sive Curvam describere in quâ centrum istud perpetuo versatur. Trochoidis centrum curvaminis in alia Trochoide versari ostensum est. Et sic Parabolæ centrum istud in alia secundi generis (quam æquatio

a x x = y^{3}

definit) Parabola versatur, ut inito calculo facilè constabit. 6. Lucis a quacunqꝫue 6. Luce in quamlibet curvam incidente, invenire focum sive concursum radiorum circa quodpiam ejus punctum refractorum. Curvaturam ad istud Curvæ punctum quære, et centro radioqꝫue curvaturæ Circulum describe; Dein quære concursum radiorum a Circulo circa istud punctum refractoruum. Nam idem erit concursus refractorum a propositâ Curvâ. 7. His addi potest particularis inventio curvaturæ ad vertices curvarum ubi normaliter secant Bases. Nempe punctum in quo Curvæ perpendiculum cum Basi conveniens ipsam ultimò secuerit, est centrum curvaturæ ejus. Quamobrem habitâ relatione inter Basin

x

et rectangulum applicatum

y

et inde (per ProbProblema 1) relationem inter fluxiones

m

n

; valor

m n

; si in eo scribas

1

pro

m

et fingas

y = 0

, erit radius curvaturæ. Sic in Ellipsi

a x - \frac{a}{b} x x = y y

, est

\frac{a m}{2} - \frac{a m x}{b} = n y

, qui valor

n y

si supponas

y = 0

et consequenter

x = 0

et scribas

1

pro

m

evadet

\frac{1}{2} a

radius curvaturæ. Et sic ad vertices Hyperbolæ et Parabolæ radius curvaturæ erit etiam dimidium lateris recti. Atqꝫue ita ad Conchoiden æquatione

\frac{b b c c}{x x} + \frac{2 b c c}{x} \begin{array}{l} + & c c \\ - & b b \end{array} - 2 b x - x x

y y

definitam valor

n y

ope ProbProblematis 1 invenietur

- \frac{b b c c}{x^{3}} - \frac{b c c}{x x}

- b - x

. Qui supponendo

y = 0

, et inde

x = c

vel

- c

evadet

- \frac{b b}{c} - 2 b - c

, vel

\frac{b b}{c} - 2 b + c

radius curvaturæ. FigFac ergo

AE . EG ∷ EG . EC

, et

Ae . eG ∷ eG . ec

, et habes curvaturæ centra

C

c

ad vertices conjugatarum Conchoidum

E

e

. 6773 ProbProblema 6. Curvaturæ ad datum Curvæ alicujus punctum qualitatem determinare. Per qualitatem Curvaturæ intelligo formam ejus quatenus est plus vel minùs inæquabilis, sive quatenus plus vel minùs variatur in processu per diversas partes Curvæ. Sic interroganti qualis sit circuli curvatura, responderi potest quod sit uniformis, sive invariata; Fig.et interroganti qualis sit curvatura Spiralis quæ describitur per motum puncti

D

cum accelerata celeritate

AD

in recta

AK

uniformitèr circa centrum

A

gyrante progredientis ab

A

, adeo ut recta

AD

ad arcum

BK

dato puncto

K

descriptum rationem habeat numeri ad Logarithmum ejus, responderi potest quod sit uniformiter variata sive quod sit æquabiliter inæquabilis. Et sic aliæ curvæ in singulis earum punctis aliquales pro curvaturæ variatione denominari possunt. Quæritur itaqꝫue Curvaturæ circa aliquod Curvæ punctum inæquabilitas sive variatio. Qua de causa animadvertendum est 1 Quod ad puncta in similibus curvis similiter posita similis est inæquabilitas sive variatio curvaturæ. 2 Et quod momenta radiorum curvaturæ ad illa puncta sunt proportionalia contemporaneis momentis curvarum, et fluxiones fluxionibus. 3 Atqꝫue adeò quod ubi fluxiones illæ non sunt proportionales dissimilis erit inæquabilitas curvaturæ. Utpote major erit inæquabilitas ubi major est ratio fluxionis radij curvaturæ ad fluxionem Curvæ, Atdꝫue fluxionum ratio illa non immeritò dici potest index inæquabilitatis sive variationis curvaturæ. Ad Curvæ alicujus

AD

puncta

D

d

infinitè parùm distantia sunto radij curvaturæ

DC

dc

, et existente

Dd

momento Curvæ erit

Cc

contemporaneum momentum radij curvaturæ, et

\frac{Cc}{Dd}

index inæquabilitatis curvaturæ. Nempe tanta dicetur inæquabilitas illa, quantam esse indicat rationis illius

\frac{Cc}{Dd}

quantitas. Sive curvatura dicetur tanto dissimilior curvaturæ circuli. Demissis jam ad quamlibet

AB

occurrentem

DC

P

, rectangulis applicatis

DB

db

dic

AB = x

BD = y

DP = t

DC = v

, et inde

Bb = m \times o

, eritqꝫue

Cc = l \times o

, et

BD . DP ∷ Bb . Dd = \frac{t m o}{y}

. ac

\frac{Cc}{Dd} = \frac{l y}{t m}

sive

= \frac{l y}{t}

supposito

m = 1

. Quamobrem relatione inter

x

y

per quamlibet æquationem definitâ, et inde juxta ProbProblema 4 & 5 invento perpendiculo

DP

sive

t

et radio curvaturæ

v

, ejusqꝫue radij fluxione

l

per ProbProblema 1; dabitur index inæquabilitatis curvaturæ

\frac{l y}{t}

. Exempl:Exemplum 1. Sit

2 a x = y y

(æquatio ad Parabolam) et per ProbProblema 4) erit

BP = a

, adeoqꝫue

DP = \sqrt{} \overline{a a + y y} = t

. Item per ProbProblema 5

BF = a + 2 x

*is. fig. for. 5. et

BP . DP ∷ BF . DC = \frac{a t + 2 t x}{a} = v

. Jam æquationes

2 a x = y y

a a + y y = t t

, et

\frac{a t + 2 t x}{a} = v

per ProbProblema 1 dant

2 a m = 2 n y

, et

2 n y = 2 k t

, et

\frac{a k + 2 k x + 2 t m}{a} = l

. Quibus ordinatis et posito

m = 1

, orientur

n = \frac{a}{y}

k = \frac{n y}{t}

vel

= \frac{a}{t}

l = \frac{a k + 2 k x + 2 t}{a}

. Et sic inventis

n

k

, et

l

habebitur curvatur

\frac{l y}{t}

index inæquabilitatis curvaturæ. Quemadmodum si in numeris definiatur

a = 1

, sive

2 x = y y

, et

x = \frac{1}{2}

, erit

n (\frac{a}{y}) =

y (\sqrt{} 2 x) = 1

n (\frac{a}{y}) = 1

t (\sqrt{} \overline{a a + y y}) = \sqrt{} 2

k (\frac{a}{t}) = \sqrt{} \frac{1}{2}

, et

l (\frac{a k + 2 k x + 2 t}{a}) = 3 \sqrt{} 2

. Adeoqꝫue

\frac{l y}{t} = 3

indici inæquabilitatis. Sin autem definiatur

x = 2

, erit

y = 2

n = \frac{1}{2}

t = \sqrt{} 5

k = \sqrt{} \frac{1}{5}

l = 3 \sqrt{} 5

, Adeoqꝫue

\frac{l y}{t} = 6

index inæquabilitatis. Quamobrem inæquabilitas Curvaturæ ad punctum Parabolæ a quo ad axin demissa ordinatim applicata æquatur lateri recto Parabolæ dupla est ejus ad punctum a quo demissa ordinatim applicata æquatur dimidio ejusdem lateris recti. Hoc est curvatura in priori casu duplo dissimilior est curvaturæ circuli, quàm in posteriori. Exempl:Exemplum 2. Sit

2 a x - b x x = y y

, et per ProbProblema 4 erit

a - b x =

BP

et inde

a a - 2 a b x + b b x x + y y = t t

, sive

a a - b y y + y y = t t

. Item per Prob.Problema 5 erit

DH = y + \frac{y^{3} - b y^{3}}{a a}

ubi si

y y - b y y

substituas

t t - a a

evadet

DH = \frac{t t y}{a a}

. Et est

BP . DP ∷ DH . DC = \frac{t^{3}}{a a} = v

. Jam per ProbProblema 1 æquationes

2 a x - b x x = y y

a a - b y y + y y = t t

\frac{t^{3}}{a a} = v

dant

a - b x = n y

n y - b n y = t k

, et

\frac{3 t t k}{a a} = l

. Et sic invento

l

, dabitur

\frac{l y}{t}

index inæquabilitatis curvaturæ. Sic posita

a = 1

b = 3

, ad ad Ellipsin

2 x - 3 x x = y y

, ubi est

a = 1

b = 3

si supponatur

x = \frac{1}{2}

, erit

y = \frac{1}{2}

n = - 1

t = \sqrt{} \frac{1}{2}

k = \sqrt{} 2

l = 3 \sqrt{} \frac{1}{2}

\frac{l y}{t} = \frac{3}{2}

indici inæquabilitatis curvaturæ. Unde patet curvaturaam 6975 hujus Ellipsis ad hic definitum punctum

D

, esse duplo minus inæquabilem (sive duplo similiorem curvaturæ circuli,) quàm curvatura Parabolæ ad illud ejus punctum a quo ad axin demissa ordinatim applicata æquatur dimidio ejus lateris recti. Si conclusiones in his exemplis concinnare placet, ad Parabolam

2 a x = y y

exibit

\frac{l y}{t} = \frac{3 y}{a}

index inæquabilitatis et ad Ellipsin

2 a x - b x x = y y

exibit index

\frac{l y}{t} = \frac{3 y - 3 b y}{a a} \times BP

, et sic ad Hyperbolam

2 a x + b x x = y y

, observata analogiâ, erit index

\frac{l y}{t} = \frac{3 y + 3 b y}{a a} \times BP

. Unde patet quod ad diversa puncta cujusvis Conicæ sectionis seorsim spectatæ curvaminis inæquabilitas est ut rectangulum

BD \times BP

. Et quod ad diversa puncta Parabolæ est ut ordinatim applicata

BD

. Cæterùm cum Parabola sit linearum simplicissima linearum inæquabili curvaturâ flexarum, ejusqꝫue curvaturæ inæquabilitas tam levi negotio determinatur (uptpote cujus index sit

\frac{6 \times ordin: applic.}{lat: rect:}

;) aliarum curvarum curvaturæ ad curvaturam hujus non incommodè referri possunt. Quemadmodum si quæratur qualis sit EllipseωsEllipsis curva

2 x - 3 x x = y y

curvatura ad illud ejus punctum quod definitur assumendo

x = \frac{1}{2}

: Quoniam index ejus (ut supra) sit

\frac{3}{2}

, responderi potest esse similem curvaturæ Parabolæ

6 x = y y

ad illud ejus punctum inter quod et axin recta

= \frac{3}{2}

ordinatim applicatur. Sic cum lineæ Spiralis

ADE

jam ante descriptæpag & fig fluxio sit ad fluxio sit ad fluxionem subtensæ

AD

in data quadam ratione, puta

d

e

: versus partes concavas ejus erige ad

AD

normalem

AP = \frac{e}{\sqrt{} \overline{d d - e e}} \times AD

, et erit

P

centrum curvaturæ, et

\frac{AP}{AD}

sive

\frac{\sqrt{} \overline{d d - e e}}{e}

\frac{e}{\sqrt{} \overline{d d - e e}}

index inæquabilitatis ejus. Quare Spiralis hæcce curvaturam habet ubiqꝫue similiter inæquabilem ac Parabola

6 x = y y

habet in illo ejus puncto a quo demittitur ad axin ordinatim applicata

= \frac{\sqrt{} \overline{d d - e e}}{e}

. Et sic index inæquabilitatis ad quodvis Trochoidis punctum D (fig ) invenietur esse

\frac{AB}{BL}

. Quare curvatura ejus ad idem

D

tam inæquabilis est sive tam dissimilis curvaturæ circuli, quàm curvatura Parabolæ cujusvis Parabolæ

a x = y y

ad illud ejus punctum ubi ordinatim applicata æquatur

\frac{1}{6} a \times \frac{AB}{BL}

. Ex his credo sensus Problematis satis elucescet, quo benè perspecto non difficile erit animadvertenti seriem rerum supra traditarum plura exempla de proprio suppeditare et hujusmodi complures alias operandi methodos, prout res exiget, concinnare. Quinetiàm cognata Problemata (ubi perplexa computatione non conteritur et fatigatur,) haud majori difficultate transiget: Cujusmodi sunt, 1. Invenire punctum curvæ alicujus ubi vel nullam, vel infinitam, vel maximaam aut minimam, vel datam quamvis habeat inæquabilitatem curvaturæ. Sic ad vertices Conicarum sectionum nulla est inæquabilitas curvaturæ, ad cuspidem Trochoidis infinita est, et ad puncta Ellipseos maxima est ubi rectanguluum

BD \times BP

fit maximum, hoc est ubi lineæ diagonales rectanguli Parallelogrammai circumscripti Ellipsin secant cujus latera tangunt illam in principalibus verticibus. 2. Curvam alicujus definitæ speciei, puta Conicam Sectionem, numericè (ut loquuntur) determinare, cujus curvaturæ ad daliquod punctum & æqualis sit et similis curvaturæ alterius alicujus curve ad datum ejus punctum ejus. 3. Conicam Sectionem determinare ad cujus punctum aliquod curvatura & lineæ tangentis (respectu axis) positio sit similis curvaturæ ac tangentis positioni alterius alicujus Curvæ ad assignatum punctum ejus. Et hujus problematis usus est ut vice Ellipsium secundi generis quarum refringendi proprietates Cartesius in Geometria demonstravit, Conicæ sectiones idem in refractionibus quàm proximè præstantes subrogari possint. Atqꝫue idem die allijs curvis intellige. 7177 Prob:Problema 7. Curvas pro arbitrio multas invenire quarum areæ per finitas æquationes designari possunt. Sit

AB

basis curvæ,

BC

rectangula applicata ad cujus initium

A

erigatur normalis

AC = 1

et agatur

CE

parallela

AB

, sit etiam

DB

rectangula applicata occurrens rectæ

DE

E

et curvæ

AD

D

. Et concipe has areas

ACEB

ADB

per motum a rectis

BE

BD

per

AB

delatis generari. Et incrementum sive fluxio areæ

ACB

ACEB

erit earum incrementa sive fluxiones perpetim erunt ut lineæ describentes

BE

BD

. Quare parallelogrammum

ACEB

sive

AB \times 1

dic

x

, et curvæ aream

ADB

dic

z

: et fluxiones

m

r

erunt ut

BE

BD

, adeoqꝫue posito

m = 1 = BE

erit

r = BD

. Si jam ad arbitrium assumatur æquatio quævis pro definienda relatione

z

x

, exinde per probproblema 1 elicietur

r

. Atqꝫue ita duæ habebuntur æquationes quarum posterior Curvam definiet et prior aream ejus. Exempla. Assumatur

x x = z

et inde per Prob:Problema 1 elicietur

2 m x = r

, sive

2 x = r

siquidem est

m = 1

. Assumatur

\frac{x^{3}}{a} = z

et inde prodibit

\frac{3 x x}{a} = r

, æquatio ad Parabolaam. Assumatur

a x^{3} = z z

, sive

a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} = z

, et emerget

\frac{3}{2} a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = r

, sive

\frac{9}{4} a x = r r

æquatio iterum ad Parabolam. Assumatur præterea

a^{3} x = z z

, sive sive

a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} = z

et elicietur

\frac{1}{2} a^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}

= r

sive

a^{3} = 4 x r r

. Item assumatur

\frac{a^{3}}{x} = z

sive

a^{3} x^{- 1} = z

et elicietur

- a^{3} x^{- 2} = r

sive

a^{3} + r x x = 0

Ubi negativus valor ipsius

r

tantùm denotat

BD

capiendam esse ad partes contra

BE

. Adhæc si assumas

c c a a + c c x x = z z

, eliciets

2 c c x = 2 z r

et exterminato

z

proveniet

\frac{c x}{\sqrt{} \overline{a a + x x}} = r

. Vel si assumas

\frac{a a + x x}{b} \sqrt{} \overline{a a + x x} = z

, dic

\sqrt{} \overline{a a + x x} = v

et erit

\frac{v^{3}}{b} = x

, et inde per ProbProblema 1

\frac{3 l v v}{b} = r

. Item æquatio

a a + x x

= v v

dat per ProbProblema 1 dat

2 x = 2 v l

cujus ope si extermines

l

fiet

\frac{3 v x}{b} = r = \frac{3 x}{b} \sqrt{} \overline{a a + x x}

. Si deniqꝫue assumas

8 - 3 x z + \frac{2}{5} z = z z

, elicies

- 3 z - 3 x r + \frac{2}{5} r = 2 r z

. Quare per assumptam æquationem imprimis quære aream

z

, ac deinde applicatam

r

per elicitam. Atqꝫue ita ex areis qualescunqꝫue effingas semper possis applicatas determinare. Prob:Problema 8. Curvas pro arbitrio multas invenire quarum areæ ad aream datæ alicujus Curvæ relationem habent per finitas æquationes designabilem. Sit

FDH

data curva, ac

GEI

quæsita et earum applicatas

DB

EC

concipe super Basibus

AB

AC

erectas incedere: Et arearum quas ita transigunt incrementa sive fluxiones erunt ut applicatæ illæ ductæ in earum velocitates incedendi, hoc est in fluxiones basium. Sit ergo

AB = x

BD = v

AC = z

ac,

CE = y

, area

AFDB = s

, & area

AGEC = t

, ac arearum fluxiones sint

p

, et

q

, nempe

p

ipsius

s

, et

q

ipsius

t

: Eritqꝫue

m \times v . r \times y ∷ p . q

. Quare si supponatur

m = 1

, et

v = p

, ut supra; erit

r y = q

et inde

\frac{q}{r} = y

. Assumantur itaqꝫue duæ quævis æquationes quarum una definiat relationem arearum

s

t

, et altera relationem basium

x

z

et inde per ProbProblema 1 quærantur fluxiones

q

r

, et statuatur

\frac{q}{r} = y

. ExempExemplum 1. Data curva

AFD

sit circulus æquatione

a x - x x = v v

designaturs, et quærantur aliæ curvæ quarum areæ adæquant aream ejus. Ex hypothesi ergo est

s = t

adeoqꝫue et inde

p = q = v

. et

y = (\frac{q}{r} =) \frac{v}{r}

. Superest ut

r

determinetur assumendo relationem aliquam inter bases

x

z

. Veluti si fingas

a x = z z

erit per ProbProblema 1

a = 2 r z

. Quare substitue

\frac{a}{z z}

pro

r

et fiet

y = (\frac{v}{r} =) \frac{2 v z}{a}

. Est autem

v = (\sqrt{} \overline{a x - x x} =) \frac{z}{a} \sqrt{} \overline{a a - z z}

, adeoqꝫue

\frac{2 z z}{a a} \sqrt{} \overline{a a - z z} = y

, æquatio ad curvam cujus area æquatur areæ circuli. Ad eundem modum si fingas

x x = z

, proveniet

2 x = r

, et inde

y = (\frac{v}{r} =) \frac{v}{2 x}

et exterminato

v

x

fiet

y = \frac{\sqrt{} \overline{a z^{\frac{1}{2}} - z}}{2 z^{\frac{1}{2}}}

. 7379 Vel si fingas

c c = x z

, proveniet

0 = z + x r

; et inde

\frac{- v x}{z} = y =

- \frac{c^{3}}{z^{3}} \sqrt{} \overline{a z - c c}

. Atqꝫue ita si fingas

a x + \frac{s}{1} = z

, ope ProbProblema 1 obtinebitur

a + p = r

et inde

\frac{v}{a + p} = y = \frac{v}{a + v}

quæ Curvam Mechanicam designat. ExemplExemplum 2. Detur iterum Circulus

a x - x x = v v

et quærantur Curvæ quarum areae ad aream ejus habeant aliam quamlibet assumptam relationem. Veluti si assumes

c x + s = t

, et præterea fingas

a x = z z

, mediante ProbProblema 1 elicies

c + p = q

a = 2 r z

. Quare est

y = (\frac{q}{r} =) \frac{2 c z + 2 p z}{a}

, et substituto

\sqrt{} \overline{a x - x x}

pro

p

, et

\frac{z z}{a}

pro

x

fit

y = \frac{2 c z}{a} + \frac{2 z z}{a a} \sqrt{} \overline{a a - z z}

. Quod si assumas

s - \frac{2 v^{3}}{3 a} = t

, et

x = z

, invenies ope ProbProblema 1

p - \frac{2 l v v}{a} = q

1 = r

. Adeoqꝫue

y = (\frac{q}{r} =) p - \frac{2 l v v}{a}

sive

= v - \frac{2 l v v}{a}

. Jam vero pro exterminando

l

, æquatio

a x - x x = v v

per ProbProblema 1 dat

a - 2 x = 2 v l

et proinde est

y = \frac{2 v x}{a}

ubi si supprimas

v

x

substituendo valores

\sqrt{} \overline{a x - x x}

z

, emerget

y = \frac{2 z}{a} \sqrt{} \overline{a z - z z}

. Sin assumas

s s = t

, et

x = t t

emerget

2 p s = q

, et

1 = 2 r z

atqꝫue adeò

y = (\frac{q}{r} =) 4 p s z

, et pro

p

x

substitutis

\sqrt{} \overline{a x - x x}

z z

fiet

y = 4 s z z \sqrt{} \overline{a - z z}

æquatio ad Curvam Mechanicam. Ad Exempl:Exemplum 3. Ad eundem modum figuræ assumptam quam relationem ad aliam quamvis datam figuram habentes inveniuntur. Sic datâ Hyperbolâ

c c + x x = v v

, si assumas

s = t

x x = c z

elicies per ProbProblema 1

p = q

2 x = c r

et inde

y (= \frac{q}{r}) = \frac{c p}{2 x}

, et substitutis

\sqrt{} \overline{c c + x x}

pro

p

c^{\frac{1}{2}} z^{\frac{1}{2}}

pro

x

, proveniet

y = \frac{c}{z} \sqrt{} \overline{c z + z z}

y = \frac{c}{2 z} \sqrt{} \overline{c z + z z}

. Atqꝫue ita si assumas

x v - s = t

, et

x x = c z

, elicies

v + l x - p = q

, et

2 x = c r

. Est autem

v = p

et inde

l x = q

. Quare

y (= \frac{q}{r}) = \frac{c l}{2}

. Jam vero

c c + x x = v v

ope ProbProblema 1 dat

x = l v

. Adeóqꝫue est

y = \frac{c x}{2 v}

et substitutis

\sqrt{} \overline{c c + x x}

pro

v

c^{\frac{1}{2}} z^{\frac{1}{2}}

pro

x

, fit

y = \frac{c z}{2 \sqrt{} \overline{c z + z z}}

. ExemplExemplum 4. Ad hæc si detur Cissoides

\frac{x x}{\sqrt{} \overline{a x - x x}} = v

q ad quam relatæ f aliæ figuræ sunt inveniendæ, et ea de causa assumatur

\frac{x}{3} \sqrt{} \overline{a x - x x} + \frac{2}{3} s = t

, finge

\frac{x}{3} \sqrt{} \overline{a x - x x} = h

ejusqꝫue fluxionem

k

et erit

h + \frac{2}{3} s = t

et inde per ProbProblema 1

k + \frac{2}{3} p = q

. AequatioÆquatio autem

\frac{a x^{3} - x^{4}}{9} = h h

dper ProbProblema 1 dat

\frac{3 a x x - 4 x^{3}}{9} = 2 k h

ubi si extermines

h

fiet

k = \frac{3 a x - 4 x x}{6 \sqrt{} \overline{a x - x x}}

. Quare cùm præterea sit

\frac{2}{3} p =

(\frac{2}{3} v =) \frac{4 x x}{6 \sqrt{} \overline{a x - x x}}

erit

\frac{a x}{2 \sqrt{} \overline{a x - x x}} = q

. Porro ad determinandum

z

r

assumatur

\sqrt{} \overline{a a - a x} = z

et ope ProbProblema 1 emerget

- a = 2 r z

sive

r = \frac{- a}{2 z}

. Quare est

y (= \frac{q}{r} = \frac{- z x}{\sqrt{} \overline{a x - x x}} = \sqrt{} \frac{z z x}{a - x} = \sqrt{} a x) = \sqrt{} \overline{a a - z z}

. Quæ æquatio cùm sit ad circulum, habebitur relatio arearum circuli et Cissoidis. Atqꝫue ita si assumpsisses

\frac{2 x}{3} \sqrt{} \overline{a x - x x} + \frac{1}{3} s = t

x = z

prodijsset

y = \sqrt{} \overline{a z - z z}

æquatio denuò ad circulum. Haud secus si detur curva aliqua Mechanica, possunt aliæ ad eam relatæ curvæ Mechanicæ inveniri, sed ad eliciendum Geometricas convenit ut recta aliqua e rectis ab invicem Geometricè noscibilis dependentibus aliqua pro Basi adhibeatur, et ut area ad parallelogrammum complementalis quæratur supponendo fluxionem ejus valere Basin ductam in fluxionem ordinatim applicatæ. ExemplExemplum 5. FigSic Trochoide

ADF

propositâ, refero ad Basin

AB

et completo parallelogrammo

ABDG

quæro complementalem superficiem

ADG

concipiendo descriptam esse per motum rectæ

GD

, et proinde fluxionem ejus valere illam

GB

in celeritatem progrediendi ductam, hoc est

x \times l

. Jam cùm

AL

sit parallela tangenti

DT

, erit

AB

BL

ut fluxio ejusdem

AB

ad fluxionem applicatæ

BD

hoc est ut

1

l

. Quare est

l = \frac{BL}{AB}

, adeóqꝫue

x \times l = BL

, Et proinde area

ADG

describitur fluxione

BL

; Atqꝫue adeo cùm area circularis

ALB

eadem fluxione describátur æquales erunt. FigPari ratione si concipias

ADF

esse figuram arcuum sive sinuum versorum, hoc est cujus applicata

BD

æquatur arcui

AL

: cùm fluxio arcus

AL

sit ad fluxionem Basis

AB

PL

BL

, hoc est

l . 1 ∷ \frac{1}{2} a . \sqrt{} \overline{a x - x x}

erit

l = \frac{a}{2 \sqrt{} \overline{a x - x x}}

. Adeoqꝫue

l \times x

fluxio areæ

ADG

erit

\frac{a x}{2 \sqrt{} \overline{a x - x x}}

. Quare si ad ipsius

AB

punctum

B

recta

a x

æqualis

\frac{a x}{2 \sqrt{} \overline{a x - x x}}

in angulo recto applicari concipiatur, illa ad curvam quandam Geometricam terminabitur cujus area Basi

AB

adjacens æquatur areæ

ADG

. Et sic alijs figuris per arcuum circuli, Hyperbolæ vel cujusvis Curvæ ad arcuum istorum sinus rectos vel vers versos aut alias quasvis geometricè determinabiles rectas lineas in datis angulis applicationem constitutis, æquales Geometricæ 7581 figuræ inveniri possunt. FigCirca Spiralium areas levissimum est negotium. Utpote centro convolutionis

A

radio quovis

AG

descripto arcu

DG

occurrente

AF

G

et spiarali in

D

; cùm arcus ille ad instar lineæ super Basi

AG

incedentis describat Spiralis Aream

AHDG

, ita ut ejus areæ fluxio sit ad fluxionem rectanguli

1 \times AG

, ut arcarcus

GD

1

; si rectam

GL

arcui isti æqualem erigas illa similiter incedendo super eadem

AG

describet aream

ALG

æqualem areæ Spiralis

AHDG

; curvâ

EIL

existente Geometricâ. Et præterea si subtensa

AL

ducatur, erit triangtriangulum

ALG (= \frac{1}{2} AG \times GL = \frac{1}{2} AG \times GD) = sectori AGD

, adeoqꝫue segmenta complementalia segmenta

ALI

ADH

erunt etiam æqualia. Et hæc non tantum Spirali Archimedeæ (ubi

AIL

evadit Parabola Apolloniana) conveniunt, sed et alijs quibuscunqꝫue conveniunt, adeo ut omnes eodem negotio in æquales Geometricas converti possuint. Possem plura hujus construendi Problematis specimina afferre, sed hæc sufficeiant possunt qua cùm sunt cùm sint adeò generalia ut quicquid hactenus circa curvarum areas inventum fuerit, vel ni fallor inveniri possit, aliquo saltem modo complectantur, et utplurimùm leviori curâ sine solitis ambagibus determinaent. Præcipuus autem hujus & præcedentis Problematis usus est, ut assumptis conicis sectionibus vel quibuslibet notæ magnitudinis curvis, aliæ curvæ quæ cum his conferri possunt, investitgentur, et earum definientes æquationes in Catalogum ordinatim disponantur. Et constructo ejusmodi Catalogo, cum curvæ alicujus area quæritur, si æquatio ejus definiens vel immediatè in Catalogo reperiatur, vel in aliam quam Catalogus complectitur transformari potest, exinde cognosces aream ejus. Quinetiam Catalogus ille determinandis Curvarum longitudinibus, centris gravitatum, solidis per convolutionem generatis, solidorum superficiebus, et cuilibet fluenti quantitati per analogam fluxionem generatæ, inservire potest. In præsentia In hujus rei illustrationem accipe impræsentia sequentem curvarum aliquot simpliciorum Catalogum, ubi literæ

F

G

H

datas quasvis quantitates, denotant

x

z

bases; Curvarum

v

y

incedentes applicatas incedentes, ac

s

t

areas Curvarum ut supra denotant Litera autem

v

quantitati

z

suffixa denotat ejusdem

z

dimensionum numerum sive sit integer vel fractus, sive Ast quomodo formandus sit et utendus in sequente Problemate patebit ubi duplicem exhibuimus. affirmativus vel negativus. Veluti si sit

v = 3

, erit

z^{v} = z^{3}

z^{2 v} = z^{6}

, et

z^{v + 1} = z^{4}

z^{- v} = z^{- 3}

sive

\frac{1}{z^{3}}

. et ita si sit

v = 1

vel

- 1

, aut

= \frac{1}{2}

vel

- \frac{1}{2}

erit

z^{v} = z

vel

z^{- 1}

, vel

z^{\frac{1}{2}}

aut

= z^{\frac{1}{2}}

vel

z^{- \frac{1}{2}}

. Et sic in alijs. Præterea

QER

(Fig ) denotat curvam expositam cujus area

+ t

sit

ACEQ

- t

sit

RECQ

. Et sic

PDS

(fig ) denotat conicam sectionem cujus area

+ s

sit

aPDB

vel

APDB

- s

sit

ABDS

: Basi (sive

x

) existente

aB

vel

AB

, applicata (sive

v

)

BD

centro figuræ

A

, vertice

a

rectangulo semidiametro

AP

, tangente

DT

occurrente

AB

T

, Asymptoto

A

ABDO

parallelogrammo rectangulo. Et nota quod

+ s

Expositam Curvam linea

QER

(Fig ) designavi et Conicam sectionem (fig. ) linea

PD

, cujus centrum sit

A

, vertex

a

, rectanguli semidiametri

Aa

AP

, Basis

AB

vel

aB

, ordinatim applicata

BD

, tangens

DT

occurrens

AB

T

et inscriptum vel ascriptum rectangulum

ABDO

Et nota quod

+ s

vel denotat aream Basi

AB

vel

aB

adjacentem esse addendam vel aream ex altera parte

BD

jacentem esse substrahendam et contra

- s

vel denotat aream Basi conterminam esse substrahendam vel aream ex altera parte

BD

addendam esse. Et pari ratione valor

t

cùm affirmativus est designat aream ex parte

CE

versus

A

, areamqꝫue ex altera parte cùm negativus est. Catalogus Curvarum aliquot ad rectilineas figuras relatarum ope ProbProblema 7 constructus.

\begin{matrix} Curvarum & Arearum quantitas. \\ Ordo primus. \\ H z^{v} = y . & \frac{H}{v + 1} z^{v + 1} = t . \\ Ordo secundus \\ 1. \frac{H z^{v}}{v} \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = y . & \frac{2 G z^{v} + 2 F}{3 v G} H \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = t \\ 2. \frac{H z^{2 v}}{v} \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = y . & \frac{6 G G z^{2 v} + 2 F G z^{v} - 4 F F}{15 v G G} H \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = t \\ 3. \frac{H z^{3 v}}{v} \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = y . & \frac{30 G^{3} z^{3 v} + 6 F G G z^{2 v} - 8 F F G z^{v} + 16 F^{3}}{105 G^{3}} H \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = t \\ Ordo tertius \\ 1. \frac{H z^{v - 1}}{\sqrt{} : \overline{F + G z^{v}} :} = y . & \frac{2 H}{v G} \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = t . \\ 2. \frac{H z^{2 v - 1}}{\sqrt{} : \overline{F + G z^{v}}} = y . & \frac{2 G z^{v} - 4 F}{3 v G G} H \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = t . \\ 3. \frac{H z^{3 v - 1}}{\sqrt{} : \overline{F + G z^{v}}} = y . & \frac{6 G G z^{2 v} - 8 G F z^{v} + 16 F F}{15 v G^{3}} H \sqrt{} \overline{F + G z^{v}} = t . \end{matrix}

8375 a Prob:Problema 9. Propositæ alicujus Curvæ aream determinare. Problematis resolutio in eo fundatur ut quantitatum fluentium relatio ex relatione fluxionum (per Prob:Problema 2) deliciatur. Et imprimis si recta

BD

cujus motu quæsita area

AFDB

describitur, super basi

AB

positione datâ erectè incedat, concipe ut supra parallelogrammum

ABEC

a parte ejus

BE

unitatem æquante interea describi. Et posita

BE

fluxione parallelogrammi erit

BD

fluxio areæ quæsitæ. Dic ergo

AB = x

, et erit etiam

ABEC (= 1 \times x) = x

BE = m

dic insuper aream

AFDB = z

, et erit

BD = r

ut et

= \frac{r}{m}

, eo quod sit

m = 1

. Et proin datâ

BD

per æquationem definientem

BD

simul definitur fluxionum ratio

\frac{r}{m}

, et exinde per ProbProblema 2, CasCasum 1, elicietur relatio fluentium quantitatum

x

z

. Exempla 1maprima. Ubi

BD

sive

r

valet simplicem aliquam quantitatem. Detur

\frac{x x}{a} = r

vel

= \frac{r}{m}

æquatio nempe ad Parabolam, et (per ProbProblema 2) emerget

\frac{x^{3}}{3 a} = z

. Est ergo

\frac{x^{3}}{3 a}

sive

\frac{1}{3} AB \times BD =

areæ Parabolicæ

AFDB

. Detur

\frac{x^{3}}{a a} = r

æquatio ad Parabolam secundi generis et (per ProbProblema 2) emerget

\frac{x^{4}}{4 a a} = z

, hoc est

\frac{1}{4} AB \times BD = areæ AFDB

. Detur

\frac{a^{3}}{x x} = r

æquatio ad Hyperbolam secundi generis et emerget Detur

\frac{a^{3}}{x x} = r

sive

a^{3} x^{- 2} = r

æquatio ad Hyperbolam secundi generis, et emerget

- a^{3} x^{- 1} = z

sive

- \frac{a^{3}}{x} = z

: hoc est

AB \times BD =

areæ infinite longæ

HDBH

ex altera parte applicatæ

BD

jacentis, ut innuit valor negativus. Atqꝫue ita si detur

\frac{a^{4}}{x^{3}} = r

, emerget

- \frac{a^{4}}{2 x x} = z

. 75 b Præterea sit

a x = r r

. sive

a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = r

, æquatio iterum ad Parabolam, ope P et proveniet

\frac{2}{3} a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} = z

, hoc est

\frac{2}{3} AB \times BD = areæ AFDB

. Sit

\frac{a^{3}}{x} = r r

, et fiet

2 a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} = z

, =sive

2 AB \times BD = AFDB

. Sit

\frac{a^{5}}{x^{3}} = r r

, et fiet

- \frac{2 a^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = z

, sive

2 AB \times BD = HDBH

. Sit

a x x = r^{3}

, et fiet

\frac{3}{5} a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} = z

, sive

\frac{3}{5} AB \times BD = AFDB

. Et sic in alijs. Exempla 2asecunda. ubi prævia reductio per divisionem requiritusr Exempla 2asecunda. Ubi

r

valet plures ejusmodi terminos connexas quantitates. Sit

x + \frac{x x}{a} = r

, et fiet

\frac{x x}{2} + \frac{x^{3}}{3 a} = z

. Sit

a + \frac{a^{3}}{x x} = r

, et fiet

a x - \frac{a^{3}}{x} = z

. Sit

3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{x x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = r

et fiet

2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x} - 4 x^{\frac{1}{2}} = z

. Exempl:Exempla 3. ubi prævia reductio per divisionem requiritur. Detur

\frac{a a}{b + x} = r

, æquatio ad Hyperbolam Apollonianam et factâ in infinitum divisione, evadet

r = \frac{a a}{b} - \frac{a a x}{b b} + \frac{a a x x}{b^{3}} - \frac{a a x^{3}}{b^{4}} &c

. Et inde per ProbProblema 2 (ut in secundis exemplis) obtinebitur

z = \frac{a a x}{b} - \frac{a a x x}{2 b b}

+ \frac{a a x^{3}}{3 b^{3}} - \frac{a a x^{4}}{4 b^{4}} &c

. Detur

\frac{1}{1 + x x} = r

et per divisionem elicietur

r = 1 - x x + x^{4}

- x^{6} &c

vel etiam

r = \frac{1}{x x} - \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{6}} &c

. Indeqꝫue per propprobproblema 2,

z = x -

\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{7} x^{7} &c = AFDB

vel

z = - \frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{5 x^{5}} &c = HDBH

. Detur

\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}} - 3 x} = r

, et per divisionem evadet

r = 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x

+ 7 x^{\frac{3}{2}} - 13 x^{2} + 34 x^{\frac{5}{2}} &c

et inde per PropProbProblema 2,

z = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - x x + \frac{14}{5} x^{\frac{5}{2}}

- \frac{13}{4} x^{3} + \frac{68}{7} x^{\frac{7}{2}} &c

. 8575 c Exempl:Exempla 4. Ubi prævia reductio per extractionem radicum requiritur. Detur

\sqrt{} \overline{a a + x x} = r

r = \sqrt{} \overline{a a + x x}

æquatio nempe ad Hyperbolam et radice ad usqꝫue terminos infinitè multos extractâ, evatdet

r = a + \frac{x x}{2 a} - \frac{x^{4}}{8 a^{3}} + \frac{x^{6}}{16 a^{5}} - \frac{5 x^{8}}{112 a^{7}} &c

Atqꝫue inde ut in præcedentibus

z = a x + \frac{x^{3}}{6 a} - \frac{x^{5}}{40 a^{3}} + \frac{x^{7}}{112 a^{5}} - \frac{5 x^{9}}{1008 a^{7}} &c

&c. Ad eundem modum si detur

r = \sqrt{} \overline{a a - x x}

æquatio scilicet ad circulum, obtinebitur

z = a x - \frac{x^{3}}{6 a} - \frac{x^{5}}{40 a^{3}} - \frac{x^{7}}{112 a^{5}} - \frac{5 x^{9}}{1008 a^{7}} &c

. Atqꝫue ita si detur

r = \sqrt{} \overline{x - x x}

æquatio iterum ad circulum proveniet extrahendo radicem

r = x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{8} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{16} x^{\frac{7}{2}} &c

adeoqꝫue est

z = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}

- \frac{1}{28} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{72} x^{\frac{9}{2}} &c

. Sic

r = \sqrt{} \overline{a a + b x - x x}

æquatio denuò ad circulum per extractionem radicis dat

r = a + \frac{b x}{2 a} - \frac{x x}{2 a} - \frac{b b x x}{8 a^{3}} &c

unde per PropProbProblema 2 elicitur

z = a x + \frac{b x x}{4 a} - \frac{x^{3}}{6 a} - \frac{b b x^{3}}{24 a^{3}} &c

. Et sic

\sqrt{} \frac{1 + a x x}{1 - b x x} = r

, per debitam reductionem dat

\begin{matrix} r = 1 & \begin{matrix} + & \frac{1}{2} b x^{2} \\ + & \frac{1}{2} a \end{matrix} & \begin{matrix} + & \frac{3}{8} b b x^{4} \\ + & \frac{1}{4} a b \\ - & \frac{1}{8} a a \end{matrix} & &c. \end{matrix}

. Unde per PropProbProblema 2 fit

\begin{matrix} z = x & \begin{matrix} + & \frac{1}{6} b x^{3} \\ + & \frac{1}{6} a \end{matrix} & \begin{matrix} + & \frac{3}{40} b b x^{5} \\ + & \frac{1}{20} a b \\ - & \frac{1}{40} a a \end{matrix} & &c. \end{matrix}

. Sic deniqꝫue

r = \sqrt{} 3: \overline{a^{3} + x^{3}}

per extractionem radicis cubicæ dat

r = a + \frac{x^{3}}{3 a a} - \frac{x^{6}}{9 a^{5}} + \frac{5 x^{9}}{81 a^{8}} &c

. Indeqꝫue

z = a x + \frac{x^{4}}{12 a a} - \frac{x^{7}}{63 a^{5}} + \frac{x^{10}}{162 a^{8}} &c = AFDB

. vel etiam

r = x + \frac{a^{3}}{3 x x} - \frac{a^{6}}{9 x^{5}} + \frac{5 a^{9}}{81 x^{8}} &c

. Indeqꝫue

z = \frac{x x}{2} - \frac{a^{3}}{3 x} + \frac{a^{6}}{36 x^{4}} - \frac{5 a^{9}}{567 x^{7}} &c = HDBH

. Exempl:Exempla 5. Ubi prævia reductio per æquationis affectæ resolutionem exigitur requiritur. Si curva per æquationem

r^{3} + a a r + a x r - 2 a^{3} - x^{3} = 0

definiatur, extrahe radicem affectam

r

et proveniet

r = a - \frac{x}{4}

+ \frac{x x}{64 a} + \frac{131 x^{3}}{512 a a} &c

. Unde ut in prioribus obtinebitur

z = a x - \frac{x x}{8}

+ \frac{x^{3}}{192 a} + \frac{131 x^{4}}{2048 a a} &c

. Sic æquationis

r^{3} + r r + r - x^{3} = 0

radix est Sin

r^{3} - c r r - 2 x x r - c c r + 2 x^{3} + c^{3} = 0

sit æquatio ad curvam resolutio dabit triplicem radicem nempe

r = c + x - \frac{x x}{4 c} + \frac{x^{3}}{32 c c} &c

r = c - x + \frac{3 x x}{4 c} - \frac{15 x^{3}}{32 c c} &c

, et

r = - c - \frac{x x}{2 c} - \frac{x^{3}}{2 c c} + \frac{x^{5}}{4 c^{4}} &c

et inde trium correspondentium arearum valores

z = c x + \frac{1}{2} x x - \frac{x^{3}}{12 c} + \frac{x^{4}}{128 c c} &c

z = c x - \frac{1}{2} x + \frac{x^{3}}{4 c} - \frac{15 x^{4}}{128 c c} &c

, ac

z = - c x - \frac{x^{3}}{6 c} - \frac{x^{4}}{6 c c} + \frac{x^{6}}{24 c^{4}} &c

. 75 d De Curvis Mechanicis hic nihil adjicio, siquidem reductio ad formam Geometricarum post ostenditur. Cæterum cum sic inventi valores

z

areis quandoqꝫue ad Basis finitam partem

AB

, quandoqꝫue ad partem

BH

infinitè versus

H

productam, et quandoqꝫue ad utramqꝫue partem sitis secundum diversos eorum terminos competant: quò debitus areæ ad quamlibet Basis portionem sitæ valor assignetur, Area illa semper ponenda est æqualis differentiæ valorum

z

partibus Basis ad initium et finem istius areæ terminatis competentium. E. G.Exempli Gratia. Ad curvam quam æquatio

\frac{1}{1 + x x} = r

definit inventum est

z = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} &c

. Jam ut quantitatem areæ

bdDB

adjacentis parti Basis

bB

determinem, a valore

z

qui fit scribendo ponendo

AB = x

subduco valorem

z

qui fit ponendo

Ab = x

, et (distinctionis gratia scriptâm

X

majuscula pro

AB

) et

x

minusculâm pro

Ab

) restat

X - \frac{1}{3} X^{3} + \frac{1}{5} X^{5} &c - x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} &c

valor areæ illius

bdDB

. Unde si

Ab

seu

x

ponatur nullum habebitur tota area

AFDB = X - \frac{1}{3} X^{3} + \frac{1}{5} X^{5} &c

. Ad eandem Curvam inventum est etiam

z = - \frac{1}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{5 x^{5}} &c

unde rursus ut ante invenitur juxta præcedentia erit area illa

bdDB

= \frac{1}{x} - \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{1}{5 x^{5}} &c - \frac{1}{X} + \frac{1}{3 X^{3}} - \frac{1}{5 X^{5}} &c

. Adeoqꝫue si

AB

seu

x

statuatur infinitum, area adjacens

bdH

a parte

H

similiter infinite longa valebit

\frac{1}{x} - \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{1}{5 x^{5}} &c

. Siquidem posterior series

- \frac{1}{X} + \frac{1}{3 X^{3}} - \frac{1}{5 X^{5}} &c

propter infinitatem denominatorum evanescat. Ad Curvam æquatione

a + \frac{a^{3}}{x x} = r

designatam, inventum est

a x - \frac{a^{3}}{x} = z

. Unde fit

a X - \frac{a^{3}}{X} - a x + \frac{a^{3}}{x} = areæ bdDB

. Haec autem evadit infinita sive

x

fingatur nulla sive

X

infinita et proinde utraqꝫue area

AFDB

bdH

infinitè magna est, ac solæ partes intermediæ (qualis

bdDB

) exhiberi possunt. Id quod semper evenit ubi basis

x

tcum in numeratoreibus aliquorum tum in denominatoribus aliorum terminorum valoris

z

reperitur. Ubi vero

x

in numeratoribus solummodo, ut in primo exemplo, reperitur; valor

z

competit areæ sitæ ad

AB

cis parallelè incedentem. Et ubi in denominatoribus tantùm, ut in secundo exemplo; valor ille mutatis omnium terminorum signis, competit areæ omni ultra parallelè incedentem infinitè productæ. Siquando Curva linea secat Basin inter puncta

b

B

puta in

E

, vice areæ habebitur arearum ad diversas Basis partes differentia

bdE - BDE

, ad diversas partes cui si addatur rectangulum

BDGb

obtinebitur area

dEDG

8775 e2 Præcipuè audtem notandum est quod ubi in valore

r

terminus aliquis per

x

unius tantùm dimensionis dividitur, area illi termino correspondens pertinet ad Hyperbolam conicam et proinde per infinitam seriem seorsim exhibenda est; quemadmodum in sequentibus factum. Sit

\frac{a^{3} - a a x}{a x + x x} = r

æquatio ad Curvam et per divisionem fiet

r = \frac{a a}{x} - 2 a + 2 x - \frac{2 x x}{a} + \frac{2 x^{3}}{a a} &c

. Indeqꝫue

z = \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix} - 2 a x + x x

- \frac{2 x^{3}}{3 a} + \frac{x^{4}}{2 a a} &c

. Adeo Et area

bdDB = \begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix} - 2 a X + X^{2} - \frac{2 X^{3}}{3 a} &c

- \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix} + 2 a x - x x + \frac{2 x^{3}}{3 a} &c

. Ubi per notas

\begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix}

designo areolas terminis

\frac{a a}{X}

\frac{a a}{x}

. Jam ut

\begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix}

investigetur, fingo

Ab

seu

x

def datam definitam esse et

bB

indefinitam seu fluentem lineam, quam itaqꝫue si dicam

y

, erit

\begin{matrix} \frac{a a}{x + y} \end{matrix} =

areæ isti Hyperbolicæ adjacenti

bB

, nempe

\begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix}

. Est autem, factâ divisione,

\frac{a a}{x + y} = \frac{a a}{x} - \frac{a a y}{x x} + \frac{a a y y}{x^{3}} - \frac{a a y^{3}}{x^{4}}

&&c. Adeoqꝫue

\begin{matrix} \frac{a a}{x + y} \end{matrix}

seu

\begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix} = \frac{a a y}{x} - \frac{a a y y}{2 x x} + \frac{a a y^{3}}{3 x^{3}} - \frac{a a y^{4}}{4 x^{4}} &c

. Et proinde tota area quæsita

bdDB = \frac{a a y}{x} - \frac{a a y y}{2 x x} + \frac{a a y^{3}}{3 x^{3}} &c - 2 a X

+ X X - \frac{2 X^{3}}{3 a} &c + 2 a x - x x + \frac{2 x^{3}}{3 a} &c

. Ad eundem modum

AB

seu

X

pro definita linea dadhiberi potuit et sic prodijsset

\begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix} = \frac{a a y}{X} - \frac{a a y y}{2 X X} + \frac{a a y^{3}}{3 X^{3}} - \frac{a a y^{4}}{4 X^{4}} &c

. Quinetiam si bisecetur

bB

C

et assumatur

AC

esse definitæ longitudinis et

Cb

CB

indefinitæ. Tum dicto

AC = e

Cb

vel

CB = y

, erit

\frac{a a}{e - y}

bd = \frac{a a}{e - y} = \frac{a a}{e} + \frac{a a y}{e e} + \frac{a a y y}{e^{3}}

+ \frac{a a y^{3}}{e^{4}} + \frac{a a y^{4}}{e^{5}} &c

, indeqꝫue area Hyperbolica parti Basis

bC

adjacens

\frac{a a y}{e} + \frac{a a y y}{2 e e}

+ \frac{a a y^{3}}{3 e^{3}} + \frac{a a y^{4}}{4 e^{4}} + \frac{a a y^{5}}{4 e^{5}} &c

. Erit etiam

CB = \frac{a a}{e + y} = \frac{a a}{e}

- \frac{a a y}{e e} + \frac{a a y y}{e^{3}} - \frac{a a y^{3}}{e^{4}} + \frac{a a y^{4}}{e^{5}} &c

et inde area alteri basis parti

CB

adjacens

\frac{a a y}{e} - \frac{a a y y}{2 e e} + \frac{a a y^{3}}{3 e^{3}} - \frac{a a y^{4}}{4 e^{4}} + \frac{a a y^{5}}{4 e^{5}} &c

. Et harum arearum summa

\frac{2 a a y}{e} + \frac{2 a a y^{3}}{3 e^{3}} + \frac{2 a a y^{5}}{3 e^{5}} &c

valebit

\begin{matrix} \frac{a a}{X} \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{a a}{x} \end{matrix}

. Sic æquatione

r^{3} + r r + r - x^{3} = 0

ad Curvam existente, ejus radix erit

r = x - \frac{1}{3} - \frac{2}{9 x} + \frac{7}{81 x x} + \frac{5}{81 x^{3}} &c

. Unde fit 75 f

z = \frac{1}{2} x x - \frac{1}{3} x - \begin{matrix} \frac{2}{9 x} \end{matrix} - \frac{7}{81 x} - \frac{5}{162 x x} &c

, et area

bdDB = \frac{1}{2} X X

- \frac{1}{3} X - \begin{matrix} \frac{2}{9 X} \end{matrix} - \frac{7}{81 X} &c - \frac{1}{2} x x + \frac{1}{3} x + \begin{matrix} \frac{2}{9 x} \end{matrix} + \frac{7}{81 x} &c

, hoc est

= \frac{1}{2} X X - \frac{1}{3} X - \frac{7}{81 X} &c - \frac{1}{2} x x + \frac{1}{3} x + \frac{7}{81 x} &c - \frac{4 y}{9 e}

- \frac{4 y^{3}}{27 e^{3}} - \frac{4 y^{5}}{45 e^{5}} &c

. Potest autem terminus iste Hyperbolicus utplurimùm commodè devitari mutando initium Basis, id est, augendo vel minuendo eam per datam aliquam quantitatem. Quemadmodum in exemplo priori ubi

\frac{a^{3} - a a x}{a x + x x} = r

erat æquatio ad Curvam, si faciam

b

esse initium Basis, et fingents

Ab

cujuslibet esse determinatæ longitudinis puta

\frac{1}{2} a

, pro Basis residuo

bB

jam scribam

x

: Hoc est si diminuam Basem per

\frac{1}{2} a

scribendo

x + \frac{1}{2} a

pro

x

: evadet

\frac{\frac{1}{2} a^{3} - a a x}{\frac{3}{4} a a + 2 a x + x x} = r

, et per divisionem

r = \frac{2}{3} a - \frac{28}{9} x +

\frac{200 x x}{27 a} &c

. Unde fit

z = \frac{3}{2} a x - \frac{14}{9} x x + \frac{200 x^{3}}{81 a} &c = areæ bdDB

. Et sic adhibendo aliud atqꝫue aliud initium Basis punctum pro initio ejus Et sic pro initio Basis adhibendo aliud atqꝫue aliud ejus punctum, potest area cujusvis curvæ modis infinitis exprimi. Potuit etiam æquatio

\frac{a^{3} - a a x}{a x + x x} = r

in duas series infinitas resolvi prodeunte

r = \frac{a^{3}}{x x} - \frac{a^{4}}{x^{3}} + \frac{a^{5}}{x^{4}} &c - a + x - \frac{x x}{a} + \frac{x^{3}}{a a} &c

ubi terminus per

x

unius tantùm dimensionis divisus non reperitur. Sed hujusmodi series, ubi dimensiones

x

in unius numeratoribus et alterius denominatoribus infinitè ascendunt, minùs aptæ sunt ex quibus

z

per computum Arithmeticum obtineri possit, ubi cùm in ejus valore nubmeri pro speciebus substituuntur. Instituenti computum hujusmodi numerosum, postquam valor areæ in speciebus habetur, haud aliquid difficile occurret. Tamen in præcedentem doctrinam penitiùs illustrandam exemplum unum et alterum subjungere placuit. Proponatur Hyperbola

AD

quam æquatio

\sqrt{} \overline{x + x x} = r

designat, utpote cujus vertex est ad

A

, et uterqꝫue Axis æquatur unitati. Et e præcedentibus Area ejus

ADB

erit

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}

- \frac{1}{28} x^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{72} x^{\frac{9}{2}} - \frac{5}{704} x^{\frac{11}{2}} &c

hoc est

x^{\frac{1}{2}} in \frac{2}{3} x + \frac{1}{5} x x - \frac{1}{28} x^{3} + \frac{1}{72} x^{4}

8975 g3

- \frac{5}{704} x^{5} &c

. Quæ series infinitè producitur multiplicando ultimum terminum continuò per succedaneos terminos hujus progressionis

\frac{1,3}{2,5} x

\frac{- 1,5}{4,7} x

\frac{- 3,7}{6,9} x

\frac{- 5,9}{8,11} x

\frac{- 7,11}{10,13}

\frac{- 7,11}{10,13} x

&c. Nempe primus terminus

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} in \frac{1,3}{2,5} x

facit

\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}

secundum terminum. Hic

in \frac{- 1,5}{4,7} x

facit

- \frac{1}{28} x^{\frac{7}{2}}

tertium terminum. Hic

in \frac{- 3,7}{6,9} x

facit

\frac{1}{72} x^{\frac{9}{2}}

quartum terminum. Et sic in infinitum. Sumatur jam

AB

seu

x

cujuslibet longitudinis puta

\frac{1}{4}

, et hunc numerum scribe pro

x

ejusqꝫue radicem

\frac{1}{2}

pro

x^{\frac{1}{2}}

, et primus terminus

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}

sive

\frac{2}{3} \times \frac{1}{8}

in decimalem fractionem reductus evadit

0,08333333

&c. Hic

in \frac{1,3}{2,5,4}

facit

0,00625

secundum terminum. Hic

in \frac{- 1,5}{4,7,4}

facit

- 0,0002790178

&c tertium terminum. Et sic in infinitum. Terminos autem quos sic gradatim elicio dispono in duas Tabulas affirmativos nempe in unam et negativos in aliam, et addo, ut hic vides.

\begin{matrix} \begin{array}{r} \begin{array}{r} + 0,08333,33333,333333 \\ 625,00000,000000 \\ 2,71267,361111 \\ 5135,169396 \\ 144,628917 \\ 4,954581 \\ 190948 \\ 7963 \\ 352 \\ 16 \\ 1 \end{array} \\ + 0,08961,09885,646618 \end{array} & \begin{array}{r} \begin{array}{r} - 0,00027,90178,571429 \\ 34679,066051 \\ 834,465027 \\ 26,285354 \\ 961296 \\ 38676 \\ 1663 \\ 75 \\ 4 \end{array} \\ - 0,00028,25719,389575 \end{array} \end{matrix}

. Dein a summa affirmativorum aufero summam negativorum et restat

0,0893284166257043

quantitas areæ Hyperbolicæ

ADB

quam quærere oportuit. Proponatur jam circulus

AdF

quem æquatio

\sqrt{} \overline{x - x x} = r

designat, hoc est cujus diameter

AF

sit unitas, et e præcedentibus area ejus AdDAdB erit

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{28} x^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{72} x^{\frac{9}{2}} &c

. In qua serie cùm termini non differant a terminis seriei supra exprimentis aream Hyperbolicam nisi in signis

+

-

, nihil aliud agendum restat quam ut eosdem numerales terminos cum alijs signis nectamus, subducendo nempe connexas ambarum præfatarum Tabularum summas

0,0898935605036193

75 h a primo termino duplicato

0,1666666666666666

et residuum

0,0767731061630473

erit areæ circularis portio

AdB

, posito scilicet

AB

quadrante diametri. sive Atqꝫue ita videre est quod etsi areæ circuli et Hyperbolæ non conferantur ratione geometrica, tamen utraqꝫue eodem computo arithmetico prodit. Inventa circuli portione

AdB

, exinde tota area facilè eruitur. Nempe radio

dC

acto, duc

Bd

seu

\frac{1}{4} \sqrt{} 3 in BC

seu

\frac{1}{4}

et facti dimidium

\frac{1}{32} \sqrt{} 3

seu

0,0541265877365274

valebit triangulum

CdB

, quod adde areæ

AdB

et habebitur Sector

ACd

= 0,1308996938995747

cujus sextuplum

0,7853981633974482

est area tota. Et hinc obiter exit peripheriæ longitudo

3,1415926535897928

, dividendo nempe aream per quadrantem diametri. Hisce calculum areæ inter Hyperbolam

dFD

et ejus Asymptoton

CA

interjectæ subnectimus. Sit

C

centrum Hyperbolæ et posito

CA = a

AF = b

, et

AB = Ab = x

; erit

\frac{a b}{a + x} = BD

, et

\frac{a b}{a - x} = bd

et inde area

AFDB = b x - \frac{b x x}{2 a} + \frac{b x^{3}}{3 a a} - \frac{b x^{4}}{4 a^{3}} &c

, et area

AFdb = b x + \frac{b x x}{2 a} + \frac{b x^{3}}{3 a a} + \frac{b x^{4}}{4 a^{3}} &c

ac earum summa

bdDB = 2 b x + \frac{2 b x^{3}}{3 a a} + \frac{2 b x^{5}}{5 a a} + \frac{2 b x^{7}}{7 a a} &c

. Ponamus jam

CA = AF = 1

, et

Ab

vel

AB = \frac{1}{10}

, existente

Cb = 0,9

CB = 1,1

: et substituendo hos numeros pro

a

b

x

, primus seriei terminus evadet

0,2

, secundus

0,00066666 &c

, tertius

0,000004

, et sic deinceps ut vides in hac Tabula

\begin{matrix} Summa & \begin{array}{r} \begin{array}{r} 0,20000,00000,000000 \\ 66,66666,666666 \\ 40000,000000 \\ 285,714286 \\ 2,222222 \\ 18182 \\ 154 \\ 1 \end{array} \\ 0,20067,06954,621511 \end{array} & = areæ bdDB \end{matrix}

. Et omnium summa

0,20067069

&c est area

bdDB

. Quod si areæ hujus partes

Ad

AD

seorsim desiderentur subduc minorem

AD

e majori

Ad

et restabit

\frac{b x x}{a} + \frac{b x^{4}}{2 a^{3}} + \frac{b x^{6}}{3 a^{5}} + \frac{b x^{8}}{4 a^{7}} &c

. 9175 i4 Ubi si

1

scribatur pro

a

b

, ac

\frac{1}{10}

pro

x

, termini in decimales redacti conficient sequentem Tabulam

\begin{matrix} Summa & \begin{array}{r} \begin{array}{r} 0,01000,00000,000000 \\ 5,00000,000000 \\ 3333,333333 \\ 25,000000 \\ 200000 \\ 1667 \\ 1 \end{array} \\ 0,01005,03358,535014 \end{array} & = Ad - AD \end{matrix}

. Jam si hæc arearum differentia addatur et auferatur summæ earum priùs inventæ, aggregati dimidium

0,10536,05156,578263

erit major area

Ad

, et residui dimidium

0,09531,01798,043248

minor

AD

. Per easdem Tabulas obtinentur etiam areæ illæ

AD

Ad

ubi

AB

Ab

ponuntur

\frac{1}{100}

sive

CB = 1,01

Cb = 0,99

si modo numeri in depressiora loca debitè transferantur ut hic videre est

\begin{matrix} \begin{matrix} Su \overline{m} & \begin{array}{r} \begin{array}{r} 0,02000,00000,000000 \\ 6666,666667 \\ 400000 \\ 28 \end{array} \\ 0,02000,06667,066695 \end{array} & = bD . \end{matrix} & \begin{matrix} Sum & \begin{array}{r} \begin{array}{r} 0,00010,00000,000000 \\ 50,000000 \\ 3333 \end{array} \\ 0,00010,00050,003333 \end{array} & = Ad - AD . \end{matrix} \end{matrix}

\frac{1}{2} Aggreg 0,01005,03358,535014 = Ad

\frac{1}{2} Resid 0,00995,03308,531681 = AD

. Et sic positis

AB

Ab

\frac{1}{1000}

seu

CB = 1,001

Cb = 0,999

, obtinebitur

Ad = 0,00100,05003,335835

AD = 0,00099,95003,330835

. Ad eundem modum si stantibus

CA

AF = 1

, ponatntur

AB

Ab = 0,2

vel

= 0,02

vel

= 0,002

elicientur alreæ illæ, nempe

\begin{array}{l} Ad = 0,22314,35513,142097, & et & AD = 0,18232,15567,939546 \\ vel & Ad = 0,02020,27073,175194, & et & AD = 0,01980,26272,961797 \\ vel & Ad = 0,002002 & et & AD = 0,001 \end{array}

Ex inventis hisce areis jam facile est alias per solam additionem et subductionem derivare. Utpote cum sit

\frac{1,2}{0,8} in \frac{1,2}{0,9} = 2

, arearum pertinentium ad rationes

\frac{1,2}{0,8}

\frac{1,2}{0,9}

(hoc est, insistentium partibus Basis

1,2 - 0,8

1,2 - 0,9

) summa

0,6931471805599453

erit area

AFδβ

, existente

Cβ = 2

, ut notum est. Dein cum sit

\frac{1,2}{0,8} in 2 = 3

, arearum pertinentium ad

\frac{1,2}{0,8}

2

summa

1,0986122886681097

erit area

AFδβ

, existente

Cβ = 3

. Pariter cùm sit

\frac{2 in 2}{0,8} = 5

, et

2 in 5 = 10

, per debitam arearum additionem obtinebitur

1,1312925464970228 = Aδ

existente

Cβ = 5

, et

1,6093379124341004 = AFδβ

, existente 75 j

Cβ = 5

, et

2,3025850929940457 = AFδβ

existente

Cβ = 10

. Atqꝫue ita cùm sit

10 in 10 = 100

, et

10 in 100 = 1000

, et

\sqrt{} \overline{5 in 10 in 0,98} = 7

, et

10 in 1,1 = 11

, et

\frac{1000 in 1,001}{7 in 11} = 13

\frac{100 in 1,02}{2 in 3} = 17

, et

\frac{1000 in 0,999}{3 in 3 in 3} = 37

, et

\frac{1000 in 1,002}{2 in 3 in 3}

100 in 1,01 = 101

, et

\frac{1000 in 1,002}{2 in 3} = 167

, et

\frac{1000 in 0,998}{2} = 499

. patet aream

AFδβ

per arearum supra inventarum compositionem inveniri posse, existente

Cβ = 100

;

1000

;

7

; aut alio quolibet e recensitis numeris, Id quod et stante

AB = BF = 1

CA = AF = 1

.Id quod significare volui ut Methodus construendo Logarithmorum Canoni aptissima pateret quæ areas Hyperbolicas (ex quibus Logarithmi facilè deducuntur) tot numeris primis correspondentes, quasi per binas tantum haud molestas operationes determinat. Cæterùm cùm Canon iste ex hoc fonte præ cæteris feliciter depromitur videatur, quid si Constructionem ejus coronidis loco perstringam. Imprimis itaqꝫue assumpto

0

pro Logarithmo numeri

1

, et

1

pro Logarithmo numeri

10

ut solet, investigandi sunt Logarithmi primorum numerorum

2

3

5

7

11

13

17

37

, &c,

101

, et

167

, et

499

. Id quod fit dividendo inventas areas Hyperbolicas per

2,3025850929940457

aream nempe correspondentem numero

10

, vel quod eodem recidit, multiplicando per ejus reciprocum

0,4342944819032518

. Sic enim e.g. Si

0,69314718

&c area correspondens numero

2

dat

0,3010

si multiplicetur per

0,43429

&c facit

0,30102999566398128

Logarithmum numeri

2

facit

0,3010299956639812

Logarithmum numeri

2

. Deinde Logarithmi numerorum omnium in Canone qui ex horum multiplicatione fiunt indagandi sunt per additionem eorum Logarithmorum, ut solet, et loca vacua postmodum interpolanda ope hujus Theorematis. Sit

n

numerus Logarithmo donandus,

x

differentia inter illum et proximos numeros hinc inde æqualiter distantes quorum logarithmi inventi sunt, habentur logarithmus minoris numeri ac et

d

semissis differentiæ logarithmorum, et quæsitus Logarithmus numeri

n

erit obtinebitur addendo

d + \frac{d x}{2 n} + \frac{d x^{3}}{12 n^{3}}

logarithmo minoris numeri. Nam si numeri exponantur per

Cp

Cβ

CP

. Et existente rectangulo

CBD

vel

Cβδ = 1

ut supra, ac erectis parallelè incedentibus

pq

PQ

, si pro

Cβ

n

scribatur pro

Cβ

x

pro

βp

vel

BP

erit area

pqQP

sive

\frac{2 x}{n} + \frac{2 x^{3}}{3 n^{3}} + \frac{2 x^{5}}{5 n^{5}} &c

ad aream

pqδβ

9375 k5 sive

\frac{x}{n} + \frac{x x}{2 n n} + \frac{x^{3}}{3 n^{3}} &c

, ut differentia inter logarithmos extremorum numerorum sive

2 d

, ad differentiam inter logarithmos mimos minoris et medij, quæ proinde erit

\frac{\frac{d x}{n} + \frac{d x x}{2 n n} + \frac{d x^{3}}{3 n^{3}} &c}{\frac{x}{n} + \frac{x^{3}}{3 n} + \frac{x^{5}}{5 n} &c}

, hoc est facta fdivisione

d + \frac{d x}{2 n} + \frac{d x^{3}}{12 n^{3}} &c

. Hujus autem seriei duos primos terminos

d + \frac{d x}{2 n}

pro Canone construendo sat accuratos existimo etiamsi ad usqꝫue quatuordecim vel forte quindecim figurarum loca logarithmi producerentur, si modò numerus logarithmo donandus non sit minor quam

1000

. Quod sane calculum haud difficilem præbere potest siquidem

x

utplurimùm erit unitas vel numerus binarius. Non opus est tamen omnia loca beneficio hujus regular interpolare. Nam logarithmi numerorum qui prodeunt e multiplicatione vel divisione numeri novissimè transacti per numeros quorum logarithmi prius habebantur obtineri possunt per additionem vel divi subductionem eorum logarithmorum. Quinetiam observando analogiam inter per differentias logarithmorum et illarum differentiarum secundas differentias tertiasqꝫue Ssi opus est, loca vacua expeditiùs impleri possunt, adhibitâ tantùm prædictâ regulâ ubi ad obtinenduum illas differentias continuatio aliquot locorum plenorum de desideratur. Eadem methodo Regulæ pro intercalatione Logarithmorum inveniri possunt ubi e tribus æqualiter differentibus numeris numeris in Aruthmetica progressione continuè proportionabus numeris dantur logarithmi minoris et medij, vel medij et majoris, vel etiam ubi

d

idqꝫue licet numeri non sint in Arithmetica progressione. Imò et hujus methodi vestigijs insistendo loca vacua Regulæ pro construendis artificialium sinuum et Tangentium Tabulis sine adminiculo naturalium haud difficulter depromi possunt. Sed hæc in transitu. 75 l Hactenus Curvarum tantùm simpliciorum areas per finitas æquationes exhibuimus, aliarum verò quæ per æquationes minùs simplices definiuntur Quadraturam mediante reductione in æquationes ex infinite multis terminis simplicibus constantes ostendimus. Cum verò ejusmodi curvæ per finitas etiam æquationes nonnunquam quadrari possint vel saltem comparari cum alijs curvis quarum areæ faciliùs inveniuntur quodammodo pro cognitis habeantur, quales sunt sectiones conicæ: eapropter sequentes duos Theorematum catalogos in illum usum ope Propositionis 7æseptimæ & 8æoctavæProblematis 7iseptimi & 8ioctavi ut promisimus constructos, jam visum est adjungere. Horum prior exhibet areas curvarum quæ quadrari possunt, et posterior complectitur curvas quarum areæas cum areis conicarum sectionum conferre liceat. In utrisqꝫue literæ latinæ

d

e

f

g

, &

h

datas quasvis quantitates,

x

z

bases9577 In hujus rei illustrationem accipe impræsentia sequentem curvarum aliquot simpliciorum Catalogum, ubi

d

e

f

g

, et

h

datas quasvis quantitates,

x

z

bases curvarum,

v

y

parallelè incedentes applicatas, et

s

t

areas ut supra denotant. Graecæ autem

η

θ

quantitati

z

suffixæ denotant ejusdem

z

dimensionum numerum sive sit integer vel fractus, sive affirmativus aut negativus. Veluti si sit

η = 3

erit

z^{η} = z^{3}

z^{2 η} = z^{6}

z^{- η} = z^{- 3}

sive

\frac{1}{z^{3}}

z^{η + 1}

vel

z^{\begin{array}{r} η \\ + 1 \end{array}} = z^{4}

, &

z^{η - 1}

vel

z^{\begin{array}{r} η \\ - 1 \end{array}} = z z

. Insuper in valoribus arearum abbreviandi causâ scribitur

R

vice radicalis illius

\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}

vel

\sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}

quâ valor applicatæ incedentis

y

afficitur. Catalogus Curvarum aliquot ad rectilineas figuras relatarum, ope ProbProblematis 7 constructus.

\begin{matrix} Curvarum \\ Ordo primus. & Arearum valores. \\ d z^{η - 1} = y . & \frac{d}{η} z^{η} = t . \\ Ordo secundus. \\ \frac{d z^{η - 1}}{e e + 2 e f z^{η} + f f z^{2 η}} = y . & \frac{d z^{η}}{η e e + η e f z^{η}} = t, vel \frac{- d}{η e f + η f f z^{η}} = t . \\ Ordo tertius. \\ 1. d z^{\begin{array}{r} η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{2 d}{3 η f} R^{3} = t . \\ 2. d z^{\begin{array}{r} 2 η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{- 4 e + 6 f z^{η}}{15 η f f} d R^{3} = t . \\ 3. d z^{\begin{array}{r} 3 η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{16 e e - 24 e f z^{η} + 30 f f z^{2 η}}{105 η f^{3}} d R^{3} = t . \\ 4. d z^{\begin{array}{r} 4 η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{- 96 e^{3} - 144 e e f z^{η} - 180 e f f z^{2 η} + 210 f^{3} z^{3 η}}{945 η f^{4}} d R^{3} = t . \\ Ordo quartus. \\ 1. \frac{d z^{η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{2 d}{η f} R = t . \\ 2. \frac{d z^{2 η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{- 4 e + 2 f z^{η}}{3 η f f} d R = t . \end{matrix}

\begin{matrix} 3. \frac{d z^{3 η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{16 e e + 8 e f z^{η} + 6 f f z^{2 η}}{15 η f^{3}} d R = t . \\ 4. \frac{d z^{4 η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{- 96 e^{3} + 48 e e f z^{η} - 36 e f f z^{2 η} + 30 f^{3} z^{3 η}}{105 η f^{4}} d R = t . \end{matrix}

His adjiciantur sequentia magis generalia Theoremata quibus via ad altiora sternitur.

\begin{matrix} Ordo quintus. & Arearum valores. \\ 1. 2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 3 η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} in \frac{1}{2} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & z^{θ} R^{3} = t . \\ 2. 2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 3 η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 6 η \end{array} g z^{\begin{array}{r} θ \\ + 2 η \\ - 1 \end{array}} in \frac{1}{2} \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & z^{θ} R^{3} = t . \\ Ordo sextus. \\ 1. \frac{2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}}}{2 \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & z^{θ} R = t . \\ 2. \frac{2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 2 η \end{array} g z^{\begin{array}{r} θ \\ + 2 η \\ - 1 \end{array}}}{2 \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}} = y . & z^{θ} R = t . \\ Ordo septimus . \\ 1. \frac{2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ - η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}}}{e + f z^{η} in 2 \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{z^{θ}}{R} = t . \\ 2. \frac{2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ - η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ - 2 η \end{array} g z^{\begin{array}{r} θ \\ + 2 η \\ - 1 \end{array}}}{e + f z^{η} + g z^{2 η} in 2 \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}} = y . & \frac{z^{θ}}{R} = t . \\ Ordo octavus . \\ 1. \frac{2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ - 2 η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}}}{e e + 2 e f z^{η} + f f z^{2 η}} = 2 y . & \frac{z^{θ}}{R R} (sive \frac{z^{θ}}{e + f z^{η}}) = t . \\ 2. \frac{2 θ e z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ - 2 η \end{array} f z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{r} + 2 θ \\ - 4 η \end{array} g z^{\begin{array}{r} θ \\ + 2 η \\ - 1 \end{array}}}{e e + 2 e f z^{η} \begin{array}{r} + f f \\ + 2 e g \end{array} z^{2 η} + 2 f g z^{3 η} + g g z^{4 η}} = 2 y . & \frac{z^{θ}}{R R} (sive \frac{z^{θ}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}}) = t . \\ \begin{array}{l} Ordo nonus, ubi (ut et in decimo) pro radicali \sqrt{} \overline{h + i z^{η}} in \\ arearum valoribus substituitur P . \end{array} \\ 2 θ e h z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{l} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 3 η \end{array} f h \\ \begin{array}{r} + 2 θ \\ + η \end{array} e i \end{array} z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{l} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 4 η \end{array} f i \end{array} z^{\begin{array}{r} θ \\ + 2 η \\ - 1 \end{array}} in \frac{\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}}{2 \sqrt{} \overline{h + i z^{η}}} = y . & z^{θ} R^{3} p = t . \end{matrix}

9779

\begin{matrix} Ordo decimus. \\ 2 θ e h z^{\begin{array}{r} θ \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{l} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 3 η \end{array} f h \\ \begin{array}{r} + 2 θ \\ - η \end{array} e i \end{array} z^{\begin{array}{r} θ \\ + η \\ - 1 \end{array}} \begin{array}{l} \begin{array}{r} + 2 θ \\ + 2 η \end{array} f i \end{array} z^{\begin{array}{r} θ \\ + 2 η \\ - 1 \end{array}} in \frac{\sqrt{} \overline{e + f z^{η}}}{h + i z^{η} in 2 \sqrt{} \overline{h + i z^{η}}} = y . & \frac{z^{θ} R^{3}}{p} = t . \end{matrix}

Possint et hujusmodi alia adjici, sed ad alterius generis curvas quæ cum Conicis sectionibus conferri possunt jam transeo. Et in hoc Catalogo expositam Curvam linea

QEχR

(fig ) designatam habes, cujus basis principium sit

A

, basis

AC

, parallelè incedens applicata

CE

areæ principium

αχ

, et area descripta

αχEC

. Ejus autem areæ principium sive terminus initialis (quod utplurimùm vel basis principio

A

insistit, vel ad infinitam distantiam recedit) invenitur quærendo basis longitudinem

Aα

cùm areæ valor nullus est, et erigendo normalem

αχ

. Ad eundem modum Conicam sectionem (fig ) habes designatam line

PDG

, cujus centrum sit

A

, vertex

a

, rectangulæ semidiametri

Aa

AP

, basis principium

A

vel

a

, vel

α

, basis

AB

vel

aB

, vel

αB

, ordinatim applicata

BD

tangens

DT

occurrens

AB

T

, subtensa

aD

et inscriptum vel ascriptum rectangulum

ABDO

. Itaqꝫue retentis jam ante definitis literis, erit

AC = z

CE = y

αχEC = t

AB

vel

aB = x

BD = v

, et

ABDP

, vel

aGDB = s

. et præterea siquando ad alicujus areæ determinationem duæ Conicæ Sectiones requiruntur, posterioris area dicetur

σ

, basis

ξ

, et parallelè incedens applicata

Υ

. Catalogus Curvarum aliquot ad Conicas Sectiones relatarum ope ProbProblematis 8 constructus.

\begin{matrix} \begin{matrix} \underset{⏞}{Sectionis Conicæ} \\ \begin{array}{l} Curvarum \end{array} & \begin{matrix} Basis. & parall. Incedens. \end{matrix} & \begin{matrix} Arearum valores. \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} Ordo primus. \\ 1. \frac{d z^{η - 1}}{e + f z^{η}} = y . & z^{η} = x . & \frac{d}{e + f x} = v . & \frac{1}{η} s = t = \frac{αGDB}{η} . Fig \\ 2. \frac{d z^{2 η - 1}}{e + f z^{η}} = y . & z^{η} = x . & \frac{d}{e + f x} = v . & \frac{d}{η f} z^{η} - \frac{e}{η f} s = t . \\ 3. \frac{d z^{3 η - 1}}{e + f z^{η}} = y . & z^{η} = x . & \frac{d}{e + f x} = v . & \frac{d}{2 η f} z^{2 η} - \frac{d e}{η f f} z^{η} + \frac{e e}{η f f} s = t . \\ Ordo secundus . \\ 1. \frac{d z^{\frac{1}{2} η - 1}}{e + f z^{η}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{f} - \frac{e}{f} x x} = v . & \frac{2 x v \div 4 s}{η} = t = \frac{4}{η} ADGa . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 2. \frac{d z^{\frac{3}{2} η - 1}}{e + f z^{η}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{f} - \frac{e}{f} x x} = v . & \frac{2 d e}{η f} z^{\frac{η}{2}} \frac{+ 4 e s - 2 e x v}{η f} = t . \\ 3. \frac{d z^{\frac{5}{2} η - 1}}{e + f z^{η}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{f} - \frac{e}{f} x x} = v . & \frac{2 d e}{3 η f} z^{\frac{3 η}{2}} - \frac{2 d e e}{η f f} z^{\frac{η}{2}} \frac{+ 2 e e x v - 4 e e s}{η f f} = t . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} Ordo tertius . \\ 1. \frac{d z^{η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} z^{η} = x . \\ z^{η} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{2 d g}{f + \sqrt{} \overline{f f - 4 e g} + g x} = v . \\ \frac{2 d g}{f - \sqrt{} \overline{f f - 4 e g} + g ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{σ - s}{η \sqrt{} \overline{f f - 4 e g}} = t . \\ Vel generaliùs fac & \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{g} \frac{+ f f - 4 e g}{4 g g} x x} = v . & \frac{x v \div 2 s}{η} = t . \\ Vel (quod perinde est) & \sqrt{} \frac{d z^{2 η}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{e} \frac{+ f f - 4 e g}{4 e e} x x} = v . & \frac{x v \div 2 s}{η} = t . \\ 2. \frac{d z^{2 η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} z^{η} = x . \\ z^{η} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{d f + d \sqrt{} \overline{f f - 4 e g}}{f + \sqrt{} \overline{f f - 4 e g} + g x} = v . \\ \frac{d f + d \sqrt{} \overline{f f - 4 e g}}{f + \sqrt{} \overline{f f - 4 e g} + g ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{σ - s}{η \sqrt{} \overline{f f - 4 e g}} = t . \end{matrix} \\ In sequenti tertio quartoque ordine abbreviandi causa scribitur p pro \sqrt{} \overline{f f - 4 e g} . \\ \begin{matrix} Ordo tertius . \\ 1. \frac{d z^{η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} z^{η} = x . \\ z^{η} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{2 d g}{f + p + g x} = v . \\ \frac{2 d g}{f - p + g ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{σ - s}{η p} = t . \\ Vel generaliùs fac & \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{g} + \frac{p p}{4 g g} x x} = v . & \frac{x v \div 2 s}{η} = t = \frac{2}{η} ADGa \\ Vel (quod perinde est) & \sqrt{} \frac{d z^{2 η}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{e} + \frac{p p}{4 e e} x x} = v . & \frac{2 s \div x v}{η} = t = \frac{2}{η} ADGa \\ 2. \frac{d z^{2 η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} z^{η} = x . \\ z^{η} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{d f + d p}{d f + d p + g x} = v . \\ \frac{d f - d p}{d f - d p + g ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{s - σ}{η p} = t . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} Ordo tertius \\ \begin{matrix} \frac{d z^{η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{g} \frac{+ f f - 4 e g}{4 g g} x x} = v . & \frac{x v - 2 s}{η} = t . \\ Vel sic, & \sqrt{} \frac{d z^{2 η}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d}{e} \frac{+ f f - 4 e g}{4 e e} x x} = v . & \frac{2 s - x v}{η} = t . \\ \frac{d z^{2 η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} \sqrt{} \frac{d}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = x . \\ f z^{η} + g z^{2 η} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \sqrt{} \overline{\frac{d}{g} \frac{+ f f - 4 e g}{4 g g} x x} = v . \\ \frac{1}{e + ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{d σ + 2 f s - f x v}{2 η g} = t . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} Ordo quartus, ubi abbreviandi causâ scribitur p pro \sqrt{} \overline{f f - 4 e g} . \\ \begin{matrix} 1. \frac{d z^{\frac{1}{2} η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} \sqrt{} \frac{2 d g}{f - p + 2 g z^{η}} = x . \\ \sqrt{} \frac{2 d g}{f + p + 2 g z^{η}} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \sqrt{} \overline{d \frac{- f + p}{2 g} x x} = v . \\ \sqrt{} \overline{d \frac{- f - p}{2 g} ξ ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{2 x v - 4 s - 2 ξ r + 4 σ}{η p} = t . \\ 2 . \frac{d z^{\frac{3}{2} η - 1}}{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} \sqrt{} \frac{2 d e z^{η}}{f z^{η} - p z^{η} + 2 e} = x . \\ \sqrt{} \frac{2 d e z^{η}}{f z^{η} - p z^{η} + 2 e} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \sqrt{} \overline{d \frac{- f + p}{2 e} x x} = v . \\ \sqrt{} \overline{d \frac{- f - p}{2 e} x x} = Υ . \end{matrix}} & \frac{4 s - 2 x v - 4 σ + 2 ξ r}{η p} = t . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} Ordo quintus . \\ 1. \frac{d}{z} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x x . & \sqrt{} \overline{f + e x x} = v . & \frac{4 d e}{η f} in \frac{v^{3}}{2 e x} - s = t = \frac{4 d e}{η f} in aGDT, vel in APDB \div TDB . \\ Vel sic, & \frac{1}{z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{f x + e x x} = v . & \frac{8 d e e}{η f f} in: \overline{s - \frac{1}{2} x v - \frac{f v}{4 e} + \frac{f f v}{4 e e x}} = t = \frac{8 d e e}{η f f} in aGDA + \frac{f f v}{4 e e x} . \\ 2. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} η \\ + 1 \end{array}}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x x . & \sqrt{} \overline{f + e x x} = v . & \frac{- 2 d}{η} s = t = \frac{2 d}{η} \times APDB, ceu \frac{2 d}{η} \times aGDB . \\ Vel sic, & \frac{1}{z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{f x + e x x} = v . & \frac{4 d e}{η f} in s - \frac{1}{2} x v - \frac{f v}{2 e} = t = \frac{4 d e}{η f} \times aGDK . \\ 3. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} 2 η \\ + 1 \end{array}}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{f + e x x} = v . & \frac{- d}{η} s = t = \frac{d}{η} \times - aGDB, vel BDPK . \\ 4. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} 3 η \\ + 1 \end{array}}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{f + e x x} = v . & \frac{3 d f s - 2 d v^{3}}{6 η e} = t . \\ Ordo sextus. \\ 1. \frac{d}{z} \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & {\begin{matrix} z^{η} = x . \\ \frac{1}{z^{η}} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . \\ \sqrt{} \overline{g + f ξ + e ξ ξ} = Υ . \end{matrix}} & \frac{4 d e e ξ Υ + 2 d e f Υ - 2 d f f v - 8 d e e σ + 4 d f g s}{4 η e g - η f f} = t . \\ 2. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} η \\ - 1 \end{array}}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{d}{η} s = t = \frac{d}{η} in αGDB . \\ 3. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} 2 η \\ - 1 \end{array}}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{d}{3 η g} v^{3} - \frac{d f}{2 η g} s = t . \\ 4. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} 3 η \\ - 1 \end{array}}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{6 d g x - 5 d f}{24 η g g} v^{3} \frac{+ 5 d f f - 4 d e g}{16 η g g} v^{3} = t . \\ Ordo septimus . \\ 1. \frac{d}{z \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x x . & \sqrt{} \overline{f + e x x} = v . & \frac{4 d}{η f} in \frac{1}{2} x v \div s = t = \frac{4 d}{η f} in PAD vel in aGDA . \\ Vel sic & \frac{1}{z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{f x + e x x} = v . & \frac{8 d e}{η f f} in s - \frac{1}{2} x v - \frac{f v}{4 e} = t = \frac{8 d e}{η f f} in aGDA . \\ 2. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} η \\ + 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x x . & \sqrt{} \overline{f + e x x} = v . & \frac{2 d}{η e} in s - x v = t = \frac{2 d}{η e} in POD, vel in AODGa . \\ Vel sic & \frac{1}{z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{f x + e x x} = v . & \frac{4 d}{η f} in \frac{1}{2} x v \div s = t = \frac{4 d}{η f} in aDGA . \\ 3. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} 2 η \\ + 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x x . & \sqrt{} \overline{f x + e x x} = v . & \frac{d}{η e} in 3 s \div 2 x v = t = \frac{d}{η e} in 3 aDGA \div ΔaDB . \\ 4. \frac{d}{z^{\begin{array}{r} 3 η \\ + 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \frac{1}{z^{η}} = x x . & \sqrt{} \overline{f x + e x x} = v . & \frac{10 d f x v - 15 d f s - 2 d e x x v}{6 η e e} = t . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} Ordo octavus. \\ 1. \frac{d z^{η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{8 d g s - 4 d g x v - 2 d f v}{4 η e g - η f f} = t = \frac{8 d g}{4 η e g - η f f} in αGDB \pm ΔDBA . \\ 2. \frac{d z^{2 η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{- 4 d f s + 2 d f x v + 4 d e v}{4 η e g - η f f} = t . \\ 3. \frac{d z^{3 η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{\begin{array}{r} 3 d f f \\ - 4 d e g \end{array} s \begin{array}{r} - 2 d f f \\ + 4 d e g \end{array} x v - 2 d e f v}{4 η e g g - η f f g} = t . \\ 4. \frac{d z^{4 η - 1}}{\sqrt{} \overline{e + f z^{η} + g z^{2 η}}} = y . & z^{η} = x . & \sqrt{} \overline{e + f x + g x x} = v . & \frac{\begin{array}{r} - 36 d e f g \\ - 15 d f f f \end{array} s \begin{array}{r} + 8 d e g g \\ - 2 d f f g \end{array} x x v \begin{array}{r} - 28 d e f g \\ + 10 d f f f \end{array} x v \begin{array}{r} + 10 d e f g \\ - 16 d e e g \end{array} v}{24 η e g^{3} - 6 η f f g g} = t . \\ Ordo nonus. \\ 1. \frac{d z^{\begin{array}{r} η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}}{g + h z^{η}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{g + h z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d f}{h} \frac{+ e h - f g}{h} x x} = v . & \frac{\begin{array}{r} 4 f g \\ - 4 e h \end{array} s \begin{array}{r} - 2 f g \\ + 2 e h \end{array} x v + 2 d f \frac{v}{x}}{η f h} = t . \\ 2. \frac{d z^{\begin{array}{r} 2 η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}}{g + h z^{η}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{g + h z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d f}{h} \frac{+ e h - f g}{h} x x} = v . & \frac{\begin{array}{r} 4 e g h \\ - 4 f g g \end{array} s \begin{array}{r} - 2 e g h \\ + 2 f g g \end{array} x v + \frac{2}{3} d h \frac{v^{3}}{x^{3}} - 2 d f g \frac{v}{x}}{η f h h} = t . \\ Ordo decimus. \\ 1. \frac{d z^{η - 1}}{\overline{g + h z^{η}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{g + h z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d f}{h} \frac{+ e h - f g}{h} x x} = v . & \frac{2 x v - 4 s}{η f} = t = \frac{4}{η f} ADGa . \\ 2. \frac{d z^{2 η - 1}}{\overline{g + h z^{η}} \sqrt{} \overline{e + f z^{η}}} = y . & \sqrt{} \frac{d}{g + h z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{d f}{h} \frac{+ e h - f g}{h} x x} = v . & \frac{4 g s - 2 g x v + 2 d \frac{v}{x}}{η f h} = t . \\ Ordo undecimus. \\ 2. d z^{\begin{array}{r} η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \frac{e + f z^{η}}{g + h z^{η}} = y . & \sqrt{} \overline{g + h z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{e h - f g}{h} + \frac{f}{h} x x} = v . & \frac{2 d}{η h} s = t . \\ 3. d z^{\begin{array}{r} 2 η \\ - 1 \end{array}} \sqrt{} \frac{e + f z^{η}}{g + h z^{η}} = y . & \sqrt{} \overline{g + h z^{η}} = x . & \sqrt{} \overline{\frac{e h - f g}{h} + \frac{f}{h} x x} = v . & \frac{d h x v^{3} \begin{array}{r} - 3 d f g \\ - d e h \end{array} s}{2 η f h h} = t . \\ 1. d z^{- 1} \sqrt{} \frac{e + f z^{η}}{g + h z^{η}} = y . & {\begin{matrix} \sqrt{} \overline{g + h z^{η}} = x . \\ \sqrt{} \overline{h + g z^{- η}} = ξ . \end{matrix} & \begin{matrix} \sqrt{} \overline{\frac{e h - f g}{h} + \frac{f}{h} x x} = v . \\ \sqrt{} \overline{\frac{f g - e h}{h} + \frac{e}{g} ξ ξ} = v . \end{matrix}} & \frac{d x v^{3} z^{- η} - 4 d f s - 4 d e σ}{η f g - η e h} s = t . \end{matrix} \end{matrix}