Method of Curves and Infinite Series, and application to the Geometry of Curves (Part 3)

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Antequam Theoremata in his Curvarum classibus tradita exemplis illustrare pergam, juvabit observare{.} 1{.} Quòd \cùm/ quantitatum d, e, f, g, h et i signa omnia in æquationibus cur{illeg}|v|as definientibus affirmativa posuerim, siquando contingant esse negativa in subsequentibus Basis et incedentis applicatæ conicæ \linæ/ Sectionis Conicæ, nec non quæsitæ Areæ valoribus mutari debent{.}

2{.} Numeralium η et θ, ubi negativæ sunt, signa in arearum valoribus sunt etiam mutanda. Quinetiam ipsarum signis mutatis Theoremata novam formam induere possunt{.} Sic in septimo ordine posterioris Catalogi, terti Theorema tertium, signo ipsius η mutato, evadit $\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}-2\mathrm{\eta }\\ +1\end{array}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{-\mathrm{\eta }}}}=\mathrm{y}$. $\frac{1}{{\mathrm{z}}^{-\mathrm{\eta }}}=\mathrm{x}$. &c. hoc est $\frac{\mathrm{d}{\mathrm{z}}^{3\mathrm{\eta }-1}}{\sqrt{}\mathrm{e}{\mathrm{z}}^{2\mathrm{\eta }}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$ {sic}. ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}=\mathrm{x}$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{f}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{\eta }\mathrm{e}}in2\mathrm{x}\mathrm{v}-3\mathrm{s}=\mathrm{t}${.} Et sic in alijs.

4|3| 3. Cujusqꝫ ordinis (si secundum prioris Catalogi demas) series utrinqꝫ in infinitum continuari potest. Scilicet in tertij quartiqꝫ ordinis seriebus prioris Catalogi, numeri coefficientes initialium terminorum (2, $-4$, 16, $-96$, 868 &c) generantur multiplicando numeros $-2$, $-4$, $-6$, $-8$, $-10$ &c in se continuò; et subsequentium terminorum coefficientes ex initialibus in tertio <102> ordine derivantur multiplicando gradatim per $-\frac{3}{2}$, $-\frac{5}{4}$, $-\frac{7}{6}$, $-\frac{9}{8}$, $-\frac{11}{10}$ &c, vel in quarto ordine multiplicando per $-\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$ $-\frac{5}{6}$, $-\frac{7}{8}$, $-\frac{9}{10}$ &c. Denominatorum verò coefficientes (1, 3, 15, 105 &c) ex ductu numerorum 1, 3, 5, 7, 9 &c in se gradatim oriuntur.

In secundo autem Catalogo series ordinum 1, 2, 3, 4, 9 & 10 ope solius divisionis in{illeg}finitè producuntur. Sic habito $\frac{\mathrm{d}{\mathrm{z}}^{4\mathrm{\eta }-1}}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$, si divisionem ad usqꝫ convenientem periodum instituas, orietur e. g. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{f}}{\mathrm{z}}^{3\mathrm{\eta }-1}-\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}}{\mathrm{f}\mathrm{f}}{\mathrm{z}}^{2\mathrm{\eta }-1}+\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}}{{\mathrm{f}}^3}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }-1}\frac{-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{e}}^3}{{\mathrm{f}}^3}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }-1}}{\mathrm{\eta }+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$ {sic}{.} Priores tres termini sunt primi ordinis prioris Catalogi et quartus primæ speciei hujus ordinis: unde constat aream {illeg} valere $\frac{\mathrm{d}}{3\mathrm{\eta }\mathrm{f}}{\mathrm{z}}^{3\mathrm{\eta }}-\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}}{2\mathrm{\eta }\mathrm{f}\mathrm{f}}{\mathrm{z}}^{2\mathrm{\eta }}+\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}}{\mathrm{\eta }{\mathrm{f}}^3}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}-\frac{{\mathrm{e}}^3}{\mathrm{\eta }{\mathrm{f}}^3}\mathrm{s}$; positâ nempe s areâ sectionis conicæ cujus basis x sit $={\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$, et incedens applicata $\mathrm{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{e}+\mathrm{f}\mathrm{x}}$.

Quinti autem sextiqꝫ ordinis series ope duarum Theorematum in quinto ordine prioris Catalogi per debitam Additionem vel subductionem in{illeg}finitè producuntur, ut et septimi octaviqꝫ series ope Theorematum in subsequenti sexto ordine; ac undecimi series ope Theorematis in decimo ordine ejusdem prioris Catalogi. E. g. si præfati quinti ordinis series ultra producenda sit; finge $\mathrm{\theta }=-4\mathrm{\eta }$, et q{illeg}|u|inti ordinis alterius Catalogi Theorema pri{illeg}|m|um evadet $-8\mathrm{\eta }\mathrm{e}{\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}-4\mathrm{\eta }\\ -1\end{array}}-5\mathrm{\eta }\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}-3\mathrm{\eta }\\ -1\end{array}}in\frac{1}{2}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$. $\frac{{\mathrm{R}}^3}{{\mathrm{z}}^{4\mathrm{\eta }}}=\mathrm{t}$. Est autem juxta quartum Theorema hujus producendæ seriei, (scripto $-\frac{5\mathrm{\eta }\mathrm{f}}{2}$ pro d,) $-\frac{5\mathrm{\eta }}{2}\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}3\mathrm{\eta }\\ -1\end{array}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$, $\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{f}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$, & $\frac{10\mathrm{f}{\mathrm{v}}^3-15\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}}{12\mathrm{e}}=\mathrm{t}$. Quare subductis prioribus ipsarum y ac t valoribus resta\bu/nt $-4\mathrm{\eta }\mathrm{e}{\mathrm{z}}^{\begin{array}{c}-4\mathrm{\eta }\\ -1\end{array}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$, et $\frac{10\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{v}}^3-15\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}}{12\mathrm{e}}-\frac{{\mathrm{R}}^3}{{\mathrm{z}}^{4\mathrm{\eta }}}=\mathrm{t}$. Ipsisqꝫ in $\frac{\mathrm{d}}{4\mathrm{\eta }\mathrm{e}}$ ductis, et pro $\frac{{\mathrm{R}}^3}{{\mathrm{z}}^{4\mathrm{\eta }}}$ scripto si placet $\mathrm{x}{\mathrm{v}}^3$, emerget quintum dicti ordinis \producendæ seriei/ Theorema $\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{z}}^{\begin{array}{c}4\mathrm{\eta }\\ +1\end{array}}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$. $\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{x}$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{f}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$, & $\frac{10\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{v}}^3-15\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}}{48\mathrm{\eta }\mathrm{e}\mathrm{e}}-\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}{\mathrm{v}}^3}{4\mathrm{\eta }\mathrm{e}}=\mathrm{t}$.

{illeg}|4|{.} Horum ordinum nonnulli ex alijs etiam possunt aliter derivari, utpote \in posteriori Catalogo/ quintus, sextus, septimus et undecimus ab octavo, ac nonus a decimo, adeo in posteriori Catalogo. Adeo ut omisisse potuissem, Sed alicui tamen \nisi quod/ usui esse poss{illeg}|i|nt, quamvis non prorsus necessariæ. <103> Nonnullos tamen ordines omisi quos a primo et secundo, nec non a nono decimoqꝫ derivasse potuissem, utpote qui denominat{illeg}|o|ribus magis compositis afficiuntur, et proinde vix ulli unquam usui esse possunt. *^[1]

< insertion from p 101 >

{illeg}|5|. Si Curvæ alicujus definiens æquatio ex pluribus æquationibus diversorum ordinum vel diversarum specierum {illeg}|ej|usdem ordinis componatur, ejus aream ex areis correspondentibus componere oportet; cavendo tamen de illarum arearum additione et subductione ut partes ut signis + et − rectè connectantur{.} Nam \parall{illeg}|el|è/ incedentes applicatæ \paralleles/ incedentibus applicatis et areæ correspondentes correspondentibus areis non semp{illeg}|e|r sunt simul addendæ vel simul subducendæ; sed aliquando harum summa et illarum differentia sumenda est pr{illeg}|o| nova linea incedente et area correspondente constituenda. Et hoc {crebre} faciendum est \fieri debet/ cùm constituentes areæ positæ sunt ad diversam partem \parallelè/ incedentis Applicatæ. Ut autem hoc incommodum cauti promptiùs devitare possint, singulis arearum valoribus propria signa. (Etiamsi nonnunquam negativa, ut fit in posterioris Catalogi quinto septimóqꝫ ordine,) præfixi.

< text from p 103 resumes > < insertion from p 168 >

^[2]4|6|. De Arearum signis observandum est præterea quod $+\mathrm{s}$ vel denotat aream Conicæ sectionis Basi adjacentem esse reliquis quantitatibus \in valore t/ addendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicat{illeg}|æ| esse subducendam. Et contra $-\mathrm{s}$ ambiguè denotat aream basi adjacentem esse subducendam, vel aream ex altera parte ordinatim applicatæ esse addendam: pro{illeg}ut commodum videbitur. Deinde valor{illeg} ipsius ipsius t si affirmativus prodierit, designat aream Curvæ propositæ adjacentem basi ejus: Et contra si {illeg} nega fuerit negativus, designat aream ex altera parte ordinatim applicatæ.

{illeg}|7|{.} Cæterùm ut Area illa certiùs definiatur, \cautè/ prospiciendum est de limitibus ejus. Et quidem limitum ad Basin, ordinatim Applicata \parallelè incedentem/, et Curvæ perimetrum, nulla potest esse incertitudo: sed lim{illeg}es initialis sive principium a quo incipit descriptio ejus varias positiones obtinet. In sequentibus q{illeg} exemplis vel \est ad/ initi{illeg}|u| basis insistit vel ad infinitam distantiam, recedit vel in concursu curvæ cum basi ejus. Sed potest alibi locari. e|E|t ubicunqꝫ sit, invenies quærendo illam Basis longitudinem ad quam valor ipsius t evadit nullus, et \parallelè/ incedentem applicatam erigendo. Nam erecta applicata \illa linea/ erit limes quæsitus.

8{.} Siqua pars areæ infra basin posita sit, t designabit differentiam ejus et partis supra basin.

9{.} Siquando dimensiones terminorum in valoribus x, v et t nimis altæ vel nimis depressæ obvenerint, ad justum gr\a/dum liceat reducere dividendo per vel multiplicando per toties per datam quamvis quantitatem quæ vices unitatis gerere fingitur, quoties dimensiones illæ sint justo altiores vel depréssiores.

< text from p 103 resumes >

10. Præter hosce \præcedentes catalogos/ possunt etiam Catalogi Curvarum ad alias Curvas in suo genere simplicissimas (ut ad $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{x}}^3}=\mathrm{v}$, vel \ad/ $\mathrm{x}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{x}}^3}=\mathrm{v}$, vel |ad| $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{e}+\mathrm{f}{\mathrm{x}}^4}=\mathrm{v}$ &c) relatarum construi, eò ut Curvæ cujuslibet propositæ aream ex origine simplicissima \possimus/ derivare, et cum quibus curvis affinitatem habeat cognoscere. possimus Cæterùm præcedentes tan{illeg}|d|em exemplis aliquot illustremus.

Exempl: 1. Sit QER \ejusmodi/ Conchoides|al|is {talis} ut, {illeg}|S|emicircul{illeg}|o| QHA describatur/pto\ et ad diametrum AQ erigatur \erigatur/ /erecto\ AC normalis {illeg} \perpendiculo si/ compleatur parallelogrammum QACI, agatur diagonalis AI semicirculo occurrens in H, et ab H demittatur ad IC normalis HE, sit E punctum \E incidat/ in Curva{illeg}|m|. {illeg} \Et quæratur area ACEQ. Dic itaqꝫ/ $\mathrm{AQ}=\mathrm{a}$. $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, et $\mathrm{CE}=\mathrm{v}$ {sic}, et propter continuè proportionales AQ, AR, AP, AI, AQ, AH, EC, erit EC, sive $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{a}}^3}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{z}}^2}$.

Jam ut hæc induat formam æquationum in Catalogis, finge $\mathrm{\eta }=2$ et pro $\mathrm{z}\mathrm{z}$ sive ${\mathrm{z}}^2$ in denominatore scribe ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$, ac ${\mathrm{a}}^3{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}\mathrm{\eta }-1}$ pro $\mathrm{z}\mathrm{z}$ {illeg} ${\mathrm{a}}^3$ sive ${\mathrm{a}}^3{\mathrm{z}}^{1-1}$ in numeratore, et emerget $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{a}}^3{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}\mathrm{\eta }-1}}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}$, æquatio primæ speciei secundi ordinis posterioris Catalogi; Et ubi, {sic} collatisqꝫ terminis patit esse \fi{illeg}|t|t/ $\mathrm{d}={\mathrm{a}}^3$, $\mathrm{e}={\mathrm{a}}^2$ et $\mathrm{f}=1$; Adeoqꝫ $\sqrt{}\frac{{\mathrm{a}}^3}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{z}}^2}=\mathrm{x}$ $\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^3-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{v}$, et $\mathrm{x}\mathrm{v}-2\mathrm{s}=\mathrm{t}$.

Ut autem inventi valores \x et v/ ad justum dimensionum numerum reducantur multiplico vel divido per datam quamlibet quantitatem selige datam quamlibet quantitatem, |v,|e|l|ut a, per quam tanquam si esset unitas|t|em \semel/ multiplicetur ${\mathrm{a}}^3$ in valore x, et in valore v dividam|tur| ${\mathrm{a}}^3$ semel et ${\mathrm{a}}^2{\mathrm{x}}^2$ bis. Et hoc pacto obtinebis $\sqrt{}\frac{{\mathrm{a}}^4}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{z}}^2}=\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{v}$, $\mathrm{x}\mathrm{v}-2\mathrm{s}=\mathrm{t}$. Quorum constructio es{illeg}|t| ejusmodi.

<104>

Centro A intervallo AQ describe quadrantem circuli QDP, in AC cape $\mathrm{AB}=\mathrm{AH}$, et erige normalem BD quadranti occurrentem in D, et age AD. Areæqꝫ \Et sectoris/ ADP duplum æquabitur areæ quæsitæ ACEQ. Est enim $\sqrt{}\frac{{\mathrm{a}}^4}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{z}}^2}(=$$\sqrt{}\mathrm{AQ}\times \mathrm{EC}=\mathrm{AH})=\mathrm{AB}$ \sive x;/, {sic} et $\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{AD}}^q-{\mathrm{AB}}^q}\right)=\mathrm{BD}$ sive v; et $\mathrm{x}\mathrm{v}-2\mathrm{s}=2\Delta \mathrm{ADB}-2\mathrm{ABDQ}$ {illeg} \vel etiam/ $2\Delta \mathrm{ADB}+2\mathrm{BDP}$ hoc est \vel/ $=-2\mathrm{QAD}$ vel $=2\mathrm{DAP}$: quorum valorum affirmativus $2\mathrm{DAP}$ competit areæ ACEQ adjacenti AC \citra EC/, et negativus \$2\mathrm{QAD}$ competit/ areæ RECR ultra EC in infinitum protensæ.

Hic obiter notetur quod \Solutiones Problematum sic inventæ nonnunquam concinnari possunt. Sic/ /in hoc casu\ actâ RH circuli QHA semidiametro, propter arcus QH, DP æquales, erit sector QRH dimidium sectoris DAP, atqꝫ adeò pars quarta superficiei ACEQ.

^[3]Exemplum 2. Sit AGE curva quam normæ AEF punctum angulare E describit dum crurum alterum AE interminatum continuò transit per datum punctum A, et alterum EF datæ longitudinis super recta AF positione data prolabitur. Demitte EH ad AF normalem, et comple parallelogrammum AHEC, ac dictis $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, $\mathrm{CE}=\mathrm{y}$, et $\mathrm{EF}=\mathrm{a}$, {illeg} propter HF, HE, HA continuè proportionales erit {illeg}HA sive $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{z}}^2}{\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{z}}^2}}$. Est itaqꝫ \Jam ut innotescat area AGEC, finge/ ${\mathrm{z}}^2={\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$, sive $2=\mathrm{\eta }$ et inde fit|e|t $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{3}{2}\mathrm{\eta }-1}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}}=\mathrm{y}$. Sed hujus forma nulla occurrit æquatio in catalogis, et peinde {sic} Ubi cum z sit fractæ dimensionis in numeratore, deprime valorem y dividendo per ${\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}\mathrm{\eta }}$ et fit|e|t $\frac{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }-1}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2{\mathrm{z}}^{-\mathrm{\eta }}-1}}=\mathrm{y}$, æquatio secundæ speciei septimi ordinis posterioris Catalogi. Ac terminis col{illeg}|l|atis fit \evadet/ $\mathrm{d}=1$, $\mathrm{e}=-1$, et $\mathrm{f}={\mathrm{a}}^2$. Adeoqꝫ ${\mathrm{z}}^2\left(=\frac{1}{{\mathrm{z}}^{-\mathrm{\eta }}}\right)={\mathrm{x}}^2$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{v}$ & $\mathrm{s}-\mathrm{x}\mathrm{v}=\mathrm{t}$. Cùm itaqꝫ x et z æquentur, et sit $\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{v}$ æquatio ad circulum cujus diameter {sic} est a: centro A intervallo a sive EF describatur circulu{illeg}|s| PDQ cui occurrat CE in D, et compleatur parallelogrammum ACDI, eritqꝫ $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, $\mathrm{CD}=\mathrm{v}$, \et/ area quæsita $\mathrm{AGEC}\left(=\mathrm{s}-\mathrm{x}\mathrm{v}=\mathrm{ACDP}-\mathrm{ACDI}\right)=\mathrm{IDP}$.

Exempl: 3. Sit AGE Cissois ad c|C|irculum ADQ diametro <105> AQ descriptum pertinens. Agatur DCE diametro normalis et curvis occurrens in D et E. Et nominatis $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, $\mathrm{CE}=\mathrm{y}$ et $\mathrm{AQ}=\mathrm{a}$, erit propter continue proportionales CDC, CA, CE continuè proportionales erit CE {illeg} $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{z}}^2}{\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}}$, ac dividendo per z, fit $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{z}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}{\mathrm{z}}^{-1}-1}}$. Est itaqꝫ ${\mathrm{z}}^{-1}={\mathrm{z}}^{\mathrm{\nu }}$ {sic} sive $-1=\mathrm{\nu }$ {sic} et inde {illeg} $\frac{{\mathrm{z}}^{-2\mathrm{\nu }-1}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\nu }}-1}}=\mathrm{y}$ {sic}, æquatio tertiæ speciei, septimi ordinis posterioris posterioris catalogis. Collatisqꝫ terminis fit $\mathrm{d}=1$. $\mathrm{e}=-1$. et $\mathrm{f}=\mathrm{a}$. Adeoqꝫ $\mathrm{z}\left(=\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}\right)=\mathrm{x}$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{v}$. et $3\mathrm{s}-2\mathrm{x}\mathrm{v}=\mathrm{t}$. Hoc \Quare/ est $\mathrm{AC}=\mathrm{x}$, $\mathrm{CD}=\mathrm{v}$, et inde $\mathrm{ACDH}=\mathrm{s}$, adeoqꝫ $3\mathrm{ACDH}$$4\Delta \mathrm{ADC}\left(=3\mathrm{s}-2\mathrm{x}\mathrm{v}=\mathrm{t}\right)=$ areæ Cissoidali ACEGA. Vel quod perinde est, $3\mathrm{ADH}=\mathrm{ADEG}$ $3segment:\mathrm{ADHA}=are\ae \mathrm{ADEGA}$. |$4seg\mathrm{ADHA}=are\ae \mathrm{AHDEGA}$|

Exempl: 4. Esto PE prima Conchoides Veterum centro G, vertice P, et Asymptoto AL \et intervallo LE/ descripta. Age GAP axin ejus ac demitte EC ordinatim applicatam. d|D|ictisqꝫ $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, $\mathrm{CE}=\mathrm{y}$, $\mathrm{GA}=\mathrm{b}$, et $\mathrm{AP}=\mathrm{c}$, propter continuè proportionales $\mathrm{AC}.\mathrm{CE}-\mathrm{AL}\colon\colon \mathrm{GC}.\mathrm{CE}$, erit CE sive $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}+\mathrm{z}}{\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}$.

Jam ut ejus area PEC exhinc inveniatur, partes applicatæ CE seorsim considerandæ sunt. Et quidem si illa CE ita dividatur in D ut sit $\mathrm{CD}=\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}$ ac $\mathrm{DE}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}$ erit CD ordinatim applicata circuli centro A intervallo AP descripti: adeoqꝫ pars areæ PDC innotescet, et restabit pars altera DPED invenienda. Cùm itaqꝫ DE (pars applicatæ quacum describitur) valeat $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}$ $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}$, {illeg} suppone $2=\mathrm{\eta }$, et evadet $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{DE}$, æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi. Collatisqꝫ terminis, fiet $\mathrm{d}=\mathrm{b}$ {illeg} $\mathrm{e}={\mathrm{c}}^2$ et $\mathrm{f}=-1$; atqꝫ adeò $\frac{1}{\mathrm{z}}\left(=\sqrt{}\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{x}\right)$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{-1+\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$. et $2\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}-\frac{\mathrm{b}{\mathrm{v}}^3}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}$.

<106>

His inventis redige ad justum dimensionum numerum multiplicando terminos nimis depressos ac dividendo nimis altos per datam quamvis quantitatem. Id quod si fiet per c, prodibit $\frac{{\mathrm{c}}^2}{\mathrm{z}}=\mathrm{x}$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{-{\mathrm{c}}^2+\mathrm{x}\mathrm{x}}$ $\sqrt{}\stackrel{\_}{-{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{v}$, & $\frac{2\mathrm{b}\mathrm{s}}{\mathrm{c}}-\frac{\mathrm{b}{\mathrm{v}}^3}{\mathrm{c}\mathrm{x}}=\mathrm{t}$ Et horum constructio est ejusmodi.

Centro A, vertice principali P, et parametro $2\mathrm{AP}$ Hyperbolam PK describe. Deinde a puncto C age rectam CK quæ tangat Hyperbolam in K: et erit ut AP ad $2\mathrm{AG}$ ita area CKPC ad aream quæsitam DPED.

No|E|xempl: 5. Norma GFE ita circa polum G rotante ut ejus punctum angulare F super recta AF positione data continuò prolabatur: concipe curvam PE a puncto quolibet E in crure EF sito describi. et quæratur \Jam ut inveniatur/ hujus area, demitte GA et EH ad rectam AF perpendiculares et completo pgr parallelogrammo AHEC, dic $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, $\mathrm{CE}=\mathrm{y}$, $\mathrm{AG}=\mathrm{b}$ et $\mathrm{EF}=\mathrm{c}$, et propter proportionals $\mathrm{HF}.\mathrm{EH}\colon\colon$$\mathrm{AG}.\mathrm{AF}$, erit $\mathrm{AF}=\frac{\mathrm{b}\mathrm{z}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{z}\mathrm{z}}}$. Adeoqꝫ CE sive $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{b}\mathrm{z}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}}-\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}$ Cùm autem $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-{\mathrm{z}}^2}$ sit ordinatim applicata circuli semidiametro c descripti: centro A circa centrum A describa|e|tur talis|em| circulus|m| PDQ, eiqꝫ CD {sic} producta occurat in D, et erit $\mathrm{DE}=\frac{\mathrm{b}\mathrm{z}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{z}}^2}}$: cujus æquationis ope restat area PDEP \vel DERQ/ determinanda. Supponatur ergo $\mathrm{\eta }=2$ et evadet $\mathrm{DE}=\frac{\mathrm{b}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }-1}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}}$ æquatio primæ speciei quarti ordinis prioris catalogi. Et collatis terminis fiet $\mathrm{b}=\mathrm{d}$, $\mathrm{c}\mathrm{c}=\mathrm{e}$, et $-1=\mathrm{f}$; adeoqꝫ $-\mathrm{b}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{z}\mathrm{z}}\left(=-\mathrm{b}\mathrm{R}\right)=\mathrm{t}$. Jam cum valor t negativus existat, et inde area per t designata j{illeg}|a|ceat ultra lineam DE; ut ejus limes initialis inveniatur quære illam ipsius z longitudinem qua t evadit nulla{illeg} et invenies esse c. Quare produc AC ad Q ut sit $\mathrm{AQ}=\mathrm{c}$, et erige \applicatam/ QR et erit DQRED area illa cujus <107> valor jam inventus est $-\mathrm{b}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{z}\mathrm{z}}$.

Quod si quantitatem areæ PDE juxta basin AC positæ et cum ea coextensæ desideres, \possis ignoto ter|li|mi{illeg}|t|e QR sic determinare./ A valore quem t ad basis longitudinem AC sortita est subduc valorem ejus ad initium basis. et proveniet quantitas hoc est a $-\mathrm{b}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{z}\mathrm{z}}$ subduc $-\mathrm{b}\mathrm{c}$ et proveniet quantitas $\mathrm{b}\mathrm{c}-\mathrm{b}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{z}\mathrm{z}}$ quam quæris. Comple ergo parallelogrammum PAGK et ad AP demitte normalem DM quæ cum GK occurrat in M et erit parallelogrammum PMNK {sic} æquali|e| areæ PDE.

Siquando æquatio curvam aliquam definiens non reperiatur in Catalogis, neqꝫ ad simpliciores terminos ope divisionis vel alio pacto reduci po{illeg}|ssit|: transformanda est in alias affinium {illeg}|C|urvarum æquationes pro more in Prob {sic} 8 ostenso, donect tandem obvenerit aliqua cujus area ex Catalogis innotescat. E{illeg}|t| conatibus omnimodo institutis, si nulla talis obveniat, certum est Curvam propositam neqꝫ cum figuris rectilineis neqꝫ cum Conicis Sectionibus comparari posse.

Ad eundem modum cùm de Curvis Mechanicis agitur illæ imprimis transformandæ sunt in æquales Geometricas prout in eodem Prob 8 ostensum fu{illeg}it, ac deinde Geometricarum areæ ex Catalogis eliciendæ. Cujus rei accipe sequens exemplum.

Exempl: 6{.} Proponatur figura arcuum cujusvis Conicæ Sectionis ad sinus rectos applicatorum determinanda. Utpote sit A centrum Conicæ Sectionis, AQ \& AR/ semiaxi|e|s, {illeg} CD ordinatim applicata ad axin AR, Sit etiam et PD perpendiculum ad punctum D. Sit etiam AE dicta figura Mechanica occurrens CD in E, et ex ejus natura præfinita erit CE =|æ|qualis arcui QD. Quæritur itaqꝫ area AEC, vel (completo parallelogrammo ACEF completo) quæritur excessus AEF. In quem finem sit a latus rectum Conicæ Sectionis, \sive/ et {illeg} <108> b latus transversum {illeg} \sive $2\mathrm{AQ}$./ {illeg} sit etiam $\mathrm{AC}=\mathrm{z}$, et $\mathrm{CD}=\mathrm{y}$, eritqꝫ $\sqrt{}\stackrel{\_}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ æquatio ad conicam sectionem, ut notum est. Erit etiam $\mathrm{PC}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{z}$ et inde $\mathrm{PD}=\sqrt{}\stackrel{\_}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}$ z{.} Atqꝫ adeò cùm sit fluxio arcus QD ad fluxionem Basis AC ut PD ad CD, si fluxio basis supponatur 1 erit arcus illius QD, sive applicatæ CE fluxio {illeg} $\sqrt{}\frac{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}$. Hanc duc in FE sive z et proveniet $\mathrm{z}\sqrt{}\frac{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}$ fluxio areæ AEF adeoqꝫ si in applicata CD capias $\mathrm{CG}=\mathrm{z}\sqrt{}\frac{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}$, area AGC quam illa CG super AC incedens describet, æquabitur areæ AEF, et erit AG curva geometrica. Qur|æ|ritur itaqꝫ area AGC. Et in unc finem substituatur η pro z ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$ pro $\mathrm{z}\mathrm{z}$ in æquatione novissima et evadet ${\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}\mathrm{\eta }\\ -1\end{array}}\sqrt{}\frac{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{CG}$, æquatio secundæ speciei undecimi ordinis posterioris Catalogi. Et collatis utrobiqꝫ terminis fit $\mathrm{d}=1$. $\mathrm{e}=\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}=\mathrm{g}$. $\mathrm{f}=\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}$, et $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$; adeoqꝫ $\sqrt{}\stackrel{\_}{\frac{1}{4}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{-\frac{1}{4}\frac{{\mathrm{b}}^3}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$ & $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{s}=\mathrm{t}$. Hoc est $\mathrm{CD}=\mathrm{x}$. $\mathrm{DP}=\mathrm{v}$ et $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{s}=\mathrm{t}$. Et horum inventorum talis est constructio. Ad Q erige QK perpendicularem et æqualem QA et huic parallelam æqualem vero DP age HI per punctum D. Et linea KI pro \in/ quam HI {illeg} terminatur erit Sectio Conica areaqꝫ comprehensa HIKQ ad aream quæsitam AEF ut b ad a, sive ut PC ad AC.

Nota, si mutes signum b, sectio Conica evadet cujus arcui recta CG æquatur, evadet Ellipsis; et præterea si fiat $\mathrm{b}=-\mathrm{a}$ Ellipsis evadet circulus: In quo {illeg} casu linea KI fit recta parallela AQ.

<109>

Postquam Curvæ alicujus area sic inventa fuerit; de constructionis demonstratione consulendum est, quacum sine Computo Algebraico quantùm liceat contexta ornetur Theorema ut evadat publicæ notitiæ dignum. Estqꝫ demonstrandi methodus generalis quam sequentibus exemplis demons illustrare conabor.

Demonstratio Constructionis in Exempl 5. In arcu PQ sume punctum d proximum ad D et age de ac dm parallelas DE ac DM et occurrentes DM et AP in p et l: et erit DEed momentum areæ PDEP et LMmt momentum areæ LMKP. Age semidiametrum AD, et concipe indefinitè exiguum arcum Dd esse instar rectæ et triangula Dpd et ALD erunt similia, adeoqꝫ $\mathrm{Dp}.\mathrm{pd}\colon\colon \mathrm{AL}.\mathrm{LD}$. Est autem $\mathrm{HF}.\mathrm{EH}\colon\colon \mathrm{AG}.\mathrm{AF}$, hoc est $\mathrm{AL}.\mathrm{LD}\colon\colon \mathrm{ML}.\mathrm{DE}$. Et proinde $\mathrm{Dp}.\mathrm{pd}\colon\colon \mathrm{ML}.\mathrm{DE}$. Quare $\mathrm{Dp}\times \mathrm{DE}=\mathrm{pd}\times \mathrm{ML}$. Hoc est Dp momentum DEed æquale momento LMml. Et cùm hoc de quibuslibet contemporaneis momentis indeterminatè demonstr{illeg}|e|tur, patet omnia \singula/ momenta {illeg} areaæ PDEP omnibus \esse singulis/ contemporaneis momentis spatij \areæ/ PLMK æqualia, {illeg} adeoqꝫ totas spatia areas ex istis momentis compositas æquari. Q.E.D.

Demonstratio Constructionis in exemplo 3. Esto DEed momentum superficiei AHDE ac AdDA contemporaneum momentum segmenti ADH age semidiametrum DK, et de occurrat AQ in c, eri|s|tqꝫ $\mathrm{Cc}.\mathrm{Dd}\colon\colon \mathrm{DC}.\mathrm{DK}$. Præterea est $\mathrm{DC}.\mathrm{QA}\left(2\mathrm{DK}\right)\colon\colon \mathrm{AC}.\mathrm{DE}$. Adeoqꝫ $\mathrm{Cc}.2\mathrm{Dd}\left(\colon\colon \mathrm{DC}.2\mathrm{DK}\right)\colon\colon \mathrm{AC}.\mathrm{DE}$. et $\mathrm{Cc}\times \mathrm{DE}=2\mathrm{Dd}\times \mathrm{AC}\times$. Jam ad periferiæ momentum Dd rectà produn|c|tum (i.e. ad tangentem circuli) demitte normalem AI et erit AI {illeg} æqualis AC, adeoqꝫ $2\mathrm{Dd}\times \mathrm{AC}\left(=2\mathrm{Dd}\times \mathrm{AI}\right)=4\text{triangulis}\mathrm{ADd}$. Quare $4\text{triang}\mathrm{ADd}${illeg}$=\mathrm{Cc}\times \mathrm{DE}=$ momento DEed. Spatij ergo AHDE singula momenta sunt quadrupla momentorum contemporaneorum segmenti ADH et proinde totum illud spatium quadruplum totius segmenti{.} Q.E.D.

Demonstratio constructionis in Exemplo 4. Parallelam CE age indefinitè parùm distantem ce, et Hyperbolæ tangentem Ck ac demitte KM rectam ad AP: Et ex Hyperbolæ natura erit $\mathrm{AC}.\mathrm{AP}\colon\colon \mathrm{AP}.\mathrm{AM}${.} Adeoqꝫ ${\mathrm{AG}}^q.{\mathrm{GL}}^q\left(\colon\colon {\mathrm{AC}}^q.{\mathrm{LE}}^q\text{sive}{\mathrm{AP}}^q\right)\colon\colon {\mathrm{AP}}^q.{\mathrm{AM}}^q$ ac divisim ${\mathrm{AG}}^q.{\mathrm{AL}}^q\colon\colon {\mathrm{AP}}^q.{\mathrm{AM}}^q-{\mathrm{AP}}^q={\mathrm{MK}}^q$, sive {illeg} ${\mathrm{AG}}^q.{\mathrm{AL}}^q\left({\mathrm{DE}}^q\right)$$\colon\colon {\mathrm{AP}}^q.{\mathrm{AM}}^q-{\mathrm{AP}}^q\left({\mathrm{MK}}^q\right)$. Et inversè $\mathrm{AG}.\mathrm{AP}\colon\colon \mathrm{DE}.\mathrm{MK}$. Est autem <110> areola DEed ad triangulum CKc ut altitudo DE ad semissem altitudinis KM. Hoc est, ut AG ad $\frac{1}{2}\mathrm{AP}$. Adeoqꝫ Quare omnia spatij PDE momenta ad omnia contemporanea momenta spatij PKC sunt ut AG ad $\frac{1}{2}\mathrm{AP}$. Et proinde tota illa spatia sunt in eadem ratione. Q.E.D.

Demonstratio Constructionis in Exemplo 6. Parall{illeg}|ela|m et proximam CD age cd et occurrentem curvæ AE in e age {illeg} hi & fe occurrentes DC in p et q. Et erit ex Hypothesi $\mathrm{Dd}=\mathrm{Eq}$ et ex similitudine triangulorum Dpd, DCP erit $\mathrm{Dp}.\mathrm{Dd}\left(\mathrm{Eq}\right)\colon\colon$$\mathrm{CP}.\mathrm{PD}\left(\mathrm{HI}\right)$. Adeoqꝫ $\mathrm{Dp}\times \mathrm{HI}=\mathrm{Eq}\times \mathrm{CP}$, et inde $\mathrm{Dp}\times \mathrm{HI}(\text{moment}$$\mathrm{HIih}).\mathrm{Eq}\times \mathrm{AC}(\text{moment}\mathrm{EFfe})\colon\colon \mathrm{Eq}\times \mathrm{CP}.\mathrm{Eq}\times \mathrm{AC}\colon\colon \mathrm{CP}.\mathrm{AC}$. {illeg} Quare cum PC et AC sint in data ratione lateris transversi ad latus rectum Conicæ Sectionis QD, et arearu HIQK et AEF momenta \HIih & EFfe/ in eade illâ ratione, erunt ipsæ areæ in eâdem ratione. Q.E.D.

In hujusmodi demonstrationibus observandum est quod quantitates pro æqualibus habeo {illeg}|qu|arum ratio est æqualitatis. Et ratio æqualitatis censenda est quæ minùs differt ab æqualitate quàm qualibet inæqualis ratio potest assignari. Sic rectangulum {illeg} in postremâ demonstratione posui rectangulum $\mathrm{Eq}\times \mathrm{AC}$, sive FEqf æquale spatio FEef quia non habent \{illeg}/ rationem inæqualitates {illeg} (propter differentiam Eqe infinite minorem ipsis sive respectu ipsarum nullam) Et sic posui $\mathrm{DP}\times \mathrm{HI}=\mathrm{HIih}$, & |non habent rationem inæqualitatis. Et eadem de causa posui $\mathrm{DP}\times \mathrm{HI}=\mathrm{HIih}$, & sic in alijs.|

Ha{illeg}|c|{illeg} methodu|o|m probandi curvas per æqualitatem vel datam datam rationem momentorum æquales esse vel datam rationem habere hic usus sum quòd c{illeg}|ù|m methodis in his rebus usitatis affinitatem habet|a|t; sed promptior aliquantò et magis naturalis videtur quæ genesi superficierum ex fluendi motu innititur. Sic {illeg} si constructionem in e|E|xemplo 2 demonstranda{illeg} sit; Ex natura circuli est fluxio rectæ ID ad fluxionem rectæ IP, ut AI ad ID: Estqꝫ AI ad ID ut ID ad CE ex natura Curvæ AGE: et proinde $\mathrm{CE}\times flux:\mathrm{ID}=\mathrm{ID}\times flux:\mathrm{IP}$. {illeg} \Sed {illeg}/ $\mathrm{CE}\times flux:\mathrm{ID}$= fluxioni areæ ACEG, et $\mathrm{ID}\times flux\mathrm{IP}=$ fluxioni areæ PDI. Et proptd|e|rea areæ illæ fluxionibus æqualibus progenitæ \æqualiter fluendo genitæ/ {illeg} æquales erunt. Q.E.D.

Plenioris illustrationis gratia adjiciam demonstrationem Constructionis qua Ciss{illeg}|oi|dis area in Exemplo 3 determinatur. <111> Lineæ punctim notatæ in schemate deleantur, et agatur DQ et Cissoidis Asymptoton QR: Et ex natura circuli est ${\mathrm{DQ}}^q=\mathrm{AQ}\times \mathrm{CQ}$, et inde per Prob 1 $2\mathrm{DQ}\times flux:\text{ipsius}\mathrm{DQ}=$$\mathrm{AQ}\times flux.\mathrm{CQ}$. Adeoqꝫ $\mathrm{AQ}.\mathrm{DQ}\colon\colon 2flux:\mathrm{DQ}.flux:\mathrm{CQ}$. Est et ex natura Cissoidis $\mathrm{ED}.\mathrm{AD}\colon\colon \mathrm{AQ}.\mathrm{DQ}$. Quare $\mathrm{ED}.\mathrm{AD}\colon\colon 2flux:\mathrm{DQ}.flux:\mathrm{CQ}$. Et {illeg} $\mathrm{ED}\times flux\mathrm{CQ}=$$\mathrm{AD}\times 2flux:\mathrm{DQ}$ sive $=4\times \frac{1}{2}\mathrm{AD}\times flux:\mathrm{DQ}$. Jam cùm {illeg} DQ recta \perpendicularis/ sit ad terminum ipsius AD circa A gyrantis, est $\frac{1}{2}\mathrm{AD}\times flux\mathrm{DQ}=$ fluxioni generanti aream ADOQ{.} Est et ejus quadrupl{illeg}|u|m $\mathrm{ED}\times flux\mathrm{CQ}=$ {illeg} fluxioni generanti Cissoidalem aream QREDO. Et proinde area illa infinitè longa QREDO generatur quadrupla alterius ADOQ. Q.E.D.

Scholium.

Per præcedentes catalogos non tantùm areæ curvarum sed et aliæ cujuscunqꝫ generis quantitates analoga fluendi ratione generatæ, e fluxionibus derivari possunt. Idqꝫ {illeg} Idqꝫ mediante hoc Theoremate, Quod quantitas cujuscunqꝫ generis sit ad unitatem congeneram ut area Curvæ ad unitatem superficialem, si modò fluxio quantitatem illam generans sit ad unitatem sui generis ut fluxio generans aream ad unitatem sui generis, hoc est ut linea super Basi norm{illeg}|al|iter incedens qua area ilia describitur, ad unitatem linearem. Vel breviùs quod quantitates sint analogæ quæ ex analogis fluxionibus generantur. Et proinde si fluxio qualiscunqꝫ exponatur per ejusmodi lineam incedentem quantitas ab illa fluxione generata exponetur per aream ab illa incedente descriptam{.} Vel si fluxio per eosdem terminos Algebraicos cum incedente linea exhibeatur exponatur, quantitas generata {illeg}|e|xponetur pe{illeg}|r| eosdem cum area descripta. Æquatio itaqꝫ quæ fluxionem <112> cujuscunqꝫ generis exhibet quærenda est in prima collumna Catalogorum, et valor t in ultima collumna indicabit quantitatem generatam.

Quemadmodum si $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9\mathrm{z}}{4\mathrm{a}}}$ fluxionem cujuscunqꝫ generis exhibeat, pone æqualem y, et ut ad formam {illeg}|æ|quationum in catalogis reducatur substitue ${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}$ pro z, sic enim evadet ${\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}\mathrm{\eta }\\ -1\end{array}}\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9}{4\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}=\mathrm{y}$, æquatio primæ speciei tertij ordinis prioris Catalogi et collatis terminis fiet $\mathrm{d}=1$, $\mathrm{e}=1$, {illeg} $\mathrm{f}=\frac{9}{4\mathrm{a}}$, et inde $\frac{8\mathrm{a}+18\mathrm{z}}{27}\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9\mathrm{z}}{4\mathrm{a}}}\left(=\frac{2\mathrm{d}}{\mathrm{\eta }\mathrm{f}}{\mathrm{R}}^3\right)=\mathrm{t}$ {sic}. Est itaqꝫ $\frac{8\mathrm{a}+18\mathrm{z}}{27}\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9\mathrm{z}}{4\mathrm{a}}}$ quantitas quæ generatur fluxione $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9\mathrm{z}}{4\mathrm{a}}}$.

Atqꝫ ita si $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{16{\mathrm{z}}^{\frac{2}{3}}}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}$ designet fluxionem, per debita{m} reductionem evadet (extrahendo ${\mathrm{z}}^{\frac{2}{3}}$ e radicali, et scribendo ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$ pro ${\mathrm{z}}^{-\frac{2}{3}}$) habebitur $\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\begin{array}{r}\mathrm{\eta }\\ +1\end{array}}}\sqrt{}\stackrel{\_}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}+\frac{16}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}=\mathrm{y}$, æquatio secundæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi, et collatis terminis fit $\mathrm{d}=1$, $\mathrm{e}=\frac{16}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}$, et $\mathrm{f}=1$, Adeoqꝫ ${\mathrm{z}}^{\frac{2}{3}}\left(=\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}\right)=\mathrm{x}\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{16\mathrm{x}\mathrm{x}}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}=\mathrm{v}$, et $\frac{3}{2}\mathrm{s}\left(=-\frac{2\mathrm{d}}{\mathrm{\eta }}\mathrm{s}\right)=\mathrm{t}$. Quibus inventis, quantitas per fluxionem $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{16{\mathrm{z}}^{\frac{2}{3}}}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}$ generata innotescet ponendo esse ad unitatem sui generis ut area $\frac{3}{2}\mathrm{s}$ ad unitatem superficialem;|.| v|V|el quod eodem recidit, ponendo quantitatem t non amplius aream Conicæ Sectionis \superficiem/ significare, sed alterius generis quantitatem quæ est ad unitatem ejusdem generis ut area Conicæ Sectionis |superficies illa| ad unitatem superficialem. Et hoc modo $\frac{3}{2}\mathrm{s}$ erit quantitas per propositam fluxionem generata. Sic posito quod $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{16{\mathrm{z}}^{\frac{2}{3}}}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}$ designet fluxionem lineæ|a||,|re|m| ut longitudo imaginor t non ampliùs superficiem sed lineam jam significare, eam nempe quæ ad unitatem linearem est ut area conicæ sectionis quam t iuxta Catalogi|o|s designat ad unitatem superficialem, hoc est eam quæ producitur apl|p|licando aream illam ad linearem unitatem. Et hoc subintellecto, longitudo quæsita erit $\frac{3}{2}\mathrm{s}$. Quod idem de valore t in similibus casibus posthac semper intelligendum est. Qua ratione si linearis unitas statuatur e longitudo per præfatam fluxionem generata erit $\frac{3\mathrm{s}}{2\mathrm{e}}$. Et hoc fundamento Catalogi illi ad longitudines cur{illeg}|v|arum, contenta solidorum & alias quascunqꝫ quantitates æque ac areas curvarum determina{n}das applicari possunt.

<113>

De Quæstionibus {illeg} cognatis.

1. Curvarum areas per Mechanicam approximare.

Methodus est ut duarum pluriumve rectilinearum fig{illeg}|u|rarum valores ita componantur \inter se/ ut valorem areæ curvæ quamproximè constituant. Sic ad circulum \AFD/ quem æquatio $\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{r}\mathrm{r}$ designat postquam inventus est areæ AFDB valor $\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{28}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}-\frac{1}{72}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}\text{\&c.}$ quærendi sunt aliquot rectangulorum valores, quales sunt ipsius $\mathrm{BD}\times \mathrm{AB}$ valor $\mathrm{x}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}$ sive ${\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{8}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}-\frac{1}{16}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}\text{\&c.}$ ac ipsius $\mathrm{AD}\times \mathrm{AB}$ valor $\mathrm{x}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{x}}$ si{illeg}|v|e ${\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}$. Dein hi valores per literas quaslibet diversas (quæ numeros indefinitè designent) multiplicandi sund|t| et addendi summæqꝫ termini cum correspondentibus terminis valoris areæ AFDB comparandi, ut quantum liceat evan|d|ant æquales. Quemadmodum si per e et f multiplicentur, fiet summa $\begin{array}{r}\mathrm{e}\\ +\mathrm{f}\end{array}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{\mathrm{e}}{2}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{\mathrm{e}}{8}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}\text{\&c}$ cuius terminis {illeg} cum terminis hisce collatis $\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{28}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}\text{\&c}$ collatis, prodit $\mathrm{e}+\mathrm{f}=\frac{2}{3}$, et $-\frac{\mathrm{e}}{2}=-\frac{1}{5}$; Sive $\mathrm{e}=\frac{2}{5}$ et $\mathrm{f}\left(=\frac{2}{3}-\mathrm{e}\right)=\frac{4}{15}$. Adeoqꝫ est $\frac{2}{5}\mathrm{BD}\times \mathrm{AB}+\frac{4}{15}\mathrm{AD}\times \mathrm{AB}=\text{areæ}\mathrm{AFDB}$ proximè. {illeg}|S|cilicet $\frac{2}{5}\mathrm{BD}\times \mathrm{AB}+\frac{4}{15}\mathrm{AD}\times \mathrm{AB}$ valet $\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{20}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}$$-\frac{1}{40}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}\text{\&c}$ quod ab area AFDB subductum relinquit \solummodò/ errorem $\frac{1}{70}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+\frac{1}{90}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}\text{\&c}${.}

Sic bisectâ AB in E, rectanguli $\mathrm{AB}\times \mathrm{DE}$ valor erit $\mathrm{x}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{x}-\frac{3}{4}\mathrm{x}\mathrm{x}}$ sive ${\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{8}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-\frac{9}{128}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}-\frac{27}{1024}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}$ & {sic} Et hoc collatum cum rectangulo $\mathrm{AD}\times \mathrm{AB}$ dat $\frac{8\mathrm{DE}+2\mathrm{AD}}{15}in\mathrm{AB}=$$\text{areæ}\mathrm{AFDB}$, errore tantùm existente $\frac{1}{560}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+\frac{1}{5760}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}\text{\&c}$ qui semper minor est quam $\frac{1}{1500}$ totius ar{illeg}|e|æ, etiamsi AFDB ponatur quadrans circuli. Hoc autem Theorema sic enunciari potest. Ut 3 ad 2 ita rectangulum $\mathrm{AB}in\mathrm{DE}$ $+\frac{\mathrm{AD}-\mathrm{DE}}{5}$ plus quinta parte differentiæ inter AD ac DE ad aream AFDB proxime.

Atqꝫ ita conferendo duo rectangula $\mathrm{AB}\times \mathrm{ED}$ et $\mathrm{AB}\times \mathrm{BD}$, vel omnia tria rectangula inter se, vel adhibendo adhuc alia rectangula <114> possunt aliæ regulæ excogitari, eæqꝫ tanto exactiores quo plura rectangula adhibentur. Et idem de {illeg} {illeg} area Hyperbolæ ac aliarum curvarum intelligendum est. Imò et per unit|c|um tant{illeg}|ù|m rectangulum area plerumqꝫ commode exhiberi potest, ut in prædicto circulo si capiatur AE ad AB ut $\sqrt{}5$ ad 5, rectangulum $\mathrm{AB}\times \mathrm{ED}$ erit ad aream AFDB ut 3 ad 2, errore tantùm existente $\frac{1}{175}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+$$\frac{11}{2250}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}\text{\&c}$.

2. {illeg}|E|x Datâ areâ, Basem et ind|c|edentem
lineam determinare.

Ubi area per finitam æquationem exhibetur nihil occurrit difficultatis. Ubi verò per infinitam exhibetur, affecta radix extrahenda est quæ Basem designat. Sic ad Hyperbolam quam æquatio $\frac{\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}=\mathrm{r}$ designat {illeg} \postquam/ inventum \est/ $\mathrm{z}=\mathrm{b}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{b}{\mathrm{x}}^3}{3\mathrm{a}\mathrm{a}}\text{\&c}$; Quo \ut/ ex data area z vicissim innotescat Basis x, extrahe radicem affectam et proveniet $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}}{2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}+\frac{{\mathrm{z}}^3}{6\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{b}}^3}+\frac{{\mathrm{z}}^4}{24{\mathrm{a}}^3{\mathrm{b}}^4}+\frac{{\mathrm{z}}^5}{96{\mathrm{a}}^4{\mathrm{b}}^5}\text{\&c}$ et præterea si incedens r desideretur divide $\mathrm{a}\mathrm{b}$ per $\mathrm{a}+\mathrm{x}$ hoc est per $\mathrm{a}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}}{2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}+\frac{{\mathrm{z}}^3}{6\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{b}}^3}\text{\&c}$ et emerget $\mathrm{r}=\mathrm{b}-\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}}{2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}}-\frac{{\mathrm{z}}^3}{6{\mathrm{a}}^3\mathrm{b}\mathrm{b}}+\frac{{\mathrm{z}}^4}{24{\mathrm{a}}^4{\mathrm{b}}^3}\text{\&c}$.

Sic ad Ellipsin quam æquatio $\mathrm{a}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{r}\mathrm{r}$ designat, postquam inventa fuerit area $\mathrm{z}=\frac{2}{3}{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}-\frac{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}}{5\mathrm{c}}$$-\frac{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}}{28\mathrm{c}\mathrm{c}}-\frac{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{x}}^{\frac{9}{2}}}{72{\mathrm{c}}^3}\text{\&c}$. Scribe Ut ex data z vicissim deter Scribe {illeg} pro scribe ${\mathrm{v}}^3$ pro $\frac{3\mathrm{z}}{2{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}$ a{illeg}|c| t pro ${\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}$, et evadet ${\mathrm{v}}^3={\mathrm{t}}^3-\frac{3{\mathrm{t}}^5}{10\mathrm{c}}-\frac{3{\mathrm{t}}^7}{56\mathrm{c}\mathrm{c}}-\frac{{\mathrm{t}}^9}{48{\mathrm{c}}^3}\text{\&c}$, et extracta radice $\mathrm{t}=\mathrm{v}+\frac{{\mathrm{v}}^3}{10\mathrm{c}}+\frac{81{\mathrm{v}}^5}{1400\mathrm{c}\mathrm{c}}+\frac{1171{\mathrm{v}}^7}{25200{\mathrm{c}}^3}\text{\&c}$. Cujus quadratum $\mathrm{v}\mathrm{v}+\frac{{\mathrm{v}}^4}{5\mathrm{c}}+\frac{22{\mathrm{v}}^6}{175\mathrm{c}\mathrm{c}}+\frac{823{\mathrm{v}}^8}{7875{\mathrm{c}}^3}\text{\&c}$ valet x. Et hoc valore pro x in æquatione $\mathrm{a}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{r}\mathrm{r}$ substituto, et extracta radice, proveni{et} $\mathrm{r}={\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{v}-\frac{2{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{v}}^3}{5\mathrm{c}}-\frac{38{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{v}}^5}{175\mathrm{c}\mathrm{c}}-\frac{407{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{v}}^7}{2250{\mathrm{c}}^3}\text{\&c}${.} Adeoqꝫ ex data area z et inde v sive $\sqrt{}cub:\frac{3\mathrm{z}}{2{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}$, dabitur Basis x et Incedens r. Quæ omnia ad Hyperbolam etiam accommodantur si modo signum quant < insertion from p 155 > itatis c ubiqꝫ mutetur ubi existit imparium dimensionum. < text from p 114 resumes >

<115>

Prob 10. Curvas pro arbitrio multas
multas invenire quarum longitudines
per finitas æquationes
designari possunt.

Ad hujus resolutionem via per sequentes positiones sternitur.

1. Si recta DC in curvam quamvis AD perpendiculariter insistens moveri concipiatur, singula ejus puncta G, {illeg} k, 3r, 4r \r/ &c describent alias æquidistantes sibiqꝫ parallelas curvas rs, $\mathrm{2r}\mathrm{2s}$, $\mathrm{3r}\mathrm{3s}$ &c quibus itidem perpendicularis erit |perpendiculares curvas GK, gk, rs &c|.

2. Si recta illa hinc inde indefinitè producatur ejus extremitates movebuntur ad contrarias plagas, et punctum quod distinguit inter contrarios motus, quodqꝫ \ideo/ dici potest centrum motionis, idem est cum centro curvaturæ quam curva AD habet ad punctum D, ut supra diximus. Istud autem punctu esto C.

3{.} Si lineam AD non circularem esse sed difformiter incurvatam supponamus puta magis curvam in δ et minùs in Δ, illud centrum continuò mutabitur propriùs accedens ad partes magis curvas \ut in K/ et longiùs recedens a partibus minùs curvis, eoqꝫ pacto ut in k, eoqꝫ pacto lineam aliquam qualis KCk describet.

4. Hanc a centro curvaturæ descriptam lineam recta DC continuò tanget. Nam si rectæ illius punctum D moveat versus δ, ejus punctum G quod interea transit ad K et situm est ad ea{illeg}|n|dem partem centri C movebit versus eandem plagam (per Positionem 2^dam) . Deinde si idem D moveat{illeg} versus Δ punctum g quod interea transit ad k et situm est ad contrariam partem centri C movebit ad contrariam plagam hoc est ad eandem plagam ad quam G in priori casu movebat <116> dum transijt ad K. Et proinde K et k jacent ad eandem partem rectæ DC. Quare cum K et k indeterminatè pro quibuslibet punctis sumantur, patet totam illam curvam jacere ad eandem partem rectæ DC, proindeqꝫ ab illa non secari sed tangi tantùm.

Hic supponitur lineam δDΔ magis curvam esse a parte {illeg} δ continuò et minùs a parte Δ. Quod si maxima minimáve curvatura fuerit ad ipsum D, tunc recta DC secabit curvam KC, sed in angulo tamen qui sit quovis rectilineo minor. Quod perinde est ac si tangeret dicatur. Imo punctum C in hoc casu termi < insertion from p 153 > nus est instar cuspidis, ad quem partes curvæ obliquissimo concursu desinentes se mutuò contingunt, proindeqꝫ a recta DC quæ angulum illum contactûs dividit rectius dicatur tangi quàm secari. < text from p 116 resumes >

5. Recta CG æquatur curvæ CK. Nam concipe rectæ illius singula puncta r, 2r, 3r, 4r &c desc{illeg}b|ri|bere curvarum arcus rs, $\mathrm{2r}\mathrm{2s}$, $\mathrm{3r}\mathrm{3s}$ &c interea dum per motum rectæ illius accedant ad curvam CK; et arcus illi, cùm (per Positionem primam) sint perpendiculares ad rectas quæ (per Posit 4) tangunt curvam CK, erunt etiam perpendiculares ad curvam illam. Quare partes istius CK inter arcus illos interjectæ quæ propter infinitam parvitatem pro rectis haberi possint æquantur intervallis eorundem arcuum, hoc est (per Posit: 1) totidem partibus rectæ CG. Et additis utrinqꝫ æqualibus, tota CK aæquabitur toti CG.

Idem constare potest imaginando singulas partes rectæ CG inter movendum successivè applicari ad singulas partes curvæ CK, easqꝫ mensurare, perinde ut rotæ super planum per gyros promoventis circumferentia distantiam metitur quam punctum contactûs transigit.

Ex his pateat Problema resolvi posse assumendo pro lubitu curvam quamvis AδDΔ et inde determinando alteram curvam KCk in qu{illeg}|a| assumptæ centrum curvaturæ versatur. Ad rectam itaqꝫ quamvis positione datam AB demissis perpendiculis DB, CL et in AB sumpto quovis puncto A dictisqꝫ $\mathrm{AB}=\mathrm{x}$ et $\mathrm{BD}=\mathrm{y}$, pro curva AD definienda assumatur relatio quævis inter x et y et inde per Prob 5 elicietur punctum C quo et curva KC et ejus longitudo GC determinatur.

Exempl. Sit $\mathrm{a}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$ æquatio ad curvam AD, Parabolam <117> nempe Apollonianam. Et per Prob: 5, invenientur $\mathrm{AL}=\frac{1}{2}\mathrm{a}+3\mathrm{x}$, $\mathrm{CL}=\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}$, ac $\mathrm{DC}=\frac{\mathrm{a}+4\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\frac{1}{4}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{a}\mathrm{x}}$. Quibus habitis, curva KC determinatur AL et LC et longitudo ejus per DC. Utpote cùm liberum sit ubivis in curva KC assumere puncta K et C, supponamus K esse centrum curvaturæ Parabolæ ad verticem, et positis perinde AB et BD seu x et y nullis evadet $\mathrm{AL}=\frac{1}{2}\mathrm{a}$ $\mathrm{DC}=\frac{1}{2}\mathrm{a}$, estqꝫ hæc longitudo AK vel DG quæ subducta a superiori indefinito valore DC relinquit GC seu $\mathrm{KC}=\frac{\mathrm{a}+4\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\frac{1}{4}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{a}\mathrm{x}}-\frac{1}{2}\mathrm{a}$.

Jam si qualis sit hæc curva quantaqꝫ ejus longitudo, non ampliùs habita relatione ad Parabolam scire desideretur; Dic $\mathrm{KL}=\mathrm{z}$ et $\mathrm{LC}=\mathrm{v}$, et erit $\mathrm{z}=\left(=\mathrm{AL}-\frac{1}{2}\mathrm{a}\right)=3\mathrm{x}$ seu $\frac{1}{3}\mathrm{z}=\mathrm{x}$, et $\frac{\mathrm{a}\mathrm{z}}{3}\left(=\mathrm{a}\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}\mathrm{y}$, adeoqꝫ $4\sqrt{}\frac{{\mathrm{z}}^3}{27\mathrm{a}}\left(=\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}=\mathrm{CL}\right)=\mathrm{v}$. sive $\frac{16{\mathrm{z}}^3}{27\mathrm{a}}=\mathrm{v}\mathrm{v}$. Quod indicat curvam KC esse Parabolam secundi generis. Et pro ejus longitudine prodit {illeg} {illeg} $\frac{3\mathrm{a}+4\mathrm{z}}{3\mathrm{a}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\frac{1}{4}\mathrm{a}\mathrm{a}+\frac{1}{3}\mathrm{a}\mathrm{z}}-\frac{1}{2}\mathrm{a}$, scribendo $\frac{1}{3}\mathrm{z}$ pro x in valore CG.

Potest etiam Problema resolvi per assumptionem æquationis quæ relationem inter AP et PD (posita nempe P intersectione Basis et Perpendiculi) \definiat/. Nam dictis $\mathrm{AP}=\mathrm{x}$, et $\mathrm{PD}=\mathrm{y}$, concipe CPD per spatium quàm minimum moveri puta ad locum Cpd, inqꝫ {illeg} \CD et Cd/ sumpto CΔ vel|t| Cδ \ejusdem/ ej|cu|jusvis datæ longitudinis puta 1, et ad CL demissis Δg, δγ perpendiculis quorum Δg (quod di{illeg}|c| z) oc{illeg}|c|urrat Cd in f, et completo parallelogrammo gγδe, positisqꝫ m, n, et r fluxionibus quantitatum x y et z ut supra; erit $\mathrm{\Delta e}.\mathrm{\Delta f}\left(\colon\colon \mathrm{\Delta e}\times \mathrm{\Delta e}.\mathrm{\Delta \delta }\times \mathrm{\Delta \delta }\colon\colon \mathrm{Cg}\times \mathrm{Cg}.\mathrm{C\Delta }\times \mathrm{C\Delta }\right)\colon\colon \frac{\mathrm{Cg}\times \mathrm{Cg}}{\mathrm{C\Delta }}.\mathrm{C\Delta }$. Et $\mathrm{\Delta f}.\mathrm{Pp}$$\colon\colon \mathrm{C\Delta }.\mathrm{CP}$. Et ex æquo $\mathrm{\Delta e}.\mathrm{Pp}\colon\colon \frac{\mathrm{Cg}\times \mathrm{Cg}}{\mathrm{C\Delta }}.\mathrm{CP}$. Est autem Pp <118> momentum Basis AP cujus additamento evadit Ap, ac Δe contemporaneum momentum perpendiculi Δg cujus ablatione evadit δγ. Adeoqꝫ Δe et Pp sunt ut fluxiones linearum $\mathrm{\Delta g}\left(\mathrm{z}\right)$ et $\mathrm{AP}\left(\mathrm{x}\right)$, hoc est ut r et m. Quare $\mathrm{r}.\mathrm{m}\colon\colon \frac{{\mathrm{Cg}}^{quadr}}{\mathrm{C\Delta }}.\mathrm{CP}$. Et proinde cùm sit ${\mathrm{Cg}}^{quadr}\left(={\mathrm{C\Delta }}^{quadr}-{\mathrm{\Delta g}}^{quad}\right)=1-\mathrm{z}\mathrm{z}$, et $\mathrm{C\Delta }=1$, erit $\mathrm{CP}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{m}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{r}}${.} Vel \Et insuper/ cùm e tribus m, n, et r {literam} quamlibet pro uniformi fluxione ad quam cæteræ referantur habere liceat, si ista ponatur m ejusqꝫ quantitas unitas, evadet $\mathrm{CP}=\frac{1-\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{r}}$.

Præterea est $\mathrm{C\Delta }\left(1\right).\mathrm{\Delta g}\left(\mathrm{z}\right)\colon\colon \mathrm{CP}.\mathrm{PL}$, et $\mathrm{C\Delta }\left(1\right).\mathrm{Cg}\left(\sqrt{}\stackrel{\_}{1-\mathrm{z}\mathrm{z}}\right)\colon\colon \mathrm{CP}.\mathrm{CL}$, Adeoqꝫ fit $\mathrm{PL}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^3}{\mathrm{r}}$ et $\mathrm{CL}=\frac{1-\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{r}}\sqrt{}\stackrel{\_}{1-\mathrm{z}\mathrm{z}}$. Ac deniqꝫ acta pq parallela arcui infinitè parvo Dd seu perpendiculari DC erit Pq momentum ipsius DP {illeg} cujus additamento evadit dp simul {illeg}|a|c AP fit Ap evadit Ap. Et idcirco Pp et Pq sunt ut fluxiones ipsarum $\mathrm{AP}\left(\mathrm{x}\right)$ et $\mathrm{PD}\left(\mathrm{y}\right)$, hoc est ut 1 et n, Atqꝫ adeò cùm propter similia triangula Ppq & CΔg, CΔ c|a|c Δg seu 1 et z sint in eadem ratione erit $\mathrm{n}=\mathrm{z}$. Et {illeg}|U|nde talis evadit Problematis resolutio.

E proposita æquatione quæ relationem inter x et y designet quære relationem fluxionum m et n per Prob 1. Et interea scribendo 1 pro m et z pro n obtinebitur valor z \posi{illeg}|to|{illeg} $\mathrm{m}=1$ habebitur valor n cui z æquatur./ Dein \substituto z pro n substituto imaginando z pro n sunstitui/ ope æquationis novissimæ, quære relationes fluxionum m n et r per idem Prob 1, et scribendo literum 1 pro m et z pro n |interea posito $\mathrm{m}=1$ iterum substituto 1 pro m| obtinebitur valor r. ^[4]Quibus habitis fac $\frac{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}{\mathrm{r}}=\mathrm{CP}$, $\mathrm{z}\times \mathrm{CP}=\mathrm{PL}$ et $\mathrm{CP}\times \sqrt{}\stackrel{\_}{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}=\mathrm{CL}$; Et erit C ad curvam KC cujus quæ quæ æquatur DC auctæ vel diminutæ data aliqua quantitate DG quæ \cujus pars quævis KC/ æquatur \rectæ/ CG differentiæ \nempe/ tangentium ductarum a punctis C et K perpendiculariter ad curvam Dd. |{illeg}|

Exempl. Sit $\mathrm{a}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$ æquatio quæ relationem inter AP et PD designet et per Prob: 1 primò erit $\mathrm{a}\mathrm{m}=2\mathrm{y}\mathrm{n}$ seu <119> $\mathrm{a}=2\mathrm{y}\mathrm{z}$. Deinde $0=2\mathrm{n}\mathrm{z}+2\mathrm{y}\mathrm{r}$ seu $-\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{y}}=\mathrm{r}$. Indeqꝫ fit $\mathrm{CP}=\left(\frac{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}{\mathrm{r}}=\right)\mathrm{y}-\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}$, $\mathrm{PL}=\left(\mathrm{z}\times \mathrm{CP}=\right)\frac{1}{2}\mathrm{a}-\frac{2\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{a}}$, et $\mathrm{CL}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}-4\mathrm{y}\mathrm{y}}{2\mathrm{a}\mathrm{a}}\sqrt{}\stackrel{\_}{4\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{a}}$. Et a CP ac PL ablatis y et x restat $\mathrm{CD}=-\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}$ et $\mathrm{AL}=\frac{1}{2}\mathrm{a}-\frac{3\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{a}}$. Aufero autem y et x quòd CP et PL ubi valores habent affirmativos cadant ad partes puncti P versus D ac|et| A, et tunc diminui debent auferendo affirmativas quantitates APD et AD. Ubi verò negativos valores obtinent, cadent ad contrarias partes puncti P et tunc augeri debent, id quod \etiam/ fit auferendo affirmativas quantitates PD et AD.

Jam ut curvæ ad quad|m| in qua punctum C locatur longitudo inter duo quævis puncta K et C noscatur; quæro longitudinem tangentis ad datum quodpiam punctum punctum K et aufero a CD. Quemadmodum si K sit punctum ad quod tangens terminatur ubi CΔ et Δg seu 1 et z ponuntur æquales quodqꝫ proinde in ipsa basi AP situm est, scribe 1 pro z in æquatione $\mathrm{a}=2\mathrm{y}\mathrm{z}$ et prodit $\mathrm{a}=2\mathrm{y}$. Quare pro y scribe $\frac{1}{2}\mathrm{a}$ in valore CD nempe in $-\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}$, et oritur $-\frac{1}{2}\mathrm{a}$. Estqꝫ hæc longitudo tangentis ad punctum K, sive ipsius DG quæ subducta \inter quam et/ superiori|e|m indefi{illeg}|n|it{illeg}|u|m valorem CD relinquit $\frac{1}{2}\mathrm{a}-\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}$ pro GC differentia $\frac{4{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}-\frac{1}{2}\mathrm{a}$ est GC cui curvæ pars KC æquatur.

Ut insuper pateat qualis sit hæc curva, ab AL aufer AK quæ erit $\frac{1}{4}\mathrm{a}$ (mutato prius signo ut evadat affirmativa) aufer AK quæ erit $\frac{1}{4}\mathrm{a}$ et restabit $\mathrm{KL}=\frac{3\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{a}}-\frac{3}{4}\mathrm{a}$ quam dic t et in valore lineæ CL quam dic v scribe $\frac{4\mathrm{a}\mathrm{t}}{3}$ pro $4\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{a}$ et prodibit $\frac{2\mathrm{t}}{3\mathrm{a}}\sqrt{}\frac{4}{3}\mathrm{a}\mathrm{t}=\mathrm{v}$. seu $\frac{16{\mathrm{t}}^3}{27\mathrm{a}}=\mathrm{v}\mathrm{v}$ æquatio ad Parabolam secundi generis ut supra.

Siquando relatio inter t et v minùs commodè ad æquationem red{illeg}|i|gi possit, sufficit investigasse tantùm longitudines PC et PL. Quemadmodum si pro relatione in AP et PD assumatur æquatio $3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}+3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^3=0$. Inde per Prob 1 primò prodit $\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{z}-\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}=0$, deinde $\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{r}-2\mathrm{y}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{r}=0${.} <120> Atqꝫ adeo est $\mathrm{z}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{a}}$, {illeg}|&| $\mathrm{r}=\frac{2\mathrm{y}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{y}\mathrm{y}}$. Unde dantur $\mathrm{PC}=\frac{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}{\mathrm{r}}$ {illeg}|&| $\mathrm{PL}=\mathrm{z}\times \mathrm{PC}$, quibus punctum C quod ad curvam situm est determinatur. Et longitudo curvǽ inter duo ejusmodi puncta e differentia correspondentium duarum tangentium DC sive $\mathrm{PC}-1$ innotescit.

Ex. gr. Si ponatur $\mathrm{a}=1$ et ad determinandum aliquod curvæ punctum C sumatur $\mathrm{y}=2$; evadet AP seu {$\mathrm{x}\left(=\frac{{\mathrm{y}}^3-3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}}{3\mathrm{a}\mathrm{a}}\right)=\frac{2}{3}$}. $\mathrm{z}=\frac{1}{3}$. $\mathrm{r}=-\frac{4}{9}$. $\mathrm{PC}=-2$ & $\mathrm{PL}=-\frac{2}{3}$. Deinde ad aliud punctum C determinandum si sumatur $\mathrm{y}=3$ evadet $\mathrm{AP}=6$. $\mathrm{z}=\frac{1}{8}$. $\mathrm{r}=\frac{-3}{256}$. $\mathrm{PC}=-84$ et $\mathrm{PC}=-10\frac{1}{2}$. Quibus habit{illeg}|i|s si auferatur y a PC restabit $-4$ in priori casu et $-87$ in secundo casu pro longitudinibus DC quarum differentia 83 est longitudo curvæ inter inventa duo puncta C et C.

Hæc ita intelligenda sunt ubi curva inter puncta duo C et C vel K et C continuatur sine termino quem cuspidi assimilavimus. Sed ubi {illeg}|u|nus vel plures ejusmodi termini interjacent istis punctis (qui termini inveniuntur per determinationem maximæ aut minimæ PC vel DC) longitudines singularum partium Curvæ inter \illos et/ puncta C vel K ac terminos illos seorsim investigari debent et addi.

<121>

Prob: 11. Curvas invenire quotascunqꝫ quarum longitudines cum propositæ alicujus curvæ longitudine, vel cum area ejus ad datam lineam applicatâ, ope finitarum æquationum comparari possunt.

Peragitur {illeg}|i|nvolvendo longitudinem areamve propositæ Curvæ in æquatione quæ in praecedente Problemate assumitur ad determinandam relationem inter AP et PD. Sed ut z et r inde per Prob 1 eliciantur, fluxio longitudinis vel areæ illius priùs investigari debet.

Fluxio longitudinis ejus determinatur ponendo æqualem radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis, et perpendiculariter incedentis. Sit enim RN linea perpendiculariter incedens super Basi MN, et QR curva proposita ad quam RN terminatur. Dictisqꝫ $\mathrm{MN}=\mathrm{s}$, $\mathrm{NR}=\mathrm{t}$, et $\mathrm{QR}=\mathrm{v}$, et earum fluxionibus p, q, et l respectivè; concipe lineam NR ad locum quam proximum nr promoveri, et demisso ad nr perpendiculo Rs, erunt Rs, sr, et Rr contemporanea momenta linearum MN, NR, et QR quorum additamentis evadunt Mn, nr, et Qr. Et cùm hæc sint inter se ut earundem linearum fluxiones, ac propter angulum rectum Rsr sit $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{Rs}\times \mathrm{Rs}+\mathrm{sr}\times \mathrm{sr}}=\mathrm{Rr}$, erit $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{p}\mathrm{p}+\mathrm{q}\mathrm{q}}=\mathrm{l}$.

Ad determinandas autem fluxiones p et q duæ requiruntur æquationes una quæ definiat relationem inter MN et NR seu s et t, unde relatio inter fluxiones p et q eruenda est, et alia quæ definiat relationem inter MN vel NR ad datam figuram et AP seu x ad quæsitam, unde relatio fluxionis p vel q ad fluxionem m seu 1 innotescit{.}

<122>

Invento l, fluxiones n et r per assumptam tertiam æquationem qua longitudo PD sive y definitur investigandæ sunt, et capienda $\mathrm{PC}=\frac{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}{\mathrm{r}}$, $\mathrm{PL}=\mathrm{n}\times \mathrm{PC}$, {illeg}|ac| $\mathrm{DC}=\mathrm{PC}-\mathrm{y}$ ut in præcedente P{illeg}|r|oblemate{.}

Exempl 1. Sit $\mathrm{a}\mathrm{s}-\mathrm{s}\mathrm{s}=\mathrm{t}\mathrm{t}$ æquatio ad datam curvam QR utpote circulum, $\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{a}\mathrm{s}$ relatio inter lineas AP et MN, et $\frac{2}{3}\mathrm{v}=\mathrm{y}$ relatio inter longitudinem datæ curvæ QR et rectæ PD. Per primam fit $\mathrm{a}\mathrm{p}-2\mathrm{s}\mathrm{p}=2\mathrm{t}\mathrm{q}$ seu $\frac{\mathrm{a}-2\mathrm{s}}{2\mathrm{t}}\mathrm{p}=\mathrm{q}$ et inde $\frac{\mathrm{a}\mathrm{p}}{2\mathrm{t}}\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{p}\mathrm{p}+\mathrm{q}\mathrm{q}}\right)=\mathrm{l}$. Per secundam fit {illeg} $2\mathrm{x}=\mathrm{a}\mathrm{p}$ adeoqꝫ est $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{t}}=\mathrm{l}$. Et per tertiam fit $\frac{2}{3}\mathrm{l}=\mathrm{n}$ hoc est $\frac{2\mathrm{x}}{3\mathrm{t}}=\mathrm{z}$, dein hinc fit $\frac{2}{3\mathrm{t}}-\frac{2\mathrm{x}\mathrm{q}}{3\mathrm{t}\mathrm{t}}=\mathrm{r}$. Quibus inventis capienda sunt $\mathrm{PC}=\frac{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}{\mathrm{r}}$, $\mathrm{PL}=\mathrm{n}\times \mathrm{PC}$, ac $\mathrm{DC}=\mathrm{PC}-\mathrm{y}$ sive $\mathrm{PC}-\frac{2}{3}\mathrm{QR}$. Ubi patet longitudinem datæ curvæ QR inveniri non posse quin simul innotescat longitudo rectæ DC, indeqꝫ longitudo curvæ ad quam punctum C cadit. Et con{illeg}|t|ra.

Exempl: 2. Stante $\mathrm{a}\mathrm{s}-\mathrm{s}\mathrm{s}=\mathrm{t}\mathrm{t}$, ponatur $\mathrm{x}=\mathrm{s}$ et $\mathrm{v}\mathrm{v}-4\mathrm{a}\mathrm{x}=4\mathrm{a}\mathrm{y}$. Perqꝫ primam invenietur $\frac{\mathrm{a}\mathrm{p}}{2\mathrm{t}}=\mathrm{l}$ ut supra. Per secundam verò $1=\mathrm{p}$, ac inde atqꝫ adeo $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{t}}=\mathrm{l}$. Et per tertiam $2\mathrm{l}\mathrm{v}-4\mathrm{a}=4\mathrm{a}\mathrm{n}$, set|u| (eliminato l) {illeg} $\frac{\mathrm{v}-4\mathrm{t}}{4\mathrm{t}}=\mathrm{z}$, dein hinc $\frac{\mathrm{v}}{4\mathrm{t}}-1=\mathrm{z}$, dein hinc $\frac{\mathrm{l}}{4\mathrm{t}}-\frac{\mathrm{v}\mathrm{q}}{4\mathrm{t}\mathrm{t}}=\mathrm{r}$.

Exempl. 3. Ponantur tres æquationes $\mathrm{a}\mathrm{a}=\mathrm{s}\mathrm{t}$, $\mathrm{a}+3\mathrm{s}=\mathrm{x}$ et $\mathrm{x}+\mathrm{v}=\mathrm{y}$. Et per primam (quæ Hperbolas {sic} denotat) evadit $0=\mathrm{p}\mathrm{t}+\mathrm{q}\mathrm{s}$, seu $-\frac{\mathrm{p}\mathrm{t}}{\mathrm{s}}=\mathrm{q}$, et inde $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{s}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{s}\mathrm{s}+\mathrm{t}\mathrm{t}}\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{p}\mathrm{p}+\mathrm{q}\mathrm{q}}\right)=\mathrm{l}$. Per secundam evadit $3\mathrm{p}=1$, adeoqꝫ est $\frac{1}{3\mathrm{s}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{s}\mathrm{s}+\mathrm{t}\mathrm{t}}=\mathrm{l}$. Et per tertiam fit $1+\mathrm{l}=\mathrm{n}$ sive $1+\frac{1}{3\mathrm{s}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{s}\mathrm{s}+\mathrm{t}\mathrm{t}}=\mathrm{z}$, dein hinc fit $\mathrm{k}=\mathrm{r}$, posita scilicet k fluxione radicalis $\frac{1}{3\mathrm{s}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{s}\mathrm{s}+\mathrm{t}\mathrm{t}}$, quæ si fingatur æqualis φ sive $\frac{1}{9}+\frac{\mathrm{t}\mathrm{t}}{9\mathrm{s}\mathrm{s}}=\mathrm{\phi }\mathrm{\phi }$, proveniet inde $\frac{2\mathrm{t}\mathrm{q}}{9\mathrm{s}\mathrm{s}}-\frac{2\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{p}}{9{\mathrm{s}}^3}=2\mathrm{\phi }\mathrm{k}$. Et substituto imprimis $-\frac{\mathrm{p}\mathrm{t}}{\mathrm{s}}$ pro q, deinde $\frac{1}{3}$ pro p, factaqꝫ divisione per $2\mathrm{\phi }$, habebitur $-\frac{2\mathrm{t}\mathrm{t}}{27\mathrm{\phi }{\mathrm{s}}^3}=\left(\mathrm{k}=\right)\mathrm{r}$. Inventis n et r cætera peraguntur ut in primo exemplo primo.

<123>

Quod si, \in|a| quovis curvae puncto Q/ perpendiculo|u|m QV ad MN demitta,|t||ur|, \&/ curva invenienda sit cujus longitudo ex longitudine quæ oritur applicando aream QRNV ad datam aliquam lineam innotescat: ponatur illa data linea e, longitudo $\frac{\mathrm{QRNM}}{\mathrm{e}}$ quæ ex applicatione oritur v, et ipsius v fluxio l. Et cùm fluxio areæ QMN QRNV sit ad fluxionem areæ parallelogrammi rectanguli super MN ad altitudinem e constituti ut incedens linea NR seu t qua hæc describitur ad incedentem lineam e qua illud {illeg} eodem tempore describitur; {illeg} et longitudinum quæ oriuntur applicando a{illeg}|r|eas illas ad {illeg}|d|atam e; {illeg} hoc est linearum v et MN seu s fluxiones l et p sint in eadem ratione, erit $\mathrm{l}=\frac{\mathrm{p}\mathrm{t}}{\mathrm{e}}$. Per hanc itaqꝫ regulam valor l inquirendus est, cæteraqꝫ ut in præcedentibus exemplis peragenda.

Exempl: 4. Sit QR Hyperbola quam æquatio {illeg} $\mathrm{a}\mathrm{a}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}{\mathrm{c}}=\mathrm{s}\mathrm{s}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}{\mathrm{c}}=\mathrm{t}\mathrm{t}$ definit, et inde juxta Prob 1 evadet $\frac{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{p}}{\mathrm{c}}=\mathrm{t}\mathrm{q}$ sive $\frac{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{p}}{\mathrm{c}\mathrm{t}}=\mathrm{q}$. Dein si pro alijs duabus æquationibus assumantur $\mathrm{x}=\mathrm{s}$, et $\mathrm{y}=\mathrm{v}$; prior dabit $1=\mathrm{p}$, unde fit $\mathrm{l}\left(=\frac{\mathrm{p}\mathrm{t}}{\mathrm{e}}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{e}}$; et posterior dabit imprimis $\mathrm{n}=\mathrm{l}$, sive $\mathrm{z}=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{e}}$, dein hinc $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{e}}$, et substituto $\frac{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{p}}{\mathrm{c}\mathrm{t}}$ sive $\frac{\mathrm{a}\mathrm{s}}{\mathrm{c}\mathrm{t}}$ pro q evadet $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{s}}{\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}$. Inventis n et r fac $\frac{1-\mathrm{n}\mathrm{n}}{\mathrm{r}}=\mathrm{CP}$ et $\mathrm{n}\times \mathrm{CP}=\mathrm{PL}$ ut in præcedentibus, et inde punctum C adeoqꝫ curva in quam omnia ejusmodi puncta cadunt determinabitur, cujus curvæ longitudo ex longitudine DC quæ valet $\mathrm{CP}-\mathrm{v}$ innotescet, uti satis ostendimus.

Est et alia Methodus qua Problema resolvitur; quærendo nempe Curvas quarum fluxiones vel æquentur fluxioni Curvæ propositæ, vel ex illius et aliarum linearum fluxionibus componat|n|tur. Et hæc aliquando usui esse potest præsertim in convertendo curvas Mechanicas curvas in æquales geometricas. Cujus rei insigne est Exemplum in <124> Spiralibus.

Sit AB recta positione data, BD arcus super AB tanquam Basi incedens {illeg}|ac| interea retinens A pro centro, ADd Spiralis ad quam arcu{illeg}|s| ille perpetim terminatur, {illeg} bd arcus quam proximus sive locus in quem arcus BD dum incedit proximè movetur, DC {recta} perpendicularis ad arcum bd, {illeg} dG differentia arcuum, AH {illeg} alia curva spirali AD simili æqualis, BH recta super AB \normaliter/ incedens ac terminata ad curvam AH, bh locus quam proximus in quem recta illa incedit, et HK perpendicularis ad {illeg} bh. Et in triangulis infinitè parvis DCd ac HKh, cùm DC et HK æqualia sint eidem tertio Bb, indeqꝫ sibi mutuo æqualia, ac Dd et Hh ex Hypothesi sint correspondentes partes æqualium angulorum curvarum et inde etiam æqualia, nec non anguli ad C et K recti, tertia etiam latera dC et hK æqualia erunt. Quare cùm insuper sit $\mathrm{AB}.\mathrm{BD}\colon\colon \mathrm{Ab}.\mathrm{bC}\colon\colon${illeg}$\mathrm{Ab}-\mathrm{AB}\left(\mathrm{Bb}\right).${illeg}$\mathrm{bC}-\mathrm{BD}\left(\mathrm{CG}\right)$. Adeoqꝫ $\frac{\mathrm{BD}\times \mathrm{Bb}}{\mathrm{AB}}=\mathrm{CG}$, si hoc auferatur a{illeg} dG restabit $\mathrm{dG}-\frac{\mathrm{BD}\times \mathrm{Bb}}{\mathrm{AB}}\left(=\mathrm{dC}\right)=\mathrm{hK}$. Dic itaqꝫ $\mathrm{AB}=\mathrm{z}$, $\mathrm{BD}=\mathrm{v}$, & $\mathrm{BH}=\mathrm{y}$, et earum fluxiones r, l, et n respectivè; et cùm bB, {illeg} dG et hK sint earundem contemporanea momenta quorum additamentis evadunt Ab, bd, et bh, et proinde proinde inter se sint ut fluxiones, ideo pro momentis \in æquatione novissima/ substituantur fluxiones, juxta et notæ pro {illeg} lineis et emerget $\mathrm{l}-\frac{\mathrm{v}\mathrm{r}}{\mathrm{z}}=\mathrm{n}$. Ubi si e fluxionibus r < insertion from p 145 > pro æquabili habeatur et supponatur unitas esse ad quam cæteræ referantur evadet $\mathrm{l}-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{z}}=\mathrm{n}$. < text from p 124 resumes >

Quamobrem data per æquationem aliquam relatione inter AB et BD (sive x et v) qua Spiralis definiatur, dabitur (per Prob 1) fluxio l, et inde etiam fluxio n ponendo æqualem $\mathrm{l}-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{z}}$. Atqꝫ hæc per Prob 2 dabit lineam y \sive BH/ cujus est fluxio.

Exempl 1. Si detur $\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}}=\mathrm{v}$, æquatio nempe ad Spiralem Archimedeam, inde per Prob 1, elicietur $\frac{2\mathrm{z}}{\mathrm{a}}=\mathrm{l}$. A quo aufer $\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{z}}$ sive $\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{a}}$ et restabit {illeg} {illeg} $\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{a}}=\mathrm{n}$ $\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{a}}=\mathrm{n}$, et inde per Prob 2 fit $\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}}{2\mathrm{a}}=\mathrm{y}$. Quod indicat curvam AH cui hæc spiralis AD æquatur esse Parabolam Apollonianam cujus latus rectum existit $2\mathrm{a}$; sive cujus incedens BH perpetuò æquatur semissi arcus BD.

Exempl: 2. Si proponatur Spiralis quam æquatio \${\mathrm{z}}^3=\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{v}$/ sive $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{3}{2}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}=\mathrm{v}$ definit, emerget per Prob 1 $\frac{3{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}}}{2{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}=\mathrm{l}$, et inde per Prob 2 produ A quo si auferatur $\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{z}}$ seu $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}$ restabit <125> $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}}}{2{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}=\mathrm{n}$ et inde per Prob 2 producetur $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{3}{2}}}{3{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}=\mathrm{y}$. Hoc est $\frac{1}{3}\mathrm{BD}=\mathrm{BH}$, existente AH Parabola secundi generis.

Exempl: 3. Si ad Spiralem sit $\mathrm{z}\sqrt{}\frac{\mathrm{a}+\mathrm{z}}{\mathrm{c}}=\mathrm{v}$. Exinde per Prob 1 elicietur $\frac{2\mathrm{a}+3\mathrm{z}}{2\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{c}+\mathrm{c}\mathrm{z}}}=\mathrm{l}$, A quo si auferatur $\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{z}}$ sive $\sqrt{}\frac{\mathrm{a}+\mathrm{z}}{\mathrm{c}}$, restabit $\frac{\mathrm{z}}{2\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{c}+\mathrm{c}\mathrm{z}}}=\mathrm{n}$. Jam cum quantitas hac fluxione n descripta generata nequeat inveniri per ea quæ in Prob 2 habentur, nisi prius fiat red{illeg}|solu|tio in infinitam seriem; \juxta tenorem Scholij Prob 9/ reduco ad formam æquationum in prima collumna Catalogorum \juxta tenorem Scholij/ Prob 9 substituendo ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$ pro z, et evadit $\frac{{\mathrm{z}}^{2\mathrm{\eta }-1}}{2\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{c}+\mathrm{c}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}}=\mathrm{n}$, æquatio nempe secundæ speciei quarti ordinis prioris Gatalogi. Et conferendo terminos fit $\mathrm{d}=\frac{1}{2}$, $\mathrm{e}=\mathrm{a}\mathrm{c}$, et $\mathrm{f}=\mathrm{c}$, adeoqꝫ $\frac{\mathrm{z}-2\mathrm{a}}{3\mathrm{c}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{c}+\mathrm{c}\mathrm{z}}$$\left(=\mathrm{t}\right)=\mathrm{y}$. Quæ æquatio est ad curvam geometricam AH cui spiralis AD æquatur.

<128>

Prob 12. Curvarum Longitudines
determinare.

Fluxionem curvæ lineæ in superiore Problemate ostendimus æqualem esse radici quadraticæ summæ quadratorum a fluxionibus Basis et perpendiculariter Incedentis. Et proinde si Basis fluxionem pro uniformi ac determinata mensura, nimirum unitate, ad quam cæteræ fluxiones referantur, habeamus, et insuper per æquationem quæ curvam definit quæramus fluxionem Incedentis, habebitur fluxio Curvæ lineæ a qua longitudo ejus per Prob 2 elicienda est.

Exempl 1. Proponatur Curva \FDH/ quam æquatio $\frac{{\mathrm{z}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{12\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ definit, posito scilicet $\mathrm{z}=$ basi AB, ac $\mathrm{y}=$ incedenti DB: et ex æquatione illa per Prob 1 elicietur $\frac{3\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{12\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{n}$, existente nimirum 1 pro fluxione ipsius z et n fluxione y. Dein additis fluxionum quadratis fit summa $\frac{9{\mathrm{z}}^4}{{\mathrm{a}}^4}+\frac{1}{2}$$+\frac{{\mathrm{a}}^4}{144{\mathrm{z}}^4}=99$, et extracta radice $\frac{3\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{12\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{q}$, indeqꝫ per Prob 2, $\frac{{\mathrm{z}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{12\mathrm{z}}=\mathrm{t}$, ubi q fluxionem Curvae ac t longitudinem designat.

Itaqꝫ si cujusvis portionis Curvæ hujus puta dD longitudo desideretur a punctis d ac D demitte ad AB perpendicula db ac DB et in valore t substitue quantitates Ab et AB seorsim pro z, ac differentia productorum erit longitudo quæsita dD. Quemadmodum si sit $\mathrm{Ab}=\frac{1}{2}\mathrm{a}$ et $\mathrm{AB}=\mathrm{a}$, scripto $\frac{1}{2}\mathrm{a}$ pro z evadet $\mathrm{t}=-\frac{\mathrm{a}}{24}$, dein scripto a pro z evadet $\mathrm{t}=\frac{11\mathrm{a}}{12}$, a quo si prior valor auferatur restabit $\frac{23\mathrm{a}}{24}$ pro pro longitudine dD. Vel si Ab tantùm definiatur esse $\frac{1}{2}\mathrm{a}$ et AB spectetur indefinitè, restabit $\frac{{\mathrm{z}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{12\mathrm{z}}+\frac{\mathrm{a}}{24}=\mathrm{dD}$.

Quod si cupias noscere portionem Curvæ quam t designat, finge valorem t æquari nihilo, et evadet ${\mathrm{z}}^4=\frac{{\mathrm{a}}^4}{12}$, sive <128> $\mathrm{z}=\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{}④12}$. Adeoqꝫ si sumatur $\mathrm{Ab}=\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{}④12}$, et erigatur bd, longitudo arcus {illeg} bB dD erit t sive $\frac{{\mathrm{z}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{12\mathrm{z}}$. Et hæc de alijs curvis generaliter intelligenda sunt.

Ad eundem modum quo hujus longitudinem determinavimus si pro alia Curva definienda proponatur æquatio $\frac{{\mathrm{z}}^4}{{\mathrm{a}}^3}+\frac{{\mathrm{a}}^3}{32\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ proveniet $\frac{{\mathrm{z}}^4}{{\mathrm{a}}^3}-\frac{{\mathrm{a}}^3}{32\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{t}$, vel si proponatur {illeg} $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{3}{2}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{3}{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}}=\mathrm{y}$, proveniet $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{3}{2}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{3}{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}}=\mathrm{t}$. Vel generaliter si sit $\mathrm{c}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\theta }}+\frac{{\mathrm{z}}^{2-\mathrm{\theta }}}{4\mathrm{\theta }\mathrm{\theta }\mathrm{c}-8\mathrm{\theta }\mathrm{c}}=\mathrm{y}$, ubi θ pro quolibet numero sive integro sive fracto designando adhibetur, erit $\mathrm{c}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\theta }}-\frac{{\mathrm{z}}^{2-\mathrm{\theta }}}{4\mathrm{\theta }\mathrm{\theta }\mathrm{c}-8\mathrm{\theta }\mathrm{c}}=\mathrm{t}$.

Exempl 2. Proponatur curva quam æquatio $\frac{2\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{z}\mathrm{z}}{3\mathrm{a}\mathrm{a}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ definit, et per Prob 1 obtinebitur $\mathrm{n}=\frac{4{\mathrm{a}}^4\mathrm{x}+8\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{x}}^3+4{\mathrm{x}}^5}{3{\mathrm{a}}^4\mathrm{y}}$ {sic} sive, {illeg} exterminato {illeg} y, $\mathrm{n}=\frac{2\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{z}\mathrm{z}}$ cuius quadrato adde 1, et summa erit $1+\frac{4\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{4{\mathrm{z}}^4}{{\mathrm{a}}^4}$, eiusqꝫ radix $1+\frac{2\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}=\mathrm{q}${.} Unde per Prob 2 obtinetur $\mathrm{z}+\frac{2{\mathrm{z}}^3}{3\mathrm{a}\mathrm{a}}=\mathrm{t}$.

Exempl: 3. Proponatur Parabola secundi generis \ad/ quam æquatio est ${\mathrm{z}}^3=\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}$ seu $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{3}{2}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}=\mathrm{y}$ et inde per Prob 1 elicietur $\frac{3{\mathrm{z}}^{\frac{1}{2}}}{2{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}=\mathrm{n}$, cujus quadrato adeoqꝫ est $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9\mathrm{z}}{4\mathrm{a}}}$$\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\mathrm{n}\mathrm{n}}\right)=\mathrm{q}$. Jam cùm longitudo per fluxionem q generata nequeat inveniri per Prob 2 absqꝫ reductione in infinitam seriem simplicium terminorum, consulo Catalogos ad Prob: 9 et juxta ea quæ in Scholio ejus habentur prodit $\mathrm{t}=\frac{8\mathrm{a}+18\mathrm{z}}{27}\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{9\mathrm{z}}{4\mathrm{a}}}$.

Et sic Parabolarum ${\mathrm{z}}^5=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^4$, ${\mathrm{z}}^7=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^6$, ${\mathrm{z}}^9=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^8$ &c longitudines inveniri possunt.

Exempl 4. Proponatur Parabola ad quam æquatio est ${\mathrm{z}}^4=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^3$, sive $\frac{{\mathrm{z}}^{\frac{4}{3}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{3}}}=\mathrm{y}$, et inde per Prob 1 orietur $\frac{4{\mathrm{z}}^{\frac{1}{3}}}{3{\mathrm{a}}^{\frac{1}{3}}}=\mathrm{n}$. Adeoqꝫ $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{16{\mathrm{z}}^{\frac{2}{3}}}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{n}\mathrm{n}+1}\right)=\mathrm{q}$. Quo invento iterum consulo Catalogos juxta Scholium prædictum et facta collatione cum secundo Theoremate quinti ordinis posterioris <129> Catalogi, prodit ${\mathrm{z}}^{\frac{1}{3}}=\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{16\mathrm{x}\mathrm{x}}{9{\mathrm{a}}^{\frac{2}{3}}}}=\mathrm{v}$, et $\frac{3}{2}\mathrm{s}=\mathrm{t}$. Ubi x designat basem ac y ordinatim applicatam Conic \et s aream/ Hyperbolæ atqꝫ t longitudinem quæ oritur applicando aream ejus \$\frac{3}{2}\mathrm{s}$/ ad unitatem linearem.

Eadem methodo Parabolarum ${\mathrm{z}}^6=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^5$, ${\mathrm{z}}^8=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^7$, ${\mathrm{z}}^{10}=\mathrm{a}{\mathrm{y}}^9$ &c longitudines cum ea quæ oritur applicando \etiam per/ aream Hyperbolæ ad unitatem, comparantur determinantur{.}

Exempl: 5. Proponatur Cissois Veterum, et existente ad eam æquatione $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}-2\mathrm{a}\mathrm{z}+\mathrm{z}\mathrm{z}}{\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-\mathrm{z}\mathrm{z}}}=\mathrm{y}$, inde per Prob 1 elicietur $\frac{-\mathrm{a}-2\mathrm{z}}{2\mathrm{z}\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{n}$, et consequenter $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{z}}\sqrt{}\frac{\mathrm{a}+3\mathrm{z}}{\mathrm{z}}\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{n}\mathrm{n}+1}\right)=\mathrm{q}${.} Quæ scribendo ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$ pro $\frac{1}{\mathrm{z}}$ seu ${\mathrm{z}}^{-1}$ evadit $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{z}}\left(=\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}+3}\right)=\mathrm{q}$ æquatio primæ speciei quinti ordinis posterioris Catalogi et collatis terminis fit|u||nt| $\frac{\mathrm{a}}{2}=\mathrm{d}$, $3=\mathrm{e}$, et $\mathrm{a}=\mathrm{f}$; adeoqꝫ $\mathrm{z}\left(=\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}\right)=\mathrm{x}\mathrm{x}$. $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}+3\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$, et $6\mathrm{s}-\frac{2{\mathrm{v}}^3}{\mathrm{x}}\left(=\frac{4\mathrm{d}\mathrm{e}}{\mathrm{\eta }\mathrm{f}}in\frac{{\mathrm{v}}^3}{2\mathrm{e}\mathrm{x}}-\mathrm{s}\right)=\mathrm{t}$. Et adhibita a pro unitate per cujus multiplicationem vel divisionem hæ quantitates ad justum dimensionum numerum reducantur, evadit|un|t $\mathrm{a}\mathrm{z}=\mathrm{x}\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}+3\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$, et $\frac{6\mathrm{s}}{\mathrm{a}}-\frac{2{\mathrm{v}}^3}{\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{t}$. Quorum hæc est constructio.

Existente VD Cissoide, AV diametro circuli ad quem aptatur, AF asymptoto ejus, ac DB perpendiculari ad AV; cum semiaxe $\mathrm{AF}=\mathrm{AV}$, et semiparametro $\mathrm{AG}=\frac{1}{3}\mathrm{AV}$ describatur Hyperbola FkK, et inter AB et AV sumpta AC media proportionali, erigantur ad C et V perpendicula Ck et VK, et agantur kt et KT \rectæ/ tangentes Hyperbolam in k et K et occurrentes AV in t ac T, et ad AV constituatur rectangulum AVNM æquale spatio TKkt; et Cissoidis VD longitudo erit sextupla altitudinis VN{.}

<130>

^[5]Exempl 6. Existente Ad ellipsi quam æquatio $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-2\mathrm{z}\mathrm{z}}$ definit: proponatur curva Mechanica AD talis ut si Bd seu y producatur doc|n|ec huic curvæ ad D occurrat, sit BD æqualis arcui Ellipticæ Ad. Jat|m| quo hujus longitudo determinetur æquatio $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-2\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ dabit $\frac{\mathrm{a}-4\mathrm{z}}{2\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-2\mathrm{z}\mathrm{z}}}=\mathrm{n}$. Cujus quadrato si 1 addatur prodit $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}-4\mathrm{a}\mathrm{z}+8\mathrm{z}\mathrm{z}}{4\mathrm{a}\mathrm{z}-8\mathrm{z}\mathrm{z}}$ quadratum fluxionis arcûs Ad, et huic si iterum addatur 1, provenit $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{4\mathrm{a}\mathrm{z}-8\mathrm{z}\mathrm{z}}$ cujus radix $\frac{\mathrm{a}}{2\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{z}-2\mathrm{z}\mathrm{z}}}=\mathrm{n}$ est fluxio curvæ lineæ AD. Ubi si e radicali z et pro ${\mathrm{z}}^{-1}$ scribatur ${\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}$, habebitur $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{z}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}-2}}$ fluxio primæ speciei sep{illeg}|tim|i ordinis posterioris Catalogi; Collatisqꝫ terminis exibunt $\mathrm{d}=\frac{1}{2}\mathrm{a}$, $\mathrm{e}=-2$, et $\mathrm{f}=\mathrm{a}$, adeoqꝫ $\mathrm{z}\left(=\frac{1}{{\mathrm{z}}^{\mathrm{\eta }}}\right)=\mathrm{x}$, $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{x}-2\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$, et $\frac{8\mathrm{s}}{\mathrm{a}}-\frac{4\mathrm{x}\mathrm{v}}{\mathrm{a}}+\mathrm{v}\left(=\frac{8\mathrm{d}\mathrm{e}}{\mathrm{\eta }\mathrm{f}\mathrm{f}}in\mathrm{s}-\frac{1}{2}\mathrm{x}\mathrm{v}-\frac{\mathrm{f}\mathrm{v}}{4\mathrm{e}}\right)=\mathrm{t}$. Quorum constructio est ut, ad Ellipsis centrum C acta recta dC constituatur super AC parallelogrammum æquale sectori ACd, et duplum altitudinis ejus ponatur esse longitudo Curvæ AD.

Exempl: 7. Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est $\sqrt{}\mathrm{a}\mathrm{a}+$ Exempl: 7. Existente $\mathrm{A\beta }=\mathrm{\phi }$, & αδ Hyperbola ad quam æquatio sit $\sqrt{}\stackrel{\_}{-\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{\phi }\mathrm{\phi }}=\mathrm{\beta \delta }$, actaqꝫ δT tangente ejus; proponatur curva VdD cujus basis AB sit $\frac{1}{\mathrm{\phi }\mathrm{\phi }}$, & normaliter incedens BD longitudo quæ oritur applicando aream αδTα ad unitatem linearem. Jam ut hujus VD longitudo determinetur quæro fluxionem areæ αδTα cum AB uniformiter fluit & invenio esse {illeg} $\frac{\mathrm{a}}{4\mathrm{b}\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{b}-\mathrm{a}\mathrm{z}}$ posita $\mathrm{AB}=\mathrm{z}$ & fluxione ejus unitate. Nam est $\mathrm{AT}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}\mathrm{\phi }}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\sqrt{}\mathrm{z}$, ejusqꝫ fluxio $\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{b}\sqrt{}\mathrm{z}}$, cujus dimidium ductum in altitudinem βδ seu $\sqrt{}\stackrel{\_}{-\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}}}$ est fluxio areæ αδT descriptæ per tangentem δT. Quare fluxio illa est $\frac{\mathrm{a}}{4\mathrm{b}\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{b}-\mathrm{a}\mathrm{z}}$, atqꝫ hæc applicata ad unitatem fit fluxio \⊕ |⊕ incedentis BD. Hujus quadrato $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}-{\mathrm{a}}^3\mathrm{z}}{16\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}$ adde 1 quadratum fluxionis ipsius AB et prodit $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}-{\mathrm{a}}^3\mathrm{z}+16\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}{16\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}$, cujus radix $\frac{1}{4\mathrm{b}\mathrm{z}}\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}-{\mathrm{a}}^3\mathrm{z}+16\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}$ est fluxio|/ curvæ VD. Est autem hæc fluxio primæ speciei sexti ordinis posterioris Catalogi, collatisqꝫ terminis <131> exeunt $\frac{1}{4\mathrm{b}}=\mathrm{d}$, $\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}=2$, $-{\mathrm{a}}^3=\mathrm{f}$, $16\mathrm{b}\mathrm{b}=\mathrm{g}$, adeoqꝫ $\mathrm{z}=\mathrm{x}$, & $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}-{\mathrm{a}}^3\mathrm{x}+16\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}$ (æquatio ad unam Conicam sectionem, puta HG, cujus area EFGH sit s, existente $\mathrm{EF}=\mathrm{x}$ & $\mathrm{FG}=\mathrm{v}$:) Item $\frac{1}{\mathrm{z}}=\mathrm{\xi }$ & $\sqrt{}\stackrel{\_}{16\mathrm{b}\mathrm{b}-{\mathrm{a}}^3\mathrm{\xi }+\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }}=\mathrm{{\rm Y}}$ {sic} (æquatio ad aliam Conicam sectionem, puta ML, cujus area IKLM sit σ, existente $\mathrm{IK}=\mathrm{\xi }$ & $\mathrm{KL}=\mathrm{{\rm Y}}$:)Deniqꝫ $\frac{2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{\xi }\mathrm{{\rm Y}}-{\mathrm{a}}^3\mathrm{b}\mathrm{{\rm Y}}-{\mathrm{a}}^4\mathrm{v}-4\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{\sigma }-32\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{s}}{64{\mathrm{b}}^4-{\mathrm{a}}^4}=\mathrm{t}$.

Quare ut curvæ VD portionis cujuscunqꝫ Dd longitudo noscatur, demitte db normalem ad AB {illeg} fingeqꝫ $\mathrm{Ab}=\mathrm{z}$ & exinde per jam inventa quære t, dein finge $\mathrm{AB}=\mathrm{z}$ et exinde etiam quære t & horum duorum t differentia erit longitudo Dd.

Exempl 8.Proponatur Hyperbola ad quam æquatio est $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ et inde per Prob. 1 elicietur $\mathrm{n}=\frac{\mathrm{b}\mathrm{z}}{\mathrm{y}}$ seu $\frac{\mathrm{b}\mathrm{z}}{\sqrt{}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}$, cujus quadrato adde 1 & summæ radix erit $\sqrt{}\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{q}$. Hanc fluxionem cùm non reperiatur in tabulis reduco in infinitam seriem, & primò per divisionem evadit $\mathrm{q}=\sqrt{}\stackrel{\_}{1+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}-\frac{{\mathrm{b}}^3}{{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{z}}^4+\frac{{\mathrm{b}}^4}{{\mathrm{a}}^6}{\mathrm{z}}^6-\frac{{\mathrm{b}}^5}{{\mathrm{a}}^8}{\mathrm{z}}^8\text{\&c}}$ dein per extractionem radicis $\mathrm{q}=1+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}}{2\mathrm{a}\mathrm{a}}\mathrm{z}\mathrm{z}-\frac{+4{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{b}}^4}{8{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{z}}^4$$+\frac{8{\mathrm{b}}^4+4{\mathrm{b}}^5+{\mathrm{b}}^6}{16{\mathrm{a}}^6}{\mathrm{z}}^6\text{\&c}$. Et hinc per Prob. 2 obtinetur t seu longitudo Hyperbolæ $=\mathrm{z}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}}{6\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^3-\frac{+4{\mathrm{b}}^3+{\mathrm{b}}^4}{40{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{z}}^5${illeg}$+\frac{8{\mathrm{b}}^4+4{\mathrm{b}}^5+{\mathrm{b}}^6}{112{\mathrm{a}}^6}{\mathrm{z}}^7\text{\&c}${.}

Quod si Ellipsis $\sqrt{}\stackrel{\_}{\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}}=\mathrm{y}$ proponatur debet signum ipsius b ubiqꝫ mutari & habebitur $\mathrm{z}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}}{6\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^3$$+\frac{4{\mathrm{b}}^3-{\mathrm{b}}^4}{40{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{z}}^5+\frac{8{\mathrm{b}}^4-4{\mathrm{b}}^5+{\mathrm{b}}^6}{112{\mathrm{a}}^6}{\mathrm{z}}^7\text{\&c}$ pro longitudine ejus et posita insuper unitate pro b, emerget $\mathrm{z}+\frac{{\mathrm{z}}^3}{6\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{3{\mathrm{z}}^5}{40{\mathrm{a}}^4}$$+\frac{5{\mathrm{z}}^7}{112{\mathrm{a}}^6}\text{\&c}$ pro longitudine circuli: {illeg}|c|ujus æquationis \seriei/ numerales coefficientes in infinitum inveniuntur multiplicando \continuo/ per terminos hujus progressionis, $\frac{1\times 1}{2\times 3}.\frac{3\times 3}{4\times 5}.\frac{5\times 5}{6\times 7}.\frac{7\times 7}{8\times 9}.\frac{9\times 9}{10\times 11}\text{\&c}$.

<132>

Exempl. 8 {sic}. Proponatur deniqꝫ Quadratrix VDE cujus vertex est V, existente A centro et AV semidiametro circuli interioris ad quem aptatur, atqꝫ angulo VAE recto. Acta jam recta qualibet AKD secante circulum istum in K, demissisqꝫ ad et Quadratricem in D demissisqꝫ ad AE normalibus KG, DB; dic AV a{,} AG z, VK x, et BD y, eritqꝫ ut in superiore {illeg}|E|xemplo, $\mathrm{x}=\mathrm{z}+\frac{{\mathrm{z}}^3}{6\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{3{\mathrm{z}}^5}{40{\mathrm{a}}^3}+\frac{5{\mathrm{z}}^7}{112{\mathrm{a}}^6}+\text{\&c}$ {sic}. Extrahe radicem z et emerget $=\mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{6\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{120{\mathrm{a}}^4}$$-\frac{{\mathrm{x}}^7}{5040{\mathrm{a}}^6}+\text{\&c}$. Cujus quadratum aufer de ${\mathrm{AK}}^q$ & residui radix $\mathrm{a}-\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{a}}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{24{\mathrm{a}}^3}-\frac{{\mathrm{x}}^6}{720{\mathrm{a}}^5}+\text{\&c}$ erit GK. Jam cùm ex natura Quadratricis sit AB$=\mathrm{VK}$ sive x, sitqꝫ etiam $\mathrm{AG}.\mathrm{GK}\colon\colon \mathrm{AB}.\mathrm{BD}\left(\mathrm{y}\right)$, divide $\mathrm{AB}\times \mathrm{GK}$ per AG et orietur $\mathrm{y}=\mathrm{a}-\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}}{3\mathrm{a}}$$-\frac{{\mathrm{x}}^4}{45{\mathrm{a}}^3}-\frac{2{\mathrm{x}}^6}{945{\mathrm{a}}^5}\text{\&c}$. Et inde per Prob: 1, $\mathrm{n}=-\frac{2\mathrm{x}}{3\mathrm{a}}-\frac{4{\mathrm{x}}^3}{45{\mathrm{a}}^3}-\frac{4{\mathrm{x}}^5}{315{\mathrm{a}}^5}\text{\&c}$. Cujus quadrato adde 1 et summa radix erit $1+\frac{2\mathrm{x}\mathrm{x}}{9\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{14{\mathrm{x}}^4}{405{\mathrm{a}}^4}+\frac{604{\mathrm{x}}^6}{12757{\mathrm{a}}^6}+\text{\&c}=\mathrm{q}$. Unde per Prob 2 obtinetur t seu arcus Quadratricis arcus $\mathrm{VD}=\mathrm{x}+\frac{2{\mathrm{x}}^3}{27\mathrm{a}\mathrm{a}}+\frac{14{\mathrm{x}}^5}{2025{\mathrm{a}}^4}+\frac{604{\mathrm{x}}^7}{893025{\mathrm{a}}^6}+\text{\&c}$