Method of Curves and Infinite Series, and application to the Geometry of Curves (Part 3) Isaac Newton c. 7,829 words The Newton Project Falmer 2013 Newton Project, University of Sussex

This text is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

 c. 1665-70, in Latin, c. 7,949 words, 53 pp. 53 pp.

in Latin

 MS Add. 3960.14Method of Curves and Infinite Series, and application to the Geometry of Curves (Part 2) [MS Add. 3960.14, pp. 57-100] MS Add. 3960.14, pp. 101-132, Cambridge University Library, Cambridge, UK UKCambridgeCambridge University Library Portsmouth Collection MS Add. 3960.14, pp. 101-132 c. 1665-70 England Latin Holograph Unknown Cataloguer (1) Unknown Cataloguer (2) ScienceMathematics Transcribed by Daniele Cassisa Michael Hawkins audited transcription Proofed by Robert Iliffe Code audited by Michael Hawkins
10183

Antequam Theoremata in his Curvarum classibus tradita exemplis illustrare pergam, juvabit observare. 1. Quòd cùm quantitatum d, e, f, g, h et i signa omnia in æquationibus curvas definientibus affirmativa posuerim, siquando contingant esse negativa in subsequentibus Basis et incedentis applicatæ conicæ linæ Sectionis Conicæ, nec non quæsitæ Areæ valoribus mutari debent.

2. Numeralium η et θ, ubi negativæ sunt, signa in arearum valoribus sunt etiam mutanda. Quinetiam ipsarum signis mutatis Theoremata novam formam induere possunt. Sic in septimo ordine posterioris Catalogi, terti Theorema tertium, signo ipsius η mutato, evadit dz−2⁢η+1⁢e+f⁢z−η_=y. 1z−η=x. &c. hoc est d⁢z3⁢η−1e⁢z2⁢η+f⁢zη=yd⁢z3⁢η−1e⁢z2⁢η+f⁢zη_=y. zη=x. f⁢x+e⁢x⁢x_=v. dη⁢ein2⁢x⁢v−3⁢s=t. Et sic in alijs. 43 3. Cujusqꝫue ordinis (si secundum prioris Catalogi demas) series utrinqꝫue in infinitum continuari potest. Scilicet in tertij quartiqꝫue ordinis seriebus prioris Catalogi, numeri coefficientes initialium terminorum (2, −4, 16, −96, 868 &c) generantur multiplicando numeros −2, −4, −6, −8, −10 &c in se continuò; et subsequentium terminorum coefficientes ex initialibus in tertio ordine derivantur multiplicando gradatim per −32, −54, −76, −98, −1110 &c, vel in quarto ordine multiplicando per −12, −34 −56, −78, −910 &c. Denominatorum verò coefficientes (1, 3, 15, 105 &c) ex ductu numerorum 1, 3, 5, 7, 9 &c in se gradatim oriuntur. In secundo autem Catalogo series ordinum 1, 2, 3, 4, 9 & 10 ope solius divisionis infinitè producuntur. Sic habito d⁢z4⁢η−1e+f⁢zη=y, si divisionem ad usqꝫue convenientem periodum instituas, orietur e. g.exempli gratia df⁢z3⁢η−1−d⁢ef⁢f⁢z2⁢η−1+d⁢e⁢ef3⁢zη−1−d⁢e3f3⁢zη−1η+f⁢zη=ydf⁢z3⁢η−1−d⁢ef⁢f⁢z2⁢η−1+d⁢e⁢ef3⁢zη−1−d⁢e3f3⁢zη−1e+f⁢zη=y. Priores tres termini sunt primi ordinis prioris Catalogi et quartus primæ speciei hujus ordinis: unde constat aream valere d3⁢η⁢f⁢z3⁢η−d⁢e2⁢η⁢f⁢f⁢z2⁢η+d⁢e⁢eη⁢f3⁢zη−e3η⁢f3⁢s; positâ nempe s areâ sectionis conicæ cujus basis x sit =zη, et incedens applicata v=de+f⁢x. Quinti autem sextiqꝫue ordinis series ope duarum Theorematum in quinto ordine prioris Catalogi per debitam Additionem vel subductionem infinitè producuntur, ut et septimi octaviqꝫue series ope Theorematum in subsequenti sexto ordine; ac undecimi series ope Theorematis in decimo ordine ejusdem prioris Catalogi. E. g.Exempli gratia. si præfati quinti ordinis series ultra producenda sit; finge θ=−4⁢η, et quinti ordinis alterius Catalogi Theorema primum evadet −8⁢η⁢e⁢z−4⁢η−1−5⁢η⁢f⁢z−3⁢η−1in12⁢e+f⁢zη_=y. R3z4⁢η=t. Est autem juxta quartum Theorema hujus producendæ seriei, (scripto −5⁢η⁢f2 pro d,) −5⁢η2⁢f⁢z3⁢η−1⁢e+f⁢zη_=y, 1zη=x, f⁢x+e⁢x⁢x_=v, & 10⁢f⁢v3−15⁢f⁢f⁢s12⁢e=t. Quare subductis prioribus ipsarum y ac t valoribus restabunt −4⁢η⁢e⁢z−4⁢η−1⁢e+f⁢zη_=y, et 10⁢d⁢f⁢v3−15⁢f⁢f⁢s12⁢e−R3z4⁢η=t. Ipsisqꝫue in d4⁢η⁢e ductis, et pro R3z4⁢η scripto si placet x⁢v3, emerget quintum dicti ordinis producendæ seriei Theorema dz4⁢η+1⁢e+f⁢zη_=y. 1zη=x. f⁢x+e⁢x⁢x_=v, & 10⁢d⁢f⁢v3−15⁢d⁢f⁢f⁢s48⁢η⁢e⁢e−d⁢x⁢v34⁢η⁢e=t. 4. Horum ordinum nonnulli ex alijs etiam possunt aliter derivari, utpote in posteriori Catalogo quintus, sextus, septimus et undecimus ab octavo, ac nonus a decimo, adeo in posteriori Catalogo. Adeo ut omisisse potuissem, Sed alicui tamen nisi quod usui esse possint, quamvis non prorsus necessariæ. 10385 Nonnullos tamen ordines omisi quos a primo et secundo, nec non a nono decimoqꝫue derivasse potuissem, utpote qui denominatoribus magis compositis afficiuntur, et proinde vix ulli unquam usui esse possunt. ** Hic adjice intersere notas 5, 6, 7, 8, et 9 5. Si Curvæ alicujus definiens æquatio ex pluribus æquationibus diversorum ordinum vel diversarum specierum ejusdem ordinis componatur, ejus aream ex areis correspondentibus componere oportet; cavendo tamen de illarum arearum additione et subductione ut partes ut signis + et − rectè connectantur. Nam parallelè incedentes applicatæ paralleles incedentibus applicatis et areæ correspondentes correspondentibus areis non semper sunt simul addendæ vel simul subducendæ; sed aliquando harum summa et illarum differentia sumenda est pro nova linea incedente et area correspondente constituenda. Et hoc crebre faciendum est fieri debet cùm constituentes areæ positæ sunt ad diversam partem parallelè incedentis Applicatæ. Ut autem hoc incommodum cauti promptiùs devitare possint, singulis arearum valoribus propria signa. (Etiamsi nonnunquam negativa, ut fit in posterioris Catalogi quinto septimóqꝫue ordine,) præfixi. Vide ExemplExemplum 1 sequsequentem46. De Arearum signis observandum est præterea quod +s vel denotat aream Conicæ sectionis Basi adjacentem esse reliquis quantitatibus in valore t addendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse subducendam. Et contra −s ambiguè denotat aream basi adjacentem esse subducendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse addendam: prout commodum videbitur. Deinde valor ipsius ipsius t si affirmativus prodierit, designat aream Curvæ propositæ adjacentem basi ejus: Et contra si nega fuerit negativus, designat aream ex altera parte ordinatim applicatæ. 7. Cæterùm ut Area illa certiùs definiatur, cautè prospiciendum est de limitibus ejus. Et quidem limitum ad Basin, ordinatim Applicataam parallelè incedentem, et Curvæ perimetrum, nulla potest esse incertitudo: sed limes initialis sive principium a quo incipit descriptio ejus varias positiones obtinet. In sequentibus q exemplis vel est ad initiuum basis insistit vel ad infinitam distantiam, recedit vel in concursu curvæ cum basi ejus. Sed potest alibi locari. eEt ubicunqꝫue sit, invenies quærendo illam Basis longitudinem ad quam valor ipsius t evadit nullus, et parallelè incedentem applicatam erigendo. Nam erecta applicata illa linea erit limes quæsitus. 8. Siqua pars areæ infra basin posita sit, t designabit differentiam ejus et partis supra basin. 9. Siquando dimensiones terminorum in valoribus x, v et t nimis altæ vel nimis depressæ obvenerint, ad justum gradum liceat reducere dividendo per vel multiplicando per toties per datam quamvis quantitatem quæ vices unitatis gerere fingitur, quoties dimensiones illæ sint justo altiores vel depréssiores. 10. Præter hosce præcedentes catalogos possunt etiam Catalogi Curvarum ad alias Curvas in suo genere simplicissimas (ut ad e+f⁢x3_=v, vel ad x⁢e+f⁢x3_=v, vel ad e+f⁢x4_=v &c) relatarum construi, eò ut Curvæ cujuslibet propositæ aream ex origine simplicissima possimus derivare, et cum quibus curvis affinitatem habeat cognoscere. possimus Cæterùm præcedentes tandem exemplis aliquot illustremus. Exempl:Exemplum 1. Sit QER ejusmodi Conchoidesalis talis ut, Semicirculo QHA describaturpto et ad diametrum AQ erigatur erigatur erecto AC normalis perpendiculo si compleatur parallelogrammum QACI, agatur diagonalis AI semicirculo occurrens in H, et ab H demittatur ad IC normalis HE, sit E punctum E incidat in Curvam. Et quæratur area ACEQ. Dic itaqꝫue AQ=a. AC=z, et CE=vCE=y, et propter continuè proportionales AQ, AR, AP, AI, AQ, AH, EC, erit EC, sive y=a3a2+z2. Jam ut hæc induat formam æquationum in Catalogis, finge η=2 et pro z⁢z sive z2 in denominatore scribe zη, ac a3⁢z12⁢η−1 pro z⁢z a3 sive a3⁢z1−1 in numeratore, et emerget y=a3⁢z12⁢η−1a2+zη, æquatio primæ speciei secundi ordinis posterioris Catalogi; Et ubi, collatisqꝫue terminis patit esse fitt d=a3, e=a2 et f=1; Adeoqꝫue a3a2+z2=x a3−a2⁢x2_=v, et x⁢v−2⁢s=t. Ut autem inventi valores x et v ad justum dimensionum numerum reducantur multiplico vel divido per datam quamlibet quantitatem selige datam quamlibet quantitatem, v,elut a, per quam tanquam si esset unitastem semel multiplicetur a3 in valore x, et in valore v dividamtur a3 semel et a2⁢x2 bis. Et hoc pacto obtinebis a4a2+z2=x, a2−x2_=v, x⁢v−2⁢s=t. Quorum constructio est ejusmodi. Centro A intervallo AQ describe quadrantem circuli QDP, in AC cape AB=AH, et erige normalem BD quadranti occurrentem in D, et age AD. Areæqꝫue Et sectoris ADP duplum æquabitur areæ quæsitæ ACEQ. Est enim a4a2+z2(=AQ×EC=AH)=AB sive x;, et a2−x2_=ADq−ABq_=BD sive v; et x⁢v−2⁢s=2⁢ΔADB−2⁢ABDQ vel etiam 2⁢ΔADB+2⁢BDP hoc est vel =−2⁢QAD vel =2⁢DAP: quorum valorum affirmativus 2⁢DAP competit areæ ACEQ adjacenti AC citra EC, et negativus 2⁢QAD competit areæ RECR ultra EC in infinitum protensæ. Hic obiter notetur quod Solutiones Problematum sic inventæ nonnunquam concinnari possunt. Sic in hoc casu actâ RH circuli QHA semidiametro, propter arcus QH, DP æquales, erit sector QRH dimidium sectoris DAP, atqꝫue adeò pars quarta superficiei ACEQ. Fig Exemplum 2. Sit AGE curva quam normæ AEF punctum angulare E describit dum crurum alterum AE interminatum continuò transit per datum punctum A, et alterum EF datæ longitudinis super recta AF positione data prolabitur. Demitte EH ad AF normalem, et comple parallelogrammum AHEC, ac dictis AC=z, CE=y, et EF=a, propter HF, HE, HA continuè proportionales erit HA sive y=z2a2−z2_. Est itaqꝫue Jam ut innotescat area AGEC, finge z2=zη, sive 2=η et inde fitet z32⁢η−1a2−zη_=y. Sed hujus forma nulla occurrit æquatio in catalogis, et peindeperinde Ubi cum z sit fractæ dimensionis in numeratore, deprime valorem y dividendo per z12⁢η et fitet zη−1a2⁢z−η−1_=y, æquatio secundæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi. Ac terminis collatis fit evadet d=1, e=−1, et f=a2. Adeoqꝫue z2=1z−η=x2. a2−x2_=v & s−x⁢v=t. Cùm itaqꝫue x et z æquentur, et sit a2−x2_=v æquatio ad circulum cujus diametersemidiameter est a: centro A intervallo a sive EF describatur circulus PDQ cui occurrat CE in D, et compleatur parallelogrammum ACDI, eritqꝫue AC=z, CD=v, et area quæsita AGEC=s−x⁢v=ACDP−ACDI=IDP. Exempl:Exemplum 3. Sit AGE Cissois ad cCirculum ADQ diametro 10587 AQ descriptum pertinens. Agatur DCE diametro normalis et curvis occurrens in D et E. Et nominatis AC=z, CE=y et AQ=a, erit propter continue proportionales CDC, CA, CE continuè proportionales erit CE y=z2a⁢z−z2_, ac dividendo per z, fit y=za⁢z−1−1_. Est itaqꝫue z−1=zνz−1=zη sive −1=ν−1=η et inde z−2⁢ν−1a⁢zν−1_=yz−2⁢η−1a⁢zη−1_=y, æquatio tertiæ speciei, septimi ordinis posterioris posterioris catalogis. Collatisqꝫue terminis fit d=1. e=−1. et f=a. Adeoqꝫue z=1zη=x. a⁢x−x2_=v. et 3⁢s−2⁢x⁢v=t. Hoc Quare est AC=x, CD=v, et inde ACDH=s, adeoqꝫue 3⁢ACDH4⁢ΔADC=3⁢s−2⁢x⁢v=t= areæ Cissoidali ACEGA. Vel quod perinde est, 3⁢ADH=ADEG 3⁢segment:ADHA=areæADEGA. 4⁢segADHA=areæAHDEGA Exempl:Exemplum 4. Esto PE prima Conchoides Veterum centro G, vertice P, et Asymptoto AL et intervallo LE descripta. Age GAP axin ejus ac demitte EC ordinatim applicatam. dDictisqꝫue AC=z, CE=y, GA=b, et AP=c, propter continuè proportionales AC.CE−AL∷GC.CE, erit CE sive y=b+zz⁢c2−z2_. Jam ut ejus area PEC exhinc inveniatur, partes applicatæ CE seorsim considerandæ sunt. Et quidem si illa CE ita dividatur in D ut sit CD=c2−z2_ ac DE=bz⁢c2−z2_ erit CD ordinatim applicata circuli centro A intervallo AP descripti: adeoqꝫue pars areæ PDC innotescet, et restabit pars altera DPED invenienda. Cùm itaqꝫue DE (pars applicatæ quacum describitur) valeat bz⁢c2−z2_ bz⁢c2−z2_, suppone 2=η, et evadet bz⁢c2−zη_=DE, æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi. Collatisqꝫue terminis, fiet d=b e=c2 et f=−1; atqꝫue adeò 1z=1zη=x. −1+c⁢c⁢x⁢x_=v. et 2⁢b⁢c⁢c⁢s−b⁢v3x=t. His inventis redige ad justum dimensionum numerum multiplicando terminos nimis depressos ac dividendo nimis altos per datam quamvis quantitatem. Id quod si fiet per c, prodibit c2z=x. −c2+x⁢x_ −c2+x2_=v, & 2⁢b⁢sc−b⁢v3c⁢x=t Et horum constructio est ejusmodi. Centro A, vertice principali P, et parametro 2⁢AP Hyperbolam PK describe. Deinde a puncto C age rectam CK quæ tangat Hyperbolam in K: et erit ut AP ad 2⁢AG ita area CKPC ad aream quæsitam DPED. NoExempl:Exemplum 5. Norma GFE ita circa polum G rotante ut ejus punctum angulare F super recta AF positione data continuò prolabatur: concipe curvam PE a puncto quolibet E in crure EF sito describi. et quæratur Jam ut inveniatur hujus area, demitte GA et EH ad rectam AF perpendiculares et completo pgr parallelogrammo AHEC, dic AC=z, CE=y, AG=b et EF=c, et propter proportionals HF.EH∷AG.AF, erit AF=b⁢zc⁢c−z⁢z_. Adeoqꝫue CE sive y=b⁢zc2−z2_−c2−z2_ Cùm autem c⁢c−z2_ sit ordinatim applicata circuli semidiametro c descripti: centro A circa centrum A describaetur talisem circulusm PDQ, eiqꝫue CDCE producta occurat in D, et erit DE=b⁢zc2−z2_: cujus æquationis ope restat area PDEP vel DERQ determinanda. Supponatur ergo η=2 et evadet DE=b⁢zη−1c⁢c−zη_ æquatio primæ speciei quarti ordinis prioris catalogi. Et collatis terminis fiet b=d, c⁢c=e, et −1=f; adeoqꝫue −b⁢c⁢c−z⁢z_=−b⁢R=t. Jam cum valor t negativus existat, et inde area per t designata jaceat ultra lineam DE; ut ejus limes initialis inveniatur quære illam ipsius z longitudinem qua t evadit nulla et invenies esse c. Quare produc AC ad Q ut sit AQ=c, et erige applicatam QR et erit DQRED area illa cujus valor10789 valor jam inventus est −b⁢c⁢c−z⁢z_. Quod si quantitatem areæ PDE juxta basin AC positæ et cum ea coextensæ desideres, possis ignoto terlimite QR sic determinare. A valore quem t ad basis longitudinem AC sortita est subduc valorem ejus ad initium basis. et proveniet quantitas hoc est a −b⁢c⁢c−z⁢z_ subduc −b⁢c et proveniet quantitas b⁢c−b⁢c⁢c−z⁢z_ quam quæris. Comple ergo parallelogrammum PAGK et ad AP demitte normalem DM quæ cum GK occurrat in M et erit parallelogrammum PMNKPLMK æqualie areæ PDE. Siquando æquatio curvam aliquam definiens non reperiatur in Catalogis, neqꝫue ad simpliciores terminos ope divisionis vel alio pacto reduci possit: transformanda est in alias affinium Curvarum æquationes pro more in ProbProblemate 8 ostenso, donect tandem obvenerit aliqua cujus area ex Catalogis innotescat. Et conatibus omnimodo institutis, si nulla talis obveniat, certum est Curvam propositam neqꝫue cum figuris rectilineis neqꝫue cum Conicis Sectionibus comparari posse. Ad eundem modum cùm de Curvis Mechanicis agitur illæ imprimis transformandæ sunt in æquales Geometricas prout in eodem ProbProblema 8 ostensum fuit, ac deinde Geometricarum areæ ex Catalogis eliciendæ. Cujus rei accipe sequens exemplum. Exempl:Exemplum 6. Proponatur figura arcuum cujusvis Conicæ Sectionis ad sinus rectos applicatorum determinanda. Utpote sit A centrum Conicæ Sectionis, AQ & AR semiaxies, CD ordinatim applicata ad axin AR, Sit etiam et PD perpendiculum ad punctum D. Sit etiam AE dicta figura Mechanica occurrens CD in E, et ex ejus natura præfinita erit CE =æqualis arcui QD. Quæritur itaqꝫue area AEC, vel (completo parallelogrammo ACEF completo) quæritur excessus AEF. In quem finem sit a latus rectum Conicæ Sectionis, sive et b latus transversum sive 2⁢AQ. sit etiam AC=z, et CD=y, eritqꝫue 14⁢b⁢b+ba⁢z⁢z_=y æquatio ad conicam sectionem, ut notum est. Erit etiam PC=ba⁢z et inde PD=14⁢b⁢b+b⁢b+a⁢ba⁢a⁢z⁢z_ z. Atqꝫue adeò cùm sit fluxio arcus QD ad fluxionem Basis AC ut PD ad CD, si fluxio basis supponatur 1 erit arcus illius QD, sive applicatæ CE fluxio 14⁢b⁢b+b⁢b+a⁢ba⁢a⁢z⁢z14⁢b⁢b+ba⁢z⁢z. Hanc duc in FE sive z et proveniet z⁢14⁢b⁢b+b⁢b+a⁢ba⁢a⁢z⁢z14⁢b⁢b+ba⁢z⁢z fluxio areæ AEF adeoqꝫue si in applicata CD capias CG=z⁢14⁢b⁢b+b⁢b+a⁢ba⁢a⁢z⁢z14⁢b⁢b+ba⁢z⁢z, area AGC quam illa CG super AC incedens describet, æquabitur areæ AEF, et erit AG curva geometrica. Quræritur itaqꝫue area AGC. Et in unc finem substituatur η pro z zη pro z⁢z in æquatione novissima et evadet zη−1⁢14⁢b⁢b+b⁢b+a⁢ba⁢a⁢zη14⁢b⁢b+ba⁢zη=CG, æquatio secundæ speciei undecimi ordinis posterioris Catalogi. Et collatis utrobiqꝫue terminis fit d=1. e=14⁢b⁢b=g. f=b⁢b+a⁢ba⁢a, et h=ba; adeoqꝫue 14⁢b⁢b+ba⁢z⁢z_=x, −14⁢b3a+a+ba⁢x⁢x_=v & ab⁢s=t. Hoc est CD=x. DP=v et ab⁢s=t. Et horum inventorum talis est constructio. Ad Q erige QK perpendicularem et æqualem QA et huic parallelam æqualem vero DP age HI per punctum D. Et linea KI pro in quam HI terminatur erit Sectio Conica areaqꝫue comprehensa HIKQ ad aream quæsitam AEF ut b ad a, sive ut PC ad AC. Nota, si mutes signum b, sectio Conica evadet cujus arcui recta CG æquatur, evadet Ellipsis; et præterea si fiat b=−a Ellipsis evadet circulus: In quo casu linea KI fit recta parallela AQ. 10991 Postquam Curvæ alicujus area sic inventa fuerit; de constructionis demonstratione consulendum est, quacum sine Computo Algebraico quantùm liceat contexta ornetur Theorema ut evadat publicæ notitiæ dignum. Estqꝫue demonstrandi methodus generalis quam sequentibus exemplis demons illustrare conabor. Demonstratio Constructionis in ExemplExemplo 5. In arcu PQ sume punctum d proximum ad D et age de ac dm parallelas DE ac DM et occurrentes DM et AP in p et l: et erit DEed momentum areæ PDEP et LMmt momentum areæ LMKP. Age semidiametrum AD, et concipe indefinitè exiguum arcum Dd esse instar rectæ et triangula Dpd et ALD erunt similia, adeoqꝫue Dp.pd∷AL.LD. Est autem HF.EH∷AG.AF, hoc est AL.LD∷ML.DE. Et proinde Dp.pd∷ML.DE. Quare Dp×DE=pd×ML. Hoc est Dp momentum DEed æquale momento LMml. Et cùm hoc de quibuslibet contemporaneis momentis indeterminatè demonstretur, patet omnia singula momenta areaæ PDEP omnibus esse singulis contemporaneis momentis spatij areæ PLMK æqualia, adeoqꝫue totas spatia areas ex istis momentis compositas æquari. Q.E.D. Demonstratio Constructionis in exemplo 3. Esto DEed momentum superficiei AHDE ac AdDA contemporaneum momentum segmenti ADH age semidiametrum DK, et de occurrat AQ in c, eristqꝫue Cc.Dd∷DC.DK. Præterea est DC.QA2⁢DK∷AC.DE. Adeoqꝫue Cc.2⁢Dd∷DC.2⁢DK∷AC.DE. et Cc×DE=2⁢Dd×AC×. Jam ad periferiæ momentum Dd rectà produnctum (i.e. ad tangentem circuli) demitte normalem AI et erit AI æqualis AC, adeoqꝫue 2⁢Dd×AC=2⁢Dd×AI=4triangulisADd. Quare 4triangADd=Cc×DE= momento DEed. Spatij ergo AHDE singula momenta sunt quadrupla momentorum contemporaneorum segmenti ADH et proinde totum illud spatium quadruplum totius segmenti. Q.E.D. Demonstratio constructionis in Exemplo 4. Parallelam CE age indefinitè parùm distantem ce, et Hyperbolæ tangentem Ck ac demitte KM rectam ad AP: Et ex Hyperbolæ natura erit AC.AP∷AP.AM. Adeoqꝫue AGq.GLq∷ACq.LEqsiveAPq∷APq.AMq ac divisim AGq.ALq∷APq.AMq−APq=MKq, sive AGq.ALqDEq∷APq.AMq−APqMKq. Et inversè AG.AP∷DE.MK. Est autem areola DEed ad triangulum CKc ut altitudo DE ad semissem altitudinis KM. Hoc est, ut AG ad 12⁢AP. Adeoqꝫue Quare omnia spatij PDE momenta ad omnia contemporanea momenta spatij PKC sunt ut AG ad 12⁢AP. Et proinde tota illa spatia sunt in eadem ratione. Q.E.D. Demonstratio Constructionis in Exemplo 6. Parallelam et proximam CD age cd et occurrentem curvæ AE in e age hi & fe occurrentes DC in p et q. Et erit ex Hypothesi Dd=Eq et ex similitudine triangulorum Dpd, DCP erit Dp.DdEq∷CP.PDHI. Adeoqꝫue Dp×HI=Eq×CP, et inde Dp×HI(momentHIih).Eq×AC(momentEFfe)∷Eq×CP.Eq×AC∷CP.AC. Quare cum PC et AC sint in data ratione lateris transversi ad latus rectum Conicæ Sectionis QD, et arearuum HIQK et AEF momenta HIih & EFfe in eade illâ ratione, erunt ipsæ areæ in eâdem ratione. Q.E.D. In hujusmodi demonstrationibus observandum est quod quantitates pro æqualibus habeo quarum ratio est æqualitatis. Et ratio æqualitatis censenda est quæ minùs differt ab æqualitate quàm qualibet inæqualis ratio potest assignari. Sic rectangulum in postremâ demonstratione posui rectangulum Eq×AC, sive FEqf æquale spatio FEef quia non habent rationem inæqualitates (propter differentiam Eqe infinite minorem ipsis sive respectu ipsarum nullam) Et sic posui DP×HI=HIih, & non habent rationem inæqualitatis. Et eadem de causa posui DP×HI=HIih, & sic in alijs. Hac methoduom probandi curvas per æqualitatem vel datam datam rationem momentorum æquales esse vel datam rationem habere hic usus sum quòd cùm methodis in his rebus usitatis affinitatem habetat; sed promptior aliquantò et magis naturalis videtur quæ genesi superficierum ex fluendi motu innititur. Sic si constructionem in eExemplo 2 demonstranda sit; Ex natura circuli est fluxio rectæ ID ad fluxionem rectæ IP, ut AI ad ID: Estqꝫue AI ad ID ut ID ad CE ex natura Curvæ AGE: et proinde CE×flux:ID=ID×flux:IP. Sed CE×flux:ID= fluxioni areæ ACEG, et ID×fluxIP= fluxioni areæ PDI. Et proptderea areæ illæ fluxionibus æqualibus progenitæ æqualiter fluendo genitæ æquales erunt. Q.E.D. Plenioris illustrationis gratia adjiciam demonstrationem Constructionis qua Cissoidis area in Exemplo 3 determinatur. 11193 Lineæ punctim notatæ in schemate deleantur, et agatur DQ et Cissoidis Asymptoton QR: Et ex natura circuli est DQq=AQ×CQ, et inde per ProbProblema 1 2⁢DQ×flux:ipsiusDQ=AQ×flux.CQ. Adeoqꝫue AQ.DQ∷2⁢flux:DQ.flux:CQ. Est et ex natura Cissoidis ED.AD∷AQ.DQ. Quare ED.AD∷2⁢flux:DQ.flux:CQ. Et ED×fluxCQ=AD×2⁢flux:DQ sive =4×12⁢AD×flux:DQ. Jam cùm DQ recta perpendicularis sit ad terminum ipsius AD circa A gyrantis, est 12⁢AD×fluxDQ= fluxioni generanti aream ADOQ. Est et ejus quadruplum ED×fluxCQ= fluxioni generanti Cissoidalem aream QREDO. Et proinde area illa infinitè longa QREDO generatur quadrupla alterius ADOQ. Q.E.D. Scholium. Per præcedentes catalogos non tantùm areæ curvarum sed et aliæ cujuscunqꝫue generis quantitates analoga fluendi ratione generatæ, e fluxionibus derivari possunt. Idqꝫue Idqꝫue mediante hoc Theoremate, Quod quantitas cujuscunqꝫue generis sit ad unitatem congeneram ut area Curvæ ad unitatem superficialem, si modò fluxio quantitatem illam generans sit ad unitatem sui generis ut fluxio generans aream ad unitatem sui generis, hoc est ut linea super Basi normaliter incedens qua area ilia describitur, ad unitatem linearem. Vel breviùs quod quantitates sint analogæ quæ ex analogis fluxionibus generantur. Et proinde si fluxio qualiscunqꝫue exponatur per ejusmodi lineam incedentem quantitas ab illa fluxione generata exponetur per aream ab illa incedente descriptam. Vel si fluxio per eosdem terminos Algebraicos cum incedente linea exhibeatur exponatur, quantitas generata exponetur per eosdem cum area descripta. Æquatio itaqꝫue quæ fluxionem cujuscunqꝫue generis exhibet quærenda est in prima collumna Catalogorum, et valor t in ultima collumna indicabit quantitatem generatam. Quemadmodum si 1+9⁢z4⁢a_ fluxionem cujuscunqꝫue generis exhibeat, pone æqualem y, et ut ad formam æquationum in catalogis reducatur substitue zn pro z, sic enim evadet zη−1⁢1+94⁢a⁢zη_=y, æquatio primæ speciei tertij ordinis prioris Catalogi et collatis terminis fiet d=1, e=1, f=94⁢a, et inde 8⁢a+18⁢z27⁢1+9⁢z4⁢a_=2⁢dη⁢f⁢R3=t8⁢a+18⁢z27⁢1+9⁢z4⁢a_=2⁢d3⁢η⁢f⁢R3=t. Est itaqꝫue 8⁢a+18⁢z27⁢1+9⁢z4⁢a_ quantitas quæ generatur fluxione 1+9⁢z4⁢a_. Atqꝫue ita si 1+16⁢z239⁢a23_ designet fluxionem, per debitam reductionem evadet (extrahendo z23 e radicali, et scribendo zη pro z−23) habebitur 1zη+1⁢zη+169⁢a23_=y, æquatio secundæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi, et collatis terminis fit d=1, e=169⁢a23, et f=1, Adeoqꝫue z23=1zη=x⁢x, 1+16⁢x⁢x9⁢a23_=v, et 32⁢s=−2⁢dη⁢s=t. Quibus inventis, quantitas per fluxionem 1+16⁢z239⁢a23_ generata innotescet ponendo esse ad unitatem sui generis ut area 32⁢s ad unitatem superficialem;. vVel quod eodem recidit, ponendo quantitatem t non amplius aream Conicæ Sectionis superficiem significare, sed alterius generis quantitatem quæ est ad unitatem ejusdem generis ut area Conicæ Sectionis superficies illa ad unitatem superficialem. Et hoc modo 32⁢s erit quantitas per propositam fluxionem generata. Sic posito quod 1+16⁢z239⁢a23_ designet fluxionem lineæa,rem ut longitudo imaginor t non ampliùs superficiem sed lineam jam significare, eam nempe quæ ad unitatem linearem est ut area conicæ sectionis quam t iuxta Catalogios designat ad unitatem superficialem, hoc est eam quæ producitur aplplicando aream illam ad linearem unitatem. Et hoc subintellecto, longitudo quæsita erit 32⁢s. Quod idem de valore t in similibus casibus posthac semper intelligendum est. Qua ratione si linearis unitas statuatur e longitudo per præfatam fluxionem generata erit 3⁢s2⁢e. Et hoc fundamento Catalogi illi ad longitudines curvarum, contenta solidorum & alias quascunqꝫue quantitates æque ac areas curvarum determinandas applicari possunt. 11395 De Quæstionibus cognatis. 1. Curvarum areas per Mechanicam approximare. Methodus est ut duarum pluriumve rectilinearum figurarum valores ita componantur inter se ut valorem areæ curvæ quamproximè constituant. Sic ad circulum AFD quem æquatio x−x⁢x=r⁢r designat postquam inventus est areæ AFDB valor 23⁢x32−15⁢x52−128⁢x72−172⁢x92&c. quærendi sunt aliquot rectangulorum valores, quales sunt ipsius BD×AB valor x⁢x−x⁢x_ sive x32−12⁢x52−18⁢x72−116⁢x92&c. ac ipsius AD×AB valor x⁢x_ sive x32. Dein hi valores per literas quaslibet diversas (quæ numeros indefinitè designent) multiplicandi sundt et addendi summæqꝫue termini cum correspondentibus terminis valoris areæ AFDB comparandi, ut quantum liceat evandant æquales. Quemadmodum si per e et f multiplicentur, fiet summa e+fx32−e2⁢x52−e8⁢x72&c cuius terminis cum terminis hisce collatis 23⁢x32−15⁢x52−128⁢x72&c collatis, prodit e+f=23, et −e2=−15; Sive e=25 et f=23−e=415. Adeoqꝫue est 25⁢BD×AB+415⁢AD×AB=areæAFDB proximè. Scilicet 25⁢BD×AB+415⁢AD×AB valet 23⁢x32−15⁢x52−120⁢x72−140⁢x92&c quod ab area AFDB subductum relinquit solummodò errorem 170⁢x72+190⁢x92&c. Sic bisectâ AB in E, rectanguli AB×DE valor erit x⁢x−34⁢x⁢x_ sive x32−38⁢x52−9128⁢x72−271024⁢x92 &&c Et hoc collatum cum rectangulo AD×AB dat 8⁢DE+2⁢AD15inAB=areæAFDB, errore tantùm existente 1560⁢x72+15760⁢x92&c qui semper minor est quam 11500 totius areæ, etiamsi AFDB ponatur quadrans circuli. Hoc autem Theorema sic enunciari potest. Ut 3 ad 2 ita rectangulum ABinDE +AD−DE5 plus quinta parte differentiæ inter AD ac DE ad aream AFDB proxime. Atqꝫue ita conferendo duo rectangula AB×ED et AB×BD, vel omnia tria rectangula inter se, vel adhibendo adhuc alia rectangula possunt aliæ regulæ excogitari, eæqꝫue tanto exactiores quo plura rectangula adhibentur. Et idem de area Hyperbolæ ac aliarum curvarum intelligendum est. Imò et per unitcum tantùm rectangulum area plerumqꝫue commode exhiberi potest, ut in prædicto circulo si capiatur AE ad AB ut 5 ad 5, rectangulum AB×ED erit ad aream AFDB ut 3 ad 2, errore tantùm existente 1175⁢x72+112250⁢x92&c. 2. Ex Datâ areâ, Basem et indcedentem lineam determinare. Ubi area per finitam æquationem exhibetur nihil occurrit difficultatis. Ubi verò per infinitam exhibetur, affecta radix extrahenda est quæ Basem designat. Sic ad Hyperbolam quam æquatio a⁢ba+x=r designat postquam inventum est z=b⁢x−b⁢x⁢x2⁢a+b⁢x33⁢a⁢a&c; Quo ut ex data area z vicissim innotescat Basis x, extrahe radicem affectam et proveniet x=zb+z⁢z2⁢a⁢b⁢b+z36⁢a⁢a⁢b3+z424⁢a3⁢b4+z596⁢a4⁢b5&c et præterea si incedens r desideretur divide a⁢b per a+x hoc est per a+zb+z⁢z2⁢a⁢b⁢b+z36⁢a⁢a⁢b3&c et emerget r=b−za+z⁢z2⁢a⁢a⁢b−z36⁢a3⁢b⁢b+z424⁢a4⁢b3&c. Sic ad Ellipsin quam æquatio a⁢x−ac⁢x⁢x=r⁢r designat, postquam inventa fuerit area z=23⁢a12⁢x32−a12⁢x525⁢c−a12⁢x7228⁢c⁢c−a12⁢x9272⁢c3&c. Scribe Ut ex data z vicissim deter Scribe pro scribe v3 pro 3⁢z2⁢a12 ac t pro x12, et evadet v3=t3−3⁢t510⁢c−3⁢t756⁢c⁢c−t948⁢c3&c, et extracta radice t=v+v310⁢c+81⁢v51400⁢c⁢c+1171⁢v725200⁢c3&c. Cujus quadratum v⁢v+v45⁢c+22⁢v6175⁢c⁢c+823⁢v87875⁢c3&c valet x. Et hoc valore pro x in æquatione a⁢x−ac⁢x⁢x=r⁢r substituto, et extracta radice, proveniet r=a12⁢v−2⁢a12⁢v35⁢c−38⁢a12⁢v5175⁢c⁢c−407⁢a12⁢v72250⁢c3&c. Adeoqꝫue ex data area z et inde v sive cub:3⁢z2⁢a12, dabitur Basis x et Incedens r. Quæ omnia ad Hyperbolam etiam accommodantur si modo signum quantitatis c ubiqꝫue mutetur ubi existit imparium dimensionum. 11597 ProbProblema 10. Curvas pro arbitrio multas multas invenire quarum longitudines per finitas æquationes designari possunt. Ad hujus resolutionem via per sequentes positiones sternitur. 1. Si recta DC in curvam quamvis AD perpendiculariter insistens moveri concipiatur, singula ejus puncta G, k, 3r, 4r r &c describent alias æquidistantes sibiqꝫue parallelas curvas rs, 2r2s, 3r3s &c quibus itidem perpendicularis erit perpendiculares curvas GK, gk, rs &c. 2. Si recta illa hinc inde indefinitè producatur ejus extremitates movebuntur ad contrarias plagas, et punctum quod distinguit inter contrarios motus, quodqꝫue ideo dici potest centrum motionis, idem est cum centro curvaturæ quam curva AD habet ad punctum D, ut supra diximus. Istud autem punctuum esto C. 3. Si lineam AD non circularem esse sed difformiter incurvatam supponamus puta magis curvam in δ et minùs in Δ, illud centrum continuò mutabitur propriùs accedens ad partes magis curvas ut in K et longiùs recedens a partibus minùs curvis, eoqꝫue pacto ut in k, eoqꝫue pacto lineam aliquam qualis KCk describet. 4. Hanc a centro curvaturæ descriptam lineam recta DC continuò tanget. Nam si rectæ illius punctum D moveat versus δ, ejus punctum G quod interea transit ad K et situm est ad eandem partem centri C movebit versus eandem plagam (per Positionem 2damsecundam) . Deinde si idem D moveat versus Δ punctum g quod interea transit ad k et situm est ad contrariam partem centri C movebit ad contrariam plagam hoc est ad eandem plagam ad quam G in priori casu movebat dum transijt ad K. Et proinde K et k jacent ad eandem partem rectæ DC. Quare cum K et k indeterminatè pro quibuslibet punctis sumantur, patet totam illam curvam jacere ad eandem partem rectæ DC, proindeqꝫue ab illa non secari sed tangi tantùm. Hic supponitur lineam δDΔ magis curvam esse a parte δ continuò et minùs a parte Δ. Quod si maxima minimáve curvatura fuerit ad ipsum D, tunc recta DC secabit curvam KC, sed in angulo tamen qui sit quovis rectilineo minor. Quod perinde est ac si tangeret dicatur. Imo punctum C in hoc casu terminus est instar cuspidis, ad quem partes curvæ obliquissimo concursu desinentes se mutuò contingunt, proindeqꝫue a recta DC quæ angulum illum contactûs dividit rectius dicatur tangi quàm secari. 5. Recta CG æquatur curvæ CK. Nam concipe rectæ illius singula puncta r, 2r, 3r, 4r &c descbribere curvarum arcus rs, 2r2s, 3r3s &c interea dum per motum rectæ illius accedant ad curvam CK; et arcus illi, cùm (per Positionem primam) sint perpendiculares ad rectas quæ (per PositPositionem 4) tangunt curvam CK, erunt etiam perpendiculares ad curvam illam. Quare partes istius CK inter arcus illos interjectæ quæ propter infinitam parvitatem pro rectis haberi possint æquantur intervallis eorundem arcuum, hoc est (per Posit:Positionem 1) totidem partibus rectæ CG. Et additis utrinqꝫue æqualibus, tota CK aæquabitur toti CG. Idem constare potest imaginando singulas partes rectæ CG inter movendum successivè applicari ad singulas partes curvæ CK, easqꝫue mensurare, perinde ut rotæ super planum per gyros promoventis circumferentia distantiam metitur quam punctum contactûs transigit. Ex his pateat Problema resolvi posse assumendo pro lubitu curvam quamvis AδDΔ et inde determinando alteram curvam KCk in qua assumptæ centrum curvaturæ versatur. Ad rectam itaqꝫue quamvis positione datam AB demissis perpendiculis DB, CL et in AB sumpto quovis puncto A dictisqꝫue AB=x et BD=y, pro curva AD definienda assumatur relatio quævis inter x et y et inde per ProbProblema 5 elicietur punctum C quo et curva KC et ejus longitudo GC determinatur. ExemplExemplum. Sit a⁢x=y⁢y æquatio ad curvam AD, Parabolam 11799 nempe Apollonianam. Et per Prob:Problema 5, invenientur AL=12⁢a+3⁢x, CL=4⁢y3a⁢a, ac DC=a+4⁢xa⁢14⁢a⁢a+a⁢x_. Quibus habitis, curva KC determinatur AL et LC et longitudo ejus per DC. Utpote cùm liberum sit ubivis in curva KC assumere puncta K et C, supponamus K esse centrum curvaturæ Parabolæ ad verticem, et positis perinde AB et BD seu x et y nullis evadet AL=12⁢a DC=12⁢a, estqꝫue hæc longitudo AK vel DG quæ subducta a superiori indefinito valore DC relinquit GC seu KC=a+4⁢xa⁢14⁢a⁢a+a⁢x_−12⁢a. Jam si qualis sit hæc curva quantaqꝫue ejus longitudo, non ampliùs habita relatione ad Parabolam scire desideretur; Dic KL=z et LC=v, et erit z==AL−12⁢a=3⁢x seu 13⁢z=x, et a⁢z3=a⁢x=y⁢y, adeoqꝫue 4⁢z327⁢a=4⁢y3a⁢a=CL=v. sive 16⁢z327⁢a=v⁢v. Quod indicat curvam KC esse Parabolam secundi generis. Et pro ejus longitudine prodit 3⁢a+4⁢z3⁢a⁢14⁢a⁢a+13⁢a⁢z_−12⁢a, scribendo 13⁢z pro x in valore CG. Potest etiam Problema resolvi per assumptionem æquationis quæ relationem inter AP et PD (posita nempe P intersectione Basis et Perpendiculi) definiat. Nam dictis AP=x, et PD=y, concipe CPD per spatium quàm minimum moveri puta ad locum Cpd, inqꝫue CD et Cd sumpto CΔ velt Cδ ejusdem ejcujusvis datæ longitudinis puta 1, et ad CL demissis Δg, δγ perpendiculis quorum Δg (quod dic z) occurrat Cd in f, et completo parallelogrammo gγδe, positisqꝫue m, n, et r fluxionibus quantitatum x y et z ut supra; erit Δe.Δf∷Δe×Δe.Δδ×Δδ∷Cg×Cg.CΔ×CΔ∷Cg×CgCΔ.CΔ. Et Δf.Pp∷CΔ.CP. Et ex æquo Δe.Pp∷Cg×CgCΔ.CP. Est autem Pp momentum Basis AP cujus additamento evadit Ap, ac Δe contemporaneum momentum perpendiculi Δg cujus ablatione evadit δγ. Adeoqꝫue Δe et Pp sunt ut fluxiones linearum Δgz et APx, hoc est ut r et m. Quare r.m∷CgquadrCΔ.CP. Et proinde cùm sit Cgquadr=CΔquadr−Δgquad=1−z⁢z, et CΔ=1, erit CP=m−m⁢z⁢zr. Vel Et insuper cùm e tribus m, n, et r literam quamlibet pro uniformi fluxione ad quam cæteræ referantur habere liceat, si ista ponatur m ejusqꝫue quantitas unitas, evadet CP=1−z⁢zr. Præterea est CΔ1.Δgz∷CP.PL, et CΔ1.Cg1−z⁢z_∷CP.CL, Adeoqꝫue fit PL=z−z3r et CL=1−z⁢zr⁢1−z⁢z_. Ac deniqꝫue acta pq parallela arcui infinitè parvo Dd seu perpendiculari DC erit Pq momentum ipsius DP cujus additamento evadit dp simul ac AP fit Ap evadit Ap. Et idcirco Pp et Pq sunt ut fluxiones ipsarum APx et PDy, hoc est ut 1 et n, Atqꝫue adeò cùm propter similia triangula Ppq & CΔg, CΔ cac Δg seu 1 et z sint in eadem ratione erit n=z. Et Unde talis evadit Problematis resolutio. E proposita æquatione quæ relationem inter x et y designet quære relationem fluxionum m et n per ProbProblema 1. Et interea scribendo 1 pro m et z pro n obtinebitur valor z posito m=1 habebitur valor n cui z æquatur. Dein substituto z pro n substituto imaginando z pro n sunstitui ope æquationis novissimæ, quære relationes fluxionum m n et r per idem ProbProblema 1, et scribendo literum 1 pro m et z pro n interea posito m=1 iterum substituto 1 pro m obtinebitur valor r. Quibus habitis fac 1−n⁢nr=CP, z×CP=PL et CP×1−n⁢n_=CL; Et erit C ad curvam KC cujus quæ quæ æquatur DC auctæ vel diminutæ data aliqua quantitate DG quæ cujus pars quævis KC æquatur rectæ CG differentiæ nempe tangentium ductarum a punctis C et K perpendiculariter ad curvam Dd. ExemplExemplum. Sit a⁢x=y⁢y æquatio quæ relationem inter AP et PD designet et per Prob:Problema 1 primò erit a⁢m=2⁢y⁢n seu 119101 a=2⁢y⁢z. Deinde 0=2⁢n⁢z+2⁢y⁢r seu −z⁢zy=r. Indeqꝫue fit CP=1−n⁢nr=y−4⁢y3a⁢a, PL=z×CP=12⁢a−2⁢y⁢ya, et CL=a⁢a−4⁢y⁢y2⁢a⁢a⁢4⁢y⁢y−a⁢a_. Et a CP ac PL ablatis y et x restat CD=−4⁢y3a⁢a et AL=12⁢a−3⁢y⁢ya. Aufero autem y et x quòd CP et PL ubi valores habent affirmativos cadant ad partes puncti P versus D acet A, et tunc diminui debent auferendo affirmativas quantitates APD et AD. Ubi verò negativos valores obtinent, cadent ad contrarias partes puncti P et tunc augeri debent, id quod etiam fit auferendo affirmativas quantitates PD et AD. Jam ut curvæ ad quadm in qua punctum C locatur longitudo inter duo quævis puncta K et C noscatur; quæro longitudinem tangentis ad datum quodpiam punctum punctum K et aufero a CD. Quemadmodum si K sit punctum ad quod tangens terminatur ubi CΔ et Δg seu 1 et z ponuntur æquales quodqꝫue proinde in ipsa basi AP situm est, scribe 1 pro z in æquatione a=2⁢y⁢z et prodit a=2⁢y. Quare pro y scribe 12⁢a in valore CD nempe in −4⁢y3a⁢a, et oritur −12⁢a. Estqꝫue hæc longitudo tangentis ad punctum K, sive ipsius DG quæ subducta inter quam et superioriem indefinitum valorem CD relinquit 12⁢a−4⁢y3a⁢a pro GC differentia 4⁢y3a⁢a−12⁢a est GC cui curvæ pars KC æquatur. Ut insuper pateat qualis sit hæc curva, ab AL aufer AK quæ erit 14⁢a (mutato prius signo ut evadat affirmativa) aufer AK quæ erit 14⁢a et restabit KL=3⁢y⁢ya−34⁢a quam dic t et in valore lineæ CL quam dic v scribe 4⁢a⁢t3 pro 4⁢y⁢y−a⁢a et prodibit 2⁢t3⁢a⁢43⁢a⁢t=v. seu 16⁢t327⁢a=v⁢v æquatio ad Parabolam secundi generis ut supra. Siquando relatio inter t et v minùs commodè ad æquationem redigi possit, sufficit investigasse tantùm longitudines PC et PL. Quemadmodum si pro relatione in AP et PD assumatur æquatio 3⁢a⁢a⁢x+3⁢a⁢a⁢y−y3=0. Inde per ProbProblema 1 primò prodit a⁢a+a⁢a⁢z−y⁢y⁢z=0, deinde a⁢a⁢r−2⁢y⁢z⁢z−y⁢y⁢r=0. Atqꝫue adeo est z=a⁢ay⁢y−a⁢a, & r=2⁢y⁢z⁢za⁢a−y⁢y. Unde dantur PC=1−n⁢nr & PL=z×PC, quibus punctum C quod ad curvam situm est determinatur. Et longitudo curvǽ inter duo ejusmodi puncta e differentia correspondentium duarum tangentium DC sive PC−1 innotescit. Ex. gr.Exempli gratia. Si ponatur a=1 et ad determinandum aliquod curvæ punctum C sumatur y=2; evadet AP seu x=y3−3⁢a⁢a⁢y3⁢a⁢a=23. z=13. r=−49. PC=−2 & PL=−23. Deinde ad aliud punctum C determinandum si sumatur y=3 evadet AP=6. z=18. r=−3256. PC=−84 et PC=−1012. Quibus habitis si auferatur y a PC restabit −4 in priori casu et −87 in secundo casu pro longitudinibus DC quarum differentia 83 est longitudo curvæ inter inventa duo puncta C et C. Hæc ita intelligenda sunt ubi curva inter puncta duo C et C vel K et C continuatur sine termino quem cuspidi assimilavimus. Sed ubi unus vel plures ejusmodi termini interjacent istis punctis (qui termini inveniuntur per determinationem maximæ aut minimæ PC vel DC) longitudines singularum partium Curvæ inter illos et puncta C vel K ac terminos illos seorsim investigari debent et addi. 121103 Prob:Problema 11. Curvas invenire quotascunqꝫue quarum longitudines cum propositæ alicujus curvæ longitudine, vel cum area ejus ad datam lineam applicatâ, ope finitarum æquationum comparari possunt. Peragitur involvendo longitudinem areamve propositæ Curvæ in æquatione quæ in praecedente Problemate assumitur ad determinandam relationem inter AP et PD. Sed ut z et r inde per ProbProblema 1 eliciantur, fluxio longitudinis vel areæ illius priùs investigari debet. Fluxio longitudinis ejus determinatur ponendo æqualem radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis, et perpendiculariter incedentis. Sit enim RN linea perpendiculariter incedens super Basi MN, et QR curva proposita ad quam RN terminatur. Dictisqꝫue MN=s, NR=t, et QR=v, et earum fluxionibus p, q, et l respectivè; concipe lineam NR ad locum quam proximum nr promoveri, et demisso ad nr perpendiculo Rs, erunt Rs, sr, et Rr contemporanea momenta linearum MN, NR, et QR quorum additamentis evadunt Mn, nr, et Qr. Et cùm hæc sint inter se ut earundem linearum fluxiones, ac propter angulum rectum Rsr sit Rs×Rs+sr×sr_=Rr, erit p⁢p+q⁢q_=l. Ad determinandas autem fluxiones p et q duæ requiruntur æquationes una quæ definiat relationem inter MN et NR seu s et t, unde relatio inter fluxiones p et q eruenda est, et alia quæ definiat relationem inter MN vel NR ad datam figuram et AP seu x ad quæsitam, unde relatio fluxionis p vel q ad fluxionem m seu 1 innotescit. Invento l, fluxiones n et r per assumptam tertiam æquationem qua longitudo PD sive y definitur investigandæ sunt, et capienda PC=1−n⁢nr, PL=n×PC, ac DC=PC−y ut in præcedente Problemate. ExemplExemplum 1. Sit a⁢s−s⁢s=t⁢t æquatio ad datam curvam QR utpote circulum, x⁢x=a⁢s relatio inter lineas AP et MN, et 23⁢v=y relatio inter longitudinem datæ curvæ QR et rectæ PD. Per primam fit a⁢p−2⁢s⁢p=2⁢t⁢q seu a−2⁢s2⁢t⁢p=q et inde a⁢p2⁢t=p⁢p+q⁢q_=l. Per secundam fit 2⁢x=a⁢p adeoqꝫue est xt=l. Et per tertiam fit 23⁢l=n hoc est 2⁢x3⁢t=z, dein hinc fit 23⁢t−2⁢x⁢q3⁢t⁢t=r. Quibus inventis capienda sunt PC=1−n⁢nr, PL=n×PC, ac DC=PC−y sive PC−23⁢QR. Ubi patet longitudinem datæ curvæ QR inveniri non posse quin simul innotescat longitudo rectæ DC, indeqꝫue longitudo curvæ ad quam punctum C cadit. Et contra. Exempl:Exemplum 2. Stante a⁢s−s⁢s=t⁢t, ponatur x=s et v⁢v−4⁢a⁢x=4⁢a⁢y. Perqꝫue primam invenietur a⁢p2⁢t=l ut supra. Per secundam verò 1=p, ac inde atqꝫue adeo a2⁢t=l. Et per tertiam 2⁢l⁢v−4⁢a=4⁢a⁢n, setu (eliminato l) v−4⁢t4⁢t=z, dein hinc v4⁢t−1=z, dein hinc l4⁢t−v⁢q4⁢t⁢t=r. Exempl.Exemplum 3. Ponantur tres æquationes a⁢a=s⁢t, a+3⁢s=x et x+v=y. Et per primam (quæ HperbolasHyperbolam denotat) evadit 0=p⁢t+q⁢s, seu −p⁢ts=q, et inde ps⁢s⁢s+t⁢t_=p⁢p+q⁢q_=l. Per secundam evadit 3⁢p=1, adeoqꝫue est 13⁢s⁢s⁢s+t⁢t_=l. Et per tertiam fit 1+l=n sive 1+13⁢s⁢s⁢s+t⁢t_=z, dein hinc fit k=r, posita scilicet k fluxione radicalis 13⁢s⁢s⁢s+t⁢t_, quæ si fingatur æqualis φ sive 19+t⁢t9⁢s⁢s=φ⁢φ, proveniet inde 2⁢t⁢q9⁢s⁢s−2⁢t⁢t⁢p9⁢s3=2⁢φ⁢k. Et substituto imprimis −p⁢ts pro q, deinde 13 pro p, factaqꝫue divisione per 2⁢φ, habebitur −2⁢t⁢t27⁢φ⁢s3=k=r. Inventis n et r cætera peraguntur ut in primo exemplo primo. 123105 Quod si, ina quovis curvae puncto Q perpendiculoum QV ad MN demitta,tur, & curva invenienda sit cujus longitudo ex longitudine quæ oritur applicando aream QRNV ad datam aliquam lineam innotescat: ponatur illa data linea e, longitudo QRNMe quæ ex applicatione oritur v, et ipsius v fluxio l. Et cùm fluxio areæ QMN QRNV sit ad fluxionem areæ parallelogrammi rectanguli super MN ad altitudinem e constituti ut incedens linea NR seu t qua hæc describitur ad incedentem lineam e qua illud eodem tempore describitur; et longitudinum quæ oriuntur applicando areas illas ad datam e; hoc est linearum v et MN seu s fluxiones l et p sint in eadem ratione, erit l=p⁢te. Per hanc itaqꝫue regulam valor l inquirendus est, cæteraqꝫue ut in præcedentibus exemplis peragenda. Exempl:Exemplum 4. Sit QR Hyperbola quam æquatio a⁢a+a⁢t⁢tc=s⁢s a⁢a+a⁢s⁢sc=t⁢t definit, et inde juxta ProbProblema 1 evadet a⁢s⁢pc=t⁢q sive a⁢s⁢pc⁢t=q. Dein si pro alijs duabus æquationibus assumantur x=s, et y=v; prior dabit 1=p, unde fit l=p⁢te=te; et posterior dabit imprimis n=l, sive z=te, dein hinc r=qe, et substituto a⁢s⁢pc⁢t sive a⁢sc⁢t pro q evadet r=a⁢se⁢c⁢t. Inventis n et r fac 1−n⁢nr=CP et n×CP=PL ut in præcedentibus, et inde punctum C adeoqꝫue curva in quam omnia ejusmodi puncta cadunt determinabitur, cujus curvæ longitudo ex longitudine DC quæ valet CP−v innotescet, uti satis ostendimus. Est et alia Methodus qua Problema resolvitur; quærendo nempe Curvas quarum fluxiones vel æquentur fluxioni Curvæ propositæ, vel ex illius et aliarum linearum fluxionibus componatntur. Et hæc aliquando usui esse potest præsertim in convertendo curvas Mechanicas curvas in æquales geometricas. Cujus rei insigne est Exemplum in Spiralibus. Sit AB recta positione data, BD arcus super AB tanquam Basi incedens ac interea retinens A pro centro, ADd Spiralis ad quam arcus ille perpetim terminatur, bd arcus quam proximus sive locus in quem arcus BD dum incedit proximè movetur, DC recta perpendicularis ad arcum bd, dG differentia arcuum, AH alia curva spirali AD simili æqualis, BH recta super AB normaliter incedens ac terminata ad curvam AH, bh locus quam proximus in quem recta illa incedit, et HK perpendicularis ad bh. Et in triangulis infinitè parvis DCd ac HKh, cùm DC et HK æqualia sint eidem tertio Bb, indeqꝫue sibi mutuo æqualia, ac Dd et Hh ex Hypothesi sint correspondentes partes æqualium angulorum curvarum et inde etiam æqualia, nec non anguli ad C et K recti, tertia etiam latera dC et hK æqualia erunt. Quare cùm insuper sit AB.BD∷Ab.bC∷Ab−ABBb.bC−BDCG. Adeoqꝫue BD×BbAB=CG, si hoc auferatur a dG restabit dG−BD×BbAB=dC=hK. Dic itaqꝫue AB=z, BD=v, & BH=y, et earum fluxiones r, l, et n respectivè; et cùm bB, dG et hK sint earundem contemporanea momenta quorum additamentis evadunt Ab, bd, et bh, et proinde proinde inter se sint ut fluxiones, ideo pro momentis in æquatione novissima substituantur fluxiones, juxta et notæ pro lineis et emerget l−v⁢rz=n. Ubi si e fluxionibus r pro æquabili habeatur et supponatur unitas esse ad quam cæteræ referantur evadet l−vz=n. Quamobrem data per æquationem aliquam relatione inter AB et BD (sive x et v) qua Spiralis definiatur, dabitur (per ProbProblema 1) fluxio l, et inde etiam fluxio n ponendo æqualem l−vz. Atqꝫue hæc per ProbProblema 2 dabit lineam y sive BH cujus est fluxio. ExemplExemplum 1. Si detur z⁢za=v, æquatio nempe ad Spiralem Archimedeam, inde per ProbProblema 1, elicietur 2⁢za=l. A quo aufer vz sive za et restabit za=n za=n, et inde per ProbProblema 2 fit z⁢z2⁢a=y. Quod indicat curvam AH cui hæc spiralis AD æquatur esse Parabolam Apollonianam cujus latus rectum existit 2⁢a; sive cujus incedens BH perpetuò æquatur semissi arcus BD. Exempl:Exemplum 2. Si proponatur Spiralis quam æquatio z3=a⁢v⁢v sive z32a12=v definit, emerget per ProbProblema 1 3⁢z122⁢a12=l, et inde per ProbProblema 2 produ A quo si auferatur vz seu z12a12 restabit 125107 z122⁢a12=n et inde per ProbProblema 2 producetur z323⁢a12=y. Hoc est 13⁢BD=BH, existente AH Parabola secundi generis. Exempl:Exemplum 3. Si ad Spiralem sit z⁢a+zc=v. Exinde per ProbProblema 1 elicietur 2⁢a+3⁢z2⁢a⁢c+c⁢z_=l, A quo si auferatur vz sive a+zc, restabit z2⁢a⁢c+c⁢z_=n. Jam cum quantitas hac fluxione n descripta generata nequeat inveniri per ea quæ in ProbProblema 2 habentur, nisi prius fiat redsolutio in infinitam seriem; juxta tenorem Scholij ProbProblema 9 reduco ad formam æquationum in prima collumna Catalogorum juxta tenorem Scholij ProbProblema 9 substituendo zη pro z, et evadit z2⁢η−12⁢a⁢c+c⁢zη_=n, æquatio nempe secundæ speciei quarti ordinis prioris Gatalogi. Et conferendo terminos fit d=12, e=a⁢c, et f=c, adeoqꝫue z−2⁢a3⁢c⁢a⁢c+c⁢z_=t=y. Quæ æquatio est ad curvam geometricam AH cui spiralis AD æquatur. 127109 ProbProblema 12. Curvarum Longitudines determinare. Fluxionem curvæ lineæ in superiore Problemate ostendimus æqualem esse radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis et perpendiculariter Incedentis. Et proinde si Basis fluxionem pro uniformi ac determinata mensura, nimirum unitate, ad quam cæteræ fluxiones referantur, habeamus, et insuper per æquationem quæ curvam definit quæramus fluxionem Incedentis, habebitur fluxio Curvæ lineæ a qua longitudo ejus per ProbProblema 2 elicienda est. ExemplExemplum 1. Proponatur Curva FDH quam æquatio z3a⁢a+a⁢a12⁢z=y definit, posito scilicet z= basi AB, ac y= incedenti DB: et ex æquatione illa per ProbProblema 1 elicietur 3⁢z⁢za⁢a−a⁢a12⁢z⁢z=n, existente nimirum 1 pro fluxione ipsius z et n fluxione y. Dein additis fluxionum quadratis fit summa 9⁢z4a4+12+a4144⁢z4=99, et extracta radice 3⁢z⁢za⁢a+a⁢a12⁢z⁢z=q, indeqꝫue per ProbProblema 2, z3a⁢a+a⁢a12⁢z=t, ubi q fluxionem Curvae ac t longitudinem designat. Itaqꝫue si cujusvis portionis Curvæ hujus puta dD longitudo desideretur a punctis d ac D demitte ad AB perpendicula db ac DB et in valore t substitue quantitates Ab et AB seorsim pro z, ac differentia productorum erit longitudo quæsita dD. Quemadmodum si sit Ab=12⁢a et AB=a, scripto 12⁢a pro z evadet t=−a24, dein scripto a pro z evadet t=11⁢a12, a quo si prior valor auferatur restabit 23⁢a24 pro pro longitudine dD. Vel si Ab tantùm definiatur esse 12⁢a et AB spectetur indefinitè, restabit z3a⁢a−a⁢a12⁢z+a24=dD. Quod si cupias noscere portionem Curvæ quam t designat, finge valorem t æquari nihilo, et evadet z4=a412, sive z=a④12. Adeoqꝫue si sumatur Ab=a④12, et erigatur bd, longitudo arcus bB dD erit t sive z3a⁢a−a⁢a12⁢z. Et hæc de alijs curvis generaliter intelligenda sunt. Ad eundem modum quo hujus longitudinem determinavimus si pro alia Curva definienda proponatur æquatio z4a3+a332⁢z⁢z=y proveniet z4a3−a332⁢z⁢z=t, vel si proponatur z32a12−13⁢a12⁢z12=y, proveniet z32a12+13⁢a12⁢z12=t. Vel generaliter si sit c⁢zθ+z2−θ4⁢θ⁢θ⁢c−8⁢θ⁢c=y, ubi θ pro quolibet numero sive integro sive fracto designando adhibetur, erit c⁢zθ−z2−θ4⁢θ⁢θ⁢c−8⁢θ⁢c=t. ExemplExemplum 2. Proponatur curva quam æquatio 2⁢a⁢a+2⁢z⁢z3⁢a⁢a⁢a⁢a+z⁢z_=y definit, et per ProbProblema 1 obtinebitur n=4⁢a4⁢x+8⁢a⁢a⁢x3+4⁢x53⁢a4⁢yn=4⁢a4⁢z+8⁢a⁢a⁢z3+4⁢z53⁢a4⁢y sive, exterminato y, n=2⁢za⁢a⁢a⁢a+z⁢z_ cuius quadrato adde 1, et summa erit 1+4⁢z⁢za⁢a+4⁢z4a4, eiusqꝫue radix 1+2⁢z⁢za⁢a=q. Unde per ProbProblema 2 obtinetur z+2⁢z33⁢a⁢a=t. Exempl:Exemplum 3. Proponatur Parabola secundi generis ad quam æquatio est z3=a⁢a⁢y seu z32a12=y et inde per ProbProblema 1 elicietur 3⁢z122⁢a12=n, cujus quadrato adeoqꝫue est 1+9⁢z4⁢a_=1+n⁢n_=q. Jam cùm longitudo per fluxionem q generata nequeat inveniri per ProbProblema 2 absqꝫue reductione in infinitam seriem simplicium terminorum, consulo Catalogos ad Prob:Problema 9 et juxta ea quæ in Scholio ejus habentur prodit t=8⁢a+18⁢z27⁢1+9⁢z4⁢a_. Et sic Parabolarum z5=a⁢y4, z7=a⁢y6, z9=a⁢y8 &c longitudines inveniri possunt. ExemplExemplum 4. Proponatur Parabola ad quam æquatio est z4=a⁢y3, sive z43a13=y, et inde per ProbProblema 1 orietur 4⁢z133⁢a13=n. Adeoqꝫue 1+16⁢z239⁢a23_=n⁢n+1_=q. Quo invento iterum consulo Catalogos juxta Scholium prædictum et facta collatione cum secundo Theoremate quinti ordinis posterioris 129111 Catalogi, prodit z13=x, 1+16⁢x⁢x9⁢a23_=v, et 32⁢s=t. Ubi x designat basem ac y ordinatim applicatam Conic et s aream Hyperbolæ atqꝫue t longitudinem quæ oritur applicando aream ejus 32⁢s ad unitatem linearem. Eadem methodo Parabolarum z6=a⁢y5, z8=a⁢y7, z10=a⁢y9 &c longitudines cum ea quæ oritur applicando etiam per aream Hyperbolæ ad unitatem, comparantur determinantur. Exempl:Exemplum 5. Proponatur Cissois Veterum, et existente ad eam æquatione a⁢a−2⁢a⁢z+z⁢za⁢z−z⁢z_=y, inde per ProbProblema 1 elicietur −a−2⁢z2⁢z⁢z⁢a⁢z−z⁢z_=n, et consequenter a2⁢z⁢a+3⁢zz=n⁢n+1_=q. Quæ scribendo zη pro 1z seu z−1 evadit a2⁢z=a⁢zη+3_=q æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi et collatis terminis fitunt a2=d, 3=e, et a=f; adeoqꝫue z=1zη=x⁢x. a+3⁢x⁢x_=v, et 6⁢s−2⁢v3x=4⁢d⁢eη⁢finv32⁢e⁢x−s=t. Et adhibita a pro unitate per cujus multiplicationem vel divisionem hæ quantitates ad justum dimensionum numerum reducantur, evaditunt a⁢z=x⁢x, a⁢a+3⁢x⁢x_=v, et 6⁢sa−2⁢v3a⁢x=t. Quorum hæc est constructio. Existente VD Cissoide, AV diametro circuli ad quem aptatur, AF asymptoto ejus, ac DB perpendiculari ad AV; cum semiaxe AF=AV, et semiparametro AG=13⁢AV describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK, et agantur kt et KT rectæ tangentes Hyperbolam in k et K et occurrentes AV in t ac T, et ad AV constituatur rectangulum AVNM æquale spatio TKkt; et Cissoidis VD longitudo erit sextupla altitudinis VN. Fig ExemplExemplum 6. Existente Ad ellipsi quam æquatio a⁢z−2⁢z⁢z_ definit: proponatur curva Mechanica AD talis ut si Bd seu y producatur docnec huic curvæ ad D occurrat, sit BD æqualis arcui Ellipticæ Ad. Jatm quo hujus longitudo determinetur æquatio a⁢z−2⁢z⁢z_=y dabit a−4⁢z2⁢a⁢z−2⁢z⁢z_=n. Cujus quadrato si 1 addatur prodit a⁢a−4⁢a⁢z+8⁢z⁢z4⁢a⁢z−8⁢z⁢z quadratum fluxionis arcûs Ad, et huic si iterum addatur 1, provenit a⁢a4⁢a⁢z−8⁢z⁢z cujus radix a2⁢a⁢z−2⁢z⁢z_=n est fluxio curvæ lineæ AD. Ubi si e radicali z et pro z−1 scribatur zη, habebitur a2⁢z⁢a⁢zη−2_ fluxio primæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi; Collatisqꝫue terminis exibunt d=12⁢a, e=−2, et f=a, adeoqꝫue z=1zη=x, a⁢x−2⁢x⁢x_=v, et 8⁢sa−4⁢x⁢va+v=8⁢d⁢eη⁢f⁢fins−12⁢x⁢v−f⁢v4⁢e=t. Quorum constructio est ut, ad Ellipsis centrum C acta recta dC constituatur super AC parallelogrammum æquale sectori ACd, et duplum altitudinis ejus ponatur esse longitudo Curvæ AD. Exempl:Exemplum 7. Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est a⁢a+ Exempl:Exemplum 7. Existente Aβ=φ, & αδ Hyperbola ad quam æquatio sit −a+b⁢φ⁢φ_=βδ, actaqꝫue δT tangente ejus; proponatur curva VdD cujus basis AB sit 1φ⁢φ, & normaliter incedens BD longitudo quæ oritur applicando aream αδTα ad unitatem linearem. Jam ut hujus VD longitudo determinetur quæro fluxionem areæ αδTα cum AB uniformiter fluit & invenio esse a4⁢b⁢z⁢b−a⁢z_ posita AB=z & fluxione ejus unitate. Nam est AT=ab⁢φ=ab⁢z, ejusqꝫue fluxio a2⁢b⁢z, cujus dimidium ductum in altitudinem βδ seu −a+bz_ est fluxio areæ αδT descriptæ per tangentem δT. Quare fluxio illa est a4⁢b⁢z⁢b−a⁢z_, atqꝫue hæc applicata ad unitatem fit fluxio ⊕ ⊕ incedentis BD. Hujus quadrato a⁢a⁢b−a3⁢z16⁢b⁢b⁢z⁢z adde 1 quadratum fluxionis ipsius AB et prodit a⁢a⁢b−a3⁢z+16⁢b⁢b⁢z⁢z16⁢b⁢b⁢z⁢z, cujus radix 14⁢b⁢z⁢a⁢a⁢b−a3⁢z+16⁢b⁢b⁢z⁢z_ est fluxio curvæ VD. Est autem &c curvæ VD. Est autem hæc fluxio primæ speciei sexti ordinis posterioris Catalogi, collatisqꝫue terminis exeunt131113 exeunt 14⁢b=d, a⁢a⁢b=2, −a3=f, 16⁢b⁢b=g, adeoqꝫue z=x, & a⁢a⁢b−a3⁢x+16⁢b⁢b⁢x⁢x_=v (æquatio ad unam Conicam sectionem, puta HG, cujus area EFGH sit s, existente EF=x & FG=v:) Item 1z=ξ & 16⁢b⁢b−a3⁢ξ+a⁢b⁢ξ⁢ξ_=Υ16⁢b⁢b−a3⁢ξ+a⁢a⁢b⁢ξ⁢ξ_=Υ (æquatio ad aliam Conicam sectionem, puta ML, cujus area IKLM sit σ, existente IK=ξ & KL=Υ:)Deniqꝫue 2⁢a⁢a⁢b⁢b⁢ξ⁢Υ−a3⁢b⁢Υ−a4⁢v−4⁢a⁢a⁢b⁢b⁢σ−32⁢a⁢a⁢b⁢b⁢s64⁢b4−a4=t. Quare ut curvæ VD portionis cujuscunqꝫue Dd longitudo noscatur, demitte db normalem ad AB fingeqꝫue Ab=z & exinde per jam inventa quære t, dein finge AB=z et exinde etiam quære t & horum duorum t differentia erit longitudo Dd. ExemplExemplum 8.Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est a⁢a+b⁢z⁢z_=y et inde per Prob.Problema 1 elicietur n=b⁢zy seu b⁢za⁢a+b⁢z⁢z, cujus quadrato adde 1 & summæ radix erit a⁢a+b⁢z⁢z+b⁢b⁢z⁢za⁢a+b⁢z⁢z=q. Hanc fluxionem cùm non reperiatur in tabulis reduco in infinitam seriem, & primò per divisionem evadit q=1+b⁢ba⁢a⁢z⁢z−b3a4⁢z4+b4a6⁢z6−b5a8⁢z8&c_ dein per extractionem radicis q=1+b⁢b2⁢a⁢a⁢z⁢z−+4⁢b3+b48⁢a4⁢z4+8⁢b4+4⁢b5+b616⁢a6⁢z6&c. Et hinc per Prob.Problema 2 obtinetur t seu longitudo Hyperbolæ =z+b⁢b6⁢a⁢a⁢z3−+4⁢b3+b440⁢a4⁢z5+8⁢b4+4⁢b5+b6112⁢a6⁢z7&c. Quod si Ellipsis a⁢a−b⁢z⁢z_=y proponatur debet signum ipsius b ubiqꝫue mutari & habebitur z+b⁢b6⁢a⁢a⁢z3+4⁢b3−b440⁢a4⁢z5+8⁢b4−4⁢b5+b6112⁢a6⁢z7&c pro longitudine ejus et posita insuper unitate pro b, emerget z+z36⁢a⁢a+3⁢z540⁢a4+5⁢z7112⁢a6&c pro longitudine circuli: cujus æquationis seriei numerales coefficientes in infinitum inveniuntur multiplicando continuo per terminos hujus progressionis, 1×12×3.3×34×5.5×56×7.7×78×9.9×910×11&c. Exempl.Exemplum 89. Proponatur deniqꝫue Quadratrix VDE cujus vertex est V, existente A centro et AV semidiametro circuli interioris ad quem aptatur, atqꝫue angulo VAE recto. Acta jam recta qualibet AKD secante circulum istum in K, demissisqꝫue ad et Quadratricem in D demissisqꝫue ad AE normalibus KG, DB; dic AV a, AG z, VK x, et BD y, eritqꝫue ut in superiore Exemplo, x=z+z36⁢a⁢a+3⁢z540⁢a3+5⁢z7112⁢a6+&cx=z+z36⁢a⁢a+3⁢z540⁢a4+5⁢z7112⁢a6+&c. Extrahe radicem z et emerget =x−x36⁢a⁢a+x5120⁢a4−x75040⁢a6+&c. Cujus quadratum aufer de AKq & residui radix a−x⁢x2⁢a+x424⁢a3−x6720⁢a5+&c erit GK. Jam cùm ex natura Quadratricis sit AB=VK sive x, sitqꝫue etiam AG.GK∷AB.BDy, divide AB×GK per AG et orietur y=a−x⁢x3⁢a−x445⁢a3−2⁢x6945⁢a5&c. Et inde per Prob:Problema 1, n=−2⁢x3⁢a−4⁢x345⁢a3−4⁢x5315⁢a5&c. Cujus quadrato adde 1 et summa radix erit 1+2⁢x⁢x9⁢a⁢a+14⁢x4405⁢a4+604⁢x612757⁢a6+&c=q. Unde per ProbProblema 2 obtinetur t seu arcus Quadratricis arcus VD=x+2⁢x327⁢a⁢a+14⁢x52025⁢a4+604⁢x7893025⁢a6+&c