Mens Scholii praecedentis

57 Scholium secundum.

Cum D. Leibnitius anno 1684 Elementa methodi momentorum in ~~Acta E~~ lucem edideisssetedidisset, cælato Commercio quod anno 1676 mediante D. Oldenburgo ~~in a~~ mecum ~~anno 1676~~ habuerat; & opus haberem ijsdem elementis ad Propositiones aliquas sequentes demonstrandas: d posui Elementa illa in Lemmate ~~inde~~ superiore, eademque synthetice domonstravidemonstravi, deinde addidi ~~Lemma~~ Scholium superius ut [non ut Lemma illud D. Leibnitio concederem] sed] ut illum amice monerem ~~se ne quod~~ se methodum momentorum sibi ~~non debrere~~ publice ascribere non debere nisi simul commercium quod nobis anno 17676 incesserat publice ~~ret~~ etiam agnosceret. Quod cum nunquam ~~faeret~~ ~~per~~fecerit, restat ut ~~ego~~ eandem hic ~~atem~~ exponam qua Scholij illius mens plenius patefiat.

Anno 1669 Barrovius noster Analysin meam per series numero terminorum infinitas ad D. Collinium misit. In hoc Tractatu explicui methodum serierum et quomodo hæc series per methodum momentorum ~~universalit~~ ad Problemata solvenda universaliter applicari possent Collinisus autem series in hoc Tractatu positas libere communicabat. Anno 1673 ~~D. Olde Leibnitiu~~ ineunte D. Leibnitius fuit in Anglia ~~set Math~~ et Mercatoris Logorithmotechniam hinc postavit in Galliam, sed Mathesim sublimiorem nondum intellexit. ~~Anno proximo Legendo Hagenij Horologiāam oscillaru~~ Post paucos menses eandem discere cœpit Hugenio Magistro; et vigesimo sexto die mensis Octobris ~~scripsit se ejusdem~~ anni sequentis scripsit ad Oldenburgum se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circumferentiæ circuli, posit. Diametrum esse unitatem. Et quod eadem methodo etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem, valor posset; nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu. Vt adeo necesse non sit arcus rationem, ad circumferentiam nosse. Habuit igitur seriem qua inveniebat ~~t tum~~ ~~sinu exaren dato, Sed~~ tum arcum ex sinu dato, tun circumferentiam totam ex proportione ejus ad arcum: sed demonstrationem id est methodum inveniendi hujus seriei postea quæsivit a Collinio. ~~nondum habunt.~~

Anno proximo Apr. 165, Oldenburgus ~~neces~~ misit ad Leibnitium ~~misit~~ series octo ~~partic~~ a me & Gregorio inventisas quas a Collinio acceperat Sc. posita pro radio unitate datoque x pro sinu & ad inveniendum z arcum Series hæc est; $z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c$ in infinitum Et vicissim dato 2 pro arcu ad inveniendum x sinum series et $x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} z^{9} - &c$

Die 15 Aprilis sequentis D. Oldenburgo, misit ad D. Leibnitium seriem ejusmodo meanmeam pro arcu dato, scriben scribendo in hæc verba. Mercatoris Logarithmotechnia quam primum videret lucem ad D. Barrovium a me fuit transmissa; qui observato rescribebatobservato in ea infinitæ seriei usu ad Logarithmos construendos, rescribebat methodum illam aliquandiu excogitatam fuisse a successore suo Newtono omnibusque Curvis eorumque portionibus, Geometricis atque Mechanicis universim applicatam, cujus rei specimina quædam subjecit, vizt Posita pro Radio Vnitate, datoque x pro sinu, ad inveniendum z arcum series hæc est

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

in infinitum. Est extracta radice hujus seriei Æquationis methodo symbolica, si dederis z pro arcu ad inveniendum x sinum series hæc est;

x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} z^{7} - &c

Atque hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex Sinu 30gr. Ceulenij numeri facile struuntur. Gregorius quoque ad nos misit series similes ad tangentes naturales ex earundem arcubus, et conversim, obtinendum. Ex gr. pone Radium=r, Arcum a, Tangetem t, erit

t = a + \frac{a^{3}}{3 r^{2}} + \frac{2 a^{5}}{15 r^{4}} + \frac{17 a^{7}}{315 r^{6}} + \frac{62 a^{9}}{2835 r^{8}} + &c

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{3}} + \frac{r^{5}}{5 r^{5}} - \frac{t^{7}}{7 r^{7}} + \frac{t^{9}}{9 r^{9}} - &c

. Hanc Oldenburgi Collinij Epistolam se ab Oldenburgo accepisse D. Leibnitius agnovit per mittendo se cep Epistolāam sequente ad. D. Oldenburgum, 20 Maij C. C. 1675 Parisijs data, quæ sic incipit: et propriam manu scripta[m] & in Archivis Regiæ Societatis extant adhuc extantem, ago quæ sic incipit. Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi, pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias curas curas Mechanicis imprimis negotijs distrahar, non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam: nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quadam sic satis singulari. Mense Octobri subsequente Georgius Mohr Londino Parisias profectus series aliquot est. Et a Collinio acceptas attulit. Et ea occasione D. Leibnitius epistolam sequentem 12 Maij A.C. 1676 ad Collin Parisij, datam ad Oldenburgūum scripsit. Cum Georgius Mohr Danus in Geometria & Analasi versatissimus, nobis attulerit communicatam sibi a doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et sinum per . . . . . . . . is facile tibi suppeditabit materiam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo. uHasce series ante ante annum acceperat ab Oldenburgo. et per Demonstrationem earum intelligit methodum meam inveniendi: & Per Demenstrationem earum serierum intelligit methodum meam easdem inveniendi a Barrovio cum seriebus aliquo ad Collinium missam ut supra. Et per sua ab his longe diversa intelligit methodum suam inveniendi seriem Gregorij quam ab Oldenburgo pro inveniendo arcu circuli ex tangente data anno superiore acceperat. Eodem tempore postulabat etiam ab Oldenburgo ut Collinius Historiolam aliquam conciunaret. Studia et Inventa D. Iacobi Gregorij nuper mortui defuncti exhiberentem. Et in hanc Historiola a Collinio subinde Collecta scripta, habebantur excerpta non pauco ex ejus Epistolis, ut et ejus Epistola tota ad D. Collinium 15 Feb. Anno 167

\frac{0}{1}

data, in qua e in qua erant series duæ præ inv prædictæ pro inveniendo arcu circuli ex tangentæ data, et pro invenienda Tangente ex Arcu. In eadem Historiola habebatur etiam Epistola Gregorij ad Collinium anno 5 Sept. 1670 data in quæa Gregorius methodusm suam tangentium Gregorij sic descipsitdescripsit. Ex ejusdem [Barrovij] methodis Tangentes ducendi cum quibusdam e proprijs collatis, inveni methodum generalem & Geometricam ducendi tangentes ad omnes curvas, sine calculo; et quæ complectitur non tantum Barrovij methos particulares sed et ipsius generalem methodum Analyticam, quam habes sub finem Lectionis decimæ. Methodus mea haud pluribus quam duodecim continetur Propositionibus. Hæc methodus ducendi Tangentes sine calculo, eadem fuit cum Slusiana pro Curvis quæ per relationem inter Ordinatas et Abscissas definiebantur. In eadem Historiola habebatur etiam Epistola quædam e meis ad Leibnitio ad Collinium A.C. 1672, 10 Decem. data , & his verbis concepta. Ex animo gaudeo D. Barrovioj amici nostri reverendi Lectiones Mathematicas exteris adeo placuisse, neque parum me juvat intelligere eos [Slusium et Gregorium] in eandem — — — — ne grave ducas. Hanc Vbi notandum est quod Methodus mea Fluxionum in hac Epistola clarissime describitur. Hanc Historiolam D. Oldenburgus die 26 Iunij A.C. 1676 ad D. Leibnitium mittebat una cum Epistola mea 13 Iunij ejusdem data in quæ continebatur Demonstratio series quam D. Leibnitius a Collinio per Oldenburgum postulaverat, seu id est Methodus generalis mea inveniendi tum seriems. pro arcu ex sinu data, tum alias ejusmodi series Noluit Enim Collinus demonstrationem mea seu methodum meam ex Analysi me per series numero terminorum infinitas sine licentia mea describere, sed a me postulavit ut ipse demonstrationem methodum meam ad Oldenburgum mitterem. D. Leibnitius vero me remuneravit mittendo in Epistola 27 Aug. 1676 Parisij data methodum suam inveniendi seriem Gregorianam pro inveniendo Arcu circuli ex sinu dato. Hac Epistola et alia 24 Octob hoc anno Octob 24 data explicui methodum meam serierum et momentorum apert et methodum momentorum vel fluxionum ita adumbravi explicui & Æquationesm infinitasm nominando vocando quæ ejusmodi seriesm unam vel pduas aut plures involvitt, addidi: Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi series infinitas æquationes ampliantur: Quippe quæ earum beneficio ad omnia pene dixerim problemata — sese extendit. Non tamen omnino universalis evadit nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas. Sunt enim quædam Problematas . . . . . . . jam per quinque fere annos abstinuerim. Et cum D. Leibnitius Literis 27 Aug datis, harum rerum explicationem pleniorem postularet postularet, & seribus Gregorianis quas ab Oldenburgo nue inscij bis acceperat, me remuneraret, scripsi epistolam58 epistolam ad Oldenburgum Octob. 24 datam. i Et in eadem exposui quomodo ante pestem, quæ anno 1665 ingr contigit, incidi in methodum serierum, deinde addidi: Eo ipso tempore quo liber iste [viz Mercatoris logarithmotechnia] prodijt communicatum est per amicum D. Barrow (tunc Matheseos Professorem Cantab.) cum D. Collinso, Compendium quoddam — et sic exhibet sîc potius celavi 6accdæ13eff7i3l9n404qrr59t12vx [id est (ut in Scholio præcedente explicui) Data æquatione fluentes quotcunque æquatem fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire & vice versa] Hoc fundamento — Et sic exhibet Geometricam Quadraturam Curvæ. Rem exemplis illustro &c. Aderat hic [Londini] D. Leibnitius per unam spe septimanam epistola mea præcedens ad manus Olderburgai pervenit, eamque perlegit & Prælectiones Mathematicas Barrovij nostri comparavit, & in manibus Collinij vidit commercium quod Gregorius & Ego eam Collinio habuemus sin insuper Epistolas & scripta tam Gregoriana tum mea ad illum missa & videre potuit etenim Demonstrationem quam a Collinio per Oldenburgum postulaverat, in Analysi. per series descriptam. Et hinc pergendo per Belgium, literis ad Oldenburgum datis Amstelodi,

\frac{18}{28}

Novemb. 1676, hæc scripsit Methodus Slusij tangentium a Slusio publicata nondum rei fastigium tenet. Potest aliquid amplius præsteri in eo genere, quod — — . . continuare possit. Ac laudum ubi Hanoveram parvenerat & exemplar Eppistolæ meæ novissimæ ab Oldenburgo acceperat, rescripsit literis 21 Iunij 1677 datis in hæc verba Clarissimi Slusij Methodum tangentium nondum esse ablsolutam Celeberrimo Newtono assentior. Et jam a multo tempore rem tangentium longe generalius tractavi, scilicet per differentias Ordinatarum. Et subinde Methodum Tangentium Barrovij nostri per differentias Ordinatarum describendo, & methodum illum exemplo illustrando subjungit: Quod coincidit cum Regula Slusiana, ostenditque eam statim occurrere hanc Methodum intelligenti: Huc usque Methodum tangentium Barrovij Gregorus prius per duxerat. Addit vero Leibnitius: Sed methodus ipsa nostra longe est amplior. Non tantum enim exhiberi potest, cum plures sunt litteræ indeturminatæ quam y & x (quod sæpe fit maximo cum fructu) sed et tunc utilis est ubi interveniunt irrationales quippe quæ illam nullo morantur modo, neque ullo modo necesse est irrationales tolli, quod in methodo Slusij necesse est, & calculi difficultatem in immensum auget. Dein postquam rem exemplo illustraverat, subjungit Arbitror quæ celare voluit Newtonus de Tangentibus ducendis ab his non abludere. Quod addit, ex hoc eodem fundamento Quadraturas quoque reddi fa lciliores, me in sententia hac confirmat. H D. Leibnitius hic agnoscit me anno superiore, atque adeo ante annos alios quinque super quibus hæc studia tædio osculus neglexeram, p methodum habuisse differentiali similem, quæ methodusm tangentium Slusij istatim dabatur, quæque de surdas quantitates non morabatur; & quadraturas reddebat faciliores. Vt hæc agnosceret publice, scripsi Scolium Superius coram gs populares suos, scripsi scholium superius. & me methodum eandem in inventione fluxionum ex fluentibus et fluentium ex fluxionibus fundasse; candide fecisset scripsi Scholium superius. Sit ampl insuper agnovisset quæ exemplari Epistolæ meæ 10 Decem. 1672 ad Collinium datæ anno 1676 acceperat; rectius candide fecisset. Et Si insuper agnovisset amplitudinem methodo mis me methodum eandem descripsisse in Epistola mea 10 Decemb. 1677 ab Collinium datæ desript cujus exemplar mense Iulio anno 1676 ab Oldenburgo acceperat, methodum eandem descripsisse uti valde generalem esse candide fecisset eamque methodo serierum et quantitates surdas non morare eamque methodo serierum anno 1671 intertexuisse: candide fecisset. Si insuper agnovisset me, in Epistola me oa 10 Decem. 1672 ad Collinium data, cujus exemplar mense Iunio 1676 ab Oldenburgo acceperat, methodum eandem uti valde generalem descripsisse et ad quantitas surdas non hærentem descripsisse; eamque [me [methodo serierum anno 1671 intertexisuisse: candide fecisset] exemplo ducendi ducendi tangentes more Slusiano ibi illustrasse; & methodo serierum anno 1671 intertexuisse: candide fecisset. Si insuper agnovisset me hanc Methodum ante annum 1671 ad Problemata difficiliori se extendere quæ ad Quadraturas reduci nequeunt, candide etiam fecisset.

59 Cum D. Leibnitius anno 1684 methodum elementa methodi differentialis in lucem ederet & interea silentio præteriret epistolas meas hac re quas ex l anno 1676 in manu Collinij anno 1676 viderus vel ab O vel ab Oldenburgo accep accepti vel anno 1676 vel ab Oldeburgo acceperat vel in manu Collinij viderat. composui Scholium superiûs ut notum facerem me hu de hujusmodi methodo primum scripsisse. In epistola 13 Iune 1676 data motum fec scripsi Analysin per methodum serierum ad omnia paena problemata se extendere & sed non omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas. quas ibi non des quas ibi non describebam quod hæ speculationes diu mihi fastidio esse cœperant adeo ut ab uis tum per quinque fere annos abstinuueramissem ⊡⊡ His D. Leibnitius Epistola 27 Aug. 1676 data respondit in hæc verba: Quod dicere videmini plerasque difficultates (exceptis Problematibus Diophantæis) ad series infinitas reduci; id mihi non videtur. Sunt enim multa usque adeo mira et implexa, ut neque ab æquationibus pendeant neque ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis alijs) Problemata methodi tangentium inversæ. Ipse vero in Epistola 24 Octob. data, explicui Et in Epistola 24 Octob 1676 data explicui methodos illas ulteriores partim verbis apertis partim ænigmatice. Dixi utique quod eo ipso tempore quo Mercatoris Logarithmotechnia prodijt communicatum esse per amicum D Barrow (tunc Matheseos Professorem Cantab.) cum D. Collinio compendium quoddam serierum Methodi harum serierum, quodque Collinius suborta deinde inter nos epistolari consuetudine non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem. Et quod ante annos quinque [1671] cum suadentibus amicis consilium cœperam edendi Tractatum de refractione Lucis et Coloribus, quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare & [Tractatum de ijs etiam conscripsi, ut utrumque simul ederem. Ipse autem Tractatum meum non penitus absolveram ubi crebiæ subortæ per diversorum Epistolas (Objectionibus contra Theoriam de coloribus alijs) refertas) crebræ interpellationes me prorsus a consilio decernuerunt quietis utique amantissimum; In eo autem Tractatu series infinitæ non magnam partem obtinebant. Alia haud pauco congessi, inter quæ erat methodus ducendi Tangentes quam solertissime Slusius ante annos duos tresve tecum communicavit; de qua tu (suggrente Collinio) rescripsisti eandem mihi etiam Demonstratione prout ego operor. Quin etiam notn hic heretur ad Æquationes radicalibus unam vel utramque indefinitam quantitatem involventisbus utcunque affectas; sed abqsque aliqua talium Æquationum Reductione (quæ opus plerumque redderet immensum) Tangens confestim ducitur. Et eodem modo se res habet in quætionibusquæstionibus de Maximis et Minimis, alijsque quibusdam de quibus jam non loquor. Fundamentum harum operationum satis obvium quidem, quoniam jam non possum explicationenexplicationem ejus prosequi sic potius cæelavi, 6accdæ13eff7i3l9n404qrr4s9t12vx. [id est, Data Æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire: et vice versa.) Hoc fundamento conatus sum etiam reddere speculationes de Quadratura Curvailinearum simpliciores, pervenique ad Theoremata quædam generaliora. Et ut candide agam ecce primum Theorema. Ad Curvam aliquam sit

d z^{θ} \times {ε + f z^{η}}^{λ}

Ordinatim applicata, termino Abscissæ seu basis z normaliter insistens: ubi literæ d, e, f quaslibet quantitates dDatas, & θ, η, λ indices Potestatum sive Dignitatum quantitatum quibus affixæ sunt. Fac

\frac{θ + 1}{η} = r

λ + r = s

\frac{d}{η f} \times {ε + f z^{η}}^{λ + 1} = Q

, &

r η - η = π

: et Area Curvæ erit Q in

\frac{z^{π}}{s} - \frac{r - 1}{s - 1} \times \frac{e A}{f z^{η}} + r - 2 s - 2 \times \frac{e B}{f z^{η}} - \frac{r - 3}{s - 3} \times \frac{e C}{f z^{η}} + \frac{r - 4}{s - 4} \times \frac{e D}{f z^{η}}

&c Hæc series ubi r fractio est vel numerus negativus continuatur in infinitum lierisliteris A, B, C, D &c denotantibus terminos proxime ante cedentes, nempe A, terminum

\frac{z^{π}}{s}

, B terminum

- \frac{r - 1}{s - 1} \times \frac{e A}{f z^{η}}

&c Hæc series, ubi r ger fractio est vel numerus negativus, continuatur in infinitum; ubi vero r integer, est vald at affirmativus, continuatur ad lot terminos tantum quot sunt unitates in eodem r; & sic exhibet Geometricam quadraturam Curvæ. Rem exemplis illustro. &c Quomodo hujusmodi Theoremata ex per methodum fluxionum inventa inventa fuerunt ostenditur in Libro de Quadratura figurarum; ut et quomodo Theoremata inventa fuerunt pro comparatione Curvailinearum cum Conicis sectionibus quæque me in Catalogum dudum retulisse ain eadem Epistola subinde affirmabam affirmabam. Sub finem autem ejusdem Epistolæ hæc addo. Vbi dixi omnia pene Problemata solubilia existere; volui de ijs præsertim intelligi intelligi circa quæ Mathematicí se hactenus occuparunt, vel saltem in quibus ratiocinia Mathematica locum aliquem obdinere possunt. Nam alia sane adeo perplexis conditionibus implicata implicata excogitare liceat, ut not non satis comprehendere valeamus., Pl Attamen ne nimium dixisse videar, inversa de tangentibus Problemata sunt in potestate, aliaque illis difficiliora. Ad quæ solvenda usus sum duplici methodo; una concinniori, altera genera liori. Vtrumque visum est impræsentiæ literis transpositis consignare ne propter alios idem obtinentus, institutum in aliquibus mutare cogerer. 5a cc dæ 10e ff h 12i 4l 3m 10n 6O qq r 7s 11t 10v 3x: 4l 4m 5n 8O q 4r 3s 6t 4v, aa dd æ eeeee iii mm nn oo p rrr ssss tt uu. [id est, uVna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminarum homologorum æquationis resultantis, ad eruendos terminos assumptæ seriei.] Inversum hæc Problema de Tangentibus quando Tangens inter punctum contactus & axem figuræ est datæ longitudinis non indiget his methodis. Et tamen Curva illa Mechanica cujus determinatio ut e quando Et ejusdem generis est Problema quando Tangens pars Axis inter Tangentem et Ordinem pars axis inter Tangentem et Ordinatim-applicatam datur longitudine,. non indigit his methodis Et præterea siquandoquando in Triangulo rectangulo quod ab illa aAxis parte et Tangente & ac Ordinatim applicata constituitur, relatio duorum quorumlibet laterum per æquationem definitur quamlibet definitur, Problema solvi potest absque mea methodo generali: sed ubi pars Axis ad punctum aliquod positione datum terminata ingreditur vinculum; tunc res aliter se habere solet [id est, methodous in ea generalis utplurimum a in digetæ] requiritum ex methodo fluxionum et methodo serierum composita in hoc casu utplurimum requirutur.] Habui igitur per ea tempora methodum generalem (ex methodo serierum et methodo fluxionum compositam,) quæ ad omnia fere problemata (si fort numeralia quædam Diophantæis simila excipiantur) sese extenderet & Librum anno 1671 de hac methodo generali conscriperam. S Anno 1673 ad finem vergente, D. Leibnitius Lutetiæ Parisiorum agens Geometriam sublimiorem, Hugenio magistro, didicit. Et anno proximo, mense Iulio, de seriebus se convergentibus arcam circuli per seriem numerorum rationalium in infinitum productam invenisse scripsit. Dein, mense Octobri sequente addidit, quod eadem methodo etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhibere per ejusmodi seriem valor potest; nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu; at adeo necesse non sit, Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Ideoque Arcus ratio ad circumferentiam dabat seriem prædictam. Anno proximo 15 Apr. D. Oldenburgus mittebat ad D. Leibnitium series plures in quibus quorum numero Erant series duæ pro arcu una ex sinu dato et series alia ex tangente data. Et pro his misi acceptis D. Leibnitius mense proximo gratias reddidit. Anno 1676 Maij 12 D. O Leibnitius postulavit a D. Oldenburgo ut is methodum demonstrationem serierūum pro arcu ex sinu & pro sum ex arcu sibi transmite a Collinio procuraret et sibi transmitteret Et sub60 Et sub idem tempus postulavit etiam ut Epistolæ Gregorij ante paucos menses emortui in unam corpus colleigerentur & ad se mitterentur. Et postquam ectæ missæ fueran lectæ fuerant ad Oldenburgum remissæ sunt et in Archivis Societatis Regiæ ass usque hodie asservantur. In Collectio vero remissa fuit et usque hodie in archivis Regia Societatis Regia asservatur. Scripta est manu Collinij et inter alia continet exemplar Epistolæ 15 Feb 1 Gregorij 15 Feb 5 Septem 1670 datæ ad Collinium datæ, in qua Gregorius dicit se ex Barrovij methodis tangentes ducendi cum quibusdam e proprijs collatis, invenisse, Methodum generalem et Geom ducendi Tangentes ad omnes curvas sine calculo; Continet etiam exemplar Epistolæ Gregorij ad Collinium 15 Feb 167

\frac{0}{1}

datæ, qu continet in qua habetur seriems prædicta pro aArcu ex Tangente data Tangente, ut et exemplar Epistolæ ejusdam sis meæ ad Collinium 10 Decem 1672 datæ D. Iacobus Gregorius in Epistola 5 Sept. 1670 ad Collinium data scripsit se ex Barrovij methodis tangentes ducendi cum quibusdam e proprijs collatis invenisse Methodum generalem ducendi Tangentes ad omnes curvas sine calculo. Et cum Slusius se similem methodum habere ad Oldenburgum Scriberet & Collinius methodum meam postularet, rescripsi sequentem Epistolam 10 Decem. 1672. Ex animo gaudeo D. Barrovij amici nostri . . . . . . ne grave ducas. Missum autem fuit exemplar hujus Epistolæ ad D. Tschurnhausium mense Maio 1675. Et anno proximo hæ duæ Epistolæ aliæque multæ a Gregorio scriptæ et in unum corpus collectæ & manu Collinio descriptæ, ad D. Leibnitium mense Iunio missæ sunt. Et mense Octobri ejusdem anni D. Leibnitius Londinum veniens vidit in manu Collinij Epistolam meam prædent die 24 ejusdem mensis datam ut supra adijt Collinium ut evideret Epistolas a me & Gregorio de seriebus ad ipsum scriptas & simul vidit in ejus manu Epistolam meam prædictam die 24 ejusdem mensis datam ut ex ejus literis didici et hæcc Epistola admonitus videre potuit Analysin meam per æquationes numero terminorum infinitas quam D Barrow ad Collinium misit.

123552000^{ped} . {20592000.5148000}^{in hor.} . 85800 in 1' . 1430 in 1 ″ . 1436' . 4 ″ . 8164 ″

236 ∷ 1430 .

\begin{array}{r} 9.82126,45717 \\ 19.64252∟91434 \\ 4.8767109 \\ 4.5192400. 33055 \end{array}

48.833

\begin{array}{r} 236 \\ 944 \\ 708 \end{array}} \begin{array}{r} 337480 \\ 258492 \\ 78988 \\ 775476 \\ 14404 \\ 57876 \\ 51698 \\ 6178 \end{array} \begin{array}{r} 1433∟9167 \\ 57356668 \\ 4301750 \\ 430175 \\ 1290525 \\ 14391 \\ 8635 \\ 1004 \\ 205611718 \end{array} \begin{array}{r} 19663912) & 102805859 & (5228149 \\ 9831956 \\ ut 2177∟317 & 4486299 \\ ad 7∟52854 & 39327824 & 5228149 \\ seu & 5535166 & 10456298 \\ 3932782 & 62737788 \\ 1602384 & 125475576 \\ 1573113 & 7∟5285475576 \\ 29271 \\ 19664 \\ 9607 \end{array}

\begin{array}{r} 98183941335 \\ 866910 \\ 288970 \\ 577940 \\ 9.8183919275 \\ 19.6367838550 \\ 4.8767109 \\ 4.513494755 \\ 326208 \end{array} \begin{array}{r} 2174∟05555 \\ 32621 \\ 2177∟317655 \end{array} \begin{array}{r} 1505708 \\ 6022832 \\ 6775686 \\ 217574806 \end{array} \begin{matrix} 21.99 \\ 7.33 \\ 4 \frac{5}{7} ad 1 ∷ 33 ad 7 . \end{matrix}

\begin{array}{r} 229 \frac{1}{2} \\ 19663912 & (8570 \\ 1836 & - 18466 \\ 13039 & 85681∟534 \\ 11475 \\ 156412 \\ 16065 \\ −4238 \\ 2295 \\ 1943 \\ 1836 \\ 1070 \\ 918 \\ 152 \\ 1377 \\ 143 \end{array} \begin{array}{r} 136307 \\ 68153 \\ 20446 \end{array} \begin{matrix} 17∟1363 or 17 \frac{1}{8} \\ 17 \frac{2}{15} \end{matrix} \begin{array}{r} 1603 \\ 8015 \end{array}

\frac{29}{5} \times \frac{33}{7} \times \frac{1}{229}

ad 1 seu

\frac{957}{5, 7, 229}

ad 1 seu

\begin{array}{r} 957 \\ 7656 \\ 957 \\ 4785 \\ 779955 \end{array}

\begin{array}{r} 8015 & (8∟372 \\ 7650 \\ 359 \\ 2871 \\ 719 \\ 6909 \\ 491 \\ 1914 \end{array}

\begin{array}{r} 1050) 878 (84 \\ 38 \end{array} \begin{matrix} \underset{7.33}{21.99} . \frac{39}{1800} . \frac{1^{l} \times 12^{li}}{600} \\ \frac{26}{100} . \frac{13}{50} = \frac{1}{4} \end{matrix}

8∟3 \frac{3}{4} . 9∟3 \frac{3}{4}

\begin{array}{r} 87 \\ 87 \\ 957 \end{array} \begin{array}{r} 1603 \\ 8015 \end{array} 1087.1250 ∷ 17 \frac{1}{7} . \begin{array}{r} 1250 \\ 875 \\ 1786 \\ 214286 & (19∟7135 \\ 10558 \\ 9783 & 57191 \\ 7756 & 5147190 \\ 7609 & 30883140 \\ 1470 \\ 383 & 123532560 \\ 326 \\ 57 \end{array}

1087.1750 ∷ 17 \frac{1}{7} . \begin{array}{r} 1750 \\ 12250 \\ 250 \\ 1087) 30000 \\ 2174 \\ 7609 & (1966817556 \\ 6510 \\ 6522 \end{array}

18^{m} . 4000^{m} .. \begin{array}{r} 31∟58333) & 55 \times 19,7135 \\ 98,5675 \\ 985675 \\ 10842425 \\ 9475 \\ 1367425 \\ 1263333 \\ 104092 \\ 9475 \\ 924 \end{array}

\begin{array}{r} 1570796327 (27.6 \\ 57191 . Hexap \\ 343146 ped \\ 30883140 p. in □^{te} \\ 1570796327) \\ 1517517673 \\ 1413716694 \\ 103800979621 \frac{3}{4} \\ 942477796 \\ 95531994 \\ 1284214 \\ 1256637 \\ 27577 \\ 15708 \\ 11869 \\ 10995 \frac{1}{2} \\ 873 \frac{1}{2} \\ 7854 \\ 88 \\ 95 \end{array}

\begin{array}{r} 55200 & . 621 \frac{3}{4} \\ 184 \\ 92 \end{array} \begin{array}{r} 57200 . & 57292 : 92 . \\ 57132 \\ 69 \end{array} \begin{array}{r} 56909 & (91∟52 \\ 559567 \\ 9491 \\ 327 \\ 311 \\ 16 \end{array} \begin{array}{r} 17,1336 \\ 9352 \end{array}

3276800 hexap.

\begin{array}{r} 57657 & (92∟73 \\ 559567 \\ 17003 \\ 12435 \\ 4568 \\ 4352 \\ 216 \end{array} \begin{array}{r} 229∟5) & 19660818 & (85668 \\ 1836 \\ 13008 \\ 1475 \\ 153318 \\ 1377 \\ 15618 \\ 1848 \\ 1836 \end{array} \begin{array}{r} 1570796327 ( & 30883140 & (1966081756 \\ 1570796327 \\ 1517517673 \\ 1413716694 \\ 103800979 \\ 94247779 \\ 9553200 \\ 128422 \\ 125664 \\ 2578 \\ 15708 \\ 11872 \\ 10995 \\ 877 \\ 785 \\ 92 \end{array}

In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio anno 1676 intercedebant cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas et Minimas, ducendi Tangentes, quadrandi figuras curvilineas & similia peragendi quæ in terminis surdis æque ac in rationalibus procederet quætque methodum tangentium Slusij statim exhiberet, & cujus beneficio methodus serierum convergentium ad omnia pene problemata se extenderet: & methodum Tangentium Slusij statim exhiberet & cum insuper me de haic methodio et methodo serierum tractatum anno 1671 scripsisse

a b = x

b c = y

\dot{x} = n b = p

\dot{y} = c b

\dot{a c} = cn

c g = n d = \dot{x} + b d

b d = z

r = \dot{z}

x + z \dot{x} \mp \dot{z} = \dot{a d} = d k

\dot{x}

1−/

\dot{x} + \frac{\dot{y} \dot{y}}{\dot{x}} = c g

. dk

+ c g - d k = \frac{\dot{y} \dot{y}}{\dot{x}} + \dot{z}

y ∷ c g - c k

ck=

ck = \frac{\dot{x} y + \frac{\dot{y} \dot{y} y}{\dot{x}}}{\frac{\dot{y} \dot{y}}{\dot{x}} + \dot{z}} = \frac{\dot{x} \dot{x} y + \dot{y} \dot{y} y}{\dot{y} \dot{y} + \dot{z} \dot{x}}

Quoniam methodus mea generalis ex methodo fluxionum et methodo serierum convergentium componitur, et Operationes per fluxionentium momenta sæpe contrahu solent per contrahuntur resolvento fluentem momento imo auctam in seriem convergentem. Nam termi seriei erunt ut [muliplicatimultiplicati per hanc progressionem correspondentis terminos hujus progressionis

1.1.1 \times 2.1 \times 2 \times 3.1 \times 2 \times 3 \times 4 . &c

convertuntur in momentum primum, secundum, tertium, quartum &c. Sitit

A

A^{n}

fluentes duæ sintque

A + o

{A + o}^{n}

fluentes eædem post momentum temporis & resonatur

{A + o}^{n}

in seriem

A^{n} + n O A^{n - 1} + \frac{n n - n}{2} O O A^{n - 2} + \frac{n^{3} - 3 n n + 2 n}{6} O^{3} A^{n - 3} + \frac{n^{4} - 6 n^{3} + 11 n n - 6 n}{24} O^{4} A^{n - 4}

. Et hujus termini multiplicati per numeros terminos Correspondentes seriei

1.1.1 \times 2.1 \times 2 \times 3.1 \times 2 \times 3 \times 4

evadent momenta fluentis

A^{n}

momentum primum

n O A^{n - 1}

, secundum

n n - n \times O O A^{n - 2}

, tertium nn

n^{3} - 3 n n + 2 n O^{3} A^{n - 3}

quartum] secundus terminus ut fluxio prima et momentum primum, tertius ut fluxio secunda et momentum secundum & sic deinceps. ut fluxiones & momenta. Magna est igitur fluxiones et inter methodum fluxionum & methodum serierum affinoitas & harmonia, et propterea ex methodo utraque inter se conjunctis methodum unam generalem ab initio conflavi ut] methodum utramque conjunx. ab initio et ex utraque methodum g Analysin meo meam generalem ab initio conflavi. 62 Mens Scholij præcedentis. In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio anno 1676 intercedebant cum significarem me compotem esse m describerem methodum serierum & significarem hanc methodum ad omnia pene problemata sese extendere sed omnino universalem non evadere absque ulterioribus methodis eliciendi series infinitas ✝ ✝ Et hæ literæ una cum exemplari epistolæ meæ ad Collinium A 10 Decem 1672 datæ ad D. Leibnitium mitterentur.; Cumque D. Leibnitius responderet methodum serierum adeo generalem esse, sibi non videri id se non credere; esse enim multa usque adeo mira ut et implexa ut neque ab Æquationibus penderent, neque ex quadraturis, qualia essent (ex multis alijs) Problemata methodi tangentium inversæ; cumque responderem me Tractatum de methodo serierum tum ante annos quinque Conscripsisse & fundamentum ibi posuisse solvendi problemata quæ ad Quadraturas reduci requirent sed Tractat & ex hoc fundamento methodum Tangentium Slusij statim prodire, & hic non hæreri ad æquationes radicalibus affectas & fund ut neque in quæstionibus de maximis et minimis alijsque q & fundamentum illud literis traspnspositis hassem hanc sententiam involventibus Data æquatione fluentes quotcumque quantitates involvente invenire fluxiones & vice versa; fundamentum illud celarem; & Cuid ejusdem beneficiuo quadraturas curvarum quoque reddi faciliores, & series generales pro quadraturis prodire quæ abrumperentur et evaderent æquationes finitæ uti quadratura per finitas æquationes. exhiberi posset, et rem exemplis illustrarem; sed et Theoremata pro comparatione Curvarum cum Conicis sectionibus prodire quæ vix per Transmutationem figurarum quibus Iacobus Grigorius et alij usi sunt, absque ulteriori fundamento inveniri posse putarem; cum denique inversa de Tangentibus Problemata in potes aliaque illis difficiliora in potestate esse dixissem ad quæ solvenda usus essem duplici methodo, his sententijs ænigmatice designata: Una methodus consistit in extractione . . . . assmptæ seriei: D. Leibnitius Literis anno sequente die 120 Iunij datis rescripsit sequoque in ejusmodi methodum incidisse & methodum Et hujusmodi fluxionibus et momentis p secuntdis in hoc Tractatu nonnunquam usus sum, Et ut et in linearum longe antea in linearum curvitatem invenienda de qua utique scripsi in Epistola 10 Decem 1672 ad Collinium data. Est Hujus autem Probl. solutionem in Lecta schediasmate sub finem anni 1666 composita talem invenio Et hujusmodi Fluxionibus autem et momentis secunduism in hocce tractatu Principiorum Libro nonnunquam usus sum. ut et longe ante Et Horum beneficio anno 1677 inveni demonstrationem Propositionis undecimæ Libri Primi anno 1677. Horum beneficio inveni curvitatis Curvarum per methodum meam generalem quarum memini in E Principorum anno 1677. Et In Epistola mea ad 10 Decemb. 1672 dum me ad Collinium data ubi dixi methodum meam generalem ad se extendere ad resolvendum Problemata de Curvitatibus Curvarum; Id est horum beneficio intelligendum est per methodum fluxionumis secundatum benefici Et in Tractatu Schediasmate quod [de h sub finem anni 1666 composui, Problema hocce resolutum invenio, & in ejus resolutione in literas punctatos adhibuisse pro symbolis adhibuissem] antea de hoc Problemate casu posueram, quodam vetustiore invenio me in hujus Problematis resolutione pro literas punctatas pro symbolis adhibuisse. sed

A^{n} . n A^{n - 1} . n n - n O A^{n - 2}

. Pag 386 lin. 3 quantulum auxerint, vel gravitates paulo minores sunt in Insulis ubi maria circundantia sunt depressiora et minus densa quam terra firma arida in Continent in circuitu locorum in cContinente. Ib. l. 18 lineæ unius vix superante. Ipse autem etiam observavi quod horologium oscillatorium ad minuta secunda oscillans tempore æstivo tardius ad movetur singulis diebus, spatio quam temperetempore hyberno minutorisum secundorisum viginti quatuor circiter, quam tempore hyberno, et propterea pendulum evadet longius tempore æstivo quam hypberno ex iste Differentia quasi quarta parte lineæ unius. Calores autem ætivi apud nos thermometro mensurati æquori solent caloribus locorum in zona torrida quamproxime mensurentibus Thermometris. Proinde differentia total longitudinis pendulorum quæ in diversis regionibus isochrona sunt, diverso calori attribui non potest. Sed neque erroribus Astronomorum e Gallia missorum. Ib. lin 34. Inter limiters

1 \frac{1}{2}

lanutem lin

1 \frac{1}{2}

& lin

2 \frac{1}{2}

quantitas mediocris est 2 linearum. Propter calores in Zona torrida negligamus quartam partem lineæ, et manebit differentia lineæ unius cum tribus quartis patibus lineæ. Et quoniam aqua marina quibus insulæ circundantur Pag 387 lin 1 fiet milliarium

27 \frac{3}{5}

. Nam tarditas — — — — sustinent. Et rarior est et qdepressior quam terra firma qua loca in cContinente circundantur, ob defectum materiæ densæ quibus qua insulæ in circuitu insularum negligatu negligamus insuper sentissem lineæ et manebit differentia lineæ unius cum quarta partæ lineæ Pag 387 lin 1 fiet milliarium

19 \frac{5}{7}

. Ib. l 5. excessu 34″ circiter. Ar terræ semidiameter maxima erit pedūum Parisiensium 197 minima pedum 196 & mediocris pedum 19668176 Pag 138. lin 29. quam

17 \frac{1}{7}

, 63 Mens Scholij præcedentis. Anno 1669 ad finem vergente prodijt Mercatoris Logarithmotechnia & mense Iulio anni sequentis Barrovius noster Compendium meum methodi serierum sub titulo Analyseos per Æquationes numero terminorum infinitas, ad Collinium misit. Et scrinijs Collinij in Ionesij manus er tandem incidentibus Tractatus hicce lucem vidit., & Continet autem Analysin Analysin qua Problemata Geometria methodos serierum et methodum fluxionum conjunctas tractacturtractatur. Problemata utique per methodum fluxionum et momentorum deducuntur ad Æquationes & Æquationes per methodos ibi descriptas convertuntur in series, & termini serierum in opus est quadrantur, fluxiones simplices per tres Regulas initio positas quadrantur dant fluentes & Regularum prima per methodum fluxionum sub finem Tractatus demonstratur. Et symbolum pro series tota per symbolum designatur & ponitur & series inter operandum pro symbolo illo nonnunquam substituitur Et series nonnunqꝫuam in æquationisem finitasm reditt. Æquationes finitæ per methodos in hoc Tractatu descriptas convertuntur in Series, & Series nonnunquam redeunt in Æquationes finitas Et ubi symbolum pro Serie tota ponitur, Series inter operandum pro Symbolo illo nonnunquam substituitur. Et ex fluxionesibus simplicesibus per Regulas tres primus dant initio hujus Tractatus positas dant eruuntu fluentes & vicissim fluentes per Ricassm Regulas regrediendo dant fluxiones, & ex fluentibus vicissim eruuntur fluxiones et Regularum prima p demonstratur per methodum fluxionum, [et vicissim fluentes per hanc Regulam dant fluxiones] & methodum ad quantitates surdas methodum non non hærere ostenditur. Et Problemata omnia quæ in Curvis Analyticis tractari tolebant tractant etiam per hanc methodmethodum in Curvis qu vulg Mechanicis. [Quibus de causis nomen Analyseos huic methodo a me impositum fuisse dicitur.] Et quicquid vulgaris Analysis per æquationes ex finito terminorum numero constantes (quando id sit possibile) perficitet hanc methodum per æquationes numero terminorum infinitas semper perfitcit.ere. Quibus de causis nomen Analyseos huic methodo a me impositum fuisse dicitur Pro fluxionibus autem in hoc Tractatu ponuntur symbola quæcunque & & pro momentis fluentium ponuntur rectangula sub fluxionibus & momento temporis & pro fluxione temporis po vel quantitatis cujuscunque uniformiter fluentis qua tempus exponitur usurpatur unitas [et pro tempus temporis momento ponitur a 1 x o o symbolum o, s et pro quantitatis cujuscunque alterius uniformiter fluentis ponitur rectangulum sub fluxione 1 et momento o, et pro aliarum quantitatum momentis ponuntur rectangula sub earum fluxionibus et momento o; et siquando symbolum fluxionis pro momento ponitur, subintelligitur coefficiens o; et fluxio rectangulo inclusa nonnunqua ponitur pro fluentem designat. Symbola Vero pro lubitu variari possunt cum methodus in forma symbolorum minime consistat. D Collinius autem ubi hoc accepto ex hoc Tractatu series cum amicis mox commucarecommunicare cœpit & methodum generalem prædicare et Gregorius s de his admonitus methodum quæsivit investigandi seriem ad ipsum missam diu quæsivit et sub finem anni 1670 invenit et mox per Epistolam ad Collinium 15 Feb 167

\frac{0}{1}

datum misit series plures continentur conti e quarum numero erat hæc. Sit Radius r, Arcus a, & tangens t et erit

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}}

&c. Et exemplar autem hujus Epistolæ ad D. Co Leibnitium missum fuit mense Iunio anni 1676. Anno autem 1672 ad finem vergente. Anno 1672 Decem 10 scripsi ad Collinium Sequentem Epistolam. Examen gaudio . . . — — — ne grave ducas. Anno 1669 Anno 1671 Cum D. Leibnitius exeunte anno 1673 Londinum venisset et ibi de seriebus admonitus de rebus Arithemticis disputasset esset is a Pellio de Mercatoris Logarithmotechniam secum Lutetiam tulit portavitus et sub finem hujus anni et initium sequentis. Geometriam sublimiorem Hugenio Magistro didicit, & mox mense Iulio hujus annoi de d seriebus ad Oldenburgum scribere cœpit, et dicendo se — — — — — — — dabat etiam circumferentiam totam Anno 1675 Apr 15 D. Oldenburgus suggerente Collinio . — — — — — — . sic satis singulari. Anno 1672 ad finem vergente Collinius noster scripsit ad me de methodis tangentium Gregorij et Slusij ducendi tangentes absque calculo et postulavit ut methodum meam communicarem. Qua occasione sequentem Epistolam 10 Decem 1672 ad ipsum scripsi. Ex animo gaudeo . . . . — — — — — — — ne grave ducas. Gregorius utique ad Collinium scripserat 5 Sept. 1670 se ex methodis tangentium Barrovij et suis methodum generalem ducend invenisse ducendi tangentes absque calculo, & Slusius ad Oldenburgum scripserat se methodum similem habere sed neuter methodum suam communicassetverat. Missūum est autem exemplar epistolæ meæ a Collinio ad Tschirnhausium mense Maio 1675 et ad Leibnitium mense Iunio 1676. Et eodem tempore missum est exemplar Epistolæ jam dictæ Gregorij ad Leibnitium Et ex his Epistolis inotescere potuit quod hæc methodus Tangentium et Corollarium esset methodi generalis de qua hic locutus sum, & consequeretur etiam ex methodo tangentium Barrovij. Ineunte anno 1673 D. Leibnitius Londinum venit & cum Pellio nostro de rebus Arithmeticis disputatvit in Geometria sublimiore nondum instructus. At a Pellio de serie Mercatoris &c admonitus, Logarithmotechniam ejus secum Lutetiam tulit, et sub finem hujus anni & initium sequentis Geometriam sublimiorem Hugenio magistro didicit, & proximo mense Iulio seri de seriebus ad Oldenburgum scribere cœpit, dicendo se . . . . . . . dabat etiam circumferentiam totam Anno 1675 Apr 15 D. Oldenburgus suggerente Collinio . . . . . . sic satis singulari. Hoc Anno D. Leib. composuit et cum amicis communicavit opusculum s quadraturæ Arithmeticæ per transmutationem figurarum seriem quæ T pro arcu cujus tangens datur ut ipse ex Actis Eruditorum anni 1691 pro mense Aprili pag 1678 intellext scripsit. Anno 1676 Maij 12 D. Leibnitius scripsit scripsit epistolam sequentem ad D. Oldenburgum Epistolam sequentem Anno 1676 tempore verno audita Gregorij morte D. Leibnitius a D. Oldenburgo postulavit ut Gregorium in unum corpu commercium Gr commercium Gregorianum in unum corpus colligeretur & ad Lutetiam Pit se mitteretur Et Collinius subinde excerpta Epistolarum ejus Gregorij collegit et missa est Collectio Lutetiam mense Iunio ut a D. Leibnitio legeretur & subinde redderetur et extat collectio in Archivis R. S. in manu Collinij scripta, & inter alia continet epistolas Gregorij 5 Sept. 1670 & 15 Feb 167

\frac{0}{1}

datas ut et meam ad Collinūum 10 Decem 1672 datam. Eodem anno Maij 12 D. Leibnitius scripsit ad D. Oldenburgum scripsit Epistolam sequentem: Cum Georgius Mohr Danus, in Geometria — — — — — — desiderio meo. Hac occasione sollicitantibus Oldenburgo et Collinio scripsi sequentem epistolam 13 Iunij datam, in qua methodum serierum descripsi et addidi Analysin per eandem — — — non aliunde habuisse. 65 Mens Scholij præcedentis. In Epistola 13 Iunij 1676 seri datæ methodum Serierum descripsi & addidi Analysin per easdem ad omnia pene problemata (si numeralia quædam Diophantæis similia excipiantur) sese extendere, non tamen omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas quas non vacabat describere cum hæ speculationes diu mihi fastidio esse cœpissent adeo ut ab ijsdem jam tum per quinque fere annos abstinuissem. Respondit D. Leibnitius 27 Aug. 1676 in hæc verba: Quod dicere videmini plerasque difficultates (exceptis Problematibus Diophantæis) ad series infinitas reduci, id mihi non videtur. Sunt enim multa usque mira et implexa ut neque ab æquationibus pendeant neque ex quadraturis, qualia sunt (ex multis alijs) Problemata methodi Tangentium inversæ. Ipse verò in Epistola 24 Octob 1676 data data, et D. Leibnitio (qui tunc Londini versabatur) statim lecta, rescripsi quod eo tempore postquam ubi Mercatoris Logarithmotechnia prodijt (anno nempe 1669) communicatum esse fuit per amitcum D. Barrow (tunc Matheseos Professorēem Cantabr.) cum D. Collinio compendium quoddam method, harum serierum, in quo significaveram aAreas & Longitudines Curvarum omnium & solidorum superficies et contenta ex datis Rectis, et vice versa ex his datis Rectas determinari posse & methodum ibi indicatam illustraveram diversis seriebus. [D. Leibnitius autem qui eo tempore æ paulo ante postulaverat ut Gregoriana omnia ad se Lutetiam Parisijs agentem mitterentur & ubi hæc jam Londinum venerat statim legebat hanc & in Collinuijum consulabat d manu vidit Epistolas Gregorij et meas, per hanc Epistolam admonitus videre potuit Tractatum illum in manu Collinij] Et hac Compendium in Ione ipse Colliniana cum scrinijs Collinij in in Ionesij manus tandem incidit entibus hoc compendium ab ipso in lucem emissum fuit est. Continet autem methodum serierum ad problemata per methodum fluxionum (a D. Leinitio methodum summarum ac & momentorum applicatam. [Et leæ pro fluxionibus hic substituantur, et fluxiones quadratis inclusæ pro fluentibus] Fluxiones autem enta hic per as notas quaslibet designantur. & Momenta quæ D Leibnitius per differentia etiam tiam designantes autem hic per per rectangula sub fluxionibus & momento o quandoque designantur, & momentorum summæ per fluxiones rectangulorisum in clusas. C Old Collinus autem accepto hoc Compendio Seri In eadem etiam Collinius autem accepto hoc cCompendio series ibi positas cum ut et Serias alias quas a Gregorio anno 1671 acceperat, cum amicis libere communicavibat, e quarum numero erant Series pro inveniendo sinu vel tangente ex arcu dato. In eadem epistola subjunxi quod Collinius subinde non destitit suggerere ut hæc publici juris facerem, et ante annos quinque [anno scilicet 1671) cum suadentibus amicis concilium ceperam edendi Tractatum de Refractione Lucis et coloribus, quem tunc in promptu habebam; cœpi de his seriebus iterum cogitare & Tractatum de ijs etiam conscripsi ut utrumque simul ederem. Sed lites de coloribus paulo post subortæ me quietis amantem a concilio edendi hoc tractatums deterruerunt. In eo autem Tractatu fundamentum posui me posuisse dixi solvendi problemata quæ ad Quadraturas reduci nequeunt & quomodo methodus Slusiana solv ducendi Tangentes ex hoc fundamento statim prodiret, et quod hic non hæreatur ad æquationes Radicalibus unam vel utramque indefinitam Qualitatem involventibusventibus utrumque affectas sed absque talium æquationum reductione (quæ opus plerumque redderet immensum). Tangens confestim ducitur. Et quod eodem modo se res haberet in quæstionibus de Maximis et Minimis; alijsque quibusdam, de qu Et fundamentum harum operationum satis obvium esse dixis sed cum explicationem ejus prosequi non vacaret celabam id celavi hac sententia ænigmatitce posita Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vica versa. Et hoc fundamento dixi me etiam conatum esse dixi reddere speculationes de Quadratura Curvarum simpliciores et pervenisse ad Theoremata quædam generalia, & Theorema primūum posu ibi posui et exemplis illustravi. [Et quomodo hujusmodi Theoremata ex hac methodo profluunt ostenditur in Tractatu de Quadratura figurarum.] Addidi etiam quod alia haberem Theoremata pro comparatione Co Figurarum cum Conicis sectionibus, alijsve figuris simplicissimis quibuscum possent comparari, meque hujusmodi TheomataTheoremata in Catalogum dudum retulisse, quæ Theoremata vix per transmutationem figurarum quibus Iacobus Gregorius et alij usi sunt absque ulteriori fundamento [nempe fundamento meo prædicto] inveniri posse putarem. Et quomodo hujusmodi Theoremata hæcce omnia ex hoc fundamento prodeunt ostenditur in Tractatu prædicto de Quadratura Ad Curvilinearum Addidi præterea quod ubi Quadratura figurarum [quam D. Leibnitius methodum summatoriam vocat] per has methodos non bene succederet, rem expedire possem describendo Curvam Geometricam per data quotcunque puncta transeununtemtranseuntem: id est per terminos Ordinatamrūrum quotcunque fluxiones designantium Curvam quadrabilem describendo cujus area exhibeat fluentem quæsitam. Addidi denique quod ubi dixi omnia pene Problemata solubilia existere, volui de ijs præsertim intelligi — datur longitudine. Hæc Problemata sunt casus tantūum particulares Solvitur utique absque methodo fluxionum dicendo tantum quod ubi Abscissa crescit in ratione progressione Arithmetica, Ordinata crescit vel descrescit in ratione Geometrica, ideoque Abscissa et Ordinata sunt ad invicem ut numerus et Logarithmus. Quin etiam si in triangulo rectangulo quod ab illa Abs Axis parte a prædicta Axis parte et Tangente ac Ordinatim applicata constituitur relatio duorum quorumlibet latarum per æquationem quamlibet definiatur Problema solvi potest [per simplicem Quadraturam] absque mea methodo Generali: sed ubi pars Axis [seu Abscissæ] ad punctum aliquod positione datum terminata ingreditur vinculum, tunc res aliter se habere solet, id est, non semper solvitur per simplicem Quadraturam sed sæpe requirit methodum meam generalem. Sic enim vocabam methodum ex methodis serierum et fluxionum et compositam. D. Leibnitius jam erat in itinere Pro Mar Vbi nunciatum est D. Leibnitium ad Hanoveram pervenisse D. Oldenburgus exemplar ejus hujus Epistolæ ad ipsum misit & D. Leibnitius tandem Epistola 21 Iunij 1677 data respondit in hæc verba: Clarissimi Slusij methodum Tangentium nondum esse absolutam Celeberrimo Newtono assentior Et jam a multo tempore rem Tangentium longe generalius tractavi scilicet per differentias Ordinatarum.; Et subinde descripsit methodūum Tangentiums Barovij & ostendit quod methodus Slusiana statim occurretret hanc methodum intelligenti, & quod quomodo irrationales minime ipsam eam nullo morærentur modo; deinde subjunxit: Arbitror quæ celare voluit Newtonus de Tangentibus ducendis ab his non abludere. Quod addit, ex hoc eodem fundamento quadraturas reddi quoque reddi faciliores me in66 in sententia hac confirmat, nimirum semper figuræ illa sunt quadrabiles quæ sunt ad æquationem differentialem. Et post annos septem in lucem emisit elementa hujus methodi Cum vero post annos septem in lucem emitteret elementa hujus methodi & silentio præteriret totum illu commercium illud epistolicum quod quod inter nos annis 1676 & 1677 intercesserat quo signifaicrum me methodum hanc et ejus vim descripseram & signif primus descripseram & me Tractatum de eadem anno 1671 scripsisse significaramsignificarem, et ipse ille me hujusmodi methodum habuisse agnoscerat agnoverat: posui Scholium superius ut inde constaret me primum de hac methodo scripsisse & elementa ejus in Lemmate secundo Libri secundi præcedente synthetice demonstrata non aliunde habuisse Sub initio anni 1673 D. Leinitius Londinum venit & a Pellio admonitu de serie Mercatoris admonitus Logarithmotechniam ejus secum in Galliam tulit sed Geometraiam sublimiorem nondum intellexit. Scripsit autem ad Oldenburgum de Quæstionibus Arithmeticis usque ad mensem Iunium hujus anni, deinde Geometriam sublimiorem Hugenio MagstroMagistro didicit, & anno sequente menseibus Iulio & Octobri cœpit de seriebus scribere dicendo se seriem numerorum rationalium pro invenis Theorema invenisse cujus ope Area Circuli vel sectoris ejus dati exacti exprimi posset per seriem numerorum rationaliūum continue productam in infinitum. Et mense Octobri ejusdem anni exposuit qualie esset series qu Theorema cujus ope area sectoris dati per Seriem exprimi posset, dicendo quod seriem invenisset pro circumferentia tota & quod eadem methaodo etiam arcus cujuslibet cujus sinus daretur, geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor posset, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu; ut adeo non necesse esset arcus rationem ad circumferentiam nosse. Theorema igitur & ex dato sinu dabat sectorēem vel Arcum & si ratio ejus ad circumferentiam totam nosceretur dabat etiam circumferentiam totam. Anno 1675 Apr 15 D. Oldenburgus a C suggerente Collinio Seriesm plures ad meam pro inveniendo arcu ex sSinu dato, ut et Gregorianam pro inveniendo arcu ex Tangente data aliasque nonnullas ad D. Leibnitium misit et D. Leibnitius Literis 20 Maij 1675 datis respondit rescripsit in hæc verba. Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias curas Mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam, nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quædam sic satis singulari. Anno 16716 Maij 12 D. Leibnitius hæc scripsit ad Oldenburgum Cum Georgius Mohr Danus in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatam sibi a Doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et Sinum per infinitas series sequentes: Posito sinu x, Arcu z, Radio 1,

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9}

x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{36288} z^{9}

&c Hæc, inquam, cum nobis attulaerit ille, quæ mihi valde ingeniosa videntur, et posterior imprimis series elegantiam quandam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris, Vir clarissime, si demonstrationem transmmiseris. Habebis vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata de quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo, demonstratione tamen non addita quam nunc polio. Oro ut a Cl. Collinio multam a me salutem dicas. Is tibi facile tibi materiam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo. Hac occasione sollicitantibus Oldenburgo et Collinio scripsi Epistolam meam prædictam 13 Iunij 1676 datam, ✝ et eodem tempore, ea quæ Gregorius jam emortuus cum Amici communicaverat a Collinio in unum corpus sollicitante D. Leibnitio collecta sunt et ad Leibnitium missa ut ab ipso legerentur; & a Leibnitio & s subinde ad subinde ad Oldenburgūum reddita remitterentur sunt & Eademque jam extant in manu Collinij. In hac Collectione habetur etiam exemplar Epistolæ Gregorij Anno 1670 ad Collinium 5 Sept 1670 datæ, in qua Gregorius dicit se ex methodis. Tangentium Barrovij et suis invenisse methodum generalem ducendi Tangentes ad omnes Curvas sine calculo. Habetur et alia Gregorij Epistola ad Collinium 15 Feb 16701 data in qua series ponitur pro arcu cujus Tangent datur. Habetur etiam Epist exemplar Epistolæ sequentis a me 10 Decem 1672 ad Collinium scriptæ in hæc verba ut sequituur. Ex animo gaudeo D. Barrovij — ad series infinitas ne grave ducas. Missum etiam futit exemplar hujus Epistolæ ad D. Tschurnhausium mense Maio 1675. Methodus autem generalis quæ in hac Epistola describitur et cujus Corollarium dicitur Methodus tangentium Gregorij et Slusij, est est ipsa methodus fluxionum. [Et cum hæc methodus hic dicatur extendere se ad resolvendum alia abstrusioram Problematum genera de curvitatibus, adAreis, Longitudinibus, cCentris gravitatis Curvarum &c, et Problemæ de Curvitatibus Curvarum a fluxionibus secundis dependeant, subjungam solutionem hujus [Problematis qualem olim in Tractatu sub finem anni 1666 scripto posui] Mense Octobri proximo D. Leibnitius Londinum venit & Collinium consuluit de ijs quæ a Gregorio et me ad ipsum scripta sunt viditque partem Commercij nostri in ejus manu literas nostras in ejus manu, eas præstertim quæ ad series convergentes spectabant. Et hæc omnia silentio præteriri non debuerant: præsertim cum D. Leibnitius Pro paulo ante rogaverat oOldenburgum ut Demonstrationem serierum mearum pro arcu & sinu a Collinio procuraret & ipse in jam per Epistolāam meāam 24 Octobri 24 Octob scriptam admonitus esset de Compendio meo harum serierum anno 1669 a Barrovio ad Collinium missuom; in quo Compendio methodum fluxionum non obscure descripseram & per quantitarūum momenta applicueram ad omnia Problemata et Demonstrationem illam posueram et methodum fluxionum & momentorum non obscure de scripseram et ejus beneficio methodum serierum ad solutionem Problematum applicueram et Regulam primam in qua fundabatur demonstraveram. Fluxiones vero per symbola quæcunque hic designavi et momentum per hæc symbola ducta in tempor vel quantitatis uniformiter fluentis momentum o & hic designavi et fluxionem rectangulo inclusam pro fluente nonnunquam posui. Hac methodo Analysi usus sum annis 1665 & 1666 et ut ex veteribus meis chartis reperio, et eadem usque nunc utor. Eadem Hac investigavi maximam partem Propositionum quæ in hisce Principiorum Libris habentur, sed inventas composui synthetice ut lucem videretur & in luce Geometriam admitterentur: Nam laus Geometriæ ex ejus certitudine oritur, eaque de causa veteres nihil prius in et in Geometriam admittebant quam componeretur, & per Demonstrationem Geometricam syntheticam redderetur certissimum.