De Motu Corporum (Liber Secundus) (1726)

<230>

DE
MOTU CORPORUM
LIBER SECUNDUS.

SECTIO I.

De motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.

PROPOSITIO I. THEOREMA I.

Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia amissus est ut spatium movendo confectum.

NAm cum motus singulis temporis particulis æqualibus amissus sit ut velocitas, hoc est, ut itineris confecti particula: erit, componendo, motus toto tempore amissus ut iter totum. Q.E.D.

Corol. Igitur si corpus, gravitate omni destitutum, in spatiis liberis sola vi insita moveatur; ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum: dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum, ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.

LEMMA I.

Quantitates differentiis suis proportionales sunt continue proportionales.

Sit A ad $\mathrm{A}-\mathrm{B}$ ut B ad $\mathrm{B}-\mathrm{C}$ & C ad $\mathrm{C}-\mathrm{D}$, &c. & convertendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D, &c. Q.E.D.

<231>

PROPOSITIO II. THEOREMA II.

Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & idem sola vi insita per medium similare moveatur, sumantur autem tempora æqualia: velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione geometrica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates.

Cas. 1. Dividatur tempus in particulas æquales; & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiæ impulsu unico, quæ sit ut velocitas: erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales, & propterea (per lem. I. lib. II.) continue proportionales. Proinde si ex æquali particularum numero componantur tempora quælibet æqualia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim æquali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex rationibus inter se iisdem terminorum intermediorum æqualiter repetitis, & propterea eæ quoque rationes compositæ inter se eædem sunt. Igitur velocitates, his terminis proportionales, sunt in progressione geometrica. Minuantur jam æquales illæ temporum particulæ, & augeatur earum numerus in infinitum, eo ut resistentiæ impulsus reddatur continuus; & velocitates in principiis æqualium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam casu continue proportionales. Q.E.D.

Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiæ, hoc est, earum partes singulis temporibus amissæ, sunt ut totæ: spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissæ, (per prop. I. lib. II.) & propterea etiam ut totæ. Q.E.D.

Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiæ, hoc est, earum partes singulis temporibus amissæ, sunt ut totæ: spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissæ (per prop. I. lib. II.) & propterea etiam ut totæ. Q.E.D.

Corol. Hinc si asymptotis rectangulis AC, CH describatur hyperbola BG, sintque AB, DG ad asymptoton AC perpendiculares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia medii, ipso motus initio, per lineam quamvis datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGD, & spatium <232> eo tempore descriptum per lineam AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta DC in ratione geometrica ad modum velocitatis, & partes rectæ AC æqualibus temporibus descriptæ decrescent in eadem ratione.

PROPOSITIO III. PROBLEMA I.

Corporis, cui, dum in medio similari recta ascendit vel descendit, resistitur in ratione velocitatis, quodque ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.

Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum BACH, & resistentia medii initio ascensus per rectangulum BADE sumptum ad contrarias partes rectæ AB. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum B describatur hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo tempore DGgd describet spatium EGge, tempore DGBA spatium ascensus totius EGB; tempore ABKI spatium descensus BFK, atque tempore IKki spatium descensus KFfk; & velocitates corporis (resistentiæ medii proportionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABFI, ABfi respective; atque maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BACH.

Resolvatur enim rectangulum BACH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quæ sint ut incrementa velocitatum æqualibus totidem temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totæ, atque ideo (per hypothesin) ut resistentia medii principio singulorum temporum æquali <233> um. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, deque vi gravitatis subducantur resistentiæ, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, MmHC, &c. ut vires absolutæ quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur, atque ideo (per motus legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn, &c; & propterea (per lem. I. lib. II.) in progressione geometrica. Quare si rectæ Kk, Ll, Mm, Nn, &c. productæ occurrant hyperbolæ in q, r, s, t, &c. erunt areæ ABqK, KqrL, LrsM, MstN, &c. æquales, ideoque tum temporibus tum viribus gravitatis semper æqualibus analogæ. Est autem area ABqK (per corol. 3. lem. VII. & lem. VIII. lib. I.) ad aream Bkq ut Kq ad $\frac{1}{2}\mathit{kq}$ seu AC ad $\frac{1}{2}\mathit{AK}$, hoc est, ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areæ qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt, &c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi, tertii, quarti, &c. Proinde cum areæ æquales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus gravitatis analogæ, erunt areæ Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est (per hypothesin) velocitatibus, atque ideo descriptis spatiis analogæ. Sumantur analogarum summæ, & erunt areæ Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis descriptis analogæ; necnon areæ ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. temporibus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis ABrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q.E.D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad vim resistentiæ, qua in fine temporis illius impeditur.

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione arithmetica, summa velocitatis illius maximæ ac velocitatis in ascensu, atque etiam earundem differentia in descensu decrescit in progressione geometrica.

Corol. 3. Sed & differentiæ spatiorum, quæ in æqualibus temporum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione geometrica.

<234>

Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quæ etiam ipso descensus initio æquantur inter se.

PROPOSITIO IV. PROBLEMA II.

Posito quod vis gravitatis in medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum horizontis; definire motum projectilis in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis.

Eloco quovis D egrediatur projectile secundum lineam quamvis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam horizontalem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A, ut sit DA ad AC ut resistentia medii, ex motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rectangulum sub DA & DP ad rectangulum sub AC & CP ut resistentia tota sub initio motus ad vim gravitatis. Asymptotis DC, CP describatur hyperbola quævis GTBS secans perpendicula DG, AB in G & B; & compleatur parallelogrammum DGKC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectæ DC punctum quodvis R erecto perpendiculo RT, quod hyperbolæ in T, & rectis EH, GK, DP in I, t & V occurrat; in eo cape Vr æqualem <235> $\frac{\mathit{tGT}}{\mathrm{N}}$, vel quod perinde est, cape Rr æqualem $\frac{\mathit{GTIE}}{\mathrm{N}}$; & projectile tempore DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit, perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper appropinquans ad asymptoton PC.. Estque velocitas ejus in puncto quovis r ut curvæ tangens rL.Q.E.I.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, ideoque RV æqualis $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{QB}}{\mathrm{N}}$, & Rr (id est $\mathit{RV}-\mathrm{Vr}$ seu $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{QB}-\mathrm{tGT}}{\mathrm{N}}$) æqualis $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{AB}-\mathit{RDGT}}{\mathrm{N}}$. Exponatur jam tempus per aream RDGT, & (per legum Corol. 2.)distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam hæc in partes duas partibus motus proportionales & contrarias: ideoque longitudo, a motu ad latus descripta, erit (per prop. II. hujus) ut linea DR, altitudo vero (per prop. III. hujus) ut area $\mathit{DR}\times \mathit{AB}-\mathit{RDGT}$, hoc est, ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT aequalis est rectangulo $\mathit{DR}\times \mathit{AQ}$, ideoque linea illa Rr (seu $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{AB}-\mathit{DR}\times \mathrm{AQ}}{\mathrm{N}}$) tunc est ad DR ut $\mathit{AB}-\mathit{AQ}$ seu QB) ad N, id est, ut CP ad DC; atque ideo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, atque Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpetuo tangit. Q.E.D.

Corol. 1. Est igitur Rr æqualis $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{AB}}{\mathrm{N}}-\frac{\mathit{RDGT}}{\mathrm{N}}$: ideoque si producatur RT ad X ut sit RX æqualis $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{AB}}{\mathrm{N}}$; (id est, si compleatur parallelogrammum ACPY, jungatur DY secans CP in Z, & producatur RT donec occurrat DY in X;) erit Xr æqualis $\frac{\mathit{RDGT}}{\mathrm{N}}$, & propterea tempori proportionalis.

Corol 2. Unde si capiantur innumeræ CR, vel, quod perinde est, innumeræ ZX in progressione geometrica; erunt totidem Xr in <236> progressione arithmetica. Et hinc curva DraF per tabulam logarithmorum facile delineatur.

Corol. 3. Si vertice D, diametro DG deorsum producta, & latere recto quod sit ad 2DP ut resistentia tota ipso motus initio ad vim gravitatis, parabola construatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in medio uniformi resistente describat curvam DraF, ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DP, ut in spatio non resistente describat parabolam. Nam latus rectum parabolæ hujus, ipso motus initio, est $\frac{\mathit{DV\; quad.}}{\mathit{Vr}}$; & Vr est $\frac{\mathit{tGT}}{\mathrm{N}}$ seu $\frac{\mathit{DR}\times \mathit{Tt}}{2\mathrm{N}}$. Recta autem quæ, si duceretur, hyperbolam GTS tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideoque Tt est $\frac{\mathit{CK}\times \mathit{DR}}{\mathit{DC}}$, & N erat $\frac{\mathit{QB}\times \mathit{DC}}{\mathit{CP}}$. Et propterea Vr est $\frac{\mathit{DRq}\times \mathit{CK}\times \mathit{CP}}{2\mathit{DCq}\times \mathit{QB}}$, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) $\frac{\mathit{DVq}\times \mathit{CK}\times \mathit{CP}}{2\mathit{DPq}\times \mathrm{QB}}$, & latus rectum $\frac{\mathit{DV\; quad.}}{\mathit{Vr}}$ prodit $\frac{2\mathit{DPq}\times \mathit{QB}}{\mathit{CK}\times \mathit{CP}}$, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) $\frac{2\mathit{DPq}\times \mathit{DA}}{\mathit{AC}\times \mathit{CP}}$, ideoque ad 2DP, ut $\mathit{DP}\times \mathit{DA}$ ad $\mathit{CP}\times \mathit{AC}$; hoc est, ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 4. Unde si corpus de loco quovis D, data cum velocitate, secundum rectam quamvis positione datam DP projiciatur; & resistentia medii ipso motus initio detur: inveniri potest curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate datur latus rectum parabolæ, ut notum est. Et sumendo 2DP ad latus illud rectum, ut est vis gravitatis ad vim resistentiæ, datur DP. Dein <237> secando DC in A, ut sit $\mathit{CP}\times \mathit{AC}$ ad $\mathit{DP}\times \mathit{DA}$ in eadem illa ratione gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum A. Et inde datur curva DraF.

Corol. 5. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & velocitas corporis & resistentia medii in locis singulis r. Nam ex data ratione $\mathit{CP}\times \mathit{AC}$ ad $\mathit{DP}\times \mathit{DA}$, datur tum resistentia medii sub initio motus, tum latus rectum parabolæ: & inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati proportionalis resistentia in loco quovis r.

Corol. 6. Cum autem longitudo $2\mathit{DP}$ sit ad latus rectum parabolæ ut gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta velocitate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum parabolæ augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem $2\mathit{DP}$ augeri in ratione illa simplici, ideoque velocitati semper proportionalem esse, neque ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quoque velocitas.

Corol. 7. Unde liquet methodus determinandi curvam DraF ex phænominis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & æqualia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, CDp & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum, assumpta quacunque longitudine pro DP vel Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. <238> Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de ratione $\frac{\mathit{Ff}}{\mathit{DF}}$ per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & exponatur differentia per perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistentiæ ad gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiæ affirmativæ ad unam partem rectæ SM, & negativæ ad alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiæ ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longitudo DF per calculum; & longitudo, quæ sit ad assumptam longitudinem DP, ut longitudo DF per experimentum cognita ad longitudinem DF modo inventam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum curva linea DraF quam corpus describit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

<239>

Scholium.

Cæterum, resistentiam corporum esse in ratione velocitatis, hypothesis est magis mathematica quam naturalis. In mediis, quæ rigore omni vacant, resistentiæ corporum sunt in duplicata ratione velocitatum. Etenim actione corporis velocioris communicatur eidem medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis; ideoque tempore æquali, ob majorem medii quantitatem perturbatam, communicatur motus in duplicata ratione major; estque resistentia (per motus leg. II & III.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege resistentiæ.

SECTIO II.

De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.

PROPOSITIO V. THEOREMA III.

Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & idem sola vi insita per medium similare movetur; tempora vero sumantur in progressione geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione geometrica inverse; & quod spatia sunt æqualia, quæ singulis temporibus describuntur.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia medii, & resistentiæ proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras æquales dividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis particulæ illæ AK, KL, LM, &c. in recta CD sumptæ, & erigantur perpendicula AB, <240> Kk, Ll, Mm, &c. hyperbolæ BklmG, centro C asymptotis rectangulis CD, CH descriptæ, occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim $\mathit{AB}-\mathit{Kk}$ ad Kk ut AK ad CA, & vicissim $\mathit{AB}-\mathit{Kk}$ ad AK ut Kk ad CA, ideoque ut $\mathit{AB}\times \mathit{Kk}$ ad $\mathit{AB}\times \mathit{CA}$. Unde, cum AK & $\mathit{AB}\times \mathit{CA}$ dentur, erit $\mathit{AB}-\mathit{Kk}$ ut $\mathit{AB}\times \mathit{Kk}$; & ultimo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento erunt $\mathit{Kk}-\mathit{Ll}$, $\mathit{Ll}-\mathit{Mm}$, &c. ut Kk quad. Ll quad. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differentiæ; & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiæ, similis erit ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per aream AKkB; velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptæ per areas Kl, Lm, &c. Et composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione geometrica; & erunt partes illæ in eadem progressione, & velocitates AB, Kk, Ll, Mm, &c. in progressione eadem inversa, atque spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. æqualia. Q.E.D.

Corol. 1. Patet ergo quod, si tempus exponatur per asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium totum descriptum per aream hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon spatium, quod corpus aliquod eodem tempore AD, velocitate prima AB, in medio non resistente describere posset, per rectangulum $\mathit{AB}\times \mathit{AD}$.

Corol. 2. Unde datur spatium in medio resistente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in medio <241> non resistente simul describi posset, ut est area hyperbolica ABGD ad rectangulum $\mathit{AB}\times \mathit{AD}$.

Corol. 3. Datur etiam resistentia medii, statuendo eam ipso motus initio æqualem esse vi uniformi centripetæ, quæ in cadente corpore, tempore AC, in medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quæ tangat hyperbolam in B, & occurrat asymptoto in T; recta AT æqualis erit ipsi AC, & tempus exponet, quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.

Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiæ ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

Corol. 5. Et viceversa, si datur proportio resistentiæ ad datam quamvis vim centripetam; datur tempus AC, quo vis centripeta resistentiæ æqualis generare possit velocitatem quamvis AB: & inde datur punctum B per quod hyperbola, asymptotis CH, CD, describi debet; ut & spatium ABGD, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quovis AD, in medio similari resistente describere potest.

PROPOSITIO VI. THEOREMA IV.

Corpora sphærica homogenea & æqualia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, temporibus, quæ sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper æqualia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.

Asymptotis rectangulis CD, CH descripta hyperbola quavis BbEe secante perpendicula AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates initiales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd. Est ergo ut Aa ad Dd ita (per hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natura hyperbolæ) CA ad CD; & componendo, ita Ca ad Cd. Ergo areæ ABba, DEed, hoc est, spatia descripta æquan <242> tur inter se, & velocitates primæ AB, DE sunt ultimis ab, de, & propterea dividendo partibus etiam suis amissis AB-ab, DE-de proportionales. Q.E.D.

PROPOSITIO VII. THEOREMA V.

Corpora sphærica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus, quæ sunt ut motus primi directe & resistentiæ primæ inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis & velocitatibus primis conjunctim proportionalia.

Namque motuum partes amissæ sunt ut resistentiæ & tempora conjunctim. Igitur ut partes illæ sint totis proportionales, debebit resistentia & tempus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut motus directe & resistentia inverse. Quare temporum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, ideoque retinebunt velocitates velocitatibus suis primis semper proportionales. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia, quæ sunt ut velocitates primæ & tempora conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si æquivelocibus corporibus resistitur in duplicata ratione diametrorum: globi homogenei quibuscunque cum velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim globi cujusque erit ut ejus velocitas & massa conjunctim, id est, ut velocitas & cubus diametri; resistentia (per hypothesin) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc propositionem) est in ratione priore directe & ratione posteriore inverse, id est, ut diameter directe & velocitas inverse; ideoque spatium, tempori & velocitati proportionale, est ut diameter.

Corol. 2. Si æquivelocibus corporibus resistitur in ratione sesquiplicata diametrorum: globi homogenei quibuscunque cum velocitatibus moti, describendo spatia in sesquiplicata ratione diametrorum, amittent partes motuum proportionales totis.

Corol. 3. Et universaliter, si æquivelocibus corporibus resistitur in ratione dignitatis cujuscunque diametrorum: spatia quibus globi homogenei, quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes <243> motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicati. Sunto diametri D & E; & si resistentiæ, ubi velocitates æquales ponuntur, sint ut ${\mathrm{D}}^{\mathit{n}}$ & ${\mathrm{E}}^{\mathit{n}}$: spatia quibus globi, quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut ${\mathrm{D}}^{3-\mathit{n}}$ & ${\mathrm{E}}^{3-\mathit{n}}$. Et propterea globi homogenei describendo spatia ipsis ${\mathrm{D}}^{3-\mathit{n}}$ & ${\mathrm{E}}^{3-\mathit{n}}$ proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.

Corol. 4. Quod si globi non sint homogenei, spatium a globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim, sub pari velocitate, major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratione temporis.

Corol. 5. Et si globi moveantur in mediis diversis; spatium in medio, quod cæteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiæ. Tempus enim (per hanc propositionem) diminuetur in ratione resistentiæ auctæ, & spatium in ratione temporis.

LEMMA II.

Momentum genitæ æquatur momentis laterum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.

Genitam voco quantitatem omnem, quæ ex lateribus vel terminis quibuscunque in arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum; in geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium, sine additione & subductione generatur. Ejusmodi quantitates sunt facti, quoti, radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica, & similes. Has quantitates, ut indeterminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes, hic considero; & earum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Particulæ finitæ non sunt momenta, sed quantitates ipsæ ex momentis genitæ. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finita <244> rum magnitudinum. Neque enim spectatur in hoc lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ quævis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Lateris autem cujusque generantis coefficiens est quantitas, quæ oritur applicando genitam ad hoc latus.

Igitur sensus lemmatis est, ut, si quantitatum quarumcunque perpetuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. momenta, vel his proportionales mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit $\mathit{a}\mathrm{B}+\mathit{b}\mathrm{A}$, & geniti contenti ABC momentum fuerit $\mathit{a}\mathrm{BC}+\mathit{b}\mathrm{AC}+\mathit{c}\mathrm{AB}$: & genitarum dignitatum ${\mathrm{A}}^2$, ${\mathrm{A}}^3$, ${\mathrm{A}}^4$, ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$, ${\mathrm{A}}^{\frac{3}{2}}$, ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{3}}$, ${\mathrm{A}}^{\frac{2}{3}}$, ${\mathrm{A}}^{-1}$, ${\mathrm{A}}^{-2}$, & ${\mathrm{A}}^{-\frac{1}{2}}$ momenta $2\mathit{a}\mathrm{A}$, $3\mathit{a}{\mathrm{A}}^2$, $4\mathit{a}{\mathrm{A}}^3$, $\frac{1}{2}{\mathit{a}\mathrm{A}}^{-\frac{1}{2}}$, $\frac{3}{2}{\mathit{a}\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{3}{\mathit{a}\mathrm{A}}^{-\frac{2}{3}}$, $\frac{2}{3}{\mathit{a}\mathrm{A}}^{-\frac{1}{3}}$, ${-\mathit{a}\mathrm{A}}^{-2}$, $-2{\mathit{a}\mathrm{A}}^{-3}$, & $-\frac{1}{2}{\mathit{a}\mathrm{A}}^{-\frac{3}{2}}$ respective. Et generaliter, ut dignitatis cujuscunque ${\mathrm{A}}^{\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}}$ momentum fuerit $\frac{\mathit{n}}{\mathit{m}}{\mathit{a}\mathrm{A}}^{\frac{\mathit{n}-\mathit{m}}{\mathit{m}}}$. Item ut genitæ ${\mathrm{A}}^2\mathrm{B}$ momentum fuerit $2\mathit{a}\mathrm{AB}+\mathit{b}{\mathrm{A}}^2$; & genitæ ${\mathrm{A}}^3{\mathrm{B}}^4{\mathrm{C}}^2$ momentum $3\mathit{a}{\mathrm{A}}^2{\mathit{B}}^4{\mathrm{C}}^2+4\mathit{b}{\mathrm{A}}^3{\mathrm{B}}^3{\mathrm{C}}^2+2\mathit{c}{\mathrm{A}}^3{\mathrm{B}}^4\mathrm{C}$; & genitæ $\frac{{\mathrm{A}}^3}{{\mathrm{B}}^2}$ sive ${\mathrm{A}}^3{\mathrm{B}}^{-2}$ momentum $3\mathit{a}{\mathrm{A}}^2{\mathrm{B}}^{-2}-2\mathit{b}{\mathrm{A}}^3{\mathrm{B}}^{-3}$: & sic in cæteris. Demonstratur vero lemma in hunc modum.

Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia $12\mathit{a}$ & $12\mathit{b}$, fuit $\mathrm{A}-\frac{1}{2}\mathit{a}$ in $\mathrm{B}-\frac{1}{2}\mathit{b}$, seu $\mathrm{AB}-\frac{1}{2}\mathit{a}\mathrm{B}-\frac{1}{2}\mathit{b}\mathrm{A}+\frac{1}{4}\mathit{ab}$; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit $\mathrm{A}+\frac{1}{2}\mathit{a}$ in $\mathrm{B}+\frac{1}{2}\mathit{b}$ seu $\mathrm{AB}+\frac{1}{2}\mathit{a}\mathrm{B}+\frac{1}{2}\mathit{b}\mathrm{A}+\frac{1}{4}\mathit{ab}$. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus $\mathit{a}\mathrm{B}+\mathit{b}\mathrm{A}$. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum $\mathit{a}\mathrm{B}+\mathit{b}\mathrm{A}$. Q.E.D.

Cas. 2. Ponatur AB semper æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per cas. 1.) erit $\mathit{g}\mathrm{C}+\mathit{c}\mathrm{G}$, id est (si pro G & g scribantur AB & $\mathit{a}\mathrm{B}+\mathit{b}\mathrm{A}$) $\mathit{a}\mathrm{BC}+\mathit{b}\mathrm{AC}+\mathit{c}\mathrm{AB}$. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunque. Q.E.D.

<245>

Cas. 3. Ponantur latera A, B, C sibi mutuo semper æqualia; & ipsius ${\mathrm{A}}^2$, id est rectanguli AB, momentum $\mathit{a}\mathrm{B}+\mathit{b}\mathrm{A}$ erit $2\mathit{a}\mathrm{A}$, ipsius autem ${\mathrm{A}}^3$, id est contenti ABC, momentum $\mathit{a}\mathrm{BC}+\mathit{b}\mathrm{AC}+\mathit{c}\mathrm{AB}$ erit $3\mathit{a}{\mathrm{A}}^2$. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunque ${\mathrm{A}}^{\mathit{n}}$ est ${\mathit{na}\mathrm{A}}^{\mathit{n}-1}$. Q.E.D.

Cas. 4. Unde cum $\frac{1}{\mathrm{A}}$ in A sit 1, momentum ipsius $\frac{1}{\mathrm{A}}$ ductum in A, una cum $\frac{1}{\mathrm{A}}$ ducto in a erit momentum ipsius 1, id est, nihil. Proinde momentum ipsius $\frac{1}{\mathrm{A}}$ seu ipsius ${\mathrm{A}}^{-1}$ est $\frac{-\mathit{a}}{{\mathrm{A}}^2}$. Et generaliter cum $\frac{1}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}$ in ${\mathrm{A}}^{\mathit{n}}$ sit 1, momentum ipsius $\frac{1}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}$ ductum in ${\mathrm{A}}^{\mathit{n}}$ una cum $\frac{1}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}$ in ${\mathit{na}\mathrm{A}}^{\mathit{n}-1}$ erit nihil. Et propterea momentum ipsius $\frac{1}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}$ seu ${\mathrm{A}}^{-\mathit{n}}$ erit $-\frac{\mathit{na}}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+1}}$. Q.E.D.

Cas. 5. Et cum ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ in ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ sit A, momentum ipsius ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ ductum in $2{\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ erit a, per cas. 3: ideoque momentum ipsius ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ erit $\frac{\mathit{a}}{2{\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}}$ sive $\frac{1}{2}\mathit{a}{\mathrm{A}}^{-\frac{1}{2}}$. Et generaliter si ponatur ${\mathrm{A}}^{\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}}$ æquale B, erit ${\mathrm{A}}^{\mathit{m}}$ æquale ${\mathrm{B}}^{\mathit{n}}$, ideoque ${\mathit{ma}\mathrm{A}}^{\mathit{m}-1}$ æquale ${\mathit{nb}\mathrm{B}}^{\mathit{n}-1}$, & ${\mathit{ma}\mathrm{A}}^{-1}$ æquale ${\mathit{nb}\mathrm{B}}^{-1}$ seu $\mathit{nb}{\mathrm{A}}^{-\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}}$, ideoque $\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}\mathit{a}{\mathrm{A}}^{\frac{\mathit{m}-\mathit{n}}{\mathit{n}}}$ æquale b, id est, æquale momento ipsius ${\mathrm{A}}^{\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}}$. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur genitæ cujuscunque ${\mathrm{A}}^{\mathit{m}}{\mathrm{B}}^{\mathit{n}}$ momentum est momentum ipsius ${\mathrm{A}}^{\mathit{m}}$ ductum in ${\mathrm{B}}^{\mathit{n}}$, una cum momento ipsius ${\mathrm{B}}^{\mathit{n}}$ ducto in ${\mathrm{A}}^{\mathit{m}}$, id est ${\mathit{ma}\mathrm{A}}^{\mathit{m}-1}{\mathrm{B}}^{\mathit{n}}+{\mathit{nb}\mathrm{B}}^{\mathit{n}-1}{\mathrm{A}}^{\mathit{m}}$; idque sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multipli <246> cati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut $-2\mathrm{A}${,} $-\mathrm{B}$, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunque dati.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In epistola quadam ad D. J. Collinium nostratem 10 Decem. 1672 data, cum descripsissem methodum tangentium quam suspicabar eandem esse cum methodo Slusii tum nondum communicata; subjunxi: Hoc est unum particulare vel corollarium potius methodi generalis, quæ extendit se citra molestum ullum calculum, non modo ad ducendum tangentes ad quasvis curvas sive geometricas sive mechanicas vel quomodocunque rectas lineas aliasve curvas respicientes, verum etiam ad resolvendum alia abstrusiora problematum genera de curvitatibus, areis, longitudinibus, centris gravitatis curvarum &c. neque (quemadmodum Huddenii methodus de maximis & minimis) ad solas restringitur æquationes illas quæ quantitatibus surdis sunt immunes. Hanc methodum intertexui alteri isti qua æquationum exegesin instituo reducendo eas ad series infinitas. Hactenus epistola. Et hæc ultima verba spectant ad tractatum quem anno 1671 de his rebus scripseram. Methodi vero hujus generalis fundamentum continetur in lemmate præcedente.

PROPOSITIO VIII. THEOREMA VI.

Si corpus in medio uniformi, gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in partes æquales, inque principiis singularum partium (addendo resistentiam medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando cor <247> pus descendit) investigentur vires absolutæ; dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione geometrica.

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resistentia per lineam indenfinitam AK; vis absoluta in descensu corporis per differentiam KC; velocitas corporis per lineam AP, quæ sit media proportionalis inter AK & AC, ideoque in subduplicata ratione resistentiæ; incrementum resistentiæ data temporis particula factum per lineolam KL, & contemporaneum velocitatis incrementum per lineolam PQ; & centro C asymptotis rectangulis CA, CH describatur hyperbola quævis BNS, erectis perpendiculis AB, KN, LO occurrens in B, N, O. Quoniam AK est ut APq, erit hujus momentum KL ut illius momentum 2APQ: id est, ut AP in KC; nam velocitatis incrementum PQ (per motus leg. II.) proportionale est vi generanti KC. Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum $\mathit{KL}\times \mathit{KN}$ ut $\mathit{AP}\times \mathit{KC}\times \mathit{KN}$; hoc est, ob datum rectangulum $\mathit{KC}\times \mathit{KN}$, ut AP. Atqui areæ hyperbolicæ KNOL ad rectangulum $\mathit{KL}\times \mathit{KN}$ ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est æqualitatis. Ergo area illa hyperbolica evanescens est ut AP. Componitur igitur area tota hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes æquales ABMI, IMNK, KNOL, &c. & vires absolutæ AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione geometrica. Q.E.D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti A, æquales areas ABmi, imnk, knol, &c. constabit quod vires absolutæ AC, iC, kC, lC, &c. sunt continue proportionales. Ideoque si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur æqualia; omnes vires absolutæ lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. erunt continue proportionales. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream hyperbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis <248> & resistentia medii per lineas AC, AP & AK respective; & vice versa.

Corol. 2. Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, exponens est linea AC.

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in subduplicata ratione, quam habet vis gravitatis ad medii resistentiam illam cognitam.

PROPOSITIO IX. THEOREMA VII.

Positis jam demonstratis, dico quod, si tangentes angulorum sectoris circularis & sectoris hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne ascendendi ad locum ut sector circuli, & tempus omne descendendi a loco ut sector hyperbolæ.

Rectæ AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æqualis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli quadrans AtE; tum hyperbola rectangula AVZ axem habens AX, verticem principalem A, & asymptoton DC. Ducantur Dp, DP, & erit sector circularis AtD ut tempus omne ascendendi ad locum summum; & sector hyperbolicus ATD ut tempus omne descendendi a loco summo: Si modo sectorum tangentes Ap, AP sint ut velocitates.

Cas 1. Agatur enim Dvq abscindens sectoris ADt & trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & qDp. Cum particulæ illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut $\frac{\mathit{qDp}\times \mathit{tD\; quad.}}{\mathit{pD\; quad.}}$, id est, ob datam tD, ut $\frac{\mathit{qDp}}{\mathit{pD\; quad.}}$. Sed pD quad. est $\mathit{AD\; quad.}+\mathit{Ap\; quad.}$ id est, $\mathit{AD\; quad.}+\mathit{AD}\times \mathit{Ak}$, seu $\mathit{AD}\times \mathit{Ck}$; & qDp est $\frac{1}{2}\mathit{AD}\times \mathit{pq}$. Ergo sectoris particula tDv est ut $\frac{\mathit{pq}}{\mathit{Ck}}$; id est, <249> ut velocitatis decrementum quam minimum pq directe, & vis illa Ck quæ velocitatem diminuit inverse; atque ideo ut particula temporis decremento respondens. Et componendo fit summa particularum omnium tDv in sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq respondentium, usque dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, sector totus ADt est ut tempus totum ascendendi ad locum summum. Q.E.D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum sectoris DAV, tum trianguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DTq ad DPq, id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq ad DAq vel TXq ad APq, & divisim ut $\mathit{DXq}-\mathit{TXq}$ ad $\mathit{DAq}-\mathit{APq}$. Sed ex natura hyperbolæ $\mathit{DXq}-\mathit{TXq}$ est ADq, & per hypothesin APq est $\mathit{AD}\times \mathit{AK}$. Ergo particulæ sunt ad invicem ut ADq ad $\mathit{ADq}-\mathit{AD}\times \mathit{AK}$; id est, ut AD ad $\mathit{AD}-\mathit{AK}$ seu AC ad CK: ideoque sectoris particula TDV est $\frac{\mathit{PDQ}\times \mathit{AC}}{\mathit{CK}}$; atque ideo ob datas AC & AD, ut $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{CK}}$, id est, ut incrementum velocitatis directe, utque vis generans incrementum inverse; atque ideo ut particula temporis incremen <250> to respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ PQ generantur, ut summa particularum sectoris ADT, id est, tempus totum ut sector totus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsus AC, spatium quod corpus tempore quovis cadendo describit, erit ad spatium, quod corpus velocitate maxima AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABNK, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD, qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit (per corol. i. lem. II hujus) LK ad PQ ut 2AK ad AP, hoc est, ut 2AP ad AC, & inde LK ad $\frac{1}{2}\mathit{PQ}$ ut AP ad $\frac{1}{4}\mathit{AC}$ vel AB; est & KN ad AC vel AD ut AB ad CK; itaque ex æquo LKNO ad DPQ ut AP ad CK. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo rurfus ex æquo LKNO est ad DTV ut AP ad AC; hoc est, ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABNK & ATD momenta LKNO & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoque <251> areæ totæ ab initio genitæ ABNK & ATD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q.E.D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad sectorem ADt.

Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad sectorem hyperbolicum ATD. Nam velocitas in medio non resistente foret ut tempus ATD, & in medio resistente est ut AP, id est, ut triangulum APD. Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæ ATD, APD.

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad sectorem circularem AtD; sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus, quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus tangentem Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima (per corol. 2. & 3. theor. VI. lib. II.) indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporis dati ad tempus modo inventum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABNK vel ABnk, quæ est ad sectorem ADT vel ADt ut spatium quæsitum ad spatium quod tempore dato, cum velocitate illa maxima jam ante inventa, uniformiter describi potest.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

<252>

PROPOSITIO X. PROBLEMA III.

Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum horizontis, sitque resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas & medii resistentia in locis singulis.

Sit PQ planum illud plano schematis perpendiculare; PFHQ linea curva plano huic occurens in punctis P & Q; G, H, I, K loca quatuor corporis in hac curva ab F ad Q pergentis; & GB, HC, ID, KE ordinatæ quatuor parallelæ ab his punctis ad horizontem demissæ, & lineæ horizontali PQ ad puncta B, C, D, E insistentes; & sint BC, CD, DE distantiæ ordinatarum inter se æquales. A punctis G & H ducantur rectæ GL, HN curvam tangentes in G & H, & ordinatis CH, DI sursum productis occurrentes in L & N, & compleatur parallelogrammum HCDM. Et tempora, quibus corpus describit arcus GH, HI, erunt in subduplicata ratione altitudinum LH, NI, quas corpus temporibus illis describere posset, a tangentibus cadendo; & velocitates erunt ut longitudines descriptæ GH, HI directe & tempora inverse. Exponantur tempora per T & t, & velocitates per $\frac{\mathit{GH}}{\mathrm{T}}$ & $\frac{\mathit{HI}}{\mathit{t}}$; & decrementum velocitatis tempore t factum exponetur per $\frac{\mathit{GH}}{\mathrm{T}}-\frac{\mathit{HI}}{\mathit{t}}$. Hoc decrementum oritur a resistentia corpus retardante, & gravitate corpus accelerante. Gravitas, in corpore cadente & spatium NI cadendo describente, generat velocitatem, qua duplum illud spatium eodem tempore describi potuisset, ut Galilæus demonstravit; id est, velocitatem $\frac{2\mathit{NI}}{\mathit{t}}$: at in corpore arcum HI describente, auget arcum illum <253> sola longitudine $\mathit{HI}-\mathit{HN}$ seu $\frac{\mathit{MI}\times \mathit{NI}}{\mathit{HI}}$; ideoque generat tantum velocitatem $\frac{2\mathit{MI}\times \mathit{NI}}{\mathit{t}\times \mathit{HI}}$. Addatur hæc velocitas ad decrementum prædictum, & habebitur decrementum velocitatis ex resistentia sola oriundum, nempe $\frac{\mathit{GH}}{\mathrm{T}}-\frac{\mathit{HI}}{\mathit{t}}+\frac{2\mathit{MI}\times \mathit{NI}}{\mathit{t}\times \mathit{HI}}$. Proindeque cum gravitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitatem $\frac{2\mathit{NI}}{\mathit{t}}$; resistentia erit ad gravitatem ut $\frac{\mathit{GH}}{\mathrm{T}}-\frac{\mathit{HI}}{\mathit{t}}+\frac{2\mathit{MI}\times \mathit{NI}}{\mathit{t}\times \mathit{HI}}$ ad $\frac{2\mathit{NI}}{\mathit{t}}$, sive ut $\frac{\mathit{t}\times \mathit{GH}}{\mathrm{T}}-\mathit{HI}+\frac{2\mathit{MI}\times \mathit{NI}}{\mathit{HI}}$ ad 2NI.

Jam pro abscissis CB, CD, CE scribantur $-\mathit{o,\; o,}2\mathit{o}$. Pro ordinata CH scribatur P, & pro MI scribatur series quælibet $\mathrm{Q}\mathit{o}+\mathrm{R}\mathit{oo}+\mathrm{S}{\mathit{o}}^3+$&c. Et seriei termini omnes post primum, nempe $\mathrm{R}\mathit{oo}+\mathrm{S}{\mathit{o}}^3+$&c. erunt NI, & ordinatæ DI, EK, & BG erunt $\mathrm{P}-\mathrm{Q}\mathit{o}-\mathrm{R}\mathit{oo}-\mathrm{S}{\mathit{o}}^3-$&c. $\mathrm{P}-2\mathrm{Q}\mathit{o}-4\mathrm{R}\mathit{oo}-8\mathrm{S}{\mathit{o}}^3-$&c. & $\mathrm{P}+\mathrm{Q}\mathit{o}-\mathrm{R}\mathit{oo}+\mathrm{S}{\mathit{o}}^3-$&c. respective. Et quadrando differentias ordinatarum $\mathit{BG}-\mathit{CH}$ &$\mathit{CH}-\mathit{DI}$, & ad quadrata prodeuntia addendo quadrata ipsarum BC, CD, habebuntur arcuum GH, HI quadrata $\mathit{oo}+\mathrm{QQ}\mathit{oo}-2\mathrm{QR}{\mathit{o}}^3+$&c. & $\mathit{oo}+\mathrm{QQ}\mathit{oo}+2\mathrm{QR}{\mathit{o}}^3+$&c. Quorum radices $\mathit{o}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}-\frac{\mathrm{QR}\mathit{oo}}{\sqrt{1+\mathrm{QQ}}}$, & $\mathit{o}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}+\frac{\mathrm{QR}\mathit{oo}}{\sqrt{1+\mathrm{QQ}}}$ sunt arcus GH & HI. Præterea si ab ordinata CH subducatur semisumma ordinatarum BG ac DI, & ab ordinata DI subducatur semisumma ordinatarum CH & EK, manebunt arcuum GI & HK sagittæ Roo & $\mathrm{R}\mathit{oo}+3\mathrm{S}{\mathit{o}}^3$. Et hæ sunt lineolis LH & NI proportionales, ideoque in duplicata ratione temporum infinite parvorum T & t: & inde ratio $\frac{\mathit{t}}{\mathrm{T}}$ est $\sqrt{\frac{\mathrm{R}+3\mathrm{S}\mathit{o}}{\mathrm{R}}}$ seu $\frac{\mathrm{R}+\frac{3}{2}\mathrm{S}\mathit{o}}{\mathrm{R}}$; & $\frac{\mathit{t}\times \mathit{GH}}{\mathrm{T}}-\mathit{HI}+\frac{2\mathit{MI}\times \mathit{NI}}{\mathit{HI}}$, substituendo ipsorum $\frac{\mathit{t}}{\mathrm{T}}$, GH, HI, MI & NI valores jam inventos, evadit $\frac{3\mathrm{S}\mathit{oo}}{2\mathrm{R}}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}$. Et cum 2NI sit 2Roo, resi <254> stentia jam erit ad gravitatem ut $\frac{3\mathrm{S}\mathit{oo}}{2\mathrm{R}}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}$ ad 2Roo, id est, ut $3\mathrm{S}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}$ ad 4RR.

Velocitas autem ea est, quacum corpus de loco quovis H, secundum tangentem HN egrediens, in parabola diametrum HC & latus rectum $\frac{\mathit{HNq}}{\mathit{NI}}$ seu $\frac{1+\mathrm{QQ}}{\mathrm{R}}$ habente, deinceps in vacuo moveri potest.

Et resistentia est ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim, & propterea medii densitas est ut resistentia directe & quadratum velocitatis inverse, id est, ut $\frac{3\mathrm{S}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}}{4\mathrm{RR}}$ directe & $\frac{1+\mathrm{QQ}}{\mathrm{R}}$ inverse, hoc est, ut $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{R}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}}$. Q.E.I.

Corol. 1. Si tangens HN producatur utrinque donec occurrat ordinate cuilibet AF in T: erit $\frac{\mathit{HT}}{\mathit{AC}}$ æqualis $\sqrt{1+\mathrm{QQ}}$, ideoque in superioribus pro $\sqrt{1+\mathrm{QQ}}$ scribi potest. Qua ratione resistentia erit ad gravitatem ut $3\mathrm{S}\times \mathit{HT}$ ad $4\mathrm{RR}\times \mathit{AC}$, velocitas erit ut $\frac{\mathit{HT}}{\mathit{AC}\sqrt{\mathrm{R}}}$, & medii densitas erit ut $\frac{\mathrm{S}\times \mathit{AC}}{\mathrm{R}\times \mathit{HT}}$.

Corol. 2. Et hinc, si curva linea PFHQ definiatur per relationem inter basem seu abscissam AC & ordinatim applicatam CH, ut moris est; & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur, ut in exemplis sequentibus.

Exempl. 1. Sit linea PFHQ semicirculus super diametro PQ descriptus, & requiratur medii densitas quæ faciat ut projectile in hac linea moveatur.

Bisecetur diameter PQ in A; dic AQ, n; AC, a; CH, e;, & CD, o: & erit DIq seu $\mathit{AQq}-\mathit{ADq}=\mathit{nn}-\mathit{aa}-2\mathit{ao}-\mathit{oo}$, seu <255> $\mathit{ee}-2\mathit{ao}-\mathit{oo}$, & radice per methodum nostram extracta, fiet $\mathit{DI}=\mathit{e}-\frac{\mathit{ao}}{\mathit{e}}-\frac{\mathit{oo}}{2\mathit{e}}-\frac{\mathit{aaoo}}{2{\mathit{e}}^3}-\frac{{\mathit{ao}}^3}{2{\mathit{e}}^3}-\frac{{\mathit{a}}^3{\mathit{o}}^3}{2{\mathit{e}}^5}-$ &c. Hic scribatur nn pro $\mathit{ee}+\mathit{aa}$, & evadet $\mathit{DI}=\mathit{e}-\frac{\mathit{ao}}{\mathit{e}}-\frac{\mathit{nnoo}}{2{\mathit{e}}^3}-\frac{{\mathit{anno}}^3}{2{\mathit{e}}^5}-$ &c.

Hujusmodi series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello, in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum, in quo quantitas illa est unius dimensionis; tertium, in quo extat duarum; quartum, in quo trium est; & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ CH insistentis ad initium indefinitæ quantitatis o. Secundus terminus, qui hic est $\frac{\mathit{ao}}{\mathit{e}}$, denotabit differentiam inter CH & DN, id est, lineolam MN, quæ abscinditur complendo parallelogrammum HCDM, atque ideo positionem tangentis HN semper determinat; ut in hoc casu capiendo MN ad HM ut est $\frac{\mathit{ao}}{\mathit{e}}$ ad o, seu a ad e. Terminus tertius, qui hic est $\frac{\mathit{nnoo}}{2{\mathit{e}}^3}$, designabit lineolam IN, quæ jacet inter tangentem & curvam, ideoque determinat angulum contactus IHN seu curvaturam quam curva linea habet in H. Si lineola illa IN finitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum sequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoque negligi possunt. Terminus quartus determinat variationem curvaturæ, quintus variationem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum serierum in solutione problematum, quæ pendent a tangentibus & curvatura curvarum.

Conferatur jam series $\mathit{e}-\frac{\mathit{ao}}{\mathit{e}}-\frac{\mathit{nnoo}}{2{\mathit{e}}^3}-\frac{{\mathit{anno}}^3}{2{\mathit{e}}^5}-$ &c. cum serie $\mathrm{P}-\mathrm{Q}\mathit{o}-\mathrm{R}\mathit{oo}-\mathrm{S}{\mathit{o}}^3-$ &c. & perinde pro P, Q, R & S scribatur e, $\frac{\mathit{a}}{\mathit{e}}$, $\frac{\mathit{nn}}{2{\mathit{e}}^3}$, & $\frac{\mathit{ann}}{2{\mathit{e}}^5}$, pro $\sqrt{1+\mathrm{QQ}}$ scribatur $\sqrt{1+\frac{\mathit{aa}}{\mathit{ee}}}$ seu $\frac{\mathit{n}}{\mathit{e}}$, & prodibit medii densitas ut $\frac{\mathit{a}}{\mathit{ne}}$, hoc est, (ob datam n) ut $\frac{\mathit{a}}{\mathit{e}}$, seu <256> $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CH}}$, id est, ut tangentis longitudo illa HT, quæ ad semidiametrum AF ipsi PQ normaliter insistentem terminatur: & resistentia erit ad gravitatem ut 3a ad 2n, id est, ut 3AC ad circuli diametrum PQ: velocitas autem erit ut $\sqrt{\mathit{CH}}$. Quare si corpus justa cum velocitate secundum lineam ipsi PQ parallelam exeat de loco F, & medii densitas in singulis locis H sit ut longitudo tangentis HT, & resistentia etiam in loco aliquo H sit ad vim gravitatis ut 3AC ad PQ, corpus illud describet circuli quadrantem FHQ. Q.E.I.

At si corpus idem de loco P, secundum lineam ipsi PQ perpendicularem egrederetur, & in arcu semicirculi PFQ moveri inciperet, sumenda esset AC seu a ad contrarias partes centri A, & propterea signum ejus mutandum esset & scribendum $-\mathit{a}$ pro $+\mathit{a}$. Quo pacto prodiret medii densitas ut $-\frac{\mathit{a}}{\mathit{e}}$. Negativam autem densitatem, hoc est, quæ motus corporum accelerat, natura non admittit: & propterea naturaliter fieri non potest, ut corpus ascendendo a P describat circuli quadrantem PF. Ad hunc effectum deberet corpus a medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea PFQ parabola, axem habens AF horizonti PQ perpendicularem, & requiratur medii densitas, quæ faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura parabolæ, rectangulum PDQ æquale est rectangulo sub ordinata DI & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b; PC, a; PQ, c; CH, e; & CD, o; rectangulum $\mathit{a}+\mathit{o}$ in $\mathit{c}-\mathit{a}-\mathit{o}$ seu $\mathit{ac}-\mathit{aa}-2\mathit{ao}+\mathit{co}-\mathit{oo}$ æquale est rectangulo b in DI, ideoque DI æquale $\frac{\mathit{ac}-\mathit{aa}}{\mathit{b}}+\frac{\mathit{c}-2\mathit{a}}{\mathit{b}}\mathit{o}-\frac{\mathit{oo}}{\mathit{b}}$. Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus $\frac{\mathit{c}-2\mathit{a}}{\mathit{b}}\mathit{o}$ pro Qo, tertius <257> item terminus $\frac{\mathit{oo}}{\mathit{b}}$ pro Roo. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti coefficiens S evanescere, & propterea quantitas $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{R}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}}$, cui medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur medii densitate movebitur projectile in parabola, uti olim demonstravit Galilæus. Q.E.I.

Exempl. 3. Sit linea AGK hyperbola, asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quæratur medii densitas, quæ faciat ut projectile moveatur in hac linea.

Sit MX asymptotos altera, ordinatim applicatæ DG productæ occurrens in V; & ex natura hyperbolæ, rectangulum XV in VG dabitur. Datur autem ratio DN ad VX, & propterea datur etiam rectangulum DN in VG. Sit illud bb: & completo parallelogrammo DNXZ; dicatur BN, a; BD, o; NX, c; & ratio data VZ ad ZX vel DN ponatur esse $\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}$. Et erit DN æqualis $\mathit{a}-\mathit{o}$, VG æqualis $\frac{\mathit{bb}}{\mathit{a}-\mathit{o}}$, VZ æqualis $\frac{\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}}{\overline{\mathit{a}-\mathit{o}}}$, & GD seu $\mathit{NX}-\mathit{VZ}-\mathit{VG}$ æqualis $\mathit{c}-\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}\mathit{a}+\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}\mathit{o}-\frac{\mathit{bb}}{\mathit{a}-\mathit{o}}$. Resolvatur terminus $\frac{\mathit{bb}}{\mathit{a}-\mathit{o}}$ in seriem convergentem $\frac{\mathit{bb}}{\mathit{a}}+\frac{\mathit{bb}}{\mathit{aa}}\mathit{o}+\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^3}\mathit{oo}+\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^4}{\mathit{o}}^3$ &c. & fiet GD æqualis $\mathit{c}-\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}\mathit{a}-\frac{\mathit{bb}}{\mathit{a}}+\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}\mathit{o}-\frac{\mathit{bb}}{\mathit{aa}}\mathit{o}-\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^3}{\mathit{o}}^2-\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^4}{\mathit{o}}^3$ &c. Hujus seriei terminus secundus $\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}\mathit{o}-\frac{\mathit{bb}}{\mathit{aa}}\mathit{o}$ usurpandus est pro Qo, tertius cum signo mutato $\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^3}{\mathit{o}}^2$ pro $\mathrm{R}{\mathit{o}}^2$, & quartus cum signo etiam mutato $\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^4}{\mathit{o}}^3$ <258> pro $\mathrm{S}{\mathit{o}}^3$, eorumque coefficientes $\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}-\frac{\mathit{bb}}{\mathit{aa}}\mathrm{,}\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^3}$ & $\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^4}$ scribendæ sunt in regula superiore pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut $\frac{\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^4}}{\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{a}}^3}\sqrt{1+\frac{\mathit{mm}}{\mathit{nn}}-\frac{2\mathit{mbb}}{\mathit{naa}}+\frac{{\mathit{b}}^4}{{\mathit{a}}^4}}}$ seu $\frac{1}{\sqrt{\mathit{aa}+\frac{\mathit{mm}}{\mathit{nn}}\mathit{aa}-\frac{2\mathit{mbb}}{\mathit{n}}+\frac{{\mathit{b}}^4}{\mathit{aa}}}}$ id est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut $\frac{1}{\mathit{XY}}$. Namque aa & $\frac{\mathit{mm}}{\mathit{nn}}\mathit{aa}-\frac{2\mathit{mbb}}{\mathit{n}}+\frac{{\mathit{b}}^4}{\mathit{aa}}$ sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad gravitatem quam habet 3XY ad 2YG; & velocitas ea est, quacum corpus in parabola pergeret verticem G, diametrum DG, & latus rectum $\frac{\mathit{XY\; quad.}}{\mathit{VG}}$ habente. Ponatur itaque quod medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodque resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut 3XY ad 2YG; & corpus de loco A, justa cum velocitate emissum, describet hyperbolam illam AGK. Q.E.I.

Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK hyperbola sit, centro X, asymptotis MX, NX ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet hyperbolam in G & asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua ${\mathit{DN}}^{\mathit{n:}}$ cujus index est numerus n: & quæratur medii densitas, qua projectile progrediatur in hac curva.

Pro BN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitque VZ ad XZ vel DN ut d ad e, & VG æqualis $\frac{\mathit{bb}}{{\mathit{DN}}^{\mathit{n}}}$, & erit DN æqua <259> lis $\mathrm{A}-\mathrm{O}$, $\mathrm{VG}=\frac{\mathit{bb}}{{\overline{\mathrm{A}-\mathrm{O}}}^{\mathit{n}}}$, $\mathrm{VZ}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}\overline{\mathrm{A}-\mathrm{O}}$, & GD seu $\mathit{NX}-\mathit{VZ}-\mathit{VG}$ æqualis $\mathrm{C}-\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}\mathrm{A}+\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}\mathrm{O}-\frac{\mathit{bb}}{{\overline{\mathrm{A}-\mathrm{O}}}^{\mathit{n}}}$. Resolvatur terminus ille $\frac{\mathit{bb}}{{\overline{\mathrm{A}-\mathrm{O}}}^{\mathit{n}}}$ in seriem infinitam $\frac{\mathit{bb}}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}+\frac{\mathit{nbb}}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+1}}\mathrm{O}+\frac{\mathit{nn}+\mathit{n}}{2{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+2}}\mathit{bb}{\mathrm{O}}^2+\frac{{\mathit{n}}^3+3\mathit{nn}+2\mathit{n}}{6{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+3}}\mathit{bb}{\mathrm{O}}^3$ &c. ac fiet GD æqualis $\mathrm{C}-\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}\mathrm{A}-\frac{\mathit{bb}}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}+\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}\mathrm{O}-\frac{\mathit{nbb}}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+1}}\mathrm{O}-\frac{+\mathit{nn}+\mathit{n}}{2{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+2}}\mathit{bb}{\mathrm{O}}^2-\frac{+{\mathit{n}}^3+3\mathit{nn}+2\mathit{n}}{6{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}+3}\mathit{bb}{\mathrm{O}}^3$ &c. Hujus seriei terminus secundus $\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}\mathrm{O}-\frac{\mathit{nbb}}{{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+1}}\mathrm{O}$ usurpandus est pro Qo, tertius $\frac{\mathit{nn}+\mathit{n}}{2{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+2}}\mathit{bb}{\mathrm{O}}^2$ pro $\mathrm{R}{\mathit{o}}^2$, quartus $\frac{{\mathit{n}}^3+3\mathit{nn}+2\mathit{n}}{6{\mathrm{A}}^{\mathit{n}+3}}\mathit{bb}{\mathrm{O}}^3$ pro $\mathrm{S}{\mathit{o}}^3$. Et inde medii densitas $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{R}\sqrt{1+\mathrm{QQ}}}$, in loco quovis G, fit $\frac{\mathit{n}+2}{3\sqrt{{\mathrm{A}}^2+\frac{\mathit{dd}}{\mathit{ee}}{\mathrm{A}}^2-\frac{2\mathit{dnbb}}{\mathit{e}{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}\mathrm{A}+\frac{{\mathit{nnb}}^4}{{\mathrm{A}}^{2\mathit{n}}}}}$, ideoque si in VZ capiatur VY æqualis $\mathit{n}\times \mathit{VG}$, densitas illa est reciproce ut XY. Sunt enim ${\mathrm{A}}^2$ & $\frac{\mathit{dd}}{\mathit{ee}}{\mathrm{A}}^2-\frac{2\mathit{dnbb}}{\mathit{e}{\mathrm{A}}^{\mathit{n}}}\mathrm{A}+\frac{{\mathit{nnb}}^4}{{\mathrm{A}}^{2\mathit{n}}}$ ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad gravitatem ut 3S in $\frac{\mathit{XY}}{\mathrm{A}}$ ad $4\mathrm{RR}$, id est, XY ad $\frac{2\mathit{nn}+2\mathit{n}}{\mathit{n}+2}\mathit{VG}$. Et velocitas ibidem ea ipsa est, quacum corpus projectum in parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & latus rectum $\frac{1+\mathrm{QQ}}{\mathrm{R}}$ seu $\frac{2\mathit{XY\; quad.}}{\overline{\mathit{nn}+\mathit{n}}\mathrm{in}\mathit{VG}}$ habente. Q.E.I.

Scholium.

Eadem ratione qua prodiit densitas medii ut $\frac{\mathrm{S}\times \mathit{AC}}{\mathrm{R}\times \mathit{HT}}$ in corollario primo, si resistentia ponatur ut velocitatis V dignitas quæli <260> bet ${\mathrm{V}}^{\mathit{n}}$ prodibit densitas medii ut $\frac{\mathrm{S}}{{\mathrm{R}}^{\frac{4-\mathit{n}}{2}}}\times {\frac{\overline{\mathit{AC}}}{\mathit{HT}}}^{\mathit{n}-1}$

Et propterea si curva inveniri potest ea lege, ut data fuerit ratio $\frac{\mathrm{S}}{{\mathrm{R}}^{\frac{4-\mathit{n}}{2}}}$ ad ${\frac{\overline{\mathit{HT}}}{\mathit{AC}}}^{\mathit{n}-1}$, vel $\frac{{\mathrm{S}}^2}{{\mathrm{R}}^{4-\mathit{n}}}$ ad ${\overline{1+\mathrm{QQ}}}^{\mathit{n}-1}$: corpus movebitur in hac curva in uniformi medio cum resistentia quæ sit ut velocitatis dignitas ${\mathrm{V}}^{\mathit{n}}$. Sed redeamus ad curvas simpliciores.

Quoniam motus non sit in parabola nisi in medio non resistente, in hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam projectile in medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad hyperbolas hasce quam ad parabolam. Est utique linea illa hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & recta GT tanget hyperbolam in G, ideoque densitas medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut $\sqrt{\frac{\mathit{GTq}}{\mathit{GV}}}$, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad $\frac{2\mathit{nn}+2\mathit{n}}{\mathit{n}+2}$ in GV.

<261>

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat hyperbolam AGK, & AH producta occurrat asymptoto NX in H, actaque AI eidem parallela occurrat alteri asymptoto MX in I: erit medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut $\sqrt{\frac{\mathit{AHq}}{\mathit{AI}}}$, ac resistentia ibidem ad gravitatem ut AH ad $\frac{2\mathit{nn}+2\mathit{n}}{\mathit{n}+2}$ in AI. Unde prodeunt sequentes regulæ.

Reg. 1. Si servetur tum medii densitas in A, tum velocitas quacum corpus projicitur, & mutetur angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideoque si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH, tum medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH, quam corporis velocitas in A, gravitasque acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque; augebitur proportio AH ad AI in eadem ratione, manente parabolæ prædictæ latere recto, eique proportionali longitudine $\frac{\mathit{AHq}}{\mathit{AI}}$: & prop <262> terea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.

Reg. 4. Quoniam densitas medii prope verticem hyperbolæ major est quam in loco A; ut habeatur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GT ad tangentem AH inveniri, & densitas in A augeri in ratione paulo minore quam semisummæ harum tangentium ad minimam tangentium GT.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX ad AI ut $\mathit{n}+1$ ad 1, centroque X & asymptotis MX, NX per punctum A describatur hyperbola, ea lege, ut sit AI ad quamvis VG ut ${\mathit{XV}}^{\mathit{n}}$ ad ${\mathit{XI}}^{\mathit{n}}$.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt hæ hyperbolæ in ascensu corporis ab A, & minus accuratæ in ejus descensu ad K; & contra. Hyperbola conica mediocrem rationem tenet, estque cæteris simplicior. Igitur si hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat producta AN asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM æqualis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc <263> hyperbolam ex phænominis. Projiciantur corpora duo similia & æqualia, eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAK, incidantque in planum horizontis in K & k; & notetur proportio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcunque longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per reg. 6. Si ratio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudinem SM æqualem assumptæ AH, & erige perpendiculum MN æquale rationum differentiæ $\frac{\mathit{AK}}{\mathit{Ak}}-\frac{\mathit{d}}{\mathit{e}}$ ductæ in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N, & per omnia agenda curva linea regularis NNXN, secans rectam SMMM in X. Assumatur demum AH æqualis abscissæ SX, & inde denuo inveniatur longitudo AK; & longitudines, quæ sint ad assumptam longitudinem AI & hanc ultimam AH, ut longitudo AK per experimentum cognita ad ultimo inventam longitudinem AK, erunt veræ illæ longitudines AI & AH, quas invenire oportuit. Hisce vero datis dabitur & resistentia medii in loco A, quippe quæ sit ad vim gravitatis ut AH ad 2AI. Augenda est autem densitas medii per reg. 4. & resistentia modo inventa, si in eadem ratione augeatur, fiet accuratior.

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectæ AH, secundum quam projectile, data illa cum velocitate emissum, incidit in punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectæ AC, KF horizonti perpendiculares, quarum AC deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu $\frac{1}{2}\mathit{HX}$. Asymptotis AK, KF describatur hyperbola, cujus conjugata transeat per punctum C, centroque A & intervallo AH describatur circulus secans hyperbolam illam in puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K.Q.E.I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in E, huic in F; & ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE æqualis AM, <264> & propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH æquantur. Incidit ergo punctum H in hyperbolam asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atque ideo reperitur in communi intersectione hyperbolæ hujus & circuli descripti. Q.E.D. Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodque ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH; & quod in praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectæ FK interjecta, æqualis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam AK sitæ.

Quæ de hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad parabolas. Nam si XAGK parabolam designet quam recta XV tangat in vertice X, sintque ordinatim applicatæ IA, VG ut quælibet abscissarum XI, XV dignitates ${\mathit{XI}}^{\mathit{n}}$, ${\mathit{XV}}^{\mathit{n}}$; agantur XT, GT, AH, quarum XT parallela sit VG, & GT, AH parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum velocitate projectum, describet hanc parabolam, si modo densitas medii, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum projectile pergeret, in spatio non resistente, in parabola conica verticem G, diametrum VG deorsum productam, & latus rectum $\frac{2\mathit{GTq}}{\overline{\mathit{nn}-\mathit{n}}\times \mathrm{VG}}$ habente. Et resistentia in G erit ad vim gravitatis ut GT ad $\frac{2\mathit{nn}-2\mathit{n}}{\mathit{n}-2}\mathit{VG}$. Unde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate medii in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunque angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX, & inde datur parabolæ vertex X, & positio rectæ XI, & sumendo VG ad IA ut ${\mathrm{XV}}^{\mathit{n}}$ ad ${\mathrm{XI}}^{\mathit{n}}$, dantur omnia parabolæ puncta G, per quae projectile transibit.

<265>

SECTIO III.

De motu corporum quibus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.

PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII.

Si corpori resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & idem sola vi insita in medio similari movetur: sumantur autem tempora in progressione arithmetica; quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auctæ, erunt in progressione geometrica.

Centro C, asymptotis rectangulis CADd & CH, describatur hyperbola BEe, & asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In asymptoto CD dentur puncta A, G: Et fi tempus exponatur per aream hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione geometrica crescentem.

Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, ideoque directe ut CD. Ipsius autem $\frac{1}{\mathit{GD}}$ decrementum, quod (per hujus lem. II) est $\frac{\mathit{Dd}}{\mathit{GDq}}$, erit ut $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{GDq}}$ seu $\frac{\mathit{CG}+\mathit{GD}}{\mathit{GDq}}$, id est, ut $\frac{1}{\mathit{GD}}+\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GDq}}$. Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit $\frac{1}{\mathit{GD}}$ in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc <266> est (per hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius $\frac{1}{\mathit{GD}}$ decrementum est ut summa quantitatum $\frac{1}{\mathit{GD}}$ & $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GDq}}$, quarum prior est ipsa $\frac{1}{\mathit{GD}}$, & posterior $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GDq}}$ est ut $\frac{1}{\mathit{GDq}}$: proinde $\frac{1}{\mathit{GD}}$, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD, ipsi $\frac{1}{\mathit{GD}}$ reciproce proportionalis, quantitate data CG augeatur; summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione geometrica. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si, datis punctis A, G, exponatur tempus per aream hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam $\frac{1}{\mathit{GD}}$.

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

PROPOSITIO XII. THEOREMA IX.

Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione geometrica.

In asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat hyperbolæ in S, exponatur descriptum spatium per aream hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut longitudo GD, quæ cum data CG componit longitudinem CD in progressione geometrica decrescentem, interea dum spatium RSED augetur in arithmetica.

<267>

Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quæ decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, ideoque directe ut CD, hoc est, ut summa ejusdem GD & longitudinis datæ CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est, directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; ideoque directe ut summa duarum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Decrementum igitur tam velocitatis quam lineæ GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogæ semper erunt quantitates decrescentes; nimirum velocitas & linea GD. Q.E.D.

Corol. 1. Si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G capiendo GR ad GD, ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis RSED descriptum. Invento autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.

Corol. 3. Unde cum (per prop. XI.) detur velocitas ex dato tempore, & per hanc propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

PROPOSITIO XIII. THEOREMA X.

Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit; & quod eidem resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod, si circuli & hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum ducta; tempora erunt ut arearum sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF, & <268> per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmentum AP velocitati proportionale. Et cum resistentiæ pars altera sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum; sit resistentia tota in ut $\mathit{AP\; quad.}+2\mathit{BAP}$. Jungantur DA, DP circulum secantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quad. ita ut sit gravitas ad resistentiam ut DAq ad $\mathit{APq}+2\mathit{BAP:}$ & tempus ascensus totius erit ut circuli sector EDT.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & sectoris DET momentum DTV dato temporis momento respondens; & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DAq & resistentiæ $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}$, id est (per prop. 12. lib. 2. elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad. & area DTV, quæ est ad aream DPQ ut DTq ad DPq, est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea tempori ascensus totius proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}$, & si vis gravitatis minor sit quam quæ per DAq exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit $\mathit{ABq}-\mathit{BDq}$ gravitati proportionale, sitque DF ipsi DB perpendicularis & æqualis, & per verticem F describatur hyperbola FTVE, cujus semidiametri conjugatæ sint DB & DF, quæque secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tempus ascensus totius ut hyperbolæ sector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiæ $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}$ & gravitatis $\mathit{ABq}-\mathit{BDq}$, id est, ut $\mathit{BPq}-\mathit{BDq}$. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq ad DPq; ideoque, si ad DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq seu $\mathit{GDq}-\mathit{DFq}$ <269> ad BDq, utque GDq ad BPq, & divisim ut DFq ad $\mathit{BPq}-\mathit{BDq}$. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est, ut $\mathit{BPq}-\mathit{BDq}$; erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}$ resistentia, & $\mathit{BDq}-\mathit{ABq}$ vis gravitatis, existente angulo DBA recto. Et si centro D, vertice principali B, describatur hyperbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit hyperbolæ hujus sector DET ut tempus descensus.

Nam velocitatis incrementum PQ, eique proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut $\mathit{BDq}-\mathit{ABq}-2\mathit{BAP}-\mathit{APq}$ seu $\mathit{BDq}-\mathit{BPq}$. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq ad DPq, ideoque ut GTq seu $\mathit{GDq}-\mathit{BDq}$ ad BPq, utque GDq ad BDq, & divisim ut BDq ad $\mathit{BDq}-\mathit{BPq}$. Quare cum area DPQ sit ut $\mathit{BDq}-\mathit{BPq}$, erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q.E.D.

Corol. Si centro D semidiametro DA per verticem A ducatur arcus At similis arcui ET, & similiter subtendes angulun ADT: velocitas AP erit ad velocitatem, quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris DAt; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non resistente, tempori, atque ideo sectori huic proportionalis est; in medio resistente est ut triangulum; & in medio utroque, ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more sectoris & trianguli.

Scholium.

Demonstrati etiam posset casus in ascensu corporis, ubi vis gravitatis minor est quam quæ exponi possit per DAq seu $\mathit{ABq}+\mathit{BDq}$, <270> & major quam quæ exponi possit per $\mathit{ABq}-\mathit{BDq}$, & exponi debet per ABq. Sed propero ad alia.

PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI.

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione geometrica.

Capiatur AC (in fig. tribus ultimis) gravitati, & AK resistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si cor <271> pus descendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab, quæ sit ad DB ut DBq ad 4BAC: & descripta ad asymptotos rectangulas CK, CH hyperbola bN, erectaque KN ad CK perpendiculari, area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione arithmetica, dum vires CK in progressione geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est, ut $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}$; assumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis $\frac{\mathit{APq}+2\mathit{BAP}}{\mathrm{Z}}$; & (per hujus lemma II.) erit ipsius AK momentum KL æquale $\frac{2\mathit{APQ}+2\mathit{BA}\times \mathit{PQ}}{\mathrm{Z}}$ seu $\frac{2\mathit{BPQ}}{\mathrm{Z}}$, & areæ AbNK momentum KLON æquale $\frac{2\mathit{BPQ}\times \mathit{LO}}{\mathrm{Z}}$ seu $\frac{\mathit{BPQ}\times \mathit{BD\; cub.}}{2\mathrm{Z}\times \mathit{CK}\times \mathit{AB}}$.

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut $\mathit{ABq}+\mathit{BDq}$ existente BET circulo, (in figura prima) linea AC, quæ gravitati proportionalis est, erit $\frac{\mathit{ABq}+\mathit{BDq}}{\mathrm{Z}}$, & DPq seu $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}+\mathit{ABq}+\mathit{BDq}$ erit $\mathit{AK}\times \mathrm{Z}+\mathit{AC}\times \mathrm{Z}$ seu $\mathit{CK}\times \mathrm{Z}$; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq vel DBq ad $\mathit{CK}\times \mathrm{Z}$.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut $\mathit{ABq}-\mathit{BDq}$, linea AC (in figura secunda) erit $\frac{\mathit{ABq}-\mathit{BDq}}{\mathrm{Z}}$, & DTq erit ad DPq ut DFq seu DBq ad $\mathit{BPq}-\mathit{BDq}$ seu $\mathit{APq}+2\mathit{BAP}+\mathit{ABq}-\mathit{BDq}$, id est, ad $\mathit{AK}\times \mathrm{Z}+\mathit{AC}\times \mathrm{Z}$ seu $\mathit{CK}\times \mathrm{Z}$. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq ad $\mathit{CK}\times \mathrm{Z}$.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut $\mathit{BDq}-\mathit{ABq}$, & linea AC (in figura tertia) æquetur $\frac{\mathit{BDq}-\mathit{ABq}}{\mathrm{Z}}$ erit area DTV ad aream DPQ ut DBq ad $\mathit{CK}\times \mathrm{Z}$: ut supra.

Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta $\mathit{BD}\times \mathit{m}$, <272> erit area DPQ, id est, $\frac{1}{2}\mathit{BD}\times \mathit{PQ}$; ad $\mathit{BD}\times \mathit{m}$ ut $\mathit{CK}\times \mathrm{Z}$ ad BDq. Atque inde fit $\mathit{PQ}\times \mathit{BD\; cub.}$ æquale $2\mathit{BD}\times \mathit{m}\times \mathit{CK}\times \mathrm{Z}$, & areæ AbNK momentum KLON superius inventum, fit $\frac{\mathit{BP}\times \mathit{BD}\times \mathit{m}}{\mathit{AB}}$. Auferatur æreae DET momentum DTV seu $\mathit{BD}\times \mathit{m}$, & restabit $\frac{\mathit{AP}\times \mathit{BD}\times \mathit{m}}{\mathit{AB}}$. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualis $\frac{\mathit{AP}\times \mathit{BD}\times \mathit{m}}{\mathit{AB}}$; & propterea ob datum $\frac{\mathit{BD}\times \mathit{m}}{\mathit{AB}}$ ut velocitas AP, id est, ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud, proportionalibus momentis crescen <273> tia vel decrescentia & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. Q.E.D.

Corol. Si longitudo, quæ oritur applicando aream DET ad lineam ED, dicatur M; & longitudo alia V sumatur in ea ratione ad longitudinem M, quam habet linea DA ad lineam DE: spatium, quod corpus ascensu vel descensu toto in medio resistente describit, erit ad spatium, quod corpus in medio non resistente e quiete cadendo eodem tempore describere potest, ut arearum prædictarum differentia ad $\frac{\mathit{BD}\times {\mathit{V}}^2}{\mathit{AB}}$: ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut ${\mathit{V}}^2$; & ob datas BD & AB ut $\frac{\mathit{BD}\times {\mathit{V}}^2}{\mathit{AB}}$. Hæc area æqualis est areæ $\frac{\mathit{DAq}\times \mathit{BD}\times {\mathit{M}}^2}{\mathit{DEq}\times \mathit{AB}}$, & ipsius M momentum est m; & propterea hujus areæ momentum est $\frac{\mathit{DAq}\times \mathit{BD}\times 2\mathit{M}\times \mathit{m}}{\mathit{DEq}\times \mathit{AB}}$. Hoc autem momentum est ad momentum differentiæ arearum prædictarum DET & AbNK, viz. ad $\frac{\mathit{AP}\times \mathit{BD}\times \mathit{m}}{\mathit{AB}}$, ut $\frac{\mathit{DAq}\times \mathit{BD}\times \mathit{M}}{\mathit{DEq}}$ ad $\frac{1}{2}\mathit{BD}\times \mathit{AP}$, sive ut $\frac{\mathit{DAq}}{\mathit{DEq}}$ in DET ad DAP; ideoque, ubi areæ DET & DAP quam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Area igitur $\frac{\mathit{BD}\times {\mathit{V}}^2}{\mathit{AB}}$, & differentiæ arearum DET & AbNK, quando omnes hæ areæ quam minimæ sunt, æqualia habent momenta; ideoque sunt æquales. Unde cum velocitates, & propterea etiam spatia in medio utroque in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedant ad æqualitatem; ideoque tunc sint ad invicem ut area $\frac{\mathit{BD}\times {\mathit{V}}^2}{\mathit{AB}}$, & arearum DET & AbNK differentia; & præterea cum spatium in medio non resistente sit perpetuo ut $\frac{\mathit{BD}\times {\mathit{V}}^2}{\mathit{AB}}$, & spatium in medio resistente sit perpetuo ut arearum DET & AbNK differentia: necesse est, ut spatia in medio utroque, in æqualibus quibuscunque temporibus descripta, sint ad invicem ut area <274> illa $\frac{\mathit{BD}\times {\mathit{V}}^2}{\mathit{AB}}$, & arearum DET & AbNK differentia. Q.E.D.

Scholium.

Resistentia corporum sphæricorum in fluidis oritur partim ex tenacitate, partim ex frictione, & partim ex densitate medii. Et resistentiæ partem illam, quæ oritur ex densitate fluidi diximus esse in duplicata ratione velocitatis; pars altera, quæ oritur ex tenacitate fluidi, est uniformis, sive ut momentum temporis: ideoque jam pergere liceret ad motum corporum, quibus resistitur partim vi uniformi seu in ratione momentorum temporis, & partim in ratione duplicata velocitatis. Sed sufficit aditum patefecisse ad hanc speculationem in propositionibus VIII. & IX. quæ præcedunt, & eorum corollariis. In iisdem utique pro corporis ascendentis resistentia uniformi, quæ ex ejus gravitate oritur, substitui potest resistentia uniformis, quæ oritur ex tenacitate medii, quando corpus sola vi insita movetur; & corpore recta ascendente addere licet hanc uniformem resistentiam vi gravitatis; eandemque subducere, quando corpus recta descendit. Pergere etiam liceret ad motum corporum, quibus resistitur partim uniformiter, partim in ratione velocitatis, & partim in ratione duplicata velocitatis. Et viam aperui in propositionibus præcedentibus XIII. & XIV. in quibus etiam resistentia uniformis, quæ oritur ex tenacitate medii pro vi gravitatis substitui potest, vel cum eadem, ut prius, componi. Sed propero ad alia.

SECTIO IV.

De corporum circulari motu in mediis resistentibus.

LEMMA III.

Sit PQR spiralis quæ secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in æqualibus angulis. Agatur recta PT quæ tangat eandem in puncto quovis P, secetque radium SQ in T; & ad spiralem erectis perpendiculis PO, QO concurrentibus in <275> O, jungatur SO. Dico quod si puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli $\mathrm{TQ}\times 2\mathrm{PS}$ ad PQquad. erit ratio æqualitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli æquales SPQ, SQR, & manebunt anguli æquales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per puncta O, S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic circulus in loco coitus PQ tanget spiralem, ideoque perpendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus. Q.E.D.

Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum rationes ultimæ erunt hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu 2PO ad 2PS; item PD ad PQ ut PQ ad 2PO; et ex æquo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad 2PS. Unde fit PQq æquale $\mathit{TQ}\times 2\mathit{PS}$. Q.E.D.

PROPOSITIO XV. THEOREMA XII.

Si medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quæ in superiore lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV æqualis SP. Tempore quovis, in medio resistente, describat corpus arcum quam minimum PQ, & tempore duplo arcum quam minimum PR; & decrementa horum arcuum ex resistentia oriunda, sive defectus ab arcubus, qui in medio non resistente <276> iisdem temporibus describerentur, erunt ad invicem ut quadrata temporum in quibus generantur: Est itaque decrementum arcus PQ pars quarta decrementi arcus PR. Unde etiam, si areæ PSQ æqualis capitaur area QSr, erit decrementum arcus PQ æquale dimidio lineolæ Rr; ideoque vis resistentiæ & vis centripeta sunt ad invicem ut lineolæ $\frac{1}{2}\mathit{Rr}$ & TQ quas simul generant. Quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P, est reciproce ut SPq, & (per lem. X. lib. I.) lineola TQ, quæ vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur (nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta, negligo) erit $\mathit{TQ}\times \mathit{SPq}$, id est (per lemma novissimum) $\frac{1}{2}\mathit{PQq}\times \mathit{SP}$, in ratione duplicata temporis, ideoque tempus est ut $\mathit{PQ}\times \sqrt{\mathit{SP}}$; & corporis velocitas, qua arcus PQ illo tempore describitur, ut $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{PQ}\times \sqrt{\mathit{SP}}}$ seu $\frac{1}{\sqrt{\mathit{SP}}}$, hoc est, in subduplicata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento, velocitas qua arcus QR describitur, est in subduplicata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est, in subduplicata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad $\sqrt{\mathit{SP}\times \mathit{SQ}}$; & ob æquales angulos SPQ, SQr & æquales areas PSQ, QSr, est arcus PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad $\mathit{SP}-\sqrt{\mathit{SP}\times \mathit{SQ}}$, seu $\frac{1}{2}\mathit{VQ}$. Nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima $\mathit{SP}-\sqrt{\mathit{SP}\times \mathit{SQ}}$ ad $\frac{1}{2}\mathit{VQ}$ est æqualitatis. Quoniam decrementum arcus PQ, ex resistentia oriundum, sive hujus duplum Rr, est ut resistentia & quadratum temporis conjunctim; erit resistentia ut $\frac{\mathit{Rr}}{\mathit{PQq}\times \mathit{SP}}$. Erat autem PQ ad Rr, ut SQ ad $\frac{1}{2}\mathit{VQ}$, & inde $\frac{\mathit{Rr}}{\mathit{PQq}\times \mathit{SP}}$ fit ut $\frac{\frac{1}{2}\mathit{VQ}}{\mathit{PQ}\times \mathit{SP}\times \mathit{SQ}}$ sive ut $\frac{\frac{1}{2}\mathit{OS}}{\mathit{OP}\times \mathit{SPq}}$. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt, & angulus PVQ fit rectus; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ <277> ad $\frac{1}{2}\mathit{VQ}$ ut OP ad $\frac{1}{2}\mathit{OS}$. Est igitur $\frac{\mathit{OS}}{\mathit{OP}\times \mathit{SPq}}$ ut resistentia, id est, in ratione densitatis medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio $\frac{1}{\mathit{SP}}$, & manebit medii densitas in P ut $\frac{\mathit{OS}}{\mathit{OP}\times \mathit{SP}}$. Detur spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, densitas medii in P erit ut $\frac{1}{\mathit{SP}}$. In medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac spirali. Q.E.D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est, quacum corpus in medio non resistente eadem vi centripeta gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut $\frac{\mathit{OS}}{\mathit{OP}}$, sin distantia illa non datur, ut $\frac{\mathit{OS}}{\mathit{OP}\times \mathit{SP}}$. Et inde spiralis ad quamlibet medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. Vis resistentiæ in loco quovis P, est ad vim centripetam in eodem loco ut $\frac{1}{2}\mathit{OS}$ ad OP. Nam vires illæ sunt ad invicem ut $\frac{1}{2}\mathit{Rr}$ & TQ sive ut $\frac{\frac{1}{4}\mathit{VQ}\times \mathit{PQ}}{\mathit{SQ}}$ & $\frac{\frac{1}{2}\mathit{PQq}}{\mathit{SP}}$, hoc est, ut $\frac{1}{2}\mathit{VQ}$ & PQ, seu $\frac{1}{2}\mathit{OS}$ & OP. Data igitur spirali datur proportio resistentiæ ad vim centripetam, & viceversa ex data illa proportione datur spiralis.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiæ minor est quam dimidium vis centripetæ. Fiat resistentia æqualis dimidio vis centripetæ, & spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum ea cum velocitate, quæ sit ad velocitatem, qua probavimus in superioribus in casu parabolæ (theor. X. lib. I.) descensum in medio non resistente fieri, in subduplicata ratione unitatis ad numerum bianrium. Et tempora descensus hic erunt reciproce ut velocitates, atque ideo dantur.

Corol. 5. Et quoniam in æqualibus a centro distantiis velocitas eadem est in spirali PQR atque in recta SP, & longitudo spiralis ad longitudinem rectæ PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad <278> OS; tempus descensus in spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione, proindeque datur.

Corol. 6. Si centro S intervallis duobus quibuscunque datis describantur duo circuli; & manentibus hisce circulis, mutetur utcunque angulus quem spiralis continet cum radio PS: numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias, pergendo in spriali a circumferentia ad circumferentiam, complere potest, est ut $\frac{\mathit{PS}}{\mathit{OS}}$, sive ut tangens anguli illius quem spiralis continet cum radio PS; tempus vero revolutionum earundem ut $\frac{\mathit{OP}}{\mathit{OS}}$, id est, ut secans anguli ejusdem, vel etiam reciproce ut medii densitas.

Corol. 7. Si corpus, in medio cujus densitas est reciproce ut distantia locorum a centro, revolutionem in curva quacunque AEB circa centrum illud fecerit, & radium primum AS in eodem angulo secuerit in B quo prius in A, idque cum velocitate quæ fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce in subduplicata ratione distantiarum a centro (id est, ut AS ad mediam proportionalem inter AS & BS) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones BFC, CGD &c. facere, & intersectionibus distinguet radium AS in partes AS, BS, CS, DS, &c. continue proportionales. Revolutionum <279> vero tempora erunt ut perimetri orbitarum AEB, BFC, CGD, &c. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est, ut ${\mathit{AS}}^{\frac{3}{2}}$, ${\mathit{BS}}^{\frac{3}{2}}$, ${\mathit{CS}}^{\frac{3}{2}}$. Atque tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primæ, ut summa omnium continue proportionalium ${\mathit{AS}}^{\frac{3}{2}}$, ${\mathit{BS}}^{\frac{3}{2}}$, ${\mathit{CS}}^{\frac{3}{2}}$, pergentium in infinitum, ad terminum primum ${\mathit{AS}}^{\frac{3}{2}}$; id est, ut terminus ille primus ${\mathit{AS}}^{\frac{3}{2}}$ ad differentiam duorum primorum ${\mathit{AS}}^{\frac{3}{2}}-{\mathit{BS}}^{\frac{3}{2}}$, sive ut $\frac{2}{3}\mathit{AS}$ ad AB quam proxime. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

Corol. 8. Ex his etiam præter propter colligere licet motus corporum in mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. Centro S, intervallis continue proportionalibus SA, SB, SC, &c. describe circulos quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in medio de quo egimus, esse ad tempus revolutionum inter eosdem in medio proposito, ut medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime: Sed & in eadem quoque ratione esse secantem anguli quo spiralis præfinita, in medio de quo egimus, secat radium AS, ad secantem anguli quo spiralis nova secat radium eundem in medio proposito: Atque etiam ut sunt eorundem angulorum tangentes ita esse numeros revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si hæc fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in spiralibus ad formam ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo spiralium illarum singulas revolutiones iisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi spiralibus peragantur.

<280>

PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIII.

Si medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta reciproce ut dignitas quælibet ejusdem distantiæ: dico quod corpus gyrari potest in spirali quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Demonstratur eadem methodo cum propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiæ SP, dignitas quælibet ${\mathit{SP}}^{\mathit{n}+1}$ cujus index est $\mathit{n}+1$: colligetur ut supra, quod tempus, quo corpus describit arcum quemvis PQ, erit ut $\mathit{PQ}\times {\mathit{SP}}^{\frac{1}{2}\mathit{n}}$; & resistentia in P ut $\frac{\mathit{Rr}}{\mathit{PQq}\times {\mathit{SP}}^{\mathit{n}}}$, sive ut $\frac{\overline{1-\frac{1}{2}\mathit{n}}\times \mathit{VQ}}{\mathit{PQ}\times {\mathit{SP}}^{\mathit{n}}\times \mathit{SQ}}$, ideoque ut $\frac{\overline{1-\frac{1}{2}\mathit{n}}\times \mathit{OS}}{\mathit{OP}\times {\mathit{SP}}^{\mathit{n}+1}}$, hoc est, ob datum $\frac{\overline{1-\frac{1}{2}\mathit{n}}\times \mathit{OS}}{\mathit{OP}}$ reciproce ut ${\mathit{SP}}^{\mathit{n}+1}$. Et propterea, cum velocitas sit reciproce ut ${\mathit{SP}}^{\frac{1}{2}\mathit{n}}$, densitas in P erit reciproce ut SP.

Corol. 1. Resistentia est ad vim centripetam, ut $\overline{1-\frac{1}{2}\mathit{n}}\times \mathit{OS}$ ad OP.

Corol. 2. Si vis centripeta sit reciproce ut SP cub., erit $1-\frac{1}{2}\mathit{n}=\mathit{o}$; ideoque resistentia & densitas medii nulla erit, ut in propositione nona libri primi.

Corol. 3. Si vis centripeta sit reciproce ut dignitas aliqua radii SP cujus index est major numero 3, resistentia affirmativa in negativam mutabitur.

Scholium.

Cæterum hæc propositio & superiores, quæ ad media inæqualiter densa spectant, intelligendæ sunt de motu corporum adeo parvorum, <281> ut medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque cæteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in mediis, quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiæ vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV.

Invenire & vim centripetam & medii resistentiam, qua corpus in data spirali, data velocitatis lege, revolvi potest.

Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate, qua corpus percurrit arcum quam minimum PQ, dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quæ est ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. Deinde ex arearum, æqualibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex retardatione invenietur resistentia ac densitas medii.

PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V.

Data lege vis centripetæ, invenire medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam spiralem describet.

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde <282> ex velocitatis retardatione quærenda medii densitas; ut in propositione superiore.

Methodum vero tractandi hæc problemata aperui in hujus propositione decima, & lemmate secundo; & lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines peraguntur.

SECTIO V.

De densitate & compressione fluidorum, deque hydrostatica.

Definitio fluidi.

Fluidum est corpus omne, cujus partes cedunt vi cuicunque illatæ, & cedendo facile movetur inter se.

PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV.

Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clauditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita condensationis, gravitatis, & virium omnium centripetarum consideratione) æqualiter premuntur undique, & sine omni motu a pressione illa orto permanent in locis suis.

Cas. 1. In vase sphærico ABC claudatur & uniformiter comprimatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliqua D moveatur, necesse est ut omnes hujusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; atque hoc ideo quia similis & æqualis est omnium pressio, & motus omnis exclusus supponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum con <283> densetur; contra hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere, nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra hypothesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam quamcunque, quia pari ratione movebuntur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non potest pars eadem, eodem tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q.E.D.

Cas. 2. Dico jam, quod fluidi hujus partes omnes sphaericæ æqualiter premuntur undique. Sit enim EF pars sphærica fluidi, & si hæc undique non premitur æqualiter, augeatur pressio minor, usque dum ipsa undique prematur æqualiter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundem primum, & additione pressionis novæ movebuntur de locis suis, per definitionem fluidi. Quæ duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod sphæra EF non undique premebatur æqualiter. Q.E.D.

Cas. 3. Dico præterea quod diversarum partium sphæricarum æqualis sit pressio. Nam partes sphaericæ contiguæ se mutuo premunt æqualiter in puncto contactus, per motus legem III. Sed &, per casum secundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur duæ quævis sphæricæ non contiguæ, quia pars sphærica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q.E.D.

Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur æqualiter. Nam partes duæ quævis tangi possunt a partibus sphæricis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas sphæricas æqualiter premunt, per casum 3. & vicissim ab illis æqualiter premuntur, per motus legem tertiam. Q.E.D.

Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quælibet GHI in fluido reliquo tanquam in vase claudatur, & undique prematur æqualiter, partes autem ejus se mutuo æqualiter premant & quiescant inter se; manifestum est quod fluidi cujuscunque GHI, quod undique premitur æqualiter, partes omnes se mutuo premunt æqualiter, & quiescunt inter se. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur si fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique non prematur æqualiter; cedet idem pressioni fortiori, per definitionem fluiditatis.

Cas. 7. Ideoque in vase rigido fluidum non sustinebit pressionem <284> fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idque in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad æqualitatem verget. Et quoniam fluidum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad æqualitatem, in momento temporis, absque motu locali: & subinde partes fluidi, per casum quintum, se mutuo prement æqualiter, & quiescent inter se. Q.E.D.

Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt, nisi quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se.

Prop. XX. THEOREMA XV.

Si fluidi sphærici, & in æqualibus a centro distantiis homogenei, fundo sphærico concentrico incumbentis partes singulæ versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus cylindri, cujus basis æqualis est superficiei fundi, & altitudo eadem quæ fluidi incumbentis.

Sit DHM superficies fundi, & AEI superficies superior fluidi. Superficiebus sphæricis innumeris BFK, CGL distinguatur fluidum in orbes concentricos æqualiter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem orbis cujusque, & æquales esse actiones in æquales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema AE vi simplici gravitatis propriæ, qua & omnes orbis supremi partes & superficies secunda BFK (per prop. XIX.) pro mensura sua æqualiter premuntur. Premitur præterea superficies secunda BFK vi propriæ gravitatis, quæ <285> addita vi priori facit pressionem duplam. Hac pressione, pro mensura sua, & insuper vi propriæ gravitatis, id est, pressione tripla, urgetur superficies tertia CGL. Et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta, & sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaquæque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus orbium ad usque summitatem fluidi; & æquatur gravitati orbis infimi multiplicatæ per numerum orbium: hoc est, gravitati solidi cujus ultima ratio ad cylindrum præfinitum (si modo orbium augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio æqualitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri præfiniti. Q.E.D. Et simili argumentatione patet propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiæ a centro, ut & ubi fluidum sursum rarius est, deorsum densius. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet quæ in propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato.

Corol. 2. In æqualibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum, a superficie pressa sursum continuatum, surgat perpendiculariter secundum lineam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem theorematis hujus ad casus singulos fluidorum.

Corol. 3. Eadem demonstratione colligitur etiam (per prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt motum inter se; si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.

Corol. 4. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificæ corpus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si sphæricum est manebit sphæricum, non obstante pressione; si quadratum est manebit quadratum: idque sive molle sit, sive fluidissimum; <286> sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quælibet interna rationem corporis submersi, & par est ratio omnium ejusdem magitudinis, figuræ & gravitatis specificæ submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus cæteræque motuum causæ permanent. Atqui (per cas. 5. prop. XIX.) jam quiesceret & figuram retineret. Ergo & prius.

Corol. 5. Proinde corpus quod specifice gravius est quam fluidum sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascendet, motumque & figuræ mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in æquilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra libræ.

Corol. 6. Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est gravitas: altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & comparativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit: relativa & vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; & pondus totius æquale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est, inter se collata non prægravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quæ in aëre sunt & non prægravant, vulgus gravia non judicat. Quæ prægravant vulgus gravia judicat, quatenus ab aëris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus aëris. Unde & vulgo dicuntur levia, quæ sunt minus gravia, aërique prægravanti cedendo superiora petunt. Comparative levia sunt, non vere, quia descendunt in vacuo. Sic & in aqua corpora, quæ ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative & <287> apparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquæ vel ab ea superatur. Quæ vero nec prægravando descendunt, nec prægravanti cedendo ascendunt, etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum casuum demonstratio.

Corol. 7. Quæ de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis.

Corol. 8. Proinde si medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius; differentia virium est vis illa motrix, quam in præcedentibus propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum figuras externas, patet insuper (per corollarium prop. XIX.) quod non mutabunt situm patium internarum inter se: proindeque, si animalia immergantur, & sensatio omnis a motu partium oriatur; nec lædent corpora immersa, nec sensationem ullam excitabunt, nisi quatenus hæc corpora a compressione condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur.

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI.

Sit fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod, si distantiæ illæ sumantur continue proportionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.

Designet ATV fundum sphæricum cui fluidum incumbit, S centrum, SA, SB, SC, SD, SE, SF, &c. distantias continue propor <288> tionales. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, DL, EM, FN, &c. quæ sint ut densitates medii in locis A, B, C, D, E; & specificæ gravitates in iisdem locis erunt ut $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AS}}$, $\frac{\mathit{BI}}{\mathit{BS}}$, $\frac{\mathit{CK}}{\mathit{CS}}$, &c. vel, quod perinde est, ut $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AB}}$, $\frac{\mathit{BI}}{\mathit{BC}}$, $\frac{\mathit{CK}}{\mathit{CD}}$, &c. Finge primum has gravitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D, &c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D, &c. Et hæ gravitates ductæ in altitudines AB, BC, CD, &c. conficient pressiones AH, BI, CK, &c. quibus fundum ATV (juxta theorema XV.) urgetur. Sustinet ergo particula A pressiones omnes AH, BI, CK, DL, pergendo in infinitum; & particula B pressiones omnes præter primam AH; & particula C omnes præter duas primas AH, BI; & sic deinceps: ideoque particulæ primæ A densitas AH est ad particulæ secundæ B densitatem BI ut summa omnium $\mathit{AH}+\mathit{BI}+\mathit{CK}+\mathit{DL}$, in infinitum, ad summam omnium $\mathit{BI}+\mathit{CK}+\mathit{DL}$, &c. Et BI densitas secundæ B est ad CK densitatem tertiæ C, ut summa omnium $\mathit{BI}+\mathit{CK}+\mathit{DL}$, &c. ad summam omnium $\mathit{CK}+\mathit{DL}$, &c. Sunt igitur summæ illæ differentiis suis AH, BI, CK, &c. proportionales, atque ideo continue proportionales (per hujus lem. I.) proindeque differentiæ AH, BI, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C, &c. sint ut AH, BI, CK, &c. erunt etiam hæ continue proportionales. Pergatur per saltum, & ex æquo in distantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt densitates AH, CK, EM continue proportionales. Et eodem argumento, in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SG, densitates AH, DL, GO erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SG, densitates AH, DL, GO, semper existentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si detur densitas fluidi in duobus locis, puta A & <289> E, colligi potest ejus densitas in alio quovis loco Q. Centro S, asymptotis rectangulis SQ, SX, describatur hyperbola secans perpendicula AH, EM, QT in a, e, q, ut & perpendicula HX, MY, TZ, ad asymptoton SX demissa, in h, m, & t. Fiat area YmtZ ad aream datam YmhX ut area data EeqQ ad aream datam EeaA; & linea Zt producta abscindet lineam QT densitati proportionalem. Namque si lineæ SA, SE, SQ sunt continue proportionales, erunt areæ EeqQ, EeaA æquales, & inde areæ his proportionales YmtZ, XhmY etiam æquales, & lineæ SX, SY, SZ, id est, AH, EM, QT continue proportionales, ut oportet. Et si lineæ SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium, lineæ AH, EM, QT, ob proportionales areas hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium.

PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII.

Sit fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod, si distantiæ sumantur in progressione musica, densitates fluidi in his distantiis erunt in progressione geometrica.

Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in progressione geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quæ sint ut fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravitates specfifcæ in iisdem locis erunt $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{SAq}}$, $\frac{\mathit{BI}}{\mathit{SBq}}$, $\frac{\mathit{CK}}{\mathit{SCq}}$, &c. Finge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, secundam a B ad C, tertiam a C ad D, &c. Et hæ ductæ in altitudines AB, BC, CD, DE, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes pressio <290> num $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{SA}}$, $\frac{\mathit{BI}}{\mathit{SB}}$, $\frac{\mathit{CK}}{\mathit{SC}}$, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summæ, differentiæ densitatum $\mathit{AH}-\mathit{BI}$, $\mathit{BI}-\mathit{CK}$, &c. erunt ut summarum differentiæ $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{SA}}$, $\frac{\mathit{BI}}{\mathit{SB}}$, $\frac{\mathit{CK}}{\mathit{SC}}$, &c. Centro S, asymptotis SA, Sx describatur hyperbola quævis, quæ secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c, &c. ut & perpendicula ad asymptoton Sx demissa Ht,Iu, Kw in h, i, k; & densitatum differentiæ tu, uw, &c. erunt ut $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{SA}}$, $\frac{\mathit{BI}}{\mathit{SB}}$, &c. Et rectangula $\mathit{tu}\times \mathit{th}$, $\mathit{uw}\times \mathit{ui}$, &c. seu tp, uq, &c. ut $\frac{\mathit{AH}\times \mathit{th}}{\mathit{SA}}$, $\frac{\mathit{BI}\times \mathit{ui}}{\mathit{SB}}$, &c. id est, ut Aa, Bb, &c. Est enim, ex natura hyperbolæ, SA ad AH vel St, ut th ad Aa, ideoque $\frac{\mathit{AH}\times \mathit{th}}{\mathit{SA}}$ æquale Aa. Et simili argumento est $\frac{\mathit{BI}\times \mathit{ui}}{\mathit{SB}}$ æquale Bb, &c. Sunt autem Aa, Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis suis $\mathit{Aa}-\mathit{Bb}$, $\mathit{Bb}-\mathit{Cc}$, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis differentiarum $\mathit{Aa}-\mathit{Cc}$ vel $\mathit{Aa}-\mathit{Dd}$ summæ rectangulorum $\mathit{tp}+\mathit{uq}$, vel $\mathit{tp}+\mathit{uq}+\mathit{wr}$. Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta $\mathit{Aa}-\mathit{Ff}$, erit summæ omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiæ punctorum A, B, C, <291> &c. in infinitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ hyperbolicæ zthn, ideoque huic areæ proportionalis est differentia $\mathit{Aa}-\mathit{Ff}$. Sumantur jam distantiæ quælibet, puta SA, SD, SF in progressione musica, & differentiæ $\mathit{Aa}-\mathit{Dd}$, $\mathit{Dd}-\mathit{Ff}$ erunt æquales; & propterea differentiis hisce proportionales areæ thlx, xlnz æquales erunt inter se, & densitates St, Sx, Sz, id est, AH, DL, FN, continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si dentur fluidi densitates duæ quævis, puta AH & BI, dabitur area thiu, harum differentiæ tu respondens; & inde invenietur densitas FN in altitudine quacunque SF, sumendo aream thnz ad aream illam datam thiu ut est differentia $\mathit{Aa}-\mathit{Ff}$ ad differentiam $\mathit{Aa}-\mathit{Cc}$.

Scholium.

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro, & quadratorum distantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nempe $\frac{\mathit{SA\; cub.}}{\mathit{SAq}}$, $\frac{\mathit{SA\; cub.}}{\mathit{SBq}}$, $\frac{\mathit{SA\; cub.}}{\mathit{SCq}}$) sumantur in progressione arithmeca; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta $\frac{\mathit{SAqq}}{\mathit{SA\; cub.}}$, $\frac{\mathit{SAqq}}{\mathit{SBcub.}}$, $\frac{\mathit{SAqq}}{\mathit{SCcub.}}$, &c.) sumantur in progressione arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum fluidi in omnibus distantiis eadem sit, & distantiæ sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione arithmetica, densitates erunt in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Hæc ita se habent ubi fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a fluido occupatum reciproce ut hæc vis. Fingi possunt aliæ condensationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio vis eadem cum quadruplicatæ rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiæ. Fin <292> gatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiæ, densitas erit reciproce in sesquiplicata ratione distantiæ. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiæ, & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset. Cæterum per experimenta constat quod densitas aëris sit ut vis comprimens vel accurate vel saltem quam proxime: & propterea densitas aëris in atmosphæra terræ est ut pondus aëris totius incumbentis, id est, ut altitudo mercurii in baromentro.

PROPOSITIO XXIII. THEOREMA XVIII.

Si fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vires centrifugæ particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum. Et vice versa, particulæ viribus quæ sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se mutuo fugientes componunt fluidum elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis.

Includi intelligatur fluidum in spatio cubico ACE, dein compressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum similem situm inter se in utroque spatio obtinentium, distantiæ erunt ut cuborum latera AB, ab; & mediorum densitates reciproce ut spatia continentia AB cub. & ab cub. In cubi majoris latere plano ABCD capiatur quadratum DP æquale lateri plano cubi minoris db; & ex hypothesi, pressio, qua quadratum DP urget fluidum inclusum, erit ad pressionem, qua illud quadratum db urget fluidum inclusum, ut medii densitates ad invicem, hoc est, ut ab cub. ad AB cub. Sed pressio, qua quadratum DB urget fluidum inclusum, est ad pressionem, qua quadratum DP urget idem fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoc est, ut AB quad. ad ab quad. Ergo, <293> ex æquo, pressio qua quadratum DB urget fluidum, est ad pressionem qua quadratum db urget fluidum, ut ab ad AB. Planis FGH, fgh, per media cuborum ductis, distinguatur fluidum in duas partes, & hæ se mutuo prement iisdem viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc est, in proportione ab ad AB: ideoque vires centrifugæ, quibus hæ pressiones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum similemque situm in utroque cubo, vires quas particulæ omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt ut vires quas singulæ exercent in singulas. Ergo vires, quas singulæ exercent in singulas secundum planum FGH in cubo majore, sunt ad vires, quas singulæ exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore, ut ab ad AB, hoc est, reciproce ut distantiæ particularum ad invicem. Q.E.D.

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiæ, id est, reciproce ut cuborum latera AB, ab; summæ virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, db ut summæ virium; & pressio quadrati DP ad pressionem lateris DB ut ab quad. ad AB quad. Et, ex æquo, pressio quadrati DP ad pressionem lateris db ut ab cub. ad AB cub. id est, vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q.E.D.

Scholium.

Simili argumento, si particularum vires centrifugæ sint reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata desitarum. Si vires centrifugæ sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate fluidi compressi, & vires centrifugæ sint reciproce ut distantiæ dignitas quælibet ${\mathit{D}}^{\mathit{n}}$, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis ${\mathit{E}}^{\mathit{n}+2}$, cujus index est numerus $\mathit{n}+2$: & contra. Intelligenda vero sunt hæc omnia de particularum viribus centrifugis quæ terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus magneticis. Horum virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam <294> laminan ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulæ fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex hujusmodi particulis componentur fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulæ cujusque virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad æqualem condensationem majoris quantitatis fluidi. An vero fluida elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, quæstio physica est. Nos proprietatem fluidorum ex ejusmodi particulis constantium mathematice demonstravimus, ut philosophis ansam præbeamus quæstionem illam tractandi.

SECTIO VI.

De motu & resistentia corporum Funependulorum.

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.

Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum a centro suspensionis æqualiter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.

Nam velocitas, quam data vis in data materia, dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo æqualiter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora directe & quantitates materiæ reciproce: ideoque quantitates materiæ ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque <295> ideo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiæ sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est, ut pondera & quadrata temporum. Q.E.D.

Corol. 1. Ideoque si tempora sunt æqualia, quantitates materiæ in singulis corporibus erunt ut pondera.

Corol. 2. Si pondera sunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum.

Corol. 3. Si quantitates materiæ æquantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum.

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum, cæteris paribus, sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates materiæ æqualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiæ pendulæ est ut pondus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6. Sed & in medio non resistente quantitas materiæ pendulæ est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in medio quovis gravi, ut supra explicui; ideoque idem præstat in tali medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo.

Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiæ in singulis; tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiæ in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse.

PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX.

Corpora Funependula quibus, in medio quovis, resistuntur in ratione momentorum temporis, & corpora funependula quæ in ejusdem gravitatis specificæ medio non resistente moventur, oscillationes in cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.

Sit AB cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit <296> infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, ideoque detur, exponatur eadem per datam arcus cycloidis partem CO, & sumatur arcus Od in ratione ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urgetur in medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, ideoque erit ad vim, qua corpus D urgetur in medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD; & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco B, & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primæ & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od erunt in eadem ratione. Proinde vires, ipsis CD, Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in medio non resistente ad locum C, & alterum in medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB, OB; erunt arcus, quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in medio re <297> sistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiæ CO, id est ut Oe; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates, in data illa ratione retardatæ, manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Isochronæ sunt igitur oscillaciones totæ, & arcubus totis BA, Ba proportionales sunt arcuum partes quælibet BD, Bd vel BE, Be quæ simul describuntur. Q.E.D.

Corol. Igitur motus velocissimus in medio resistente non incidit in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a B ad O.

PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI.

Corporum funependulorum, quibus resistitur in ratione velocitatum, oscillationes in cycloide sunt Isochronæ.

Nam si corpora duo, a centris suspensionum æqualiter distantia, oscillando describant arcus inæquales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistentiæ velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ sint ut iidem arcus, auferantur vel addantur hæ resistentiæ, erunt differentiæ vel summæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hæ differentiæ vel summæ, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. Q.E.D.

<298>

PROPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII.

Si corporibus funependulis resistitur in duplicata ratione velocitatum, differentiæ inter tempora oscillationum in medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.

Nam pendulis æqualibus in medio resistente describantur arcus inæquales A, B; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est, ut AA ad BB, quam proxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut AB ad AA; tempora in arcubus A & B forent æqualia, per propositionem superiorem. Ideoque resistentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A supra tempus in medio non resistente; & resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra tempus in medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id est, ut arcus A & B Q.E.D.

Corol. 1. Hinc ex oscillationum temporibus, in medio resistente, in arcubus inæqualibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ medio non resistente. Nam differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.

Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis isochronæ, & brevissimæ iisdem temporibus peraguntur ac in medio non resistente, quam proxime. Earum vero quæ in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione longitudinis in descensu descriptæ, quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum medii. Nam corporibus tardescentibus paulo minus resistitur, pro ratione velocitatis, & corporibus acceleratis paulo magis quam iis quæ uniformiter progrediuntur: idque quia medium, eo quem a corporibus <299> accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur.

PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIII.

Si corpori funependulo in cycloide oscillanti resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.

Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, & Aa differentiam arcuum: & stantibus quæ in propositione XXV constructa & demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D, ad vim resistentiæ ut arcus CD ad arcum CO, qui semissis est differentiæ illius Aa. Ideoque vis, qua corpus oscillans urgetur in cycloidis principio seu puncto altissimo, id est, vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus cycloidis inter punctum illud supremum & punctum infimum C ad arcum CO; id est (si arcus duplicentur) ut cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum Aa. Q.E.D.

<300>

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VI.

Posito quod corpori in cycloide oscillanti resistitur in duplicata ratione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.

Sit Ba arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum cycloidis punctum, & CZ semissis arcus cycloidis totius, longitudini penduli æqualis; & quæratur resistentia corporis in loco quovis D. Secetur recta infinita OQ in punctis O, S, P, Q, ea lege, ut (si erigantur perpendicula OK, ST, PI, QE, centroque O & asymptotis OK, OQ describatur hyperbola TIGE secans perpendicula ST, PI, QE in T, I & E, & per punctum I agatur KF parallela asymptoto OQ occurrens asymptoto OK in K, & perpendiculis ST & QE in L & F) fuerit area hyperbolica PIEQ ad aream hyperbolicam PITS ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca ascensu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area hyperbolica PINM quæ sit ad aream hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area hyperbolica PIGR, quæ sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD ad arcum BC descensu toto descriptum; erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area $\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}-\mathit{IGH}$ ad aream PINM.

Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areæ <301> PINM, PIEQ, PIGR, PITS; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa. Et areæ $\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}-\mathit{IGH}$ incrementum $\mathit{GHhg}-\frac{\mathit{Rr}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}$, seu $\mathit{Rr}\times \mathit{HG}-\frac{\mathit{Rr}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}$, erit ad areæ PIGR decrementum RGgr seu $\mathit{Rr}\times \mathit{RG}$, ut $\mathit{HG}-\frac{\mathit{IEF}}{\mathit{OQ}}$ ad RG; ideoque ut $\mathit{OR}\times \mathit{HG}-\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}$ ad $\mathit{OR}\times \mathit{GR}$ seu $\mathit{OP}\times \mathit{PI}$, hoc est (ob æqualia $\mathit{OR}\times \mathit{HG}$, $\mathit{OR}\times \mathit{HR}-\mathit{OR}\times \mathit{GR}$, $\mathit{ORHK}-\mathit{OPIK}$, PIHR & $\mathit{PIGR}+\mathit{IGH}$) ut $\mathit{PIGR}+\mathit{IGH}-\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}$ ad OPIK. Igitur si area $\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}-\mathit{IGH}$ dicatur Y, atque areæ PIGR decrementum RGgr detur, erit incrementum areæ Y ut $\mathit{PIGR}-\mathit{Y}$.

Quod si V designet vim a gravitate oriundam, arcui describendo CD proportionalem, qua corpus urgetur in D, & R pro resistentia ponatur; erit $\mathrm{V}-\mathrm{R}$ vis tota qua corpus urgetur in D. Est itaque incrementum velocitatis ut $\mathrm{V}-\mathrm{R}$ & particula illa temporis in qua factum est conjunctim: Sed & velocitas ipsa est ut incrementum contemporaneum spatii descripti directe & particula eadem temporis inverse. Unde, cum resistentia per hypothesin sit ut quadratum velocitatis, incrementum resistentiæ (per lem. II.) erit ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est, ut momentum spatii & $\mathrm{V}-\mathrm{R}$ conjunctim; atque ideo, si momentum spatii detur, ut $\mathrm{V}-\mathrm{R}$; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut $\mathit{PIGR}-\mathrm{Z}$.

Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione $\mathit{PIGR}-\mathrm{Y}$, & area Z in ratione $\mathit{PIGR}-\mathrm{Z}$. Et propterea si areæ Y & Z simul incipiant & sub initio æquales sint, hæ per additionem æqualium momentorum pergent esse æquales, & æqualibus itidem momentis <302> subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, æqualia habebunt momenta & semper erunt æquales: id ideo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.

Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio motus ubi arcus CD arcui CB æquatur & recta RG incidit in rectam QE, & in fine motus ubi arcus CD arcui Ca æquatur & RG incidit in rectam ST. Et area Y seu $\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}-\mathit{IGH}$ incipit desinitque ubi nulla est, ideoque ubi $\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}$ & IGH æqualia sunt: hoc est (per constructionem) ubi recta RG incidit successive in rectas QE & ST. Proindeque areæ illæ simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt æquales. Igitur area $\frac{\mathit{OR}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}-\mathit{IGH}$ æqualis est areæ Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut area $\frac{\mathit{OP}}{\mathit{OQ}}\mathit{IEF}$ ad aream PINM.

Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum $\mathit{PIGR}-\mathrm{Y}$) evadit nullum.

<303>

Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quæ est in subduplicata ratione resistentiæ, & ipso motus initio æquatur velocitati corporis in eadem cycloide sine omni resistentia oscillantis.

Cæterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc propositionem inveniendæ sunt, visum est propositionem sequentem subjungere.

PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV.

Si recta aB æqualis sit cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quæ sint ad longitudinem penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum ducta in arcuum eorundem semisummam, æqualis erit areæ BKa a perpendiculis omnibus DK occupatæ.

Exponatur enim tum cycloidis arcus, oscillatione integra descriptus, per rectam illam sibi æqualem aB, tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repræsentabit infimum cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in D secundum tangentem cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis <304> illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli, & si in DE capiatur DK in ea ratione ad longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiæ. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describat autem corpus tempore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiæ occurrentibus in E & e, erunt hæc ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo a puncto B, acquireret in locis D & d. Patet hoc (per prop. LII. lib. I.) Exponantur itaque hæ velocitates per perpendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in medio resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps sine ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet velocitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia medii amittit; & sumatur CN æqualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps sine ulteriore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpendiculum Fm, & velocitatis DF decrementum Fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fm a vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd ut CD ad DF; & ex æquo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fh ad Fg ut DF ad CF; & ex æquo perturbate, Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF seu CM; ideoque summa omnium $\mathit{MN}\times \mathit{CM}$ æqualis erit summæ omnium $\mathit{Dd}\times \mathit{DK}$. Ad punctum mobile M erigi semper intelligatur ordinata rectangula æqualis indeterminatæ CM, quæ <305> motu continuo ducatur in totam longitudinem Aa; & trapezium ex illo motu descriptum sive huic æquale rectangulum $\mathit{Aa}\times \frac{1}{2}\mathit{aB}$ æquabitur summæ omnium $\mathit{MN}\times \mathit{CM}$, ideoque summæ omnium $\mathit{Dd}\times \mathit{DK}$, id est, areæ BKVTa. Q.E.D.

Corol. Hinc ex lege resistentiæ & arcuum Ca, CB differentia Aa colligi potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia DK, figura BKTa rectangulum erit sub Ba & DK; & inde rectangulum sub $\frac{1}{2}\mathit{Ba}$ & Aa erit æquale rectangulo sub Ba & DK, & DK æqualis erit $\frac{1}{2}\mathit{Aa}$. Quare cum DK sit exponens resistentiæ, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut $\frac{1}{2}\mathit{Aa}$ ad longitudinem penduli; omnino ut in prop. XXVIII. demonstratum est.

Si resistentia sit ut velocitas, figura BKTa ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in medio resistente, & BA in medio non resistente, æqualibus circiter temporibus describantur; ideoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas in puncto D in medio resistente ut circuli vel ellipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; ideoque figura BKVTa ellipsis erit quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiæ in puncto medio O; & ellipsis BRVSa, centro O, semiaxibus OB, OV descripta, figuram BKVTa, eique æquale rectangulum $\mathit{Aa}\times \mathit{BO}$, æquabit quamproxime. Est igitur $\mathit{Aa}\times \mathit{BO}$ ad $\mathit{OV}\times \mathit{BO}$ ut area ellipseos hujus ad $\mathit{OV}\times \mathit{BO:}$ id est, Aa ad OV ut area semicirculi ad quadratum radii, sive ut 11 ad 7 circiter: Et propterea $\frac{7}{11}\mathit{Aa}$ ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem gravitatem.

Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, figura BKVTa fere parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque æqualis erit rectangulo sub $\frac{2}{3}\mathit{Ba}$ & OV quam proxime. Est igitur rectangulum sub $\frac{1}{2}\mathit{Ba}$ & Aa æquale rectangulo sub $\frac{2}{3}\mathit{Ba}$ & OV, ideoque OV æqualis $\frac{3}{4}\mathit{Aa}$: & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravitatem ut $\frac{3}{4}\mathit{Aa}$ ad longitudinem penduli.

<306>

Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum ellipsis vel parabola BRVSa congruat cum figura BKVTa in puncto medio V, hæc si ad partem alterutram BRV vel VSa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem æquabitur quam proxime.

PROPOSITIO XXXI. THEOREMA XXV.

Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione.

Oritur enim differentia illa ex retardatione penduli per resistentiam medii, ideoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore propositione rectangulum sub recta $\frac{1}{2}\mathit{aB}$ & arcuum illorum CB, Ca differentia Aa æqualis erat areæ BKTa. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc est, in ratione resistentiæ, ideoque est ut longitudo aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & $\frac{1}{2}\mathit{aB}$ est ut aB & resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resistentia. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.

Corol. 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius: & contra.

<307>

Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius: & contra.

Corol. 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata: & contra. Eadem erit lex & ratio resistentiæ pro velocitate, quæ est differentiæ illius pro longitudine arcus.

Corol. 5. Ideoque si, pendulo inæquales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi differentiæ hujus pro longitudine arcus descripti; habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiæ pro velocitate majore vel minore.

Scholium Generale.

Ex his propositionibus, per oscillationes pendulorum in mediis quibuscunque, invenire licet resistentiam mediorum. Aeris vero resistentiam investigavi per experimenta sequentia. Globum ligneum pondere unciarum Romanarum $57\frac{7}{22}$, diametro digitorum Londinensium $6\frac{7}{8}$ fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum & centrum oscillationis globi distantia esset pedum $10\frac{1}{2}$. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspensionis distans; & e regione puncti illius collocavi regulam in digitos distinctam, quorum ope notarem longitudines arcum a pendulo descriptas. Deinde numeravi oscillationes quibus globus octavam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor: idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripit arcum digitorum quatuor; amisit octavam motus partem oscillationibus 121, ita ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum $3\frac{1}{2}$. Si primo descensu descripit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor; amisit octavam motus partem oscillationibus 69, $35\frac{1}{2}$, $18\frac{1}{2}$, $9\frac{2}{3}$, respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo & ascensu ulti <308> mo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4, 8 respective. Dividantur eæ differentiæ per numerum oscillationum in casu unoquoque, & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum $3\frac{3}{4}$, $7\frac{1}{2}$, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum, erit $\frac{1}{656}$,$\frac{1}{242}$,$\frac{1}{69}$,$\frac{4}{71}$,$\frac{8}{37}$,$\frac{24}{29}$ partes digiti respective. Hæ autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime, in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione; & propterea (per corol. 2. prop. XXXI. libri hujus) resistentia globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quam proxime; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione.

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datæ, & fingamus quod differentia arcuum sit $\mathrm{AV}+{\mathrm{BV}}^{\frac{3}{2}}+{\mathrm{CV}}^2$. Cum velocitates maximæ sint in cycloide ut semisses arcuum oscillando descriptorum, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordæ; ideoque paribus arcubus majores sint in cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundum chordas; tempora autem in circulo sint majora quam in cycloide in velocitatis ratione reciproca; patet arcuum differentias (quæ sunt ut resistentia & quadratum temporis conjunctim) easdem fore, quamproxime, in utraque curva: deberent enim differentiæ illæ in cycloide augeri, una cum resistentia, in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; & diminui, una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque ut reductio fiat ad cycloidem, eædem sumendæ sunt arcuum differentiæ quæ fuerunt in circulo observatæ, velocitates vero maximæ ponendæ sunt arcubus dimidiatis vel integris, hoc est, numeris $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4, 8, 16 analogæ. Scribamus ergo in casu secundo, quarto & sexto numeros 1, 4 & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia $\frac{\frac{1}{2}}{121}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$ in casu secundo; $\frac{2}{35\frac{1}{2}}=4\mathrm{A}+8\mathrm{B}+16\mathrm{C}$ in casu quarto; & $\frac{8}{9\frac{2}{3}}=16\mathrm{A}+64\mathrm{B}+256\mathrm{C}$ in casu sexto. Et ex his æquationibus, per debitam collationem & reductionem analyticam, fit $\mathrm{A}=\mathrm{0,0000916}$, $\mathrm{B}=\mathrm{0,0010847}$, & $\mathrm{C}=\mathrm{0,0029558}$. Est igitur differentia arcuum ut $\mathrm{0,0000916}\mathrm{V}+\mathrm{0,0010847}\mathrm{V}\frac{3}{2}+\mathrm{0,0029558}{\mathrm{V}}^2$: <309> & propterea cum (per corollarium propositionis XXX. applicatum ad hunc casum) resistentia globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut $\frac{7}{11}\mathrm{AV}+\frac{7}{10}{\mathrm{BV}}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{4}{\mathrm{CV}}^2$ ad longitudinem penduli; si pro A, B & C scribantur numeri inventi, fiet resistentia globi ad ejus pondus, ut $\mathrm{0,0000583}\mathrm{V}+\mathrm{0,0007593}{\mathrm{V}}^{\frac{3}{2}}+\mathrm{0,0022169}{\mathrm{V}}^2$ ad longitudinem penduli inter centrum suspensionis & regulam, id est, ad 121 digitos. Unde cum V in casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resistentia ad pondus globi in casu secundo ut 0,0030345 ad 121, in quarto ut 0,041748 ad 121, in sexto ut 0,61705 ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in casu sexto descripsit, erat $120-\frac{8}{9\frac{2}{3}}$ seu $119\frac{5}{29}$ digitorum. Et propterea cum radius esset 121 digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum globi descripsit erat $124\frac{3}{31}$ digitorum. Quoniam corporis oscillantis velocitas maxima, ob resistentiam aeris, non incidit in punctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: hæc eadem erit circiter ac si globus descensu suo toto in medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum $62\frac{3}{62}$, idque in cycloide, ad quam motum penduli supra reduximus: & propterea velocitas illa æqualis erit velocitati quam globus, perpendiculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus illius sinui verso æqualem, acquirer posset. Est autem sinus ille versus in cycloide ad arcum istum $62\frac{3}{62}$ ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, & propterea æqualis digitis 15,278. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus cadendo & casu suo spatium 15,278 digitorum describendo acquirere posset. Tali igitur cum velocitate globus resistentiam patitur, quæ sit ad ejus pondus ut 0,61705 ad 121, vel (si resistentiæ pars illa sola spectetur quæ est in velocitatis ratione duplicata) ut 0,56752 ad 121.

Experimento autem hydrostatico inveni quod pondus globi hujus lignei esset ad pondus globi aquei magnitudinis ejusdem ut 55 ad 97: & propterea cum 121 sit ad 213,4 in eadem ratione, erit resistentia globi aquei præfata cum velocitate progredientis ad ipsius pondus, ut 0,56752 ad 213,4 id est, ut 1 ad $376\frac{1}{50}$. Unde cum pon <310> dus globi aquei, quo tempore globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinem digitorum 30,556, velocitatem illam omnem in globo cadente generare posset; manifestum est quod vis resistentiæ eodem tempore uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione 1 ad $376\frac{1}{50}$, hoc est, velocitatis totius partem $\frac{1}{376\frac{1}{50}}$. Et propterea quo tempore globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidiametri suæ, seu digitorum $3\frac{7}{16}$, describere posset, eodem amitteret motus sui partem $\frac{1}{3342}$.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit. In sequente tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis & partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudinem arcus ascensu ultimo descripti; & loco infimo stant numeri oscillationum. Experimentum descripti tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum actava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

Postea globum plumbeum diametro digitorum 2, & pondere uncicarum Romanarum $26\frac{1}{4}$ suspendi filo eodem, sic ut inter centrum globi & punctum suspensionis intervallum esset pedum $10\frac{1}{2}$, & numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum subsequentium prior exhibet numerum oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda numeram oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

In tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam & <311> septimam, & exponendo velocitates maximas in his observationibus particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, & generaliter per quantitatem V ut supra: emerget in observatione tertia $\frac{\frac{1}{2}}{193}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$, in quinta $\frac{2}{90\frac{1}{2}}=4\mathrm{A}+8\mathrm{B}+16\mathrm{C}$, in septima $\frac{8}{30}=16\mathrm{A}+64\mathrm{B}+256\mathrm{C}$. Hæ vero æquationes reductæ dant $\mathrm{A}=\mathrm{0,001414}$, $\mathrm{B}=\mathrm{0,000297}$, $\mathrm{C}=\mathrm{0,000879}$. Et inde prodit resistentia globi cum velocitate V moti in ea ratione ad pondus suum unciarum $26\frac{1}{4}$, quam habet $\mathrm{0,0009}\mathrm{V}+\mathrm{0,000208}{\mathrm{V}}^{\frac{3}{2}}+\mathrm{0,000659}{\mathrm{V}}^2$ ad penduli longitudinem 121 digitorum. Est si spectemus eam solummodo resistentiæ partem quæ est in duplicata ratione velocitatis, hæc erit ad pondus globi ut $\mathrm{0,000659}{\mathrm{V}}^2$ ad 121 digitos. Erat autem hæc pars resistentiæ in experimento primo ad pondus globi lignei unciarum $57\frac{7}{22}$ ut $\mathrm{0,002217}{\mathrm{V}}^2$ ad 121: & inde fit resistentia globi lignei ad resistentiam globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut $57\frac{7}{22}$ in 0,002217 ad $26\frac{1}{4}$ in 0,000659, id est, ut $7\frac{1}{3}$ ad 1. Diametri globorum duorum erant $6\frac{7}{8}$ & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad invicem ut $47\frac{1}{4}$ & 4, seu $11\frac{13}{16}$ & 1 quamproxime. Ergo resistentiæ globorum æquivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quæ certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistentiæ totius minoris penduli; & inde didici quod resistentiæ globorum, dempta fili resistentia, sunt quam proxime in duplicata ratione diametrorum. Nam ratio $7\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$ ad $1-\frac{1}{3}$, seu $10\frac{1}{2}$ ad 1 non longe abest a diametrorum ratione duplicata $11\frac{13}{16}$ ad 1.

Cum resistentia fili in globis majoribus minoris sit momenti, tentavi etiam experimentum in globo cujus diameter erat $18\frac{3}{4}$ digitorum. Longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum oscillationis erat digitorum $122\frac{1}{2}$, inter punctum suspensionis & nodum in filo $109\frac{1}{2}$ dig. Arcus primo penduli descensu a nodo descriptus, 32 dig. Arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem nodo descriptus 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscillatione mediocri descriptus 60 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima seu differentia inter descensum & ascensum in <312> oscillatione mediocri $\frac{2}{5}$ dig. Ut radius $109\frac{1}{2}$ ad radium $122\frac{1}{2}$ ita arcus totus 60 dig. oscillatione mediocri a nodo descriptus ad arcum totum $67\frac{1}{8}$ dig. oscillatione mediocri a centro globi descriptum; & ita differentia $\frac{2}{5}$ ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad $122\frac{1}{2}$; tempus oscillationis augeretur & velocitas penduli diminueretur in ratione illa subduplicata, maneret vero arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum differentia 0,4475. Deinde si arcus descriptus augeretur in ratione $124\frac{3}{31}$ ad $67\frac{1}{8}$, differentia ista 0,4475 augeretur in duplicata illa ratione, ideoque evaderet 1,5295. Hæc ita se haberent, ex hypothesi quod resistentia penduli esset in duplicata ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum totum $124\frac{3}{31}$ digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensionis & centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum foret 1,5295 digitorum. Et hæc differentia ducta in pondus globi penduli, quod erat uniciarum 208, producit 318,136. Rursus ubi pendulum superius ex globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum totum $124\frac{3}{31}$ digitorum, differentia arcuum descensu & ascensu descriptum fuit $\frac{126}{121}$ in $\frac{8}{9\frac{2}{3}}$, quæ ducta in pondus globi, quod erat uniciarum $57\frac{7}{22}$, producit 49,396. Duxi autem differentias hasce in pondera globorum, ut invenirem eorum resistentias. Nam differentiæ oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistentiæ directe & pondera inverse. Sunt igitur resistentæ ut numeri 318,136 & 49,396. Pars autem resistentiæ globi minoris, quæ est in duplicata ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam, ut 0,56752 ad 0,61675, id est, ut 45,453 ad 49,396; & pars resistentiæ globi majoris propemodum æquatur ipsius resistentiæ toti; ideoque partes illæ sunt ut 318,136 & 45,453 quamproxime, id est, ut 7 & 1. Sunt autem globorum diametri $18\frac{3}{4}$ & $6\frac{7}{8}$; & harum quadrata $351\frac{9}{16}$ & $47\frac{17}{64}$ sunt ut 7,438 & 1, id est, ut globorum resistentiæ 7 & 1 quamproxime. Differentia rationum haud major est, quam quæ ex fili resistentia oriri potuit. Igitur resistentiarum partes illæ quæ sunt, paribus globis, ut quadrata velocitatum; sunt etiam, paribus velocitatibus, ut quadrata diametrorum globorum.

<313>

Cæterum globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus non erat perfecte sphæricus, & propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Optarim itaque cum demonstratio vacui ex his dependeat, ut experimenta cum globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si globi sumantur in proportione geometrica, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex progressione experimentorum coligetur quid in globis adhuc majoribus evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, secique ut immersa pendula in medio aquæ oscillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere {$166\frac{1}{6}$} unciarum, diametro $3\frac{5}{8}$ digitorum movebatur ut in tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudine penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum $134\frac{3}{8}$ digitorum.

In experimento columnæ quartæ, motus æquales oscillationibus 535 in aere, & $1\frac{1}{5}$ in aqua amissi sunt. Erant quidem oscillationes in aere paulo celeriores quam in aqua. At si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in medio utroque fierent æquiveloces, maneret numerus idem oscillationum $1\frac{1}{5}$ in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur; ob resistentiam auctam & simul quadratum temporis diminutum in eadem ratione illa duplicata. Paribus igitur pendulorum velocitatibus motus æquales in aere oscillationibus 535 & in aqua oscillationibus $1\frac{1}{5}$ amissi sunt; ideoque resistentia penduli in aqua est ad ejus resistentiam in aere <314> ut 535 ad $1\frac{1}{5}$. Hæc est proprtio resistentiarum totarum in casu columnæ quartæ.

Designet jam $\mathrm{AV}+{\mathrm{CV}}^2$ differentiam arcuum in descensu & subsequente ascensu descriptorum a globo, in aere cum velocitate maxima V moto; & cum velocitas maxima in casu columnæ quartæ sit ad velocitatem maximam in casu columnæ primæ, ut 1 ad 8; & differentia illa arcuum in casu columnæ quartæ ad differentiam in casu columnæ primæ ut $\frac{2}{535}$ ad $\frac{16}{85\frac{1}{2}}$, seu ut $85\frac{1}{2}$ ad 4280: scribamus in his casibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque $85\frac{1}{2}$ & 4280 pro differentiis arcuum, & fiet $\mathrm{A}+\mathrm{C}=85\frac{1}{2}$ & $8\mathrm{A}+64\mathrm{C}=4280$ seu $\mathrm{A}+8\mathrm{C}=535$; indeque per reductionem æquationum proveniet $7\mathrm{C}=449\frac{1}{2}$ & $\mathrm{C}=64\frac{3}{14}$ & $\mathrm{A}=21\frac{2}{7}$: atque ideo resistentia, cum sit ut $\frac{7}{22}\mathrm{AV}+\frac{3}{4}{\mathrm{CV}}^2$, erit ut $13\frac{6}{11}\mathrm{V}+48\frac{9}{56}{\mathrm{V}}^2$. Quare in casu columnæ quartæ, ubi velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis proportionalem, ut $13\frac{6}{11}+48\frac{9}{56}$ seu $61\frac{12}{17}$ ad $48\frac{9}{56}$; & idcirco resistentia penduli in aqua est ad resistentiæ partem illam in aere, quæ quadrato velocitates proportionalis est, quæque sola in motibus velocioribus considerenda venit, ut $61\frac{12}{17}$ ad $48\frac{9}{56}$ & 535 ad $1\frac{1}{5}$ conjucntim, id est, ut 571 ad 1. Si penduli in aqua oscillantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major; adeo ut penduli in aqua oscillantis resistentia illa, quæ velocitatis quadrato proportionalis est, quæque sola in corporibus velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum velocitate, in aere oscillantis, ut 850 ad 1 circiter, hoc est, ut densitas aquæ ad densitatem aeris quamproxime.

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiæ penduli in aqua, quæ esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mirum forte videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione velocitatis plusquam duplicata. Ejus rei causam investigando, in hanc incidi, quod arca nimis angusta esset pro magnitudine globi penduli, & motum aquæ cedentis præ angustia sua nimis impediebat. Nam si globus pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur; resistentia augebatur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Id tentabam construendo pendulum ex globis duobus, quorum inferior & minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam filo affixus esset, & in aere oscillando, adjuvaret motum pen <315> duli eumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc modo instituta se habebant ut in tabula sequente describitur.

Conferendo resistentias mediorum inter se, effeci etiam pendula ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quasi trium, & diameter globi penduli tertia pars digiti. Ad filum autem proxime supra mercurium affixus erat globus alius plumbeus satis magnus ad motum penduli diutius continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in fluido utroque seccessive oscillante, invenirem proportionem resistentiarum: & prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aquæ ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est, ut densitas argenti vivi ad densitatem aquæ. Ubi globum pendulum paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi $\frac{1}{3}$ vel $\frac{2}{3}$ partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratione ad resistentiam aquæ, quam habet neumerus 12 vel 10 ad 1 circiter. Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine globi immersi. Ampliato globo, deberet etiam vas ampliari. Constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus & in liquoribus tum metallorum fusorum, tum aliis quibusdam tam calidis quam frigidis repetere: sed omnia experiri non vacat, & ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum densitati fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quam proxime. Non dico accurate. Nam fluida tenaciora, pari densitate, proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam spiritus vini. Verum in liquoribus, qui ad sensum satis fluidi sunt, ut in aere, in aqua seu dulci seu salsa, in spiritibus vini, terebinthi & salium, in oleo a fæcibus per destillationem liberato & calefacto, oleoque vitrioli & mercurio, ac metallis liquifactis, & siqui sint alii, qui tam fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius conservent, effusique liberrime in guttas decurrendo resolvantur, nullus <316> dubito quin regula allata satis accurate obtineat: præsertim si experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis instituantur.

Denique cum nonnullorum opinio sit, medium quoddam æthereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime permeet; a tali autem medio per corporum poros fluente resistentia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis corporibus experimur, tota sit in eoreum externa superficie, an vero partes etiam internæ in superficiebus propriis resistentiam notabilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitudinis ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendulum longitudinis prædictæ. Uncus sursum præacutus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis, in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad quæ redibat in fine oscillationis primæ, secundæ ac tertiæ. Hoc repetebam sæpius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quæ ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quæ circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquæ quæ inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget. Huic ponderi addebam pondus aeris quem pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum plenæ. Tum quoniam pyxis metallorum plena, pondere suo tendento filum, augebat longitudinem penduli, contrahebam filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum retracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad <317> locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plenæ non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuæ quam 78 ad 77. Nam si æquales essent ambarum resistentiæ, pyxis plena ob vim suam insitam septuagies & octies majorem vi insita pyxidis vacuæ, motum suum oscillatorium tanto diutius conservare deberet, atque ideo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77.

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa, & B resistentiam pyxidis vacuæ in partibus internis; & si resistentiæ corporum æquivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum quibus resistitur: erit 78B resistentia pyxidis plenæ in ipsius internis: ideoque pyxidis vacuæ resistentia tota $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ erit ad pyxidis plenæ resistentiam totam $\mathrm{A}+\mathrm{78B}$ ut 77 ad 78, & divisim $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ ad 77B, ut 77 ad 1, indeque $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ ad B ut $77\times 77$ ad 1, & divisim A ad B ut 5928 ad 1. Est igitur resistentia pyxidis vacuæ in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic vero disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenæ, non ab alia aliqua causa latente oriatur, sed ab actione sola fluidi alicujus subtilis in metallum inclusum.

Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, quæ memoria exciderunt, omittere compulsus sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quærendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur. Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, & tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus.