Newton's Waste Book (Part 1)

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{$+6=\mathrm{x}\mathrm{x}$}{$+\mathrm{\delta }=\mathrm{x}\mathrm{x}$}

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$\begin{array}{cccccccccccccccccccccc}& & & & & & & & & & 1& .& 5& .& 10& .& \phantom{10}& .& 5& .& 1& .\\ & & & & & & & & 1& .& 6& .& 15& .& 20& .& 15& .& 6& .& 1& .\\ & & & & & & 1& .& 7& .& 21& .& 35& .& 35& .& 21& .& 7& .& 1& \\ & & & & 1& .& 8& .& 28& .& 56& .& 70& .& 56& .& 28& .& 8& .& 1& .\\ & & 1& .& 9& .& 36& .& 84& .& 126& .& 126& .& 84& .& 36& .& 9& .& 1\\ 1& .& 10\end{array}$

$\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}}\times${$\sqrt{3:{\mathrm{a}}^3}$ } = {illeg} $\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}\times \sqrt{3:\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\sqrt{6:{\mathrm{a}}^3{\mathrm{b}}^3}\times \sqrt{6:\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}}=\sqrt{6:{\mathrm{a}}^3{\mathrm{b}}^3\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}}$. to find the proportion of two irrationall rootes. to free the Numerato{r} or denom from {illeg}surde q{illeg} $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{c}}}=\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{c}}}\times \frac{\mathrm{b}-\sqrt{\mathrm{c}}}{\mathrm{b}-\sqrt{\mathrm{c}}}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{b}-\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{c}}}{\mathrm{b}\mathrm{b}-\mathrm{c}}$.

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$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\frac{2\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{c}}& -& \frac{\sqrt{{\mathrm{a}}^3}}{\mathrm{c}}\\ 3\mathrm{a}& +& \frac{\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}}{\mathrm{c}}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}6\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}& -& 3\mathrm{a}\sqrt{{\mathrm{a}}^3}\\ & +& \frac{2\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{c}}\sqrt{\frac{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}{\mathrm{c}\mathrm{c}}}& -& \frac{\sqrt{{\mathrm{a}}^4\mathrm{b}\mathrm{b}}}{\mathrm{c}\mathrm{c}}\end{array}\\ \begin{array}{c}6\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}-3\mathrm{a}\sqrt{{\mathrm{a}}^3}+2\mathrm{a}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}-\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\\ \text{error tantum 1′ in metallo 2″ in radio}\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{l}\begin{array}{cccccc}\frac{1}{10}& \begin{array}{cc}\frac{1}{60}\text{.}& \frac{1}{100}\times \frac{1}{12}\end{array}& 30\times 60\times 60& \begin{array}{c}1\\ 60,30,30\\ 54000\end{array}& \begin{array}{c}1\\ 60,30,60\\ 108000\end{array}& 1\mathrm{c}\\ & \begin{array}{c}1\\ \begin{array}{c}60000\\ 12\end{array}\end{array}& \begin{array}{c}1200(40\\ \mathrm{c}\end{array}\end{array}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \begin{array}{l}300,12,10\\ 3000,12\hfill \\ 36000\hfill \end{array}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \begin{array}{lll}\frac{1}{60,60,60.}& =& \frac{1}{300,720}\end{array}\end{array}$ $\sqrt{9{\mathrm{a}}^5}$ $3\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{a}}$ $\begin{array}{c}\mathrm{0,051513}\\ \mathrm{0,0132}\hfill \end{array}$ $(5$ $\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}-\sqrt{\left(9\right){\mathrm{a}}^5}$ $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\left)\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right(\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\mathrm{c}\mathrm{b}}$ $\begin{array}{ccccc}\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}& & \begin{array}{c}\frac{3}{8}\times 9\\ \end{array}& & \begin{array}{l}\phantom{0}14\\ \phantom{0}56\\ 14\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{lll}8.\frac{1}{2}\colon\colon \frac{1}{2}.\frac{1}{32}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.& & \begin{array}{lll}9& .& 196\\ 9& )& 392& (& 43⁤\frac{5}{9}\end{array}\\ 2.\frac{1}{4}\colon\colon \frac{1}{4}.\frac{1}{32}.\\ 96.7\colon\colon 7.\frac{49}{96}\end{array}$ $\begin{array}{l}1\phantom{.}\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\colon\colon \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}.\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\mathrm{c}\mathrm{b}}\\ \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}.1\colon\colon \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}.\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\mathrm{c}\mathrm{b}}\\ \mathrm{c}.\mathrm{d}\colon\colon \end{array}$ $1.$
$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}.1\colon\colon \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}in\mathrm{d}.1\times \mathrm{d}\colon\colon \mathrm{c}.\mathrm{d}\colon\colon \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}}.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}\colon\colon 1.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}$ $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\phantom{.}1\colon\colon \mathrm{c}.\mathrm{d}\colon\colon 1.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}\colon\colon \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}.\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\mathrm{c}\mathrm{b}}$. $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}.1\colon\colon (\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}in\mathrm{d})\mathrm{c}.\left(1\times \mathrm{d}\right)\mathrm{d}\colon\colon \left(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}}\right)1.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}\colon\colon \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}:\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}\times \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}}{\mathrm{c}\mathrm{b}}$

$\frac{\mathrm{a}+3\mathrm{x}}{\mathrm{c}}\sqrt{\frac{4\mathrm{b}\mathrm{b}{\mathrm{x}}^4}{81\mathrm{a}\mathrm{a}}}$ $\frac{2\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}}{9\mathrm{a}}$ $\frac{2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+6\mathrm{b}{\mathrm{x}}^3}{9\mathrm{c}\mathrm{a}}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}-2\mathrm{a}\mathrm{y}=\mathrm{a}\mathrm{b}-\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{b}\mathrm{y}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}=\mathrm{a}\mathrm{b}-\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{b}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{y}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{a}\mathrm{b}+\mathrm{b}\mathrm{b}=\mathrm{b}\mathrm{y}-2\mathrm{a}\mathrm{y}$ $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{a}\mathrm{b}+\mathrm{b}\mathrm{b}}{\mathrm{b}-2\mathrm{a}}=\mathrm{y}$

$\begin{array}{c}\mathrm{z}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\\ 20=\mathrm{a}\\ 140=\mathrm{b}\end{array}$ $\mathrm{x}.\mathrm{y}.\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{y}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$ $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}-\mathrm{a}=0$ $\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{y}+\frac{{\mathrm{y}}^4}{\mathrm{x}\mathrm{x}}-\mathrm{b}=0$

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To find a heavy bodys descent in any given time, & the proportion of the pressure of the rays by gravity to the force by which a body hath any given motion; by this figure If the cilinders bc, df bee of glasse &c: the proportion of their strength is knowne by the proportion of the gravity of the circles a, e &c in respect of the axis in.

If a Staffe bee bended to find the crooked line which it resembles.

If the motion of a line is knowne to find the crooked line which that line toucheth continually.

If a stick ab revolves with even velocity about the center a haveing the weight c fastened {in} it by {the} string bc , then shall the string bc bee a tangent to the circle bde.

But it may be inquired what line the weight $\left(\mathrm{c}\right)$ would describe were the stick with uneven velocity, or did the point b describe a Parabola or some other crooked line were the weight c in some other place as at the center { a } when the stick began to move.

If the ball b revolves about the center n the force by which it endeavours from the center n would {beget} soe much motion in a body as there is in the time that the body b moves the length {of the} {semidiameter} bn . [as if b is moved with one degree of {motion} through e bn in {a} seacond of an {hower} than its force from the center {illeg} being continually like the force of gravity impressed upon the body during one second it will generate one degree of motion in that body.] Or the force from {n} in one revolution is to the force of the body motion as ∷ $\mathrm{periph}:\mathrm{rad}$ . Demonstration. If $\mathrm{ef}=\mathrm{fg}=\mathrm{gh}$ $\mathrm{ad}\text{.}$ $=\mathrm{he}=2\mathrm{fa}=2\mathrm{fb}=2\mathrm{fb}=2\mathrm{gc}=2\mathrm{ed}$. & the globe {b} from a to b {then} $2\mathrm{fa}:${ak}∷ $\colon\colon \mathrm{ab}:\mathrm{fa}\colon\colon$ force {or} pression of b upon fg {at} its reflecting ∶ force of b{'}s motion. therefore $4\mathrm{ab}=\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{cd}+\mathrm{da}:$ fa ∷ force of the reflection in one round (viz: in b , c , d , & a) ∶ force of b 's motion. by the sa{me} pro{illeg} the Globe b were reflected by each side of a circumscribed polygon of 6, 8, 12, 100, 1000 sides {illeg} the force of all the reflections is to the force of the bodys as the sum of those sides {illeg} r{adius} of the circle about which they are circumscribed. And so if body were reflected by the sides of an equilaterall circumscribed polygon of an infinite number of sides {illeg} by {illeg} circle it selfe) the force of all the reflections are to the force of the bodys motion {as each} those sides ({illeg} the perimiter) to the radius.

If the body b moved in an Ellipsis then its force in each point (if its motion {in that point bee} g{illeg}) bee found by a tangent circle of equal crookednesse with that point of the Ellipsis.

If a body undulate in the circle bd all its undulations of any altitude are performed in the {same} time with the same radius. Galileus.

As radius ab to radius ac ∷ so are the Squares of theire times in which they undulate.

If c circulate in the circle { cgef } , to whose diamiter { ce ,} $\mathrm{ad}=\mathrm{ab}$ being perpendicular then will the body b undulate in the same time that c circulate.

And those body circulate in the same time whose {illeg} {illeg} from the {illeg} to the center d are equall

And $\mathrm{ad}:\mathrm{dc}\colon\colon$ force of gravity to the force of { c } to its center d . {illeg} {illeg} {illeg} {illeg} the motion of things falling were they not hindered by the {illeg} may very {illeg} {illeg} $\mathrm{cd}:\mathrm{ad}\colon\colon$ force form d ∶ force from a.

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^[1] $\mathrm{ag}=\mathrm{x}$. $\mathrm{gh}=\mathrm{y}$. $\mathrm{ah}=\mathrm{c}$. $\begin{array}{cccccccc}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}& +& \mathrm{e}\mathrm{x}& +& \mathrm{c}\mathrm{c}& =& 0& \text{.}\\ & +& \mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{y}& +& \mathrm{f}\mathrm{y}\\ & & & +& \mathrm{g}\mathrm{y}\mathrm{y}\end{array}$. $\mathrm{dp}=\mathrm{v}$. $\mathrm{ad}=\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{c}}{2\mathrm{c}}$ ^[2] ${\mathrm{dg}}^2=$$\frac{2\mathrm{c}\mathrm{c}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}+2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{c}-{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{y}}^4}{4\mathrm{a}\mathrm{a}}+\mathrm{v}\mathrm{v}=\mathrm{s}\mathrm{s}$ fig 2^d. $\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{v}:\mathrm{y}\colon\colon \mathrm{y}$. $\mathrm{ds}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{v}}$ $\begin{array}{llllllllllllll}& & -& 4{\mathrm{c}}^4& -& {\mathrm{x}}^4& -& 2\mathrm{b}{\mathrm{x}}^4& -& 2\mathrm{e}{\mathrm{x}}^3& -& 2\mathrm{d}{\mathrm{x}}^3& in& \mathrm{y}\\ & & & & & & & & & & -& 2\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}\\ & & & & -& 2\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}& -& \mathrm{b}\mathrm{b}{\mathrm{x}}^4& & & -& 2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{x}\\ -& 2\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}& & & -& 2\mathrm{e}\mathrm{b}{\mathrm{x}}^3& -& 2\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}{\mathrm{x}}^2& & & -& 2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{f}\\ -& 2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}& & & & & -& \mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}\end{array}$ $\frac{{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{v}\mathrm{x}}$ + $\frac{+\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}}{\mathrm{x}}=\mathrm{df}$. $\frac{{\mathrm{y}}^3-{\mathrm{y}}^3+\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{v}\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}}{-\mathrm{v}\mathrm{x}+\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}}$. ^[3] $\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}}{\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{v}}=\mathrm{bd}$. $\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}:\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}\colon\colon$a {illeg}∶{illeg}f $\mathrm{ab}=\mathrm{x}$. Parab $\angle \mathrm{mak}=\angle \mathrm{ade}=\angle \mathrm{bad}$. ergo, $\mathrm{ab}=\mathrm{bd}$.

^[4] $\angle \mathrm{vat}=$∠ $\mathrm{bao}=\angle \mathrm{oas}$. $\mathrm{ab}=\mathrm{x}$. $\mathrm{as}=\mathrm{y}$. $\mathrm{bo}=\mathrm{v}$. $\mathrm{bs}=\mathrm{a}$. $\mathrm{x}:\mathrm{y}\colon\colon \mathrm{v}:\mathrm{a}-\mathrm{v}$. $\mathrm{v}\mathrm{y}=\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{v}\mathrm{x}$ Hyperb.

^[5] $\mathrm{os}=\mathrm{v}$. $\mathrm{sa}=\mathrm{x}$. $\mathrm{oi}=\mathrm{ae}=\mathrm{y}$. $\mathrm{sa}:\mathrm{ae}\colon\colon \mathrm{so}:\mathrm{oh}=\frac{\mathrm{v}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{oi}:\mathrm{oh}\colon\colon \mathrm{d}:\mathrm{e}$: ergo $\mathrm{e}\mathrm{y}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$. & $\mathrm{e}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{v}$. Hyp: $\mathrm{ab}:\mathrm{ae}\colon\colon \mathrm{bc}:\mathrm{cn}$. $\frac{\mathrm{ae}\times \mathrm{v}}{\mathrm{x}}=\mathrm{cn}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}:\frac{\mathrm{ae}\times \mathrm{v}}{\mathrm{x}}.\mathrm{ae}$. $\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{e}\mathrm{v}$.

^[6] $\mathrm{ab}=\mathrm{y}$. $\mathrm{as}=\mathrm{x}$. $\mathrm{bc}=\mathrm{v}$. $\angle \mathrm{bac}=\angle \mathrm{cas}$, Ergo $\mathrm{y}:\mathrm{x}\colon\colon \mathrm{v}:\mathrm{a}-\mathrm{v}$. $\mathrm{bs}=\mathrm{a}$. & $\mathrm{x}\mathrm{v}=\mathrm{a}\mathrm{y}-\mathrm{v}\mathrm{y}$. Ellipsis.

^[7] $\mathrm{ab}=\mathrm{x}$. $\mathrm{as}=\mathrm{y}$. $\angle \mathrm{bac}=\mathrm{tar}=\mathrm{cas}$. Ergo, $\mathrm{ba}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bc}=\mathrm{v}:\mathrm{cs}=\mathrm{a}-\mathrm{v}$ $\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{v}\mathrm{y}$. Hyperb.

^[8]

The invention of Figures for reflections. at right angles at the point reflecting ac the radius reflected to the focus b. ag the radius reflected from the focus b. aq a perpendicular to ed the tangent of the crooked line sought. $\mathrm{ab}=\mathrm{x}$. $\mathrm{ac}=\mathrm{y}$, or, . $\mathrm{ag}=\mathrm{y}$. $\mathrm{bg}=\mathrm{a}$, or, $\mathrm{bc}=\mathrm{a}$. $\mathrm{bd}=\mathrm{v}$, or $\mathrm{bq}=\mathrm{a}$. fig: 1^st[9]. $\angle \mathrm{eac}=\angle \mathrm{bad}=\angle \mathrm{adb}$. Ergo, $\mathrm{ab}=\mathrm{bd}$, or $\mathrm{x}=\mathrm{v}$. & $\angle \mathrm{caq}=\mathrm{qab}=\mathrm{aqb}$. ergo $\mathrm{ab}=$qg. $\mathrm{x}=\mathrm{v}$. fig: 2^d[10]. $\angle \mathrm{eac}=\angle \mathrm{bad}=\angle \mathrm{adg}$. Ergo, $\mathrm{ab}:\mathrm{ag}\colon\colon \mathrm{bd}:\mathrm{dg}$ $\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{v}\mathrm{y}$. &, $\mathrm{ab}:$ $:\mathrm{ag}\colon\colon \mathrm{qb}:\mathrm{bg}$. Ergo $\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{y}$v. $\mathrm{v}=\mathrm{bq}$. fig 3^d[11]. $\angle \mathrm{eac}=\angle \mathrm{bad}$ Ergo $\angle \mathrm{caq}=\angle \mathrm{qab}$ . Ergo, $\mathrm{ca}:\mathrm{ab}\colon\colon \mathrm{cq}:\mathrm{qb}$. & $\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{v}\mathrm{y}$.

The invention of figures for refraction. b , & g the foci. ca the Radius refracted to b . qa the Radius refracted from b. bg the distance of the foci. qa the perpendicular to de the tangent of the crooked line sought qr, $\mathrm{qh}=$ perpendiculars to the Radii cg, fb.

$\mathrm{bg}=\mathrm{a}$. $\mathrm{bq}=\mathrm{v}$. $\mathrm{ba}=\mathrm{x}$. $\mathrm{ag}=\mathrm{y}$. fig: 1^st[12]. $\mathrm{ab}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bq}:\mathrm{qr}=\frac{\mathrm{v}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \mathrm{qr}:\mathrm{qh}$, Ergo. $\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{e}\mathrm{v}$. fig: 2^d[13]. $\mathrm{ab}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bq}:\mathrm{qr}=\frac{\mathrm{v}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}$∷ $\mathrm{qh}:\mathrm{qr}$, Ergo. e$\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{v}$. fig 3^d[14]. $\mathrm{ab}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bq}:\mathrm{qr}=\frac{\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{ag}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{gq}:\mathrm{qh}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{y}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon$ $\mathrm{qr}:\mathrm{qh}$: Ergo $\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{y}$. fig 4^th[15]. $\mathrm{ab}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bq}:\mathrm{qr}=\frac{\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{ag}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{gq}:\mathrm{qh}=\frac{\mathrm{v}-\mathrm{a}in\mathrm{as}}{\mathrm{y}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \mathrm{qr}:\mathrm{qh}$: $\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{x}-\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{x}=\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{y}$. fig 5^t[16]. $\mathrm{ab}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bq}:\mathrm{qr}=\frac{\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{ag}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{gq}:\mathrm{qh}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{y}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \mathrm{qh}:\mathrm{qr}$. $\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{y}$. fig 6^t. $\mathrm{ab}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{bq}:\mathrm{qr}=\frac{\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{ag}:\mathrm{as}\colon\colon \mathrm{gq}:\mathrm{qh}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{v}in\mathrm{as}}{\mathrm{y}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \mathrm{qr}:\mathrm{hq}$. d $\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{d}$ v $\mathrm{x}=\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{y}$.

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$\mathrm{ad}=\mathrm{a}$. $\mathrm{ae}=\mathrm{x}$. $\mathrm{ed}=\mathrm{y}$. $\mathrm{af}=\mathrm{z}$. $\mathrm{fd}=\mathrm{a}-\mathrm{z}$.
$\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{z}\mathrm{z}=\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{z}\mathrm{z}+2\mathrm{a}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}$. $\mathrm{fg}=\mathrm{v}$ 2 $\mathrm{ae}:\mathrm{ef}\colon\colon \mathrm{ag}:\mathrm{gi}$. & $\mathrm{de}:\mathrm{ef}\colon\colon \mathrm{dg}:\mathrm{gh}$. ^[17] $\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{a}}{2\mathrm{a}}=\mathrm{af}$. $\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}}{2\mathrm{a}}=\mathrm{fd}$. $\mathrm{ef}=$m. $\mathrm{ae}=\mathrm{x}:\mathrm{m}\colon\colon \frac{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{v}}{2\mathrm{a}}$=$\mathrm{ag}:\mathrm{gi}=\frac{\mathrm{m}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{m}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{v}}{2\mathrm{a}\mathrm{x}}$. $\mathrm{ed}:\mathrm{m}\colon\colon \mathrm{gd}:\frac{\mathrm{m}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{m}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{a}-2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{v}}{2\mathrm{a}\mathrm{y}}=\mathrm{gh}$. $\mathrm{gi}:\mathrm{gh}\colon\colon \mathrm{d}:\mathrm{e}$: therefore $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{a}-2\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{v}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}-2\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{v}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{d}=2$. e $=1$ . $\begin{array}{cccccccccccc}{\mathrm{y}}^3& +& 2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}& -& \mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}& +& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}& & =& & 0& \\ & & & -& \mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}& -& 2{\mathrm{x}}^3\hfill \\ & & & -& 2\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{y}& -& 4\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{v}\hfill \end{array}$ $\frac{{\mathrm{y}}^3+2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^3}{2\mathrm{a}\mathrm{y}+4\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{v}=\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}{2\mathrm{a}}+\frac{2\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{y}}{2\mathrm{y}+4\mathrm{x}}$ $\mathrm{bf}=\frac{2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}+2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{y}}^4-{\mathrm{a}}^{4}in\mathrm{y}+2\mathrm{x}}{{\mathrm{y}}^3+2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^{3}in2\mathrm{a}}$. $\mathrm{af}=\mathrm{v}$ $\mathrm{ae}:$ {ef}$\colon\colon \mathrm{ag}:\mathrm{gi}$. $\mathrm{de}:\mathrm{ef}\colon\colon \mathrm{dg}:\mathrm{gh}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \mathrm{gi}:\mathrm{gh}$. $\mathrm{x}:\mathrm{m}\colon\colon \mathrm{v}:\frac{\mathrm{m}\mathrm{v}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{y}:\mathrm{m}\colon\colon \mathrm{a}-\mathrm{v}:\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}-\mathrm{m}\mathrm{v}}{\mathrm{y}}$. $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \frac{\mathrm{m}\mathrm{v}}{\mathrm{x}}:\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}-\mathrm{m}\mathrm{v}}{\mathrm{y}}$: & $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{x}-\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{y}$. $\mathrm{af}=\mathrm{x}$. $\mathrm{fe}=\mathrm{y}$. $\mathrm{ae}=\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{y}}$. $\mathrm{ed}=\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{y}\mathrm{y}}$. $\mathrm{a}\mathrm{d}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{d}\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{y}}=\mathrm{e}\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{y}\mathrm{y}}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{y}\mathrm{y}=\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{x}\mathrm{x}-2\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{ef}=\mathrm{o}$. $\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mathrm{bc}& =\end{array}& \begin{array}{c}\begin{array}{c}2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}-{\mathrm{x}}^4\mathrm{y}-{\mathrm{a}}^4\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{y}}^3+2\mathrm{x}\mathrm{x}{\mathrm{y}}^3-{\mathrm{y}}^5+4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}+4\mathrm{y}\mathrm{y}{\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{y}}^4\mathrm{x}-2{\mathrm{a}}^4\mathrm{x}-2{\mathrm{y}}^4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^5\\ -2\mathrm{a}\mathrm{o}{\mathrm{y}}^3-4\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}+2{\mathrm{a}}^3\mathrm{o}\mathrm{y}-4{\mathrm{a}}^3\mathrm{o}\mathrm{x}+4\mathrm{a}\mathrm{o}{\mathrm{x}}^3\hfill \end{array}\\ \phantom{+}2\mathrm{a}{\mathrm{y}}^3+4\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-2\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}-2{\mathrm{a}}^3\mathrm{y}+4{\mathrm{a}}^3\mathrm{x}-4\mathrm{a}{\mathrm{x}}^3\end{array}\end{array}$ ^[18] $\mathrm{an}=\mathrm{on}$ $\mathrm{ab}=$y. $\mathrm{ag}=$x. $\mathrm{pg}=\mathrm{b}$. $\mathrm{pm}=\mathrm{c}$. $\mathrm{gb}=\mathrm{z}$. $\mathrm{gq}=\mathrm{v}$. $\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{y}$. $\mathrm{gm}=\mathrm{p}$. $\mathrm{gs}=$ ^[19] $\mathrm{ab}=\mathrm{x}=\mathrm{bq}=\mathrm{v}$ . $\mathrm{as}=\mathrm{y}$. $\mathrm{nb}=\mathrm{z}$ $\mathrm{nm}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{z}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{e}:\mathrm{d}\colon\colon$$\mathrm{z}:\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{e}}=\mathrm{np}$. ${\mathrm{e}}^2\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}{\mathrm{e}}^2=\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}$ ${\mathrm{nb}}^2=\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}}$. ${\mathrm{nm}}^2=\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}}$. ${\mathrm{mb}}^2=\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}}$. ${\mathrm{np}}^2=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}}=$${\mathrm{\xi }}^2$. ${\mathrm{as}}^2=\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}}=\frac{-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }}$. $-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}=0$. ^{[20] [21]}

<2v>

^{[22] [23]} Make the line ac to revolve about the point a : on the end c let the nut c bee fastened so {as} to turne about its center. make $\mathrm{ab}=\mathrm{ac}$ & fastend another nut at the point b in the same manner. make the line bc to slide through those two nuts soe that the triangle abc will always be an isosceles. To the line cb fasten the line rstv at right angles. make the line kg with 2 nuts e & d at each end through which the lines rs & tu must slide to keepe the line kg perpendicular to bc , in the midst of kg fasten the nutt m so as it may turne about its center & that the line ac may slide through it then make that side of the line kg which is next ab to be a file which must be very smooth at the point m but must grow rougher towards the ends d & e . Then by turneing the line ac to & from l & h about its center & holding the file kg close to the plate hmflab , it shall file it into the shape of a Parabola.

To describe the Parabola by points. Make $\mathrm{ca}=\frac{\mathrm{r}}{4}$; c the vertex; a the focus; $\mathrm{ab}=\mathrm{r}$. then with some radius as $\mathrm{ag}=\mathrm{ae}$, describe the circle ge : & take $\mathrm{bd}=2\mathrm{ga}=2$$\mathrm{ae}=$$2$de & the point e shall bee in the parabola, also if from e to g , a streight line be drawne it shall touch the Parab: in e.

Or thus, take $\mathrm{ch}=\mathrm{ca}=\frac{\mathrm{r}}{4}$, $\mathrm{hd}=2\mathrm{cg}$ or $\mathrm{da}=2\mathrm{hg}$:; & $\mathrm{ga}=\mathrm{ae}=\mathrm{de}$. &c:

Or thus, take $\mathrm{cm}=\mathrm{gc}$, $\mathrm{dm}=\mathrm{ma}$; & $\mathrm{ga}=\mathrm{ae}=\mathrm{de}$; &c.

Or thus take $\mathrm{cm}=\mathrm{gc}$ & raise me a perpendicular to ca, which shall intersect the parab, & circle ge in the same point.

Or thus. make $\mathrm{ab}=\frac{\mathrm{r}}{4}$. $\mathrm{bd}=2\mathrm{bc}=$ r. $\mathrm{kb}=\mathrm{bg}$. with the Radius bc describe bed . the circle.

^[24] Or thus take $\frac{\mathrm{r}}{2}=$$\mathrm{ac}=\mathrm{cn}=\mathrm{Rad}$. Circle aen: $\mathrm{ab}=\frac{\mathrm{r}}{4}$. $\mathrm{am}=\mathrm{ap}$ & produce mp indefinitely. Then take some point ad in the line an , & draw dg perpendic: to an that is soe that $\mathrm{dm}=\mathrm{dg}$, then take $\mathrm{df}=\mathrm{ae}$, & f shall be a point in the parabola afr.

<3r>

Banderon's addition to Ferrarius's Lexion Geographicum, the best for Geog. Ortelius Geogr. Lexicon. $\begin{array}{c}{\text{M}}^{\text{r}}\text{John Craige}\\ {\text{D}}^{\text{r}}\text{Archibald Pitcarne}\end{array}\}\text{Scotch Mathematicians}$

Experiments about the resistance of things falling in water.

1. I filled to the top a wooden vessel 9 inches square within & 9 foot $4⁤\frac{1}{2}$ inches high within. And making balls of bees wax of several bignesses with pieces of Lead stuck in them to give them weight: three balls each of which weighed in the air $76⁤\frac{1}{2}$ grains & in the water $5⁤\frac{1}{16}$ grains, fell each of them in the water from the top to the bottom of the vessel in 15″ of time the motion of descent being (to {sence}) uniform almost from the top to the bottom. so then a globe equall to $71⁤\frac{7}{16}$ grains of water moving uniformly 9 foot $4⁤\frac{1}{2}$ inches in 15″ of time feels a resistance equal to $5⁤\frac{1}{16}$ grains of weight.

2. Two balls, each weighing in air $156⁤\frac{1}{4}$ grains in water 77 grains fell each of them the same height of 9 foot $4⁤\frac{1}{2}$ {dig.} in 4″ of time. And these experiments seemed sufficiently accurate.

Corol. Ergo the resistance is as the square of the velocity.

3. Two balls weighing each of them in air 245 grains, in water {almost} $1^{gr}⁤\frac{1}{2}$ fell each the same height in $44⁤\frac{1}{2}$″. But these experiments were not so accurate as for{mers.}

The same two balls augmented with lead so as each of them to weigh in air $251⁤\frac{1}{2}$ in water $7^{gr}⁤\frac{1}{8}$

Three balls

<4r>

^[25] $\mathrm{as}=\mathrm{y}$. $\mathrm{sm}=\mathrm{x}$. . $\mathrm{mp}=\mathrm{a}$. $\mathrm{qs}=\mathrm{v}$ $\mathrm{mn}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{z}}{\mathrm{x}+\mathrm{z}}$. ${\mathrm{ab}}^2=\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{y}+2\mathrm{z}\mathrm{x}+\mathrm{z}\mathrm{z}$. $\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}+2{\mathrm{z}}^3\mathrm{x}+{\mathrm{z}}^4}{\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{z}\mathrm{x}+\mathrm{z}\mathrm{z}}={\mathrm{nb}}^2$. $\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{z}}^3\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{z}}^4}{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}}={\mathrm{np}}^2=\mathrm{a}\mathrm{a}+\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{z}\mathrm{x}+\mathrm{z}\mathrm{z}}$. $\mathrm{sb}=\mathrm{z}$. $\mathrm{mn}=\frac{\mathrm{z}\mathrm{y}-\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{z}}$. ${\mathrm{ab}}^2={\mathrm{qb}}^2=\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{y}$ ${\mathrm{nb}}^2=\frac{{\stackrel{\text{.}}{\mathrm{z}}}^4+\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{z}}-2\mathrm{x}{\stackrel{\text{.}}{\mathrm{z}}}^3-2\mathrm{x}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{z}}\mathrm{y}\mathrm{y}+\stackrel{\text{.}}{\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{z}\mathrm{z}}+\stackrel{\text{.}}{\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}}}{\mathrm{z}\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{y}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{y}}-2{\mathrm{d}}^2\mathrm{z}\mathrm{x}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{y}}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}^2+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}}$. ${\mathrm{e}}^2=1$. ${\mathrm{d}}^2=$ $\begin{array}{ccccccccccc}{\mathrm{z}}^4& -& 2\mathrm{x}{\mathrm{z}}^3& +& \mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{z}\mathrm{z}& +& 2\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}& -& \mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}& =& 0\\ & & & -& \mathrm{y}\mathrm{y}\hfill \\ & & & -& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\hfill \end{array}$. Suppose. $\mathrm{y}\mathrm{y}=\mathrm{f}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{g}\mathrm{x}+\mathrm{h}$. then, $\mathrm{v}=\mathrm{f}\mathrm{x}+\mathrm{g}$. $\mathrm{z}+\mathrm{f}\mathrm{x}+\mathrm{g}=\mathrm{\omega }$. $\begin{array}{lllllllllll}{\mathrm{\omega }}^4& -& 4\mathrm{f}\mathrm{x}{\mathrm{\omega }}^3& +& 6\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}{\mathrm{\omega }}^2& -& 4{\mathrm{f}}^3{\mathrm{x}}^3\phantom{0000}\mathrm{z}& +& {\mathrm{f}}^4{\mathrm{x}}^4& =& 0\\ & -& 4\mathrm{g}& +& 12\mathrm{f}\mathrm{g}\mathrm{x}& -& 12\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{g}& +& 4{\mathrm{f}}^3{\mathrm{x}}^3\mathrm{g}\\ & -& 2\mathrm{x}& +& 6\mathrm{g}\mathrm{g}& -& 12\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{g}& +& 6\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{g}\\ & & & +& 5\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}& -& 4{\mathrm{g}}^3& +& 4\mathrm{f}\mathrm{x}{\mathrm{g}}^3\\ & & & +& 4\mathrm{g}\mathrm{x}& -& 4\mathrm{f}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^3& +& {\mathrm{g}}^4\\ & & & +& \mathrm{x}\mathrm{x}& +& 6\mathrm{f}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^2& +& {\mathrm{f}}^3{\mathrm{x}}^4\\ & & & & & -& 2\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{x}& +& 2\mathrm{f}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^3\mathrm{g}\\ & & & -& 2\mathrm{a}\mathrm{a}& & & +& \mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{g}\\ & & & -& \mathrm{h}& +& 2\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{x}& & \\ & & & & & +& 2\mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{x}& -& \mathrm{f}\mathrm{f}{\mathrm{x}}^4\\ & & & & & +& 2\mathrm{g}\mathrm{h}& -& 4\mathrm{f}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^3\\ & & & & & +& 4\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}& -& 3\mathrm{g}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^2\\ & & & & & +& 4\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{a}& -& \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{h}{\mathrm{x}}^2\\ & & & & & +& 2\mathrm{h}\mathrm{x}& -& 2\mathrm{f}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{x}\\ & & & & & & & -& \mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{h}\\ & & & & & & & -& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}\\ & & & & & & & -& 4\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{g}\mathrm{x}\\ & & & & & & & -& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{g}\\ & & & & & & & -& 2\mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}\\ & & & & & & & -& 2\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{x}\\ & & & & & & & -& \mathrm{f}{\mathrm{x}}^4\\ & & & & & & & -& 2\mathrm{g}{\mathrm{x}}^3\\ & & & & & & & -& \mathrm{h}\mathrm{x}\mathrm{x}\end{array}$. & $\mathrm{\omega }=\mathrm{bq}$. $\mathrm{ab}=\mathrm{\xi }$. ${\mathrm{sb}}^2={\mathrm{\xi }}^2-{\mathrm{y}}^2$. $\mathrm{mb}=\sqrt{\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{x}$. $\frac{\sqrt{\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{y}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{y}\mathrm{y}}}=\mathrm{nm}$. $\frac{\mathrm{\xi }\sqrt{\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{y}\mathrm{y}}-\mathrm{\xi }\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{y}\mathrm{y}}}=\mathrm{nb}$. ${\mathrm{nb}}^2=$ $\mathrm{a}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{a}}\mathrm{d}\mathrm{d}+\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\mathrm{d}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{d}}-{\mathrm{y}}^4\mathrm{d}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{d}}+\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{d}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{d}}-2{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{\xi }}^2-{\mathrm{y}}^2}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{e}}$ $=\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\stackrel{\text{.}}{{\mathrm{\xi }}^4}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\mathrm{y}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{y}}+\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\stackrel{\text{.}}{\mathrm{x}\mathrm{x}}-2\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }}-\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}}$. $\mathrm{d}\mathrm{d}=2$. $\mathrm{e}\mathrm{e}=1$. $\begin{array}{l}2\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{\xi }}^2-2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}+3\mathrm{y}\mathrm{y}{\mathrm{\xi }}^2-2{\mathrm{y}}^4+2\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}-{\mathrm{\xi }}^4-\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\mathrm{x}\mathrm{x}\\ -4\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{\xi }}^2-{\mathrm{y}}^2}+2\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}}\end{array}\}=0$.

Problems. 1 To find the axis, diameters, centers, asymptotes & vertices of lines

2 To compare their crookednesse with the crookednes of a given circle

3 To find the longest & shortest lines which can be drawn with in & perpendicular to the line & to find all such lines are perpendicular at both ends to the given crooked line

4 To find where their greatest or least crokedness.

5 To find the areas, the lengths, & centers of gravity of crooked lines when it may b{e}

^[26] 6 If y (one undetermined quantity) moves perpendicularly to x (the other undetermin{ed} quantity. if $\mathrm{s}=\text{a secant}=\mathrm{db}$. $\mathrm{v}=\mathrm{dc}$. $\mathrm{y}=\mathrm{bc}$. $\mathrm{x}=\mathrm{ca}$. Then having the proportion of v to {x}{s} to find y, or having the proportion of v to y to find x: when it may bee.

7 To reduce all kinds of equations, when it may bee

8 To find tangents to any crooked lines. Whither Geometricall or Mechanicall

9 To compare the superficies of one line with the area of another & to find the centers of gravity twixt two lines or sollids. 15

10 Haveing the position which x must beare to y (as if x is always in the same line, but y cutteth x at given angles. or if x & y wheeling about 2 poles describe the lines by theire intersection &c) to find theire position in respect of the line soe the equation expressing theire relation may bee as simple as may bee (as to find in what line x is & what angles it maketh with y; or to find the distance of the 2 poles & in what line they must be, soe that the relation twix{t} x & y may bee had in as simple termes as may bee).

11 Of the description of lines.

12 Reasonings of gravity & levity upon severall suppositions (as that the rays of gravity are parallel or verge towards a center; that they are reflected, refracted, or neith{er} by the weighty body &c.

13 Of the use of lines

< insertion from lower down f 4r >

14. To find such lines whose areas length or centers of gravity may bee found.

15. To compare the areas, lengths, gravity of lines when it may bee. & to find such lines whose lengths, areas may be comp{illeg}

16. To doe the same to sollids in respect of theire areas, content, gravity &c which was done to lines in respect of their lengths, areas, & gravity.

17. Of lines which lye not in the same plane as those made by the intersection of a cone & {sphæreides}.

18. Two equations given to know whither they expresse the same line or not.

19. Of the proportion which the rootes of an equation beare to one another.

20 One line being to find other lines at {pleasure} of {illeg} {same length} {illeg}

21 How much doth any medium resist the motion of any given body.

22 To Determin maxima & minima in equation which hath more than {illeg} unknowne quantitys.

To Determin max & min by numbers.

< text from higher up f 4r resumes >

<4v>

^[27] $\mathrm{cd}=\mathrm{x}$. $\mathrm{gd}=\mathrm{y}$. $\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{r}\mathrm{x}$. $\mathrm{ac}=\mathrm{a}$ $\mathrm{de}=\frac{1}{2}\mathrm{r}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}$. $\mathrm{ag}=\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}}$. $\mathrm{af}=\mathrm{a}+\mathrm{x}+\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}$ $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{r}+2\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{q}}\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}\mathrm{q}}+\frac{1}{4}\mathrm{r}\mathrm{r}={\mathrm{fa}}^2\text{,}in\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}}={\mathrm{fo}}^2$. $\mathrm{fo}:\mathrm{fl}\colon\colon 2.1$. ${\mathrm{fl}}^2=$ $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{r}{\mathrm{x}}^3+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}{\mathrm{x}}^4+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{x}+3\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}+\frac{1}{4}{\mathrm{r}}^3\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{r}}^3\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{q}}+\frac{2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{q}\mathrm{q}}+\frac{2{\mathrm{r}}^3{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{q}\mathrm{q}}+\frac{{\mathrm{r}}^3{\mathrm{x}}^4}{{\mathrm{q}}^3}}{2\mathrm{a}\mathrm{a}+4\mathrm{a}\mathrm{x}+2\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{2\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{r}+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}+\frac{1}{4}{\mathrm{r}}^3=\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{r}$. $\mathrm{a}+\frac{1}{2}\mathrm{r}=\mathrm{b}$. $\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{g}\mathrm{r}{\mathrm{x}}^3+\frac{\mathrm{r}\mathrm{q}\mathrm{q}+{\mathrm{r}}^3{\mathrm{x}}^4}{\mathrm{q}}}{2\mathrm{a}\mathrm{a}+4\mathrm{b}\mathrm{x}+\frac{2\mathrm{q}+2\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}}={\mathrm{fl}}^2$. $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{q}}+2\mathrm{a}+\frac{3\mathrm{a}\mathrm{r}}{\mathrm{q}}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}}{2\mathrm{q}}=\mathrm{c}$. $\frac{2\mathrm{a}}{\mathrm{q}}+1+\frac{2\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{q}\mathrm{q}}+\frac{2\mathrm{r}\mathrm{r}}{\mathrm{q}\mathrm{q}}=\mathrm{g}$ . $\mathrm{r}=2$ $\mathrm{q}=6$. $\mathrm{x}=3$. $\mathrm{gd}={\mathrm{r}}^2\mathrm{x}+\frac{1}{3}\mathrm{x}\mathrm{x}=3$. $\mathrm{ac}=1$ $\mathrm{df}=\frac{\mathrm{r}}{2}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}=2$. $\mathrm{ag}=5$. $5:3\colon\colon \mathrm{af}=6:\frac{18}{5}=\mathrm{of}$ . . $\mathrm{d}:\mathrm{e}\colon\colon \mathrm{of}:\mathrm{fl}=\frac{18\mathrm{e}}{5\mathrm{d}}$. $\mathrm{dk}=\frac{9\times 2}{9-\frac{324\mathrm{e}\mathrm{e}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}}}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{\frac{18\times 324\mathrm{e}\mathrm{e}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}}+\frac{81\times 324\mathrm{e}\mathrm{e}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}}-9\times Q:\frac{324\mathrm{e}\mathrm{e}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}}:}{81-18\times \frac{324\mathrm{e}\mathrm{e}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}}+Q:\frac{324\mathrm{e}\mathrm{e}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}}:}}$. $\mathrm{dk}=\frac{450\mathrm{d}\mathrm{d}}{225{\mathrm{d}}^2-324\mathrm{e}\mathrm{e}}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{801900\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}-944784{\mathrm{e}}^4}{50625\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{d}-145800\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}+104976{\mathrm{e}}^4}}$ $\mathrm{dk}=\frac{50\mathrm{d}\mathrm{d}}{25\mathrm{d}\mathrm{d}-36\mathrm{e}\mathrm{e}}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{9900\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}-11664{\mathrm{e}}^4}{625{\mathrm{d}}^4-1800\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}+1296{\mathrm{e}}^4}}\}=\mathrm{g}$. $\mathrm{de}=\mathrm{a}-3$. $\mathrm{g}=\mathrm{p}+\sqrt{\mathrm{p}\mathrm{s}}$ . $\mathrm{e}=1$ $\frac{9\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{e}}^2-54\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}+81\mathrm{e}\mathrm{e}-18\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{e}+54\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{e}+9\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{e}}{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{g}}$ $\frac{\begin{array}{c}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}-6\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}+9\mathrm{e}\mathrm{e}\\ -2\mathrm{a}\mathrm{g}{\mathrm{e}}^2+6\mathrm{g}{\mathrm{e}}^2+\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{e}\end{array}}{\mathrm{d}\mathrm{d}}$ $\frac{\begin{array}{c}-9\mathrm{a}\mathrm{a}+54\mathrm{a}-81\\ +18\mathrm{a}\mathrm{g}-54\mathrm{g}-9\mathrm{g}\mathrm{g}\end{array}}{\mathrm{g}\mathrm{g}}$ $\begin{array}{c}={\mathrm{e}}^2\\ ={\mathrm{z}}^2\end{array}$ $\begin{array}{llllllllllllllllllllll}\phantom{+}& 9\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}& -& 54\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}& +& 81\mathrm{e}\mathrm{e}& -& 18\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{e}& -& 18\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& +& 54\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}& +& 54\mathrm{e}\mathrm{e}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& +& 9\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{p}& +& 9\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{s}& -& 2\mathrm{q}\mathrm{s}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}\times \mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}& =& {\mathrm{z}}^2\\ +& \mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}^4& +& 6\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{s}& & & +& \mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{r}\mathrm{s}& +& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& -& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}{\mathrm{p}}^3& +& 18\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& +& \mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{p}& +& \mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{s}& +& 6\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{s}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}\\ -& 9\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}& +& 54\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}& & & -& 81\mathrm{d}\mathrm{d}& -& 12\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& +& 6\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}^3& +& 18\mathrm{e}\mathrm{e}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& -& 6\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{p}& -& 6\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{s}\\ +& 18\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{d}& -& 54\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{d}& & & -& 9\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{d}& -& 6\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& & & -& 54{\mathrm{d}}^2\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& +& 9\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{p}& +& 9\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{s}\\ & & & & & & & & +& 18\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& & & -& 18\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{d}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& & & -& 6\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{s}\\ & & & & & & & & +& 4\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{p}}^3\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& & & & & & & +& 18\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{s}\\ & & & & & & & & +& 4\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{s}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}& & & & & & & -& 9\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{q}\mathrm{s}\\ & & & & & & & & +& 18\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}\end{array}$ $\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{p}\mathrm{p}+2\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{p}\sqrt{\mathrm{q}\mathrm{s}}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{q}\mathrm{s}$

^[28] $\mathrm{ac}=\mathrm{a}=\mathrm{ce}$ . $\mathrm{cd}=\mathrm{x}$. $\mathrm{dg}=\mathrm{y}$. $\mathrm{bc}=\mathrm{x}$. $\mathrm{df}=\frac{1}{2}\mathrm{r}$. $\mathrm{r}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}:\mathrm{r}\mathrm{x}\colon\colon \begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{r}+\mathrm{r}\mathrm{x}\\ +\mathrm{x}\mathrm{x}+\frac{1}{4}\mathrm{r}\mathrm{r}\end{array}:\mathrm{lf}$. $\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}+\frac{1}{4}\mathrm{r}\mathrm{r}in\mathrm{r}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}}={\mathrm{fo}}^2$. ${\mathrm{fl}}^2=\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{d}}+\frac{4\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{r}}^3\mathrm{x}}{4\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{a}+8\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{x}+4\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{x}+4\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}}$. ${\mathrm{fl}}^2=\mathrm{p}\mathrm{p}$. $\mathrm{lk}=\mathrm{r}$ $\mathrm{ac}=\mathrm{a}$. $\mathrm{ab}=\mathrm{x}$. $\mathrm{a}:\mathrm{x}\colon\colon \mathrm{x}:\mathrm{a}-\mathrm{x}$. $\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{a}\mathrm{x}$. $\mathrm{x}\mathrm{x}=4-2\mathrm{x}$. $\mathrm{x}=-1+\sqrt{5}$ $2:\sqrt{5}-1\colon\colon \sqrt{5}-1:3-\sqrt{5}$. $6-2\sqrt{5}=5-2\sqrt{5}+1$. $\mathrm{x}\mathrm{x}=-\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}$. $\begin{array}{l}144\\ \underset{\_}{18}\\ 324\end{array}$ $\begin{array}{l}\underset{\_}{18\times 25}=450\\ \phantom{0}90\\ 36\end{array}$ $\begin{array}{l}144\\ 10\end{array}$ $\begin{array}{l}\underset{\_}{324\times 18}=5832\\ 2592\\ 324\end{array}$ $\begin{array}{l}\phantom{0}29160\\ 11664\end{array}\}=145800$ $\begin{array}{l}\phantom{00}324\\ 2592\end{array}\}=\begin{array}{r}26244\\ 5832\end{array}\begin{array}{c}\phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \begin{array}{||}\hline 32076\\ \hline\end{array}\end{array}$ $\mathrm{x}=-\frac{1}{\mathrm{a}}+\sqrt{\frac{5\mathrm{a}\mathrm{a}}{4}}$ $\mathrm{ei}=\mathrm{a}$. $\mathrm{hk}=\mathrm{z}$. $\mathrm{gd}=\mathrm{y}$ $\mathrm{hi}=\frac{\mathrm{e}\mathrm{z}}{\mathrm{d}}$. $\mathrm{he}=\sqrt{\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{d}}}$. $\mathrm{ek}=\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{d}}}$. $\mathrm{ce}=\mathrm{a}$. $\mathrm{fl}=\mathrm{b}$ $\mathrm{fk}=\mathrm{c}$. $\mathrm{lk}=\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}$. $\mathrm{z}:\sqrt{\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{d}}}\colon\colon \mathrm{c}:\mathrm{b}$. $\mathrm{c}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{z}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}$. ${\mathrm{lk}}^2=\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{d}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}$. $\mathrm{df}=\mathrm{v}$ $\mathrm{lk}=\frac{\mathrm{b}\mathrm{v}+\frac{\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}}}{\mathrm{y}}$ $=\frac{\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{v}\sqrt{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}}{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}}=\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{d}}}{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}}$ $\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{v}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}-\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{d}+2\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{v}\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{e}\mathrm{e}{\mathrm{z}}^2-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}=0$. $\mathrm{ab}=\mathrm{q}$. $\mathrm{bc}=\mathrm{x}$. $\mathrm{dc}=\mathrm{y}$. $\mathrm{r}=\text{lat}:\mathrm{r}\mathrm{x}:\mathrm{r}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{ef}=\mathrm{b}$. $\mathrm{fg}=\mathrm{c}$. $\mathrm{cf}=\mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{q}$. $\mathrm{ce}=\mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{q}+\mathrm{b}$. $\mathrm{b}:\mathrm{c}\colon\colon \mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{q}+\mathrm{b}:\mathrm{y}$. $\frac{\mathrm{c}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\mathrm{q}\mathrm{c}+\mathrm{b}\mathrm{c}}{\mathrm{b}}=\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}}$ $\begin{array}{cccccccccccccc}& \mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}& -& \mathrm{q}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}& +& 2\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}& +& \frac{1}{4}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{c}\mathrm{c}& -& \mathrm{q}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{b}& +& \mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}& =& 0\\ +& \frac{\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}& & & -& \mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{x}\hfill \end{array}$. $\mathrm{q}=3$. $\mathrm{fg}=\mathrm{c}=1$ $\mathrm{b}=1$. $\mathrm{x}\mathrm{x}+\frac{1}{3}\mathrm{x}\mathrm{x}=3\mathrm{x}-2\mathrm{x}+\mathrm{x}-\frac{9}{4}+3-1=0$. $\frac{4\mathrm{x}\mathrm{x}}{3}=2\mathrm{x}-\frac{1}{4}=0$ $\mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{6}{4}\mathrm{x}-\frac{3}{16}$. $\mathrm{x}=\frac{3}{4}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{9-3}{16}}$. $\mathrm{x}=\frac{3}{4}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{3}{8}}$ $\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}=9$. $\frac{\mathrm{r}}{2}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}=2$ $\frac{1}{2}\mathrm{r}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}=7$ $\frac{\mathrm{r}\mathrm{x}}{2}$ $=7$. $\mathrm{ac}=\mathrm{a}$ . $\mathrm{kd}=\mathrm{b}$. $\mathrm{ad}=\mathrm{c}$. $\mathrm{dc}=\mathrm{d}$. $\mathrm{c}:\mathrm{a}\colon\colon \mathrm{b}:\frac{\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{e}\mathrm{c}}=\mathrm{cf}$. $\mathrm{kl}=\mathrm{e}$. $\mathrm{x}=1$. $\mathrm{r}=\frac{1}{4}$. $\mathrm{ad}=\mathrm{a}$. $\mathrm{dl}=\mathrm{b}$. $\mathrm{lk}=\mathrm{c}$. $\mathrm{ac}=\mathrm{g}$. $\frac{\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{b}}{\mathrm{e}\mathrm{a}}=\mathrm{ce}$. $\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{c}}{\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}}=\mathrm{ef}$. ${\mathrm{of}}^2=\frac{{\mathrm{d}}^4\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{c}-{\mathrm{e}}^4\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{a}}{{\mathrm{e}}^4\mathrm{a}\mathrm{a}}$. $\mathrm{e}=2$. $\mathrm{d}=2$. $\frac{\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{c}}{16\mathrm{a}\mathrm{a}}-\mathrm{c}\mathrm{c}$. $\mathrm{g}=${ 8 } $=8\mathrm{a}=$$2\mathrm{c}$ $3={\mathrm{of}}^2$ . $\mathrm{ab}=\mathrm{a}$. $\mathrm{bc}=\mathrm{b}$. $\mathrm{cd}=\mathrm{c}$. $\mathrm{be}=\mathrm{x}$. $\mathrm{ce}=\mathrm{x}-\mathrm{b}$. $\mathrm{de}=\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-2\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{b}-\mathrm{c}\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ . $\mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{c}in\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{c}\mathrm{c}}$ $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{c}\mathrm{c}}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{{\mathrm{a}}^4\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}+{\mathrm{a}}^4\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{c}}^4}{{\mathrm{a}}^4-2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}+{\mathrm{c}}^4}}$ $\mathrm{bm}=\mathrm{f}$. $\mathrm{be}=\mathrm{g}$. $\mathrm{me}=\mathrm{f}-\mathrm{g}$. $\mathrm{ab}=\mathrm{a}$. $\mathrm{cd}=\mathrm{c}$. $\mathrm{a}:\mathrm{g}\colon\colon \mathrm{c}:\frac{\mathrm{g}\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\mathrm{de}$. $\mathrm{g}:\mathrm{a}:\mathrm{f}-\mathrm{g}:\frac{\mathrm{a}\mathrm{f}-\mathrm{a}\mathrm{g}}{\mathrm{g}}=\mathrm{mr}$. $\mathrm{mn}=\mathrm{z}$. $\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}-2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{g}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{g}}{\mathrm{g}\mathrm{g}}+\mathrm{f}\mathrm{f}-2\mathrm{f}\mathrm{g}+\mathrm{g}\mathrm{g}\left(={\mathrm{re}}^2\right)in\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}}{\mathrm{d}\mathrm{d}}={\mathrm{rn}}^2=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}-2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{g}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{g}}{\mathrm{g}\mathrm{g}}+\mathrm{z}\mathrm{z}$.

<5r>

$\mathrm{eh}=8$ — − $\mathrm{ei}=6$ $\mathrm{hi}=10$. $\mathrm{ek}=15$. $\sqrt{\begin{array}{c}\phantom{0}75\\ 154\\ 6\end{array}}=\sqrt{289}=17=\mathrm{hk}$. $\mathrm{de}=$15. $\mathrm{dg}=16=\mathrm{y}$. $\mathrm{cd}=\mathrm{x}$. $\mathrm{df}=\mathrm{a}$. $\mathrm{gk}=${14} $34:16\colon\colon \mathrm{gk}:\mathrm{gd}\colon\colon 17:8\colon\colon 30-\mathrm{a}:\frac{240-8\mathrm{a}}{17}=\mathrm{fl}$. $\mathrm{fl}:\mathrm{fo}\colon\colon 10:17$. $\frac{120-4\mathrm{a}}{5}=24-\frac{4\mathrm{a}}{5}=\mathrm{fo}$ . $\mathrm{ad}=\mathrm{b}$. $\mathrm{ag}=\sqrt{\mathrm{b}\mathrm{b}}+${illeg} $256:\mathrm{b}\mathrm{b}+256\colon\colon 576-\frac{192\mathrm{a}}{5}+\frac{16\mathrm{a}\mathrm{a}}{25}:\frac{576\mathrm{b}\mathrm{b}-\frac{192}{5}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}+\frac{16\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}{25}}{256}+576-\frac{192\mathrm{a}}{5}+\frac{16\mathrm{a}\mathrm{a}}{25}={\mathrm{af}}^2=\mathrm{a}\mathrm{a}+2\mathrm{a}\mathrm{b}+${illeg} $\frac{5\mathrm{b}\mathrm{b}}{4}+\frac{3\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}{20}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}{400}-\frac{9\mathrm{a}\mathrm{a}}{25}-2\mathrm{a}\mathrm{b}-\frac{192}{5}\mathrm{a}+576=0$. $\begin{array}{l}\phantom{+}500\mathrm{b}\mathrm{b}\\ +60\mathrm{a}\\ +\mathrm{a}\mathrm{a}\end{array}\begin{array}{c}=200\mathrm{a}\mathrm{b}+144\mathrm{a}\mathrm{a}+15360\mathrm{a}-2304\\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\end{array}$ {illeg} $\mathrm{y}\mathrm{y}=\mathrm{r}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}=256$. $\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{2}=\mathrm{a}$. $256-\mathrm{a}\mathrm{x}=\frac{1}{2}\mathrm{r}\mathrm{x}$. $\frac{512}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{a}}{2}=\mathrm{r}$ $\mathrm{eh}=\frac{5}{2}$ . $\mathrm{ei}=6$. $\mathrm{hi}=\frac{13}{2}$. $\mathrm{hk}=\frac{2221}{20}$. $\mathrm{ek}=\frac{9\sqrt{5149}}{20}$ $\mathrm{ek}=\frac{3\sqrt{5149}}{20}$. $\mathrm{kd}=\mathrm{g}$. $\frac{5\mathrm{g}\times 20}{6\sqrt{5149}}=\frac{50\mathrm{g}}{3\sqrt{5149}}=\mathrm{dg}$. ${\mathrm{dg}}^2=\frac{2500\mathrm{g}\mathrm{g}}{46341}$. ${\mathrm{gk}}^2=48841\mathrm{g}\mathrm{g}$. $\mathrm{fk}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$. $\frac{50\mathrm{c}\mathrm{g}-50\mathrm{a}\mathrm{g}}{3\sqrt{5149}in221}=\mathrm{fl}=\frac{\mathrm{f\; k}\times \mathrm{dg}}{\mathrm{gk}}$ $\frac{50\mathrm{c}\mathrm{g}-50\mathrm{a}\mathrm{g}}{390\sqrt{5149}}=\mathrm{fo}$. $\mathrm{ae}=\mathrm{p}$. $\mathrm{d\; e}=\mathrm{g}-\frac{3\sqrt{5149}}{20}$ $\mathrm{ad}=\mathrm{p}-\mathrm{g}+\frac{3\sqrt{5149}}{20}$. ${\mathrm{ag}}^2=\begin{array}{l}\mathrm{p}\mathrm{p}-2\mathrm{p}\mathrm{g}+\frac{48841\mathrm{g}\mathrm{g}}{46341}+\frac{46341}{400}\\ +\frac{3\mathrm{p}}{10}\sqrt{5149}-\frac{3\mathrm{g}}{10}\sqrt{5149}\end{array}$ ${\mathrm{ag}}^2:{\mathrm{gd}}^2\colon\colon {\mathrm{af}}^2:{\mathrm{fo}}^2$.

$\mathrm{eh}=\mathrm{a}$. $\mathrm{ei}=\mathrm{b}$. $\mathrm{hi}=\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}$ $\mathrm{hk}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{e}}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}$. $\mathrm{ek}=\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}-\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{e}}}$ $\mathrm{eh}=\mathrm{c}$. $\mathrm{ek}=\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{c}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}-\phantom{000}}{\mathrm{e}\mathrm{e}}}$ $\begin{array}{ccccccccc}{\mathrm{a}}^3& -& \frac{34}{10}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}& +& \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}& +& 6& =& 0\\ & & & -& \frac{102\mathrm{a}}{10\mathrm{b}}\hfill \end{array}$. $\mathrm{q}{\mathrm{a}}^2+\mathrm{q}\mathrm{a}+\mathrm{s}\times \mathrm{a}+\mathrm{c}$. $\mathrm{c}$$=\frac{6}{\mathrm{s}}$. $\mathrm{r}+\frac{6}{\mathrm{s}}=\frac{34\mathrm{b}}{10}$. $-\frac{10\mathrm{r}}{34}+\frac{60}{34\mathrm{s}}=\mathrm{b}$. $\begin{array}{lllllll}{\mathrm{a}}^3& +& \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{a}& +& \mathrm{s}\mathrm{a}& +& \mathrm{c}\mathrm{s}\\ & +& \mathrm{c}& +& \mathrm{c}\mathrm{r}\end{array}$ $\mathrm{r}=-\frac{6}{\mathrm{s}}-\frac{34\mathrm{b}}{10}$. $-\frac{36}{\mathrm{s}\mathrm{s}}-\frac{204\mathrm{b}}{10}\mathrm{s}+\mathrm{s}=\mathrm{b}\mathrm{b}-\frac{102}{10\mathrm{b}}$. $\mathrm{c}\mathrm{c}=20\mathrm{c}-45$ $\mathrm{b}=1$ $10{\mathrm{a}}^3-34\mathrm{a}\mathrm{a}+112\mathrm{a}+60$. $\begin{array}{l}\phantom{0}448\\ \underset{\_}{336\phantom{0}}\\ \underset{\_}{3808}\end{array}$ $\begin{array}{c}\begin{array}{l}(2.2.2.2.2.7./2.2.3.5\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}1904\\ 952\\ 476\\ 238\\ 119\\ 17\end{array}& \begin{array}{llll}\phantom{0}& 3868& .& (2.2.967\\ \phantom{0}& 1934& & \phantom{(}\\ \phantom{0}& \phantom{0}967& & \phantom{(}\end{array}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}1.2.4.6.10.3.5.15.30.\\ 20\end{array}\\ \begin{array}{l}\hfill 10.\phantom{0}.\\ \phantom{0}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{c}2.967.4.1934.3868.\end{array}\\ 10\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{l}\phantom{00}36\phantom{=}\\ \underset{\_}{102\phantom{0}\phantom{=}}\\ 1056=\end{array}$ $\frac{\mathrm{p}\mathrm{q}-\mathrm{r}}{\text{Div}-}$ $-\mathrm{n}\mathrm{n}+2\mathrm{p}\mathrm{n}$ . $\mathrm{p}-\mathrm{n}=\mathrm{c}$ $\mathrm{a}\mathrm{a}-4\mathrm{a}$ 4 $10{\mathrm{a}}^3-34\mathrm{a}\mathrm{a}-92\mathrm{a}+60$ $\begin{array}{ccccc}-\frac{34}{\mathrm{}}& +& 2& +& 4\\ & -& 2& -\end{array}$. $\begin{array}{||}\hline -4\\ \hline\end{array}$ $\begin{array}{r}120\\ \underset{\_}{-34}\\ 86\end{array}$ $\begin{array}{r}150\\ \underset{\_}{34}\\ 126\end{array}$ $\begin{array}{l}\phantom{0}368\\ \underset{\_}{27\phantom{00}}\\ \underset{\_}{\phantom{0}120}\\ 3168\end{array}$ $(\begin{array}{l}2.2.\\ 1594.797.\end{array}$ $\begin{array}{cc}\begin{array}{r}372\\ \underset{\_}{372\phantom{0}}\\ 4094\\ \underset{\_}{-120}\\ 3974\\ 1987\end{array}& \begin{array}{ll}\phantom{0}14& \mathrm{c}\\ \begin{array}{l}\phantom{0}56\\ 14\end{array}\\ \begin{array}{ccc}(2& & \begin{array}{r}96\\ \underset{\_}{16\phantom{0}}\\ 256\end{array}\\ \begin{array}{r}144\\ \underset{\_}{18\phantom{0}}\\ 324\end{array}& 117& 13\end{array}\end{array}\end{array}$ $20{\mathrm{a}}^3$$-136\mathrm{a}\mathrm{a}$ $-22\mathrm{a}$ + 120 $\begin{array}{ccc}\underset{\_}{49}& \begin{array}{r}96\\ \underset{\_}{48\phantom{0}}\\ 576\\ 49\end{array}& \begin{array}{l}625\\ 2\end{array}\end{array}$ ^[29] $30{\mathrm{a}}^3-306\mathrm{a}\mathrm{a}+168\mathrm{a}-180$. $\begin{array}{rr}1008& (2.2.3.3.4.6.9.12.24.18.54.36.\\ \underset{\_}{504\phantom{00}}\\ \underset{\_}{\phantom{0}-180}\\ 51228& .25614.12807.4269.1423\hfill \end{array}$ $\begin{array}{ll}136& 1531\\ 134& 2\hfill \\ 17\end{array}$ 102 $\begin{array}{cccc}40{\mathrm{a}}^3& \begin{array}{r}-204\\ -340\end{array}\mathrm{a}\mathrm{a}& \begin{array}{r}+640\\ -102\end{array}\mathrm{a}& +240\text{.}\\ \phantom{0}\\ 40{\mathrm{a}}^3& \hfill -544\mathrm{a}\mathrm{a}& \hfill -538\mathrm{a}& +240\text{.}\end{array}$ $\begin{array}{cccc}& & \mathrm{eh}=12\text{.}& \mathrm{ei}=9\text{.}\\ \mathrm{hi}=15\text{.}& \mathrm{hk}=20\text{.}& \mathrm{ek}=16\text{.}\end{array}$ $\begin{array}{r}\underset{\_}{17}\\ 119\\ \underset{\_}{17\phantom{0}}\\ \underset{\_}{\phantom{0}289}\\ 2083\\ 289\phantom{0}\end{array}$ $\begin{array}{r}\phantom{-}4913\\ \underset{\_}{-1530}\\ 3\\ \hfill 729\hfill \end{array}$ $\begin{array}{r}81\\ \underset{\_}{648\phantom{0}}\\ 6561& \times 4=\end{array}$ { 2 }620 1 {illeg}

^[30] $\frac{\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\mathrm{b}\mathrm{b}$. $\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}:\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}\colon\colon \mathrm{e}:\mathrm{d}$. $\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}=\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}$. $\begin{array}{rr}25839& (\hfill \\ 6\phantom{00}\\ 239\end{array}${illeg} $\mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{e}-\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{d}}{\mathrm{a}\mathrm{d}-\mathrm{e}\mathrm{b}}=\frac{10\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}-17\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}}{17\mathrm{a}-10\mathrm{b}}$. $\mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{17\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}-10\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}}{10\mathrm{b}-17\mathrm{a}}$. $40\mathrm{b}-17\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}+10\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}$. $\mathrm{a}=\frac{9}{17}$. $\mathrm{b}=1$. $10-\frac{90}{17}${illeg} $\mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{4\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}-3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}}{3\mathrm{b}-4\mathrm{a}}$. {3 } $\begin{array}{cccc}\mathrm{x}& \begin{array}{c}-4\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\\ -4\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\end{array}& & +3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\end{array}$ $\mathrm{a}\mathrm{x}\frac{2\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{b}\mathrm{b}}{3\mathrm{b}}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{4{\mathrm{x}}^4+8\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+4{\mathrm{b}}^4-9\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}}{9\mathrm{b}\mathrm{b}}}$. $\sqrt{4{\mathrm{x}}^4-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+4{\mathrm{b}}^4}$. $\mathrm{x}=4$ . $\mathrm{b}=1$ . {illeg}+{illeg}={illeg}$-2\mathrm{b}\mathrm{c}+\mathrm{c}\mathrm{c}$. $\frac{\mathrm{c}\mathrm{c}+\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{c}}=\mathrm{b}$. $4{\mathrm{x}}^4-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}$ {illeg} ${\mathrm{b}}^4=4{\mathrm{b}}^4-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+6{\mathrm{}}^3$ {illeg} {illeg} = {illeg}${\mathrm{c}}^4-4{\mathrm{a}}^2\mathrm{b}\mathrm{b}${illeg}$3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}=4\mathrm{b}\mathrm{b}-3\mathrm{a}\mathrm{b}=4\mathrm{b}\mathrm{b}-4${illeg}$\mathrm{c}\mathrm{c}$. $\frac{}{4\mathrm{c}}${illeg} {illeg}$\mathrm{a}\mathrm{a}=$$-4\mathrm{a}\mathrm{a}${illeg} {illeg}$9\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}-${illeg}$36\mathrm{a}${illeg} {illeg}

<5v>

^[32] $\sqrt{4{\mathrm{x}}^4-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+4{\mathrm{b}}^4}=\sqrt{4{\mathrm{b}}^4+4\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}+{\mathrm{c}}^4}$ $\mathrm{h}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{i}\mathrm{n}+$ $\sqrt{4{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{b}}^2{\mathrm{x}}^2+4{\mathrm{b}}^4}=-\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{e}$. $4{\mathrm{x}}^4-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}=-4\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{x}-4\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}-4\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{e}+\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{c}\mathrm{d}{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{d}{\mathrm{x}}^4+2\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^4$: $\frac{+4{\mathrm{x}}^4+\mathrm{d}\mathrm{d}{\mathrm{x}}^4+2\mathrm{c}\mathrm{d}{\mathrm{x}}^3+\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^4}{-\mathrm{x}\mathrm{x}+4\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}+4\mathrm{c}\mathrm{x}+4\mathrm{e}\mathrm{e}}=\mathrm{b}\mathrm{b}$. $24-\frac{50}{3}$ $\frac{22}{36+45-20}$ $\frac{\frac{22}{3}}{12+15-\frac{20}{3}}$ $\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{h}\mathrm{h}{\mathrm{x}}^4& +& 2\mathrm{h}\mathrm{i}{\mathrm{x}}^3& +& 2\mathrm{h}\mathrm{k}{\mathrm{x}}^2& +& 2\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{x}& +& \mathrm{k}\mathrm{k}\\ & & & +& \mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{x}\mathrm{x}\end{array}$. $\mathrm{k}=\mathrm{e}\mathrm{e}$. $2\mathrm{i}=2\mathrm{c}$. $\mathrm{i}=\mathrm{c}$. $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{c}+\mathrm{e}\mathrm{e}}{4\mathrm{e}\mathrm{e}}$. $\frac{{\mathrm{c}}^4+2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}-63{\mathrm{e}}^4}{16{\mathrm{e}}^4}=\mathrm{h}\mathrm{k}$ ${\mathrm{c}}^4+2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}-63{\mathrm{e}}^4={\mathrm{c}}^4+2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}+{\mathrm{e}}^4$. $\frac{\frac{{\mathrm{c}}^4+2\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}+{\mathrm{e}}^4}{\mathrm{e}\mathrm{e}}in{\mathrm{x}}^4:\frac{+{\mathrm{c}}^3+\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}}{2\mathrm{e}\mathrm{e}}in{\mathrm{x}}^3:+\frac{3}{2}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{e}\mathrm{e}}{2}\mathrm{x}\mathrm{x}+\frac{3}{2}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}+2\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^4+\mathrm{f}\mathrm{f}}{2\mathrm{f}}=\mathrm{x}\mathrm{x}$.

^[33] $\frac{4-3+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+2+9}{2}=$ 6 $\begin{array}{r}{\mathrm{x}}^3\\ +{\mathrm{y}}^3\end{array}\frac{+9\mathrm{z}{\mathrm{z}}^4-3\mathrm{a}\mathrm{z}{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^3\mathrm{z}-3\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}}{\sqrt{9{\mathrm{x}}^4-6\mathrm{a}\mathrm{y}{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{y}}^2+\mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2-6{\mathrm{a}}^3\mathrm{x}}}$ $25+5+6+\frac{1}{2}+4+141⁤\frac{1}{2}$ $\frac{83}{4\mathrm{f}}$ $2\mathrm{f}\mathrm{f}$ $\frac{25}{4}+\frac{5}{8}+$ $64-24+6+2$ 5 $\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}-\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{d}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}-\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}+\mathrm{d}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}=0\end{array}$. $\mathrm{s}\mathrm{s}-{\mathrm{v}}^2+2\mathrm{v}\mathrm{y}-\mathrm{y}\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{y}\mathrm{y}}-\frac{2{\mathrm{a}}^4}{2{\mathrm{y}}^3}+2\mathrm{y}$ $2\mathrm{a}\mathrm{b}=2\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}$. $\frac{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{b}$. $\frac{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{d}=\frac{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}}{\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}+\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}}$. $\begin{array}{c}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{a}\\ -\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}-\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}\end{array}=0$ $\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{a}\mathrm{b}+\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{b}=\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{q}+\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{q}$. $\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}=\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}$. $\frac{\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{q}+\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{q}}{\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{q}+\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}}=\mathrm{a}=\frac{\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{b}\mathrm{b}}$. $\begin{array}{cccccccc}& \mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}& -& \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}& +& \mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}& =& 0\\ +& \mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}& -& \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}& +& \mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{x}\mathrm{x}& =& 0\\ & & -& \mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\\ & & -& \mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}\end{array}$. $\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{x}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}+\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{p}\mathrm{p}}{\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}}$ $\begin{array}{c}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{q}=\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\\ \mathrm{a}=\mathrm{x}=\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{q}=\mathrm{y}\mathrm{y}=\mathrm{p}\mathrm{p}\end{array}$

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${\mathrm{b}}^3+{\mathrm{z}}^3=\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{z}$ . $\mathrm{b}\mathrm{b}-2\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{y}\mathrm{y}-$ $\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{s}\mathrm{s}& -& 2\mathrm{v}\mathrm{v}& +& 2\mathrm{v}\mathrm{x}& -& \mathrm{x}\mathrm{x}& =& \frac{{\mathrm{r}}^4}{\mathrm{x}\mathrm{x}}\\ 0& & 0& & 1& & 2& & -2& \end{array}$ $-\frac{2{\mathrm{r}}^4}{2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{x}}+\frac{2\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}=\mathrm{v}$

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$\begin{array}{cccccc}\mathrm{h}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{x}& -& \mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{x}& +& & \text{.}\\ & -& \mathrm{h}\mathrm{k}\mathrm{x}& +& \mathrm{i}\mathrm{k}& \text{.}\end{array}$ $2\mathrm{r}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{r}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{v}=\mathrm{r}-\mathrm{x}$. $\begin{array}{ccccccc}\mathrm{r}\mathrm{x}& +& \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{q}}\mathrm{x}\mathrm{x}& -& \mathrm{y}\mathrm{y}& =& 0\\ 1& & 2& & 0\end{array}$. $-\mathrm{r}=\frac{2\mathrm{r}\mathrm{x}}{\mathrm{q}}$ $\begin{array}{c}2\mathrm{r}\mathrm{x}+2\mathrm{y}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}\\ \mathrm{r}+\mathrm{y}+\mathrm{x}\end{array}$. $\mathrm{x}\mathrm{x}$ $=-\frac{\mathrm{q}}{2}$ $\mathrm{y}\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{r}\mathrm{q}}{2}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{q}}{4}\mathrm{x}\mathrm{x}\begin{array}{c}+\\ -\end{array}\mathrm{y}\mathrm{y}$ $\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{y}\mathrm{y}-\frac{\mathrm{r}\mathrm{q}}{4}$. $2\mathrm{r}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{v}=\mathrm{r}-\mathrm{x}$. $\mathrm{x}=$r$\sqrt{2\mathrm{r}\mathrm{r}}$ ♉x $\mathrm{r}\mathrm{z}$$\mathrm{z}\mathrm{x}$ for x write $\mathrm{x}+\mathrm{z}-\frac{\mathrm{z}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}$ $\sqrt{\phantom{00000}+\mathrm{r}\mathrm{r}}$ for y write $2\mathrm{r}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}-4\mathrm{z}\mathrm{x}+2\frac{\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}+2\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}-\frac{\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{r}\mathrm{r}}$ {illeg}$\sqrt{\phantom{00000}\mathrm{x}\mathrm{x}}$ r x ♉ $\mathrm{z}\frac{\sqrt{2\mathrm{r}\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{x}}}{\mathrm{r}}$ for y ♉$-\mathrm{r}\mathrm{x}$ {illeg} z $2\mathrm{z}\mathrm{x}$ $-2\mathrm{x}$ ² $\mathrm{z}\mathrm{x}$ ² $\frac{\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}$ {illeg}{illeg} $\mathrm{x}\mathrm{x}+$ $4\mathrm{z}\mathrm{x}$ $\frac{2\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}$ ♉ ♉² $\mathrm{z}-2$ {illeg} z $\frac{4\mathrm{z}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}$ $2\mathrm{z}$$\frac{4\mathrm{z}\mathrm{x}}{\mathrm{r}}=0$ {illeg} $-\mathrm{z}\mathrm{z}$ {illeg}−{illeg}$\mathrm{x}\mathrm{x}$

<6r>

^[34] $\mathrm{ag}=\mathrm{x}$. $\mathrm{bg}=\mathrm{y}$. $\mathrm{ag}=\mathrm{x}$. $\mathrm{gd}=\mathrm{d}$. $\mathrm{dc}=\mathrm{e}$. $\mathrm{bo}=\mathrm{s}$. $\mathrm{de}=\mathrm{w}$. $\mathrm{gh}=\mathrm{b}$. $\mathrm{go}=\mathrm{v}$. $\mathrm{if}=\mathrm{c}$. $\mathrm{e}:\mathrm{w}\colon\colon \mathrm{e}+\mathrm{b}:\frac{\mathrm{e}\mathrm{w}\phantom{000}}{\mathrm{e}}$ $\frac{\mathrm{e}\mathrm{w}+\mathrm{b}\mathrm{w}}{\mathrm{e}}=\mathrm{if}$. $\mathrm{y}:\mathrm{v}\colon\colon \mathrm{y}+\mathrm{b}:\frac{\mathrm{y}\mathrm{v}+\mathrm{b}\mathrm{v}}{\mathrm{y}}=\mathrm{hf}$. $\mathrm{de}+\mathrm{hi}+\frac{\mathrm{gh}\times \mathrm{de}}{\mathrm{dc}}=\mathrm{go}+\frac{\mathrm{gh}\times \mathrm{go}}{\mathrm{bg}}$.
$\mathrm{ag}=\mathrm{x}$. $\mathrm{bg}=\mathrm{y}$. $\mathrm{r}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}$. $\mathrm{go}=\mathrm{de}=\frac{1}{2}\mathrm{r}$. $\mathrm{gd}=\mathrm{o}$. $\mathrm{dc}=\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{o}}$. $\mathrm{gh}=\mathrm{z}$. $\mathrm{o}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{z}}{\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{o}}}=\frac{\mathrm{r}\mathrm{z}}{\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}}}$ $4\mathrm{o}\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{x}}+2\mathrm{r}\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}}=2\mathrm{r}\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}+\mathrm{r}\mathrm{o}}$. $4\mathrm{o}\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{r}{\mathrm{x}}^3+\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{x}}=4\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{r}\mathrm{o}$. ${\mathrm{x}}^3=\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{r}$. $\mathrm{z}=\sqrt{\frac{{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{r}}}$. $\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}}:\frac{\mathrm{r}}{2}\colon\colon \sqrt{\frac{{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{r}}}:\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}}}{2\sqrt{\mathrm{r}\mathrm{x}}}=\frac{\mathrm{x}}{2}$ $\frac{\mathrm{x}+\mathrm{r}}{2}=\mathrm{hf}$. $\frac{{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{r}}+\frac{9\mathrm{x}\mathrm{x}}{4}+\frac{3\mathrm{r}\mathrm{x}}{2}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}}{4}={\mathrm{bf}}^2$.
^[35] $\mathrm{x}\mathrm{y}=\mathrm{r}\mathrm{r}$. $\mathrm{v}=-\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=\frac{-{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{r}\mathrm{r}}=-\frac{{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3}$. $\mathrm{gh}=\mathrm{z}$. $\mathrm{dg}=\mathrm{o}$. $\mathrm{de}=\frac{+{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3+3oxx}:\mathrm{dc}=\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}}{\mathrm{x}+\mathrm{o}}\colon\colon \mathrm{fi}:\frac{\mathrm{z}\mathrm{x}-\mathrm{r}\mathrm{r}+\phantom{000}}{\mathrm{x}+\mathrm{o}}$ $\frac{+\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{x}-{\mathrm{r}}^4+\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{o}}{{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{o}}=\mathrm{fi}$. $\frac{-{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3}:\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}}{\mathrm{x}}\colon\colon \mathrm{fh}:\frac{\mathrm{z}\mathrm{x}-\mathrm{r}\mathrm{r}}{\mathrm{x}}$ . $\frac{-{\mathrm{r}}^4+\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{r}\mathrm{r}-\mathrm{o}{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^3}=\mathrm{fi}$ $-\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^3-\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{o}{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^3-\mathrm{z}\mathrm{r}\mathrm{r}{\mathrm{x}}^4+\mathrm{o}{\mathrm{x}}^6+3{\mathrm{r}}^4\mathrm{x}\mathrm{x}0-3\mathrm{z}{\mathrm{x}}^3\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}+3{\mathrm{x}}^5\mathrm{o}\mathrm{o}-$ $+2\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{r}}^4=0$. $\mathrm{z}=\frac{3\mathrm{r}\mathrm{r}}{2\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{2\mathrm{r}\mathrm{r}}=\mathrm{gh}$. $\mathrm{bh}=\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}}{2\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{2\mathrm{r}\mathrm{r}}$ $+\frac{{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{fh}$. $\frac{{\mathrm{r}}^8}{{\mathrm{x}}^6}+\frac{{\mathrm{r}}^4}{\mathrm{x}\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}}{4}+\frac{{\mathrm{r}}^4}{4\mathrm{x}\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}}{2}+\frac{{\mathrm{x}}^6}{4{\mathrm{r}}^4}={\mathrm{bf}}^2$ $-\frac{6{\mathrm{r}}^8}{{\mathrm{x}}^6}-\frac{3{\mathrm{r}}^4}{2\mathrm{x}\mathrm{x}}+\frac{3\mathrm{x}\mathrm{x}}{4}+\frac{6{\mathrm{x}}^6}{2{\mathrm{r}}^4}$. $6{\mathrm{x}}^{12}+16{\mathrm{x}}^8{\mathrm{r}}^4-10{\mathrm{r}}^8{\mathrm{x}}^4-24{\mathrm{r}}^{12}$. $6{\mathrm{r}}^{12}+$

$\mathrm{go}:\mathrm{gb}\colon\colon \mathrm{fk}+\mathrm{go}:\mathrm{hg}$ . $\mathrm{de}:\mathrm{dc}\colon\colon \mathrm{fi}+\mathrm{de}:\mathrm{di}$ . $\frac{\mathrm{dc}\times \mathrm{fi}+\mathrm{dc}\times \mathrm{de}}{\mathrm{de}}=\mathrm{di}=\frac{\mathrm{gb}\times \mathrm{fi}+\mathrm{gb}\times \mathrm{dg}+\mathrm{gb}\times \mathrm{go}}{\mathrm{go}}$. $\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}}{\mathrm{x}+\mathrm{o}}+\frac{{\mathrm{r}}^6}{{\mathrm{x}}^4+4\mathrm{o}{\mathrm{x}}^3}in\frac{{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3}=\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{z}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}}{\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{r}}^6}{{\mathrm{x}}^4}in\frac{{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{o}{\mathrm{x}}^2}$ . $\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{o}\mathrm{x}}\frac{+{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^5+4\mathrm{o}{\mathrm{x}}^4}=\frac{\mathrm{z}+\mathrm{o}}{\mathrm{x}\mathrm{x}+3\mathrm{o}\mathrm{x}}\frac{+{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^5+3\mathrm{o}{\mathrm{x}}^4}$. $\frac{\mathrm{z}{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{x}+{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^5+4\mathrm{o}{\mathrm{x}}^4}=\frac{\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4+\mathrm{o}{\mathrm{x}}^4+3\mathrm{o}\mathrm{z}{\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}{\mathrm{r}}^4+3\mathrm{o}{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^6+6\mathrm{o}{\mathrm{x}}^5}$ $\begin{array}{cc}\begin{array}{ccccc}\mathrm{z}{\mathrm{x}}^5& +& 3\mathrm{z}\mathrm{o}{\mathrm{x}}^4& +& {\mathrm{r}}^4\mathrm{x}\mathrm{x}\\ & & 6\mathrm{z}\mathrm{o}{\mathrm{x}}^4& +& 6{\mathrm{r}}^4\mathrm{x}\mathrm{o}\end{array}& \begin{array}{cccccccc}=& \mathrm{z}{\mathrm{x}}^5& +& 2\mathrm{o}{\mathrm{x}}^5& +& 3\mathrm{o}\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4& +& \mathrm{x}\mathrm{x}{\mathrm{r}}^4\\ & & & & +& 4\mathrm{o}\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4& +& 3\mathrm{o}\mathrm{x}{\mathrm{r}}^4\\ & & & & & & +& 4\mathrm{o}\mathrm{z}{\mathrm{r}}^4\end{array}\end{array}$ $9\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4+6\mathrm{x}{\mathrm{r}}^4={\mathrm{x}}^5+7\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4+7\mathrm{x}{\mathrm{r}}^4$. $2\mathrm{z}{\mathrm{x}}^4-\mathrm{x}{\mathrm{r}}^4-{\mathrm{x}}^5=0$. $\mathrm{z}=\frac{{\mathrm{r}}^4}{2{\mathrm{x}}^3}+\frac{\mathrm{x}}{2}$. $\frac{{\mathrm{r}}^4}{{\mathrm{x}}^3}:\frac{\mathrm{r}\mathrm{r}}{\mathrm{x}}\colon\colon \frac{{\mathrm{r}}^4+{\mathrm{x}}^4}{2{\mathrm{x}}^3}:\mathrm{hb}$. $\mathrm{x}\mathrm{x}:\mathrm{r}\mathrm{r}\colon\colon \frac{{\mathrm{r}}^4+{\mathrm{x}}^4}{2{\mathrm{x}}^3}\frac{{\mathrm{r}}^4+{\mathrm{x}}^4}{2\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{x}}=\mathrm{bh}$. $\frac{{\mathrm{r}}^8+2{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^8}{4{\mathrm{r}}^4\mathrm{x}\mathrm{x}}\frac{{\mathrm{r}}^8+2{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^8}{4{\mathrm{x}}^6}=\frac{3{\mathrm{r}}^8{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^8+{\mathrm{x}}^{12}+{\mathrm{r}}^{12}}{4{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^6}=\mathrm{bf}$. $6{\mathrm{x}}^{12}+6{\mathrm{r}}^4{\mathrm{x}}^8-6{\mathrm{r}}^8{\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^{12}=0$. ${\mathrm{x}}^8-{\mathrm{r}}^8=0$ . ${\mathrm{x}}^4-{\mathrm{r}}^4=0$ . $\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{r}\mathrm{r}=0$ . $\mathrm{x}=\mathrm{r}$. therefore take $\mathrm{ag}=\mathrm{gb}=\mathrm{r}$ , & the greatest crookedness of the line cb will be found at b . $\mathrm{bh}=\mathrm{r}=\mathrm{fh}$ . $\mathrm{bf}=\mathrm{r}\sqrt{2}$ . $\mathrm{bf}=\mathrm{p}$ . $\mathrm{al}=\mathrm{q}$ . $\mathrm{gb}=\mathrm{y}$ . $\mathrm{go}=\mathrm{v}$ . $\mathrm{ag}=\mathrm{x}$. $\mathrm{bf}=\mathrm{p}$. $\mathrm{v}:\mathrm{y}\colon\colon \mathrm{q}+\mathrm{v}-\mathrm{x}:\frac{\mathrm{q}\mathrm{y}+\mathrm{y}\mathrm{v}-\mathrm{y}\mathrm{x}}{\mathrm{v}}=\mathrm{p}$. $\frac{\mathrm{gb}\times \mathrm{al}+\mathrm{gb}\times \mathrm{go}-\mathrm{gb}\times \mathrm{ga}}{\mathrm{go}}=$ {illeg} $\mathrm{y}\mathrm{q}+\frac{{\mathrm{y}}^4}{\mathrm{r}\mathrm{r}}-\mathrm{r}\mathrm{r}=\frac{\mathrm{p}{\mathrm{y}}^3}{\mathrm{r}\mathrm{r}}$ . $\frac{{\mathrm{y}}^4}{\mathrm{r}\mathrm{r}}+3\mathrm{r}\mathrm{r}-2\mathrm{y}\mathrm{q}=0$. $\mathrm{q}=\frac{{\mathrm{y}}^3}{2\mathrm{r}\mathrm{r}}+\frac{3\mathrm{r}\mathrm{r}}{2\mathrm{y}}$ . as before. or $\mathrm{q}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{2\mathrm{x}}+\frac{3\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}+3\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}$ $\mathrm{gl}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{x}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}$. $\mathrm{w}=\mathrm{v}+\mathrm{x}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{y}+2\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{x}}{\mathrm{d}+\mathrm{d}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{y}}$ $+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{w}+2\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{w}+\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{y}+2\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{x}=0$. $\begin{array}{lllllll}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}& +& \mathrm{e}\mathrm{x}& +& \mathrm{c}& =& 0\\ & +& \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}& +& \mathrm{b}\mathrm{y}\\ & & & +& \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}\end{array}$. $\begin{array}{l}{\mathrm{w}}^2-2\mathrm{w}\mathrm{x}+\mathrm{x}\mathrm{x}\\ {\mathrm{w}}^2-\frac{2\mathrm{w}\mathrm{c}-2\mathrm{w}\mathrm{b}\mathrm{y}-2\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}-2\mathrm{w}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}}{\mathrm{f}\mathrm{x}+\mathrm{e}}\end{array}$ $\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}+\mathrm{c}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{f}}$. $\frac{+\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{e}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}+\mathrm{c}+\mathrm{b}\mathrm{y}}{\mathrm{a}}$ $\mathrm{x}\mathrm{y}=\mathrm{a}\mathrm{a}$. $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{y}}$. $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{x}}$. $\mathrm{v}=\frac{\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$. $\frac{\mathrm{q}\mathrm{a}\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}}{\mathrm{x}\mathrm{x}}-\frac{{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{x}\mathrm{y}}=0$ . $\frac{\mathrm{q}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}}{\mathrm{x}\mathrm{x}}-\frac{2{\mathrm{a}}^2{\mathrm{y}}^3}{{\mathrm{x}}^3}-\frac{2{\mathrm{a}}^4}{\mathrm{x}\mathrm{y}}$. $\mathrm{q}=$ $\begin{array}{lllllll}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{x}& +& \mathrm{e}\mathrm{x}& +& \mathrm{c}& =& 0\\ & +& \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}& +& \mathrm{b}\mathrm{y}\\ & & & +& \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{x}\end{array}$. $\frac{2\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{y}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{y}}=\mathrm{v}$. $\mathrm{q}\mathrm{y}+\frac{2\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{d}{\mathrm{y}}^3+\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}-2\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{y}-\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{y}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}\mathrm{x}+2\mathrm{a}\mathrm{y}}-\mathrm{y}\mathrm{x}=0$ ^[36] $\frac{2\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{f}+4\mathrm{a}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}+2\mathrm{d}{\mathrm{y}}^3\mathrm{f}+2\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}-2\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}-2\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{f}-2\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{c}-2\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}-2\mathrm{d}\mathrm{a}{\mathrm{y}}^3}{2\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{q}\mathrm{y}-2\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}}=\mathrm{x}$ $\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{e}-\mathrm{d}\mathrm{y}}{2\mathrm{f}}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{\frac{\begin{array}{c}\mathrm{e}\mathrm{e}+2\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}\\ -4\mathrm{c}\mathrm{f}-4\mathrm{b}\mathrm{f}\mathrm{y}-4\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{y}\end{array}}{4\mathrm{f}\mathrm{f}}}$ $\frac{\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{f}+2\mathrm{a}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}+\mathrm{d}{\mathrm{y}}^3\mathrm{f}+\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}-\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}-\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{f}-\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{y}-\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{d}\mathrm{a}{\mathrm{y}}^3}{2\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{f}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{y}+\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{q}\mathrm{y}-2\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}}=\mathrm{x}$. $2\mathrm{b}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{f}\mathrm{f}+4\mathrm{a}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{f}\mathrm{f}+2\mathrm{d}{\mathrm{y}}^3\mathrm{f}\mathrm{f}+2\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{y}-2\mathrm{p}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}-2\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{y}-2\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{f}\mathrm{y}-\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}-2\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{f}{\mathrm{y}}^3$. $4\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{y}+\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{q}\mathrm{y}+\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{y}+{\mathrm{d}}^2{\mathrm{y}}^3-\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{q}\mathrm{y}\mathrm{y}$

<6v>

^[37] $\begin{array}{ccccc}\stackrel{\text{.}}{\mathrm{v}\mathrm{v}}& +& \stackrel{\text{.}}{\mathrm{x}\mathrm{y}}& +& \stackrel{\text{.}}{\mathrm{a}\mathrm{y}}\\ & +& \stackrel{\text{.}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}& +& \stackrel{\text{.}}{\mathrm{y}\mathrm{y}}\end{array}=\mathrm{s}\mathrm{s}=\stackrel{\text{.}}{\mathrm{v}\mathrm{v}}-2\mathrm{o}\mathrm{v}+\stackrel{\text{.}}{\mathrm{x}\mathrm{y}}+\mathrm{x}\mathrm{o}+\stackrel{\text{.}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}+\stackrel{\text{.}}{\mathrm{a}\mathrm{y}}+\mathrm{a}\mathrm{o}+\stackrel{\text{.}}{\mathrm{y}\mathrm{y}}+\stackrel{\text{.}}{2\mathrm{o}\mathrm{y}}$. $2\mathrm{o}\mathrm{v}=\mathrm{o}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{o}+2\mathrm{o}\mathrm{y}$ . $\mathrm{v}\mathrm{v}+2\mathrm{o}\mathrm{v}+\mathrm{o}\mathrm{o}+\mathrm{r}\mathrm{s}+\mathrm{r}\mathrm{a}+\mathrm{a}\mathrm{s}+\mathrm{s}\mathrm{s}$. $\mathrm{v}=\frac{\begin{array}{cccccccc}& \mathrm{x}\mathrm{y}& +& \mathrm{a}\mathrm{x}& +& \mathrm{a}\mathrm{y}& +& \mathrm{y}\mathrm{y}\\ -& \mathrm{r}\mathrm{s}& -& \mathrm{a}\mathrm{r}& -& \mathrm{a}\mathrm{s}& -& \mathrm{s}\mathrm{s}\end{array}}{\mathrm{z}\mathrm{o}}$.
$\mathrm{x}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{y}+2\mathrm{y}\mathrm{y}+\mathrm{v}\mathrm{v}-2\mathrm{v}\mathrm{y}=\mathrm{s}\mathrm{s}=\mathrm{\xi }\mathrm{z}+\mathrm{a}\mathrm{\xi }+\mathrm{a}\mathrm{z}+2\mathrm{z}\mathrm{z}+\mathrm{v}\mathrm{v}-2\mathrm{v}\mathrm{z}$ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{y}-\mathrm{\xi }\mathrm{z}+\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{\xi }}{2\mathrm{y}-2\mathrm{z}}=\mathrm{b}$. $\mathrm{x}\mathrm{y}-\mathrm{\xi }\mathrm{z}-2\mathrm{b}\mathrm{y}+2\mathrm{b}\mathrm{z}=0$ . $\mathrm{x}\mathrm{y}-2\mathrm{b}\mathrm{y}=0$ $\mathrm{x}=2\mathrm{b}$ . $\frac{\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-\mathrm{\xi }\mathrm{\xi }\mathrm{z}\mathrm{z}}{{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-\mathrm{\xi }{\mathrm{a}}^2}=\mathrm{b}$ . $\frac{1}{2}\mathrm{y}+\frac{1}{2}\mathrm{x}$ $\frac{\begin{array}{cccccc}& 4{\mathrm{x}}^2& -& \mathrm{a}\mathrm{x}& \stackrel{\cup }{O}& 2\sqrt{2{\mathrm{x}}^4-\mathrm{a}{\mathrm{x}}^3}\\ -& 4{\mathrm{z}}^2& +& \mathrm{a}\mathrm{z}& \underset{\cap }{O}& 2\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{z}-\mathrm{a}\mathrm{z}}\end{array}}{-2\mathrm{z}+2\mathrm{x}}=\mathrm{v}$ $\frac{4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{z}\mathrm{z}}{2\mathrm{x}-2\mathrm{z}}=\mathrm{b}$. $\begin{array}{ccccccc}2{\mathrm{x}}^2& -& 2{\mathrm{x}}^3& -& \mathrm{b}\mathrm{x}& -& \mathrm{b}\mathrm{z}\\ 2& & 0& & 1& & 0\end{array}$ $\mathrm{b}=4\mathrm{x}$ $2{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{z}}^4-\mathrm{a}{\mathrm{x}}^3-\mathrm{a}{\mathrm{z}}^3-2\mathrm{z}\mathrm{z}\sqrt{4{\mathrm{x}}^2{\mathrm{z}}^2-\mathrm{a}\mathrm{x}{\mathrm{z}}^2+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{x}-2\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{x}-2{\mathrm{c}}^2\mathrm{z}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{z}\mathrm{z}$ $\stackrel{\cup }{O}\sqrt{2{\mathrm{x}}^4-\mathrm{a}{\mathrm{x}}^3}\underset{\cap }{O}\sqrt{2{\mathrm{z}}^4-\mathrm{a}{\mathrm{z}}^3}=\mathrm{c}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{z}$. $2\mathrm{x}+2\mathrm{z}-\frac{1}{2}\mathrm{a}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}\underset{\cap }{O}\sqrt{\frac{1}{2}\mathrm{z}\mathrm{z}-\frac{\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{z}}{4\mathrm{x}}}$ $2\mathrm{x}\stackrel{\cup }{O}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{+\mathrm{a}\mathrm{x}\stackrel{\cup }{O}\mathrm{a}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\underset{\cap }{O}2\sqrt{\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}}$ $\frac{-4\mathrm{x}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{x}-2\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{y}-2\mathrm{x}\mathrm{y}}{2\mathrm{x}-2\mathrm{y}}=\frac{-\mathrm{x}\mathrm{x}\stackrel{\cup }{O}6\mathrm{x}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}+3\mathrm{a}\mathrm{x}\underset{\cap }{O}\mathrm{x}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\underset{\cap }{O}2\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}}$ $\frac{\begin{array}{c}-8\mathrm{x}\mathrm{x}\stackrel{\cup }{O}6\mathrm{x}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}\\ +3\mathrm{a}\mathrm{x}\underset{\cap }{O}\mathrm{a}\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}\end{array}}{\stackrel{\cup }{O}2\sqrt{2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}}$. $\frac{64{\mathrm{x}}^3-48\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}+9\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}}{4\mathrm{x}-2\mathrm{a}}$ $2\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}+\frac{\sqrt{4\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{x}-2\mathrm{z}\mathrm{z}}}{2\mathrm{x}}$ $-\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{d}\mathrm{y}+\mathrm{y}\mathrm{y}=0$ . $\frac{2\mathrm{b}\mathrm{ϩ}\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}}}{\mathrm{c}\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{d}\mathrm{ϩ}\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{ϩ}}{\mathrm{c}}+\frac{2\mathrm{b}\mathrm{ϩ}\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}}}{\mathrm{c}\mathrm{c}}$. $-\frac{\mathrm{d}}{2}=+\mathrm{a}$ . $\mathrm{b}=0$ . $\mathrm{c}=$ any finite line. as $\mathrm{x}=\mathrm{ϩ}$. $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{d}+\mathrm{z}$ . ${\mathrm{ϩ}}^2+\frac{1}{4}\mathrm{d}\mathrm{d}\mp \mathrm{d}\mathrm{z}-\mathrm{z}\mathrm{z}$ ${\mathrm{y}}^3=\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}$ . $\mathrm{y}+\mathrm{a}=\mathrm{\varrho }$ . ${\mathrm{\varrho }}^3-3\mathrm{a}{\mathrm{\varrho }}^2+3\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{\varrho }-\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{x}-{\mathrm{a}}^3=0$ $\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}\phantom{0}450& \text{.}\\ 225\phantom{0}\end{array}& 48\mathrm{x}\mathrm{x}& \begin{array}{l}\underset{\_}{54\times 16\times 27}\\ 324\\ \underset{\_}{54\phantom{0}}\\ 864\end{array}\\ & \begin{array}{l}240\\ \underset{\_}{48\phantom{0}}\\ 720\end{array}\end{array}$ $-{\mathrm{ϩ}}^3{\mathrm{b}}^3=0$ . $\frac{+6\mathrm{ϩ}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c}+\mathrm{c}\mathrm{ϩ}\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}\times \mathrm{a}-3\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{ϩ}}{\mathrm{c}\mathrm{c}}=0$ $\begin{array}{ccc}\begin{array}{c}105\\ \underset{\_}{3\phantom{00}}\\ 2025\end{array}& \begin{array}{c}\phantom{0}75\\ \underset{\_}{15\phantom{0}}\\ 225\end{array}& \begin{array}{c}1125\\ \underset{\_}{225\phantom{0}}\\ 3375\end{array}\\ & & & \begin{array}{c}\underset{\_}{16}\\ 96\\ \underset{\_}{16\phantom{0}}\\ 256\end{array}\end{array}$ $\mathrm{ba}=\mathrm{b}$ . $\mathrm{ac}=\mathrm{c}$ . $\mathrm{ad}=\mathrm{d}$ . $\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}}{\mathrm{b}}=\mathrm{r}$ , $\mathrm{lat}\mathrm{rec}:\mathrm{Parab}\mathrm{dbe}$ . $\frac{\mathrm{d}\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\mathrm{s}=\mathrm{lat}:\mathrm{rec}:\mathrm{Parab}:\mathrm{dce}$ . $\mathrm{lq}=\mathrm{a}$ . $\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}={\mathrm{y}}^3$. $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{z}$ . $-\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2\mathrm{z}+3\mathrm{x}{\mathrm{z}}^2+{\mathrm{z}}^3=0$ . $\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{x}}-\mathrm{x}=\mathrm{z}$. $\frac{+2\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{y}-3\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}-6\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}-3{\mathrm{y}}^3}{3\mathrm{y}\mathrm{y}+6\mathrm{y}\mathrm{x}+3\mathrm{x}\mathrm{x}}=\mathrm{v}=\frac{2\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{y}}{3\mathrm{y}\mathrm{y}+6\mathrm{y}\mathrm{x}+3\mathrm{x}\mathrm{x}}$ ${\mathrm{z}}^3+3\mathrm{x}{\mathrm{z}}^2+3\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{z}+{\mathrm{x}}^3-\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{x}=0$ $\mathrm{a}=8$ . $\mathrm{x}=1$ . $-7+3\mathrm{z}+3\mathrm{z}\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^3=0$ $\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{y}}^3& +& \mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}& +& 2\mathrm{a}\mathrm{b}& +& \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\\ & +& 2\mathrm{b}& +& \mathrm{b}\mathrm{b}\end{array}$ $\begin{array}{l}\mathrm{z}\mathrm{z}+4\mathrm{z}+7\text{.}\mathrm{z}=2\stackrel{\cup }{O}\sqrt{4-7}\\ +448+192\mathrm{z}+24\mathrm{z}\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^3=0\text{.}\\ \mathrm{z}\mathrm{z}+20\mathrm{z}+\mathrm{11\; 2}\end{array}$ $\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}3\mathrm{x}=\mathrm{a}+2\mathrm{b}\text{.}& 3\mathrm{x}\mathrm{x}=2\mathrm{a}\mathrm{b}+\mathrm{b}\mathrm{b}& {\mathrm{b}}^3-\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{b}=\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\text{.}& \mathrm{b}-\mathrm{d}=\mathrm{a}\end{array}\\ \begin{array}{cc}3\mathrm{x}-2\mathrm{b}=\mathrm{a}=\frac{3\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{b}\mathrm{b}}{2\mathrm{b}}& -6\mathrm{b}\mathrm{x}+3\mathrm{b}\mathrm{b}+3\mathrm{x}\mathrm{x}=0\text{.}\\ \mathrm{x}=\mathrm{a}& \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{x}\text{.}\mathrm{b}-\mathrm{a}=\mathrm{d}\text{.}\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{c}\mathrm{y}+\mathrm{a}\times \mathrm{y}+\mathrm{b}\times \mathrm{y}+\mathrm{b}\\ \begin{array}{ccccccc}\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{y}& +& \mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{y}& +& 2\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{y}& & \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\\ & +& 2\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}& +& \mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{y}\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{c}\mathrm{a}\mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{y}\text{.}\\ -\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{y}\mathrm{y}+2\mathrm{a}\mathrm{y}+\mathrm{a}\mathrm{a}=0\text{.}\\ \sqrt{\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{y}+\mathrm{a}\text{.}\end{array}$ $\begin{array}{cccccccc}-& \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{ϩ}\mathrm{r}& -& \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{c}& +& \mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{c}& -& 2\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{ϩ}\\ +& 2\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{z}\mathrm{r}& +& \mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{z}\mathrm{z}& +& \mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{ϩ}\mathrm{z}& -& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{ϩ}\\ -& 2\mathrm{b}\mathrm{ϩ}\mathrm{z}\mathrm{r}& -& \mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{z}\mathrm{z}& +& 2\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{c}\mathrm{d}\\ +& 2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{r}\end{array}$. $\begin{array}{c}-2\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}\text{.}\mathrm{b}=\mathrm{c}\text{.}\\ -2\mathrm{d}\mathrm{b}\mathrm{c}-2\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\text{.}\\ \mathrm{a}\mathrm{a}{\mathrm{c}}^4-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}=4\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{d}+8\\ 2\mathrm{d}\mathrm{c}+2\mathrm{a}\mathrm{c}=0\text{.}\mathrm{d}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{c}}{-\mathrm{c}}\text{.}\mathrm{d}=-\mathrm{a}\text{.}\end{array}$ $\mathrm{af}=\mathrm{a}$ . $\mathrm{ag}=\mathrm{b}$ . $\mathrm{ab}=\mathrm{\varrho }$ . $\mathrm{bc}=\mathrm{z}$ . $\mathrm{a}:\mathrm{b}:\mathrm{bh}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{\varrho }-\mathrm{a}\mathrm{b}}{\mathrm{b}}:\mathrm{\varrho }-\mathrm{b}=\mathrm{gb}$ . $\mathrm{ch}=\mathrm{ϩ}\mathrm{b}-\mathrm{a}\mathrm{\varrho }+\mathrm{a}\mathrm{b}$ . $\mathrm{fg}=\mathrm{c}$ . $\mathrm{ag}=\mathrm{b}$ . $\mathrm{fg}=\mathrm{c}$ . $\mathrm{fh}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{ϩ}}{\mathrm{b}}$ . $\mathrm{af}=\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}$ . $\frac{\mathrm{\varrho }-\mathrm{b}in\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}=\mathrm{bh}$ . $\frac{\mathrm{b}\mathrm{ϩ}-\mathrm{\varrho }+\mathrm{b}\times \sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}=\mathrm{ch}$ . $\frac{\mathrm{b}\mathrm{ϩ}-\mathrm{\varrho }+\mathrm{b}in\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{b}\mathrm{b}}}{\mathrm{c}}=\mathrm{cd}$ . $\frac{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{ϩ}-\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{\varrho }+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{b}+\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{\varrho }}{\mathrm{b}\mathrm{c}}=\mathrm{df}$ . $\mathrm{c}\mathrm{c}=$ $\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}$ . $\frac{\mathrm{ϩ}\mathrm{b}-\mathrm{a}\mathrm{\varrho }+\mathrm{a}\mathrm{b}}{\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}}=\mathrm{cd}=\mathrm{x}$. $\frac{\mathrm{a}\mathrm{ϩ}-\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{ϩ}}{\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}}=\mathrm{df}=\mathrm{y}$. $\frac{\mathrm{b}\mathrm{ϩ}+\mathrm{a}\mathrm{b}-\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}}{\mathrm{a}}=\mathrm{\varrho }=\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}-\mathrm{a}\mathrm{a}-\mathrm{a}\mathrm{ϩ}}{\mathrm{b}}$ $\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{ϩ}+\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{ϩ}=\mathrm{a}\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}-{\mathrm{a}}^3$ $-\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{b}+\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}$ . a $\mathrm{ϩ}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{y}-\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}+\mathrm{b}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{b}}}$ . Or $\mathrm{ϩ}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{y}-\mathrm{a}\mathrm{c}+\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{a}\mathrm{a}}}{\mathrm{c}}$ . $\mathrm{\varrho }=\frac{\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{c}\mathrm{c}-\mathrm{a}\mathrm{a}}-\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{c}}$ $\mathrm{\varrho }=\frac{\mathrm{c}\mathrm{y}}{\mathrm{b}}-\frac{\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{y}}{\mathrm{b}\mathrm{c}}-\frac{\mathrm{x}\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$ $\mathrm{c}=5$ . $\mathrm{a}=3$ . $\mathrm{ϩ}=\frac{3\mathrm{y}-15+4\mathrm{x}}{5}$ . $\mathrm{\varrho }=\frac{4\mathrm{y}-3\mathrm{x}}{5}$ . ${\mathrm{ϩ}}^4={\mathrm{\varrho }}^3$ . 5 $\begin{array}{ccc}27{\mathrm{y}}^3-405\mathrm{y}\mathrm{y}+2025\mathrm{y}-3375& =& 256{\mathrm{y}}^4-768{\mathrm{y}}^3\mathrm{x}+864\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}-432\mathrm{y}{\mathrm{x}}^3+81{\mathrm{x}}^4\\ +108\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{x}-1080\mathrm{y}\mathrm{x}+2700\mathrm{x}\\ 144\mathrm{y}\mathrm{x}\mathrm{x}-720\mathrm{x}\mathrm{x}\\ +64{\mathrm{x}}^3\end{array}$ $\mathrm{\varrho }\mathrm{\varrho }\mathrm{ϩ}={\mathrm{a}}^3$ . $\mathrm{c}=5\mathrm{r}$ . $\mathrm{a}=4\mathrm{r}$ . $\mathrm{ϩ}=\frac{4\mathrm{y}-20\mathrm{r}+3\mathrm{x}}{5}$ . $\mathrm{\varrho }=\frac{3\mathrm{y}-4\mathrm{x}}{5}$ $=2\mathrm{r}\mathrm{r}$ . $=\mathrm{r}\mathrm{r}$ .
$\frac{9\mathrm{y}\mathrm{y}-24\mathrm{x}\mathrm{y}+16\mathrm{x}\mathrm{x}}{25}$ . $\begin{array}{c}\begin{array}{ccccccccc}36{\mathrm{y}}^3& -& 96\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}& +& 64\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}& +& 48{\mathrm{x}}^3& =& 225{\mathrm{a}}^3\\ & +& 27\hfill & -& 72\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}\end{array}\\ -180\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{y}+480\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{y}-360\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}\end{array}$ $\begin{array}{c}\begin{array}{ccccccccc}36{\mathrm{y}}^3& -& 69\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{y}& -& 8\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}& +& 48{\mathrm{x}}^3& =& 0\end{array}\\ -180\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{y}+480\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{y}-360\mathrm{r}\mathrm{x}\mathrm{x}\\ \mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{r}\end{array}$.